数学思想范文

数学思想篇1

[关键词]高等数学 数学思维 数学思想

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）24-0076-02

高等数学教学主要的特点在于它是数学思维的教学。高等数学教学中应该注意数学思想的运用和渗透。

一、高等数学教学是数学思维的教学

高等数学教学时应该一切从思路出发，力图让每个学生搞清知识点间的联系。比较重要的是抓住思维的直观性、合理性和层次性这三个方面：

（一）数学思维的直观性

高等数学教学一般有四种类型：浅入浅出、浅入深出、深入深出、深入浅出。最高境界是深入浅出，高等数学中不少内容较为抽象，教学中应该能把深奥的道理用非常通俗的语言来叙述，让人一听就懂。

（二）思维的合理性

知识的呈现应该是水到渠成的结果，而不是像变魔术那样让学生感到不可捉摸，更不能故作高深来显示自己。而要做到这一点，关键是要知道你为什么要教这个知识？要尽可能按照人类认识事物的一般顺序来启发学生思考。

（三）思维的层次性

首先，要理清知识的层次关系。

其次，要注意启发的层次性。启发一般采用由远及近的方法来进行，一开始问题可以提得比较宏观一点，这样可以更好地拓展学生的思维，如果学生思考有困难，可以将问题提得更具体一点，如果学生还有困难，问题还可以提得再具体一点，……，这样逐步深入，直到学生真正理解为止。

二、用数学思想将数学知识统一起来

教师在高等数学教学中应充分渗透数学思想方法，充分发挥数学思想方法在数学教学中的指导作用、统摄作用，要用数学思想这一线索将零散的知识统一起来。让学生学会从数学思想方法这一高度居高临下认识高等数学的本质。

下面介绍两种比较重要的数学思想：模式思想和转化思想：

（一）模式思想

著名数学家、数学哲学家A.N.怀特海曾经指出：“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究的科学。人们正是通过模式这种有限的东西而达到对无限的宇宙的认识的。”

下面通过■（1+■）x=e这一重要极限（模型）的教学来具体说明高等数学教学中如何体现模型思想。

众所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e与■（1+■）x=1这三个极限之间的区别与联系也是很多学生常常出现混淆的地方。为了避免学生产生混淆，在教材中可以按照以下步骤来分析和掌握这三个极限的共同本质并在此基础上建构■（1+■）x=e这一重要极限模型。

首先，提示并引导学生探究重要极限的本质特征。引导学生归纳出前两个极限所具有的共同特征，即不管加数是x还是■，其本质都是无穷小。换句话说，就是应将学生的注意力引向判断与1相加的到底是不是无穷小这一本质，而不应该让学生只是无谓地纠缠，到底是x还是■这一表面现象。然后再进一步归纳出指数不管是x还是■，它始终等于这个无穷小的倒数。那么就不仅可以将公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有机地统一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以与极限■（1+■）■=1更好地区别开来。当然，为了使学生更好地理解极限■（1+x）■=e的本质，在教学中还可以提出一些问题，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形来让学生通过比较和辨别来更好的认识极限■（1+x）■=e的本质特征。

其次，在探究基础上归纳极限特征。在学生进行探究的基础上让学生归纳出极限■（1+x）■=e的三个重要特征：底数与指数中都有变量；底数为1和无穷小之和；指数刚好是底数中无穷小这一加数的倒数。

最后，列出运用重要极限解题的一般步骤。首先识别所求极限是否适用于这一公式（即底数与指数中都有变量）；如果适用，则将底数化为1和无穷小之和的形式（把底数变成“1+X”的形式）；通过乘或加的方法使指数中出现的倒数■（需要注意的是如果用乘法，必须有一因式为常数）；运用公式求极限。其它有关运算。

（二）转化思想

匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述：“数学家往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”高等数学教学中应该注意培养学生的转化思想，并尽可能让他们养成运用转化思想解决问题的习惯。

下面以罗必塔法则的教学为例来进行说明：

我们知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，还有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等类型的未定式。求解这类未定式极限的基本思想是采用转化的数学思想方法，先将它们转化为“■”型和“■”型这两种基本的未定式。

例：求■xx。

在解决这道问题时，教师可以这样启发学生：“前面我们已经学过‘■’型和‘■’型的未定式，现在又出现了‘00’ 这是一未定式，如何来求这类未定式的极限呢？”如果学生不能想到将其转化为“■”型或“■”型的未定式，教师可以进一步启发学生：“可不可以将其转化为‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果学生认为可以，那么可以进一步启发学生：“怎样才能将‘00’型未定式转化为‘■’型或‘■’型的未定式？”通过这样的启发学生应该不难想到：必须将乘方运算转化为乘除运算，而将乘方运算转化乘除运算的基本方法是取对数。

解：方法一：设y=xx，取对数得

lny=xlnx，

■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，

然后再根据复合函数的连续性得：ln（■y）=■（lny）=0。

从而有■y=1，即■xx=1。

方法二：利用公式x=elnx将乘方运算转化为乘除运算。

■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。

高等数学是高等教育中重要且基础的课程之一，对高等数学理解的深入程度对大学生今后的发展常常起着至关重要的作用。同时高等数学又往往是不少大学生深感头痛并且难以掌握的课程之一。作为高校教师，我们在考虑高等数学整体教学方案，或者考虑具体知识点的讲授的合理性时，我们始终注意数学思维的教学，并且注意模式思想和转化思想的灵活运用，则往往有事半功倍的效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1997.

[2] [美]约翰·布兰斯福特，等.程可拉等，译.人是如何学习的[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

[3] 桂德怀.高职高等数学课程改革研究综述[J].中国职业技术教育， 2010，（17）.

数学思想篇2

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

1. 明确基本要求，渗透“层次”教学 《数学大纲》对小学数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来。教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、反证法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。我们在教学中，要牢牢地把握住“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2. 从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法” 关于小学数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在小学数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在小学数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个小学阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

数学思想篇3

关键词：数学思想；数学活动；小学数学教学

中图分类号：G622文献标识码：A文章编号：1002-7661（2019）06-0163-01

小学数学是我国基础教育阶段非常重要的一门课程，与生活密切相关，新课程标准中要求学生能形成数学思维，并将所学的数学知识应用生活中，达到学以致用的目的。因此，实现小学数学教学改革，应贴合学生生活展开数学教学，注重培养学生数学思维，促使学生能通过学习解决生活中遇到的问题，革新传统教学方式，能让小学生获取基本的数学经验，在数学知识学习中形成自己的见解和看法，提高学生的学习乐趣。

一、数学思想与数学活动对小学数学教学的作用

数学思想和数学活动都是小学数学教学内容中的重点，开展小学数学教学，需要将数学思想和数学活动融入到小学数学教学过程中，小学数学课堂教学也要包含数学思想和数学活动，才能满足小学数学教学的目标。数学思想是小学生解决生活中数学问题的钥匙，小学中包含的数学思想一类是分类统计思想，一类是数形结合和符号化思想，是小学数学中对数的认识和数的运算，需要学生能深入学习数学思想，掌握数学思想的形象特征，明白特定符号的含义，理解数学符号中蕴含的数学象征和数量关系，这些也恰恰是小学数学教学的重点。小学数学活动是小学数学开展的实际形式之一，数学教学离不开数学活动，通过数学活动展开數学教学，才能让学生在活动中认识数学知识，掌握数学特征，数学活动是开展数学教学的关键，小学数学教学中要遵循数学教学特点，从小学生数学学习特征入手，注重学生的数学学习体验，在实践中开展数学知识教学，才能优化小学数学教学质量。因此小学数学活动含有实践性、体验性和趣味性等特点，才能切实调动小学生数学学习的积极性，更好地展开数学教学，为保证小学数学教学质量，教师必须要结合学生学习实践和生活体验，设计符合学生学习特征的教学活动，在实践中培养小学生的数学实践运用能力，丰富学生数学学习的体验，数学活动能充分调动学生的主观能动性。

二、数学思想和数学活动融入小学数学教学的有效策略

为培养小学生的数学思维，将数学思想和数学活动融入到小学数学教学中势在必行。首先，要契合小学生的学习和个性，从小学生的活泼好动的本性入手，小学数学教学要进让学生多动手、多交流、多学习，在实践互动中拓展学生的知识深度和知识广度，培养学生理性思考，深层次地理解数学知识，保证数学教学符合学生个性化发展和思维引导。教师要多组织学生之间的辩论和实践，以小组形式让学生辩论，在辩论中相互交流和沟通，通过辩论过程不断地提出问题和分析问题，引导学生创新，取长补短，全面提升班级学生数学学习的积极性。

其次，教师要让学生在学习中不断地挖掘知识和理解知识，促使学生在理性思考中，形成优良的数学思维习惯，在思考中不断创新，加深学生对数学学习内容的理解，并且提高数学教学的可操作性。例如在授课阶段中，将数学思想作为根本，用数学活动串联起整个数学课堂，保证数学课堂教学具有系统性和连贯性，在“圆的认识”中，采用剪纸的方式，通过美术的画画和图形教学结合，让学生在数学学习过程中利用纸张认识长方形、正方形和平行四边形与圆等多种形状，并通过剪纸让学生按照要求制作相应的图形，计算面积和认识周长，学生在实践活动中能切实感受不同形状的数学特征，并将特征和数学公式等联系起来。然后用相应的数形游戏或者是跑圈活动等，让学生用自身的感受，去学习圆中所包含的数学思想、计算方法，积极加强数学知识与数学思想的理解，通过数学活动和数学思想相互渗透，构建高效的小学数学教学课堂。

最后，教师要在课后阶段中，促使学生总结和提炼数学思想，帮助学生进行知识的归纳与总结，为避免学生陷入题海战术，提高学生对数学知识的理解和运用能力，教师要在课后组织学生学会总结知识，例如在《数的概念》教学结束后，教师要用个性化作业的形式，让学生采用中自己的方式，将所学知识进行归纳和总结，可以用多媒体将数学知识归纳案例列出来，再让学生在课后自己制作数学知识框架，使得学生梳理所学章节的知识，从而实现数学思想的提炼和总结。

三、结束语

数学思想篇4

本文通过典例剖析的形式，主要归纳、总结了求解有关复数问题时常用的数学思想方法，旨在帮助学生拓宽解题思维，提高分析、解决问题的实际能力.

一、“数形结合思想”的应用

“数”与“形”是同一个事物的两个方面，以“形”判“数”，以“数”论“形”的思想就是数形结合思想.“数”与“形”在一定条件下，可以相互转化、相互渗透.华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.

例1设复数z在复平面内对应的点为Z，若点Z在以原点O为圆心的单位圆上运动，则复数z+1+2i对应的点的轨迹是（）.

A

B

C

D

解析设复数z+1+2i=x+yi（x，y∈R），则z=x-1+（y-2）i，又复数z对应的点在单位圆上，所以，|z|=（x-1）2+（y-2）2=1，所以（x-1）2+（y-2）2=1.

于是，复数z+1+2i对应的点（x，y）的轨迹是以点（1，2）为圆心，以1为半径的圆.故选A.

评注：本题设计比较新颖，主要考查复数的几何意义与圆的交汇知识，需要灵活运用复数的代数形式加以求解.

二、“分类与整合思想”的应用

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后整合得解，这就是分类与整合思想.分类与整合思想主要体现了“化整为零”“各个击破”的解题策略.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：标准统一，不漏不重.

例2集合{in|n∈N}（其中i为虚数单位）中的元素共有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析因为n∈N，所以当n=4k，k∈N时，in=i4k=1；当n=4k+1，k∈N时，in=i4k+1=i；当n=4k+2，k∈N时，in=i4k+2=i2=-1；当n=4k+3，k∈N时，in=i4k+3=i3=-i.

综上，集合{in|n∈N}={1，-1，i，-i}，显然其中共有4个元素.故选D.

评注：结合虚数单位i的特性（i4=1）可知，本题应按正整数n除以4的余数（0或1或2或3）加以讨论.

三、“转化思想”的应用

将未知的或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫作转化思想.转化思想的实质是“寻求联系，实现转化”.

例3已知复数z=1+（1-ti），若复数z2在复平面内对应的点在第二象限，求实数t的取值范围.

解析复数z2=[1+（1-t）i]2=1+（1-t）2i2+2i（1-t）=（2t-t2）+（2-2t）i，由该复数对应的点（2t-t2，2-2t）在第二象限，得2t-t20， 解得t

故所求实数t的取值范围是（-∞，0）.

评注：本题求解的关键在于，将复数z2对应的点在第二象限转化为关于实数t的不等式组.

四、“函数与方程思想”的应用

方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组，从而使问题获解.函数思想是从题目的条件出发，通过联想，构造函数模型，利用函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等）和图像，从而使问题获解.

例4已知关于x的方程是x2-（tanθ+i）x-（2+i）=0.

（1）若该方程有实数根，求锐角θ和实数根；

（2）C明：对于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），该方程没有纯虚数根.

解析（1）设该方程的实数根为a，则a2-（tanθ+i）a-（2+i）=0，

即a2-atanθ-2-（a+1）i=0.

a，tanθ∈R，a2-atanθ-2=0，a+1=0，

解得a=-1，tanθ=1.

又θ为锐角，所以θ=π4.

（2）若该方程存在纯虚数根，设为bi（b∈R，b≠0），则有

（bi）2-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，

即-b2+b-2+（-btanθ-1）i=0，

所以-b2+b-2=0，-btanθ-1=0， 易知此方程组无实数根.

综上，可知：对于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），该方程没有纯虚数根.

评注：根据题意灵活地“设”，是本题顺利求解的切入点；根据复数相等的充要条件构建方程组，是本题进一步分析的关键.

数学思想篇5

[关键词]数学思想方法 数学思维 理性精神

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-008

数学思想是蕴涵于数学知识和内容之中，又高于具体知识和内容的一种理性认识，是对数学对象本质属性及其联系的深刻揭示。如果说书本中的数学知识是一种能够用语言表达的显性知识，那么数学思想及其方法就是一种隐性知识，其指导作用的发挥需要结合具体的发现和提出问题以及分析和解决问题的过程。小学生学习数学，不同于专业的数学研究，其重点落在对数学思想方法的感受、领悟和初步的运用，而感受、领悟和初步的运用过程，就是一种意识、观念、素质的萌芽和发展过程，从这一点来看，感悟数学思想方法和培育思维品质具有内在的统一性。

一、抓数学思想方法，促思路多向开放

在数学学习中，很多时候要改变已习惯了的思维定式，从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往难以摆脱已有的思维方向，也就是说学生个体（乃至于群体）的思维定式往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。解决这样的问题，可以将学习置于“数学思想方法”的角度来展开，可以让学生的思维变得更加清晰、有序、优化。

比如，在教学2、5、3的倍数的特征时，第一节课先讲了2的倍数的数的特征是“个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数”。5的倍数的数的特征是“个位上是0或5的数，都是5的倍数”。接下的第二节课要讲3的倍数的数的特征是“一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。显然，这两类特征在思维上具有跳跃性――“个位上的数字”与“各位上的数字的和”。受负迁移的影响，研究3的倍数特征时，学生很容易想到“一个数的个位上是0、3、6、9的数是否也是3的倍数呢？”有学生会想到33、36、60、99等一些数，还有学生自然想到了40、13、26、59等另一些数，并得出结论：一个数个位上是0、3、6、9的数不一定是3的倍数。

上述学习过程，知识层面的东西学生很容易掌握，但是，蕴含其中的更为重要的是“反证”的论证方法。因此，教师应该及时让学生对这种方法进行适度的概括提炼，产生“要证明一个结论不成立，只要找出一个反例即可”的判断思维。

继续延伸下去：在4、6、8、10、15、18、25、26、30这些数中，哪些数是2的倍数？哪些数是5倍数？哪些数既是2的倍数又是5的倍数？学生在思考后，尝试将相应的数填入圈中（图1，左边的圈里填2的倍数，右边的圈里填5的倍数），那两个圈相交的部分填哪些数呢？学生会发现这一部分填的既是2的倍数，又是5的倍数，就形成了图2。这里渗透的是数学中的集合思想，尤其是交集――相交的部分同时要具有两个集合的特征的集合思想。让学生进一步在研究特征的基础上进行更有深度的思考，从而得到：同时满足两个要求的元素，才可以成为共同元素。

二、抓数学思想方法，促思维灵活变通

小学数学是一个多层次、多方面的知识体系。让零散的知识串联成体系的大多是数学的思想和方法。以几何图形的教学为例。教学“平行四边形的面积”时，我们启发学生运用割补的方法，把计算平行四边形的面积转化为学过的计算长方形的面积，这是渗透数学思想方法――“转化思想”的大好时机。实际上在小学课本中，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形的面积计算公式都是通过原来的图形转化得到的。

延伸开来：如图3，大正三角形的面积是28平方厘米，求小正三角形的面积。

图3中大、小正三角形的面积关系很难看出，若将大正三角形“旋转”一下，就变成图4的模样，出现了四个全等的小正三角形，答案也就唾手可得：小正三角形的面积是：28÷4=7（平方厘米）。紧接着告诉学生：“通过旋转，我们把复杂图形变个形转化成简单图形，原来的问题就能解决了，变形是转化的一种方法。”

转化的思想在小学数学教学中有广泛的应用，将原图形通过旋转、平移、翻折、割补等途径加以“变形”，可使题目变难为易，求解也水到渠成。渗透转化思想，打破思维定式，对提高学生能力大有好处。

三、抓数学思想方法，促思考优化深刻

新课程把“解题策略”作为教学的一个重要部分，即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，这是数形结合思想在小学数学中的体现。

例如，一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

此题若把五次所喝的牛奶加起来，即“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32”就为所求，但这不是最好的解题策略。此时点拨学生：“把复杂问题变成简单问题有时还需要我们画个图，换个角度，从反面思考。我们先画一个正方形（如图5），并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1-1 / 32就为所求。”这里不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了类比的思想。

继续延伸：1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64=1-

1 / 64=63 / 64;1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64+1 / 128=1-1 / 128=127 / 128。

这时，再继续让学生计算“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+

1 / 32+1 / 64+1 / 128+1 / 256+1 / 512”，如果学生能很快得出结果是“1-1 / 512=511 / 512”，这就说明了在学生的头脑中已经初步形成了这种数列的概念。如果再继续加下去，结果会怎样？学生很容易得出：如果以分子是1，分母是前一个加数的分母的2倍的规律，再继续加下去，不论再加什么数，结果总是“1减最后一个加数”，并且其结果总是不超过1。

上述研究既是规律探寻，也是极限思想的渗透，能为学生将来学习极限理论、提高抽象思维奠定基础。

总的说来，数学思想方法是贯穿在数学知识、数学学习中的主轴线，没有数学思想方法就没有数学。但是，数学思想方法的渗透要自然、贴切，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际，就像著名数学家华罗庚说的：“神奇化易是坦道，易化神奇不足提。”比数学思想方法渗透更重要的是，借助于数学思想方法来优化学生的思维品质，提高数学思考的能力，进而提升数学学习的能力和数学素养。这是孕育数学理性的必由之路！

数学思想篇6

关键词:数学教学;数学思想;数学方法

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。数学的四大思想分别是:函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合;“数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果”，“是对数学事实与理论的本质认识”。数学方法是指人们在数学活动中为达到预期目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。方法和思想在一定范围内有通用性(如:“消元”既是方法也是思想)，但思想还具特有的体系性。方法要在实践中不断完善、创新，而思想则是熠熠生辉的。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。数学思想和方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，是数学发展的内在驱动力。因而加强数学思想、方法的教学既是教学本身的要求，也是提高数学教学质量的要求。

初中数学中蕴涵了丰富的数学思想、方法的内容。如字母表示数的思想，数形结合的思想、函数思想、方程思想、分类思想、化归思想等大量数学思想。数学方法有观察法、实验法、类比法、一般化方法和抽象化方法;解决具体数学问题的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系数法、分析法、综合法、坐标法、变换法等。数学知识、思想、方法、技能密不可分，相互联系，相互依存，协同发展，只要在课堂教学法中认真把握，把它们融于一体、就能使学生在学习过程中潜移默化，不知不觉在获得这些思想方法。

那么，数学教学中如何进行数学思想方法的教学?笔者以为可着重从以下几个方面入手。

1在备课中，有意识地体现数学思想方法

教师要进行数学思想方法的教学，首先要有意识地从教学目的的确定、教学过程的实施，教学效果的落实等各个方面来体现，使每节课的教学、教育目的获得和谐的统一。通过对教材完整的分析和研究，理清和把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴。然后建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。因而，在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘。

2在掌握重点、突破难点中，有意识地运用数学思想方法

数学教学中的重点，往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处。数学教学中的难点，往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关。因此，教师要掌握重点，突破难点，更要有意识地运用数学思想方法组织教学。

3在知识发生过程中渗透数学思想方法

3.1不简单下定义

数学概念既是数学思维的基础，又是数学思维的结果。所以概念教学不应简单给出定义，应当引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数学思想。比如负数概念的教学，七年级上册借助于温度计给出描述性定义，学生对负数概念往往难以透彻理解。若设计一个揭示概念与新问题间矛盾的实例，使学生感到“负数”产生的合理性和必要性，领悟其中的数学符号化思想的价值，则无疑有益于激发学生探究概念的兴趣，从而更深刻、全面的理解概念。

3.2定理公式教学中不过早给结论

数学定理、公式、法则等结论都是具体的判断，而判断则可视为压缩了的知识链。教学中要恰当地拉长这一知识链，引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，探讨它与其他知识的关系，领悟引导思维活动的数学思想。例如有理数加法法则的教学，我们通过设计若干问题，有意识地渗透或再现一些重要的数学思想方法。在讨论两个有理数相加有多少种可能的情形中，渗透分类思想;在寻找各种具体的有理数运算的结果的规律中，渗透归纳、抽象概括思想;在“两个相反数相加得零”写在“异号两个数相加”的法则里，渗透特殊与一般思想。

4在思维教学过程中揭示数学思想方法

数学课堂教学必须充分暴露思维过程，让学生参与教学实践活动，其中隐含的数学思想，才能有效地发展学生的数学思维，提高学生的数学素养，下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例，简要说明。

教学目标:增强运用化归思想处理多边形问题的一般策略;掌握运用类比、归纳、猜想思想指导思维，发现多边形内角和定理的结论;学会用化归思想指导探索论证途径，掌握化归方法;加强数形结合思想的应用意识。

教学过程:(1)创设问题情境，激发探索欲望，蕴涵类比化归思想。教师:三角形和四边形的内角和分别为多少?四边形内角和是如何探求的?(转化为三角形)那么，五边形内角和你会探求吗?六边形、七边形……n边形内角和又是多少呢?(2)鼓励大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想。教师:从四边形内角和的探求方法，能给你什么启发呢?五边形如何化归为三角形?数目是多少?六边形……n边形呢?你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、化归为三角形的个数之间的关系?从中你能发现什么规律?猜一猜n边形内角和有何结论?(3)暴露思维过程、探索论证方法，揭示化归思想、分类方法。教师:我们如何验证或推断上面猜想的结论呢?既然多边形内角和可化归为三角形来处理，那么化归方法是否唯一的呢?一点与多边形的位置关系怎样?(分类思想指导化归方法的探索)哪一种对获取证明最简洁?(至此，教材中在多边形内任取一点O……的思维过程得以充分自然地暴露)(4)反思探索过程，优化思维方法，激活化归思想。教师:从上面的探索过程中，我们发现化归思想有很大作用，但是，又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢?原来，我们是选择考察几个具体的多边形，如四边形、五边形等，发现特殊情形下的解决方法，再把它运用到一种特殊化思想，它对提供解题方法有重要作用。

让学生亲自参加与探索定理的结论及证明过程，大大激发了学生的求知兴趣，同时，他们也体验到“创造发明”的愉悦，数学思想在这一过程中得到了有效的发展。

5在问题解决过程中强化数学思想方法

许多教师往产生这样的困惑:题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因此，在数学问题探索的教学中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法。使学生从中掌握关于数学思想方法方面的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想。逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能胸有成竹，从容对待。如:直线y=2x―1与y=m―x的交点在第三象限，求m的取值范围。方法1:用m表示交点坐标，然后用不等式求解;方法2:利用数形结合的思想在坐标系中画出图象，根据图象作答。

图1

显然上述的问题解决过程中，学生通过比较不同的方法，体会到了数学思想在解题中的重要作用，激发学生的求知兴趣，从而加强了对数学思想的认识。

6在知识总结过程中内化数学思想方法

数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式溶于数学知识体系。要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把各种知识所表现出来的数学思想适时作出归纳概括。概括数学思想方法要纳入教学计划，应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时，将统摄知识的数学思想方法概括出来，可以加紧学生对数学思想方法的运用意识，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，形成独立分析、解决问题的能力。

概括数学思想一般可分两步进行:一是揭示数学思想的内容、规律，即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来;二是明确数学思想方法与知识的联系，即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去，从而实现从个别性认识上升为一般性认识。比如，解方程(x-2)2+(x-2)-2=0，可以直接求解，也可用换元法求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程，从而认识到化归思想是对换元法的高度概括，还可进一步认识到数学思想是数学的灵魂，它是对数学知识的高度概括。

由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里，所以通过课堂小结、单元总结或总复习，甚至是某个概念、定理公式、问题数学都可以在纵横两方面概括内化数学思想方法。

诚然，要使学生真正具备有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到，但是只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟。

参考文献

[1]陈英和.认知发展心理学[M].杭州:浙江人民出版社，1996.

[2]沈文选.中学数学思想方法[M].长沙:湖南师范大学出版社，1999.

数学思想篇7

关键词:数学教学;数学思想;思想方法的渗透

中图分类号:G424.1文献标识码:A文章编号:1672-3198(2009)16-0220-02

0 前言

数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。

1 中学数学教学中应运用的思想方法

(1)方程思想:众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。

(2)分类讨论思想:分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。

(3)数形结合思想:数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。华罗庚先生说得好:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。初中代数教材列方程解应用题所选例题多数采用了图示法,所以,教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值,对解决问题更具有指导意义。再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透;这样不仅可提高学生的迁移思维能力,还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。

(4)整体思想:整体思想在初中教材中体现突出,如在实数运算中,常把数字与前面的“+,-”符号看成一个整体进行处理;又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等;再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理,如:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2视(a+b)为一个整体展开等等,这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。

(5)化归思想:化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。如已知(x+y)2=11,xy=1求x2+y2的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,则易得:原式=9;又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程(组)通过“消元”、“降次”最后求出方程(组)的解等也体现了化归思想;化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则,使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则,使互逆的两种运算得到统一。又如,对等腰梯形有关性质的探索,除了教材中利用轴对称方法外,还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法,把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。

除此之外,很多知识之间都存在着相互渗透和转化:多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答。

(6)变换思想:是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换,从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题,因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。例:四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF。求证:DE=BF。这道题若是由已知向后推理较难把握方向,但用变换方法寻找证法比较易:要证DE=BF,只要证ADE≌CBF(证ABF≌CDE也可);要证ADE≌CBF,因题目已知BC=DA,AE=CF,只要证∠DAE=∠BCF;要证∠DAE=∠BCF,可由ABC≌CDA得到,而由已知条件AB=CD,BC=DA,AE=CF不难得到ABC≌CDA。这样问题就解决了。

(7)辩证思想:辩证思想是科学世界观在数学中的体现,是最重要的数学思想之一。自然界中的一切现象和过程都存在着对立统一规律,数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等同样蕴涵着这一辩证思想。因此,教学时,应有意识地渗透。如初三《分式方程》一节,就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想,教学时,不能只简单介绍分式方程的概念和解法,而要渗透上述思想,我们可以从复习整式和分式的概念出发,然后依据辩证思想自然引出分式方程,接着带领学生领会两个概念的对立性(非此即彼)和统一性(统称有理方程),再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想,从而发现两种方程在解法上虽有不同,但却存在内在的必然联系。这样,学生在知晓整式方程与分式方程概念和解法的辩证关系后,就能进一步理解和掌握分式方程,收到一种居高临下,深入浅出的教学效果。因此,抓辩证思想教学,不仅可以培养学生的科学意识,而且可提高学生的探索能力和观察能力。

2 中学数学教学中数学思想方法渗透的原则

在渗透数学思想、方法的过程中,教师要精心设计、有机结合,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套,和盘托出,脱离实际等错误做法。比如,教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆,总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”,利用数形结合方法,从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素,对于每一章每一节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透,渗透哪些数学思想方法,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。

数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此,必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机――概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程,规律揭示的过程等。同时,进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以后的“反思”。因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法,对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性。应该看到,对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的,而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练,才能使学生真正地有所领悟。

教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括,让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分,而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此,教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力,这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。

总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。

参考文献

[1]崔录等.现代教育思想精粹[M].北京:光明日报出版社.

[2]布鲁纳.教育过程[M].上海:上海人民出版社.

[3]吴兴长.数学教学中非智力因素的培养[J].北京教育行政学院.

[4]李明振.数学方法与解题研究[M].上海:上海科学教育出版社.

数学思想篇8

一、钻研教材，分析其中的数学思想

小学数学教材有两条线索：一条是数学知识，这是写在教材上的明线；一条是数学思想方法，是暗线。教师钻研教材，应如苏步青教授所说：“看书，要看到底，要看透，要看到书背面的东西。”这背面的东西，即数学思想方法。小学数学教学内容逐步渗透了抽象、分类、转化、数形结合、演绎、归纳、模型等基本数学思想，它如灵魂一样支配着整个教材。有了它，概念，例题才会活起来，相互紧扣，相互支持，组成一个有血有肉的“生命体”。因此，我们研读教材不能“平面地看”，要“立体地看”，既看到知识，又弄清知识中蕴涵着的思想，做到“立体地懂”。努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。只有这样，才能高屋建瓴地运用教材进行再创造。

二、关注过程，逐步渗透数学思想

数学思想方法总是和数学知识有机地融合在一起的，它的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，首先必须把握好教学过程中进行数学思想方法渗透的契机——概念形成的过程，方法思考的过程，思路探讨的过程，规律揭示的过程等。如果忽视和压缩这些过程，把数学教学当做知识结论来灌输，就会失去渗透数学思想方法的良机。其次，在教学中进行数学思想方法渗透时，一定要精心设计，有机结合，自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学知识之中的各种思想方法。循序渐进，逐步建立起“学生自我的数学思想方法系统”，才能充分发挥思想方法的整体效应，而不能生搬硬套，脱离实际，机械教学，那将会适得其反。最后，一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到运用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成。学生只有经历这样的过程，才能逐步领悟。

下面举例说明。《加法交换律》的教学片断：课一开始，老师先给同学们讲了一个“朝三暮四”的故事。问：听完故数学教学，不能只注重教给学生知识，然后进行千百遍的练习，以达到“熟能生巧”的目的。更要揭示出“知识背后的知识”，即知识背后负载的方法，蕴涵的思想，引领学生感受与体会，并结合具体环节实现“思想点化”。这样学生掌握的知识才是生动、鲜活、可迁移的。我崇尚这种教学境界，并一直为此努力，也有一些想法，在此与大家商榷。

一、钻研教材，分析其中的数学思想

小学数学教材有两条线索：一条是数学知识，这是写在教材上的明线；一条是数学思想方法，是暗线。教师钻研教材，应如苏步青教授所说：“看书，要看到底，要看透，要看到书背面的东西。”这背面的东西，即数学思想方法。小学数学教学内容逐步渗透了抽象、分类、转化、数形结合、演绎、归纳、模型等基本数学思想，它如灵魂一样支配着整个教材。有了它，概念，例题才会活起来，相互紧扣，相互支持，组成一个有血有肉的“生命体”。因此，我们研读教材不能“平面地看”，要“立体地看”，既看到知识，又弄清知识中蕴涵着的思想，做到“立体地懂”。努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。只有这样，才能高屋建瓴地运用教材进行再创造。

二、关注过程，逐步渗透数学思想

数学思想方法总是和数学知识有机地融合在一起的，它的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，首先必须把握好教学过程中进行数学思想方法渗透的契机——概念形成的过程，方法思考的过程，思路探讨的过程，规律揭示的过程等。如果忽视和压缩这些过程，把数学教学当做知识结论来灌输，就会失去渗透数学思想方法的良机。其次，在教学中进行数学思想方法渗透时，一定要精心设计，有机结合，自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴涵于数学知识之中的各种思想方法。循序渐进，逐步建立起“学生自我的数学思想方法系统”，才能充分发挥思想方法的整体效应，而不能生搬硬套，脱离实际，机械教学，那将会适得其反。最后，一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到运用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成。学生只有经历这样的过程，才能逐步领悟。

下面举例说明。《加法交换律》的教学片断：课一开始，老师先给同学们讲了一个“朝三暮四”的故事。问：听完故事，想说些什么吗？结合学生发言，板书：3+4=4+3。师：观察这一等式，你有什么发现？学生回答：我发现，交换两个加数的位置和不变。老师给出自己的发现：交换3和4的位置和不变。比较我们俩给出的结论，你想说些什么？在学生评价比较的基础上，教师指出：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当做一个猜想。既然是猜想，我们还得验证。（让学生抢答。）怎么验证呢？生：我觉得可以再举一些这样的例子？师生讨论：验证猜想，需要怎样的例子？从例子的内容和个数方面，学生各抒己见，老师适当引导。在此基础上，学生尝试举例验证，集体交流：你们举了哪些例子，又有怎样的发现？在学生一次次的交流与评价中，不仅验证了猜想，而且将加数由一位数拓展到两位数，三位数等；由整数拓展到分数等。老师并没有就此罢休：回顾刚才的学习，除了得到这一规律外，你还有什么其他收获？引导学生反思过程，感悟思想方法，教师点拨：从个别特例中形成猜想，并举例验证，得到结论，是一种获取知识的好办法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如……话锋一转，终点又成起点。

上述案例，教师深入挖掘教材，精心设计，将知识地探究与思想方法地感悟恰当地融入一组问题，让学生像科学家一样亲历了知识形成的全过程。不仅发现了交换律，而且体验了“获得数学猜想—证明猜想”的全过程，并且在这个过程中进行归纳推理和演绎推理。同时这些思想方法又促使学生对知识的掌握超越机械，达到理解和领悟的水平。当学生逐步由尝试应用到自觉主动应用“猜想—验证”的方法进行归纳推理，发现一个个规律时，他们的数学素养也正在发生质的飞跃。

三、引领学生，在反思中领悟数学思想

数学思想方法的获得，要求教师有意识地渗透，但是更多的要靠学生自身在反思过程中领悟。这一过程，没人能够代替。如学习了平行四边形面积计算后，教师引导：“请同学们回想一下，平行四边形的面积公式是怎样得到的？”在学生从方法的角度回顾过程，充分思考交流后，适当点拨：的确，我们是把平行四边形的面积这一新知识通过等积变形，转化为长方形的面积这一旧问题，从而迎刃而解。学习新知识时，经常可以像这样，想办法将它转化为能解决或较容易解决的问题来解决。通过反思，让化归思想在学生心中再次积淀。

在教学中，不能只注重回顾：你学会了什么知识？更要引导学生反思自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法、技能和技巧；走了哪些弯路，该记住哪些教训，等等。只有这样，才能对数学思想方法有更深的认识，从而更好地发挥数学思想方法对知识的引领作用。

恩格斯说“思维着的精神”是“地球上最美的花朵”。学生工作后，可能因为没有机会用数学而淡忘了数学，但深深存在于他们头脑中的数学思想、研究方法等数学精神，却随时随地发生作用，使他们受用终生。我们应积极追求这种教学境界，尽自己最大努力，在数学教学中渗透数学思想方法，引导学生积极感悟。事，想说些什么吗？结合学生发言，板书：3+4=4+3。师：观察这一等式，你有什么发现？学生回答：我发现，交换两个加数的位置和不变。老师给出自己的发现：交换3和4的位置和不变。比较我们俩给出的结论，你想说些什么？在学生评价比较的基础上，教师指出：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当做一个猜想。既然是猜想，我们还得验证。（让学生抢答。）怎么验证呢？生：我觉得可以再举一些这样的例子？师生讨论：验证猜想，需要怎样的例子？从例子的内容和个数方面，学生各抒己见，老师适当引导。在此基础上，学生尝试举例验证，集体交流：你们举了哪些例子，又有怎样的发现？在学生一次次的交流与评价中，不仅验证了猜想，而且将加数由一位数拓展到两位数，三位数等；由整数拓展到分数等。老师并没有就此罢休：回顾刚才的学习，除了得到这一规律外，你还有什么其他收获？引导学生反思过程，感悟思想方法，教师点拨：从个别特例中形成猜想，并举例验证，得到结论，是一种获取知识的好办法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如……话锋一转，终点又成起点。

上述案例，教师深入挖掘教材，精心设计，将知识地探究与思想方法地感悟恰当地融入一组问题，让学生像科学家一样亲历了知识形成的全过程。不仅发现了交换律，而且体验了“获得数学猜想—证明猜想”的全过程，并且在这个过程中进行归纳推理和演绎推理。同时这些思想方法又促使学生对知识的掌握超越机械，达到理解和领悟的水平。当学生逐步由尝试应用到自觉主动应用“猜想—验证”的方法进行归纳推理，发现一个个规律时，他们的数学素养也正在发生质的飞跃。

三、引领学生，在反思中领悟数学思想

数学思想方法的获得，要求教师有意识地渗透，但是更多的要靠学生自身在反思过程中领悟。这一过程，没人能够代替。如学习了平行四边形面积计算后，教师引导：“请同学们回想一下，平行四边形的面积公式是怎样得到的？”在学生从方法的角度回顾过程，充分思考交流后，适当点拨：的确，我们是把平行四边形的面积这一新知识通过等积变形，转化为长方形的面积这一旧问题，从而迎刃而解。学习新知识时，经常可以像这样，想办法将它转化为能解决或较容易解决的问题来解决。通过反思，让化归思想在学生心中再次积淀。

在教学中，不能只注重回顾：你学会了什么知识？更要引导学生反思自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法、技能和技巧；走了哪些弯路，该记住哪些教训，等等。只有这样，才能对数学思想方法有更深的认识，从而更好地发挥数学思想方法对知识的引领作用。