数学公式在生活中的应用范文

数学公式在生活中的应用篇1

郑毓信教授多次提到要把数学课“讲活”“讲懂”和“讲深”.所谓“讲活”，是指教师应通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识;所谓“讲懂”，则是教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背;所谓“讲深”，是指教师在数学教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也能很好地领会与把握内在的思想方法[3].

在笔者看来，数学教学要讲活、讲懂和讲深，前提是讲顺.讲顺了，各个知识点才可以活起来，展现出知识的发生发展过程;讲顺了，学生才听的懂，记的住，而且理解了;讲顺了，可以掌握其思想方法，并顺着知识点将其拓展、延伸和深入.那么，什么是讲顺？讲顺的数学课应该是有逻辑（讲因果、有条理、成系统），连贯的（知识点与知识点之间连贯而不跳跃），也就是讲清楚来龙去脉.

下文，我们以对数运算性质为例，进行分析说明.

人民教育出版社《数学（必修1）》是这样处理的：首先利用指数与对数的关系以及指数的运算性质，得到logaMN=logaM+logaN，书中写出了完整的推导（证明）过程.然后，要求学生仿照这一过程，得出logaMN=logaM-logaN和logaMn=nlogaM（n∈R）.

对于教科书的这一处理，我们作如下简单的分析和评价.

顺序：教科书主要呈现了三个作为知识结果的公式.三个公式按照加、减、乘、除、乘方的顺序，依次呈现.

联系：三者是并列关系，而不是“衍生”关系.公式之间是孤立的，而不是一个“浑然一体”的整体.公式之间的联系在于它们的推导方法.即利用第一个公式的推导方法，简单迁移，得到另两个公式.

优点：简洁明了，且第三个公式有很大的包容性，不需要将n为单位分数和-1时的情况分别罗列，学生的记忆负担不重.

不足：

（1）书本上的“仿照”要求，限制了学生的思维.事实上还有其他推导方法，不应“关门”而应帮助学生打开思路.

（2）按书本的要求去做，另外两个公式的推导，只是机械的模仿、低水平的重复.学生的思维没有任何提高.

（3）学生容易获得三个公式，但是否明白：公式间的深层联系在哪里？是不是一个整体？如果学生对这些问题有清晰的理解，那么，通过这节课的学习，他们不仅有知识容量的增加，还有思维水平的提高.

（4）这样的设计，以及依此而行的教学，是重“证明”还是重视公式的“应用”？答案是很显然的，“重用轻理”的教学使公式本身所蕴含的思维价值被大大抹杀.

针对以上的问题，该如何来处理和改进呢？

在数学教学中，应呈现知识发生发展的顺序，自然而然，有逻辑、连贯地展开.教科书这样设计，制约了我们的教学;我们要做的是，从“教教科书”到“用教科书教”，经历“教学重建”.“教学重建”的突破点在哪里？突破点就在公式之间的深层联系！――这是本课教学设计的线索.

基于上述认识，我们对此进行如下的教学设计.

先按教科书上的方法得到第一个公式，然后根据几个公式之间的联系依次推出.

①logaMN=logaM+logaN

②logaMn=logaMM…M=logaM+logaM+…+logaM=nlogaM

③当n=-1时，loga1M=logaM-1=-logaM

由①和③得，④logaMN=logaM・1N=logaM+loga1N=logaM-logaN

当②中的n取1n时，⑤loganM=logaM1n=1nlogaM.

图1

可由图1来表示这些公式间的关系：

这样的处理就非常地“顺”.更进一步，我们可以做如下分析：

（1）由“打包”到“串线”，并形成知识网络.

原有的教科书，仅仅是简单地罗列几个公式;或者说，仅是将几个公式打包后呈现给学生，几个公式之间是孤立的.而我们的设计，则通过“线索”――公式之间的深层联系，将它们紧密地串在了一起，而学生对它们的理解和记忆是深刻的，形成了良好的知识结构（认知结构），这也会影响到其后对这些公式的提取和应用.

郑毓信教授认为，对于所谓的“数学基础知识”我们就不能理解成各个孤立的知识点，恰恰相反，以下即应被看成相关的数学与学习活动的关键所在：“不应求全，而应求联”;类似地，为了帮助学生很好地掌握“数学基本技能”，我们也“不应求全，而应求变”，从而就能在各种变化了的情况下很好地加以辨识和应用[4].

这里的五个公式，是数学基础知识，是个联系的整体，而不是一个个孤立的、割裂开的个体.公式的证明方法，是数学基本技能，不应单纯模仿，而应灵活地运用.借助已知的方法和结论，去简便地获得新的结果.有效地掌握了公式及其证明，由于有了“联”与“变”的基础，其后灵活的应用也会顺理成章地展开.（对于此，我们也可以类似地提出，对于数学知识应用的教学，“不应求全，而应求通”.）

（2）从“教教科书”到“用教科书教”，教师进行教学深加工.

教师要正确处理好教科书和教学的关系，做到“用教科书教，而不是教教科书”.或者说，教师不是教科书的执行者，而是教学方案（课程）的开发者.教师教教科书，不需要太多的创造，只要按照教科书和教学参考书的方法和步骤，按序进行，就可以顺利地完成教学任务.但是，教师的工作绝对不是机械的，不是单纯模仿和重复他人的工作，教师应利用自己的知识和经验，去创造具有个性色彩，更合适、更有效的教学.

教科书提供的是“蓝本”，而不是“剧本”;教科书不是权威，它只是教师在教学过程中被加工和重新创造的对象，是教师在教学活动中需要加以利用的课程资源.教师要根据教学内容和学生的情况对教科书进行选择、组织和排序等方式的“再度开发”，对课程内容进行“校本化”、“生本化”的处理，并适当引入一些与生活联系紧密的实例，使课堂内容更贴近学生的生活和经验，特别要精心设计“知识与能力”的教学过程和方法，保证课堂教学中能“突出重点、突破难点”，并从人力、物力、时间、方法与过程上保证重点内容的教学与难点的突破.

在教学中，教师应关注那些对学生终身发展起着“基础”和“核心”作用的知识技能，创造性地使用教科书是教学内容与教学方式综合优化的过程，是课程标准、教科书内容与学生生活实际相联系的结晶，是教师智慧与学生创造力的有效融合.张奠宙教授认为：一个数学教师的职责，是把数学的学术形态转化为学生容易接受的教育形态.那么，究意该如何创造性地使用教科书呢？可以从学的层面对教科书进行“学习化”的加工，对教科书从内容、结构、顺序、呈现方式、教学方法等多个角度做出理性重构，力图使学生手中的数学教科书成为一本能有效激发学生数学学习潜能、引导学生自主探索的“学习资源”.

笔者在文[5]、文[6]中提出数学教学“要在教材的深加工上下工夫”.具体而言，数学是中学课程中最富有系统性和内部联系的学科，教学设计应让学生充分感受数学内部的联系以及运动与变化.考虑到教材的编写是线性的、封闭的体系，而真正的教学是生动的、灵活的，这就需要教师根据学生的认知水平，深入挖掘数学内部的联系，对教材进行处理，设计出一个既以教材内容为基础的，又不同于教材编排顺序的教学过程，使之成为非线性的、开放的教学.

（3）优化学生的CPFS结构，促进知识的深入理解.

对于上文（1）中提及的知识网络，我们还可以进一步从CPFS结构理论进行分析.

喻平教授将概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构称作CPFS结构.CPFS是一种优良的数学认知结构，有助于学生数学理解水平的提升和远迁移的产生[7].吴庆麟认为数学理解的本质是学习者在头脑中建立了关于这个知识的图式，即形成了该知识的内部网络[8].学生理解水平的高低是由该内部网络中知识点之间联系的数目和强度来确定的.优良的CPFS结构可以促进学生对数学的理解，事实上，学生头脑中的CPFS结构不断优化、完善的过程就是学生的数学理解水平层次不断提升的过程.因而，在数学教学时，教师可通过优化学生的CPFS结构来促进学生对数学知识的深入理解.

学生所学习的数学知识与经验在头脑中的稳固程度直接影响到迁移的发生.学生必须对所学知识做到深入的理解与内化，才有可能在遇到新的问题情境时快速准确地辨认出“相同要素”和“共同原理”.换言之，学生若拥有完善的CPFS结构，更容易实现应用过去的知识经验来解决当前问题的迁移[9].因此，教师在教学实践中应有意识地去完善学生的CPFS结构：一方面需要丰富学生头脑中储存的陈述性知识与程序性知识，另一方面需要明晰这些知识点之间的联系以及在长时记忆中的定位，完善知识网络.

本文中的五个公式，通过相互之间的关系推导出来，明晰了各个公式之间的联系，这些公式构成了如图1的命题网络，该命题网络均与对数的运算有关，学生如果能对该命题网络进行内化，完善关于对数运算的命题系，那么以后在解决与对数运算有关的命题时就能迅速激活长时记忆中的相关知识点，有效调用适当的模式来解决问题.

参考文献

[1] 朱哲.数学公式的教学应关注公式的来龙去脉[J].中学数学杂志，2011，（6）：35-37.

[2] 朱哲.数学公式的教学应关注公式的来龙去脉（二）[J].中学数学杂志，2012，（3）：12-14.

[3] 郑毓信.数学哲学与数学教育哲学[M].南京：江苏教育出版社，2007：280.

[4] 郑毓信，谢明初.“双基”与“双基教学”：认知的观点[J].中学数学教学参考，2004，（6）：1-5.

[5] 刘智强，朱哲.圆锥曲线概念教学重新设计[J].数学教学，2003，（10）：5-7.

[6] 朱哲.教师成长：以教学案例为载体的行动研究[J].数学教学，2005，（4）：5-8.

[7] 喻平.数学学习心理的GPFS结构理论[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[8] 吴庆麟.认知教学心理学[M].上海：上海科学技术出版社，2000.

数学公式在生活中的应用篇2

数学中的判断，通常称为命题，数学命题的学习，主要是公式、定理、法则、性质的学习，也可以说是数学规律的学习，如果说概念的学习是基础知识学习的基础，那么数学命题的学习可以说是基础知识学习的核心，为了便于叙述，下面我们以公式学习为例，谈谈学习中应注意的一点问题，至于定理、法则、性质的学习与此类似。

(1)注意公式的引入

公式的引入，学生往往不够重视，其实，重视公式的引入，就是重视知识发生过程，是一种发现、探索问题的过程，是培养分析问题解决问题能力的极好机会。

数学公式是从现实世界的空间形式或数量关系中抽象出来的，一般说来，中学数学中的公式在现实世界中能找到它的原型。

注意公式的引入，还能引发我们的学习兴趣，帮助理解和记忆公式。

(2)注意公式的推导

引入公式后，就要对公式进行证明，公式的证明过程，往往蕴含着重要的数学思想和方法，掌握公式的推导，有助于我们形成技能技巧并对公式有更深刻的认识，那种只记公式的形式，不重视公式的推导，是十分有害的，不少公式有多种推导方法，学习时要抓住一些常见的思路、方法以及针对该公式证明的特殊的方法。

(3)注意公式的串联

许多公式之间是有联系的，重视公式的串联，能使我们对公式有系统的认识，了解所学公式在教材中的地位，加深对公式的理解和记忆。

(4)注意公式的变式

任何一个公式都蕴含着一定的数学对象问的关系，深刻认识公式所反映的这种关系，对公式进行适当变式，可以帮助我们提高运用(活用、巧用)公式的能力。

(5)注意公式的演变

这与公式的一般变式不同，普通变式仍只限于解决同类问题，而经过演变的公式却在应用上发生根本嬗变。

(6)注意公式的特例

一般说来，公式中的数学对象是具有普遍意义的，在公式学习中，应注意对公式中的数学对象的特殊情况进行分析，从而可得出一些更简单的公式或导出一些新的公式。

(7)注意公式的几何解释

数学公式是由代数式及一些数学符号组成的，在公式学习中，若能结合公式的特点，进行一些几何解释，常常能收到较好的学习效果。

(8)注意公式的记忆

毋需置疑，公式的记忆是十分重要的，忘记了公式，就会影响解题速度或对问题感到束手无策；错用了公式，就会解错题，只有牢牢记住数学公式，应用时才能左右逢源，得心应手，因此，当我们导出一个公式时，就必须根据这个公式的特点，设法把它记住。

(9)注意公式成立的条件

任何一个数学公式总是在一定的范围内才能使用，公式和它的成立条件是不可分割的，学生学习公式的最大弱点是把公式作为“万能公式”机械地套用，产生错误。

(10)注意公式的应用

学习公式的目的在于应用，应用公式也是培养能力的重要环节，在应用公式时，要学会纵向应用和横向应用公式，还要学会套用公式、凑用公式、逆用公式、活用公式、巧用公式。

(11)注意公式的推广

中学数学中的许多公式是可以推广的，主动地推广一些公式是一种值得提倡的学习方法，注意公式的推广，就能加深对公式的认识，开阔视野，触类旁通，培养探索能力，提高数学水平。

(12)注意公式推论中所揭示的思想方法

公式的推导包含一定的思想方法，往往能更广泛地应用于解决其他问题，在公式的学习中不能只满足于公式的推导、记忆和应用，还应注意思想方法，并注意这种思想方法的应用，以便收到一举多得的效果。

回顾

公式是中学数学贯穿始末的重要内容，在教育本质被严重异化了的今天，一些数学教师在公式教学时“烧中段”，“掐头去尾”直取公式，接着让学生围绕公式进行大题量的公式运用的训练。

我觉得，公式教学不能太功利，公式教学应该“烧全鱼”，应该多方面研究公式教学问题，我结合数学教学实践，以《公式教学教什么》成文，投给《福建中学数学》杂志，这篇文章很快就发表了。

凝思

说到“烧中段”和“烧全鱼”，我想起了北大附级教师张思明的一段精彩讲话。

仔细回想起来，我们的工作就像在烧一条鱼，我们只关注鱼的中段，而不管鱼头、鱼尾是什么样子的，我们教给学生数学知识时，什么地方是它的来源、有什么应用等问题都不告诉学生，而是非常努力地只去做中段的训练，不停地让学生接触题型，做各种各样的难题，以为这样就能掌握数学了，没有了源和流的数学，还是本来意义上的数学吗?鱼的中段可能肉最多，但没有看到“全鱼”，学生连“吃的兴趣”都没有，还怎么可能享受“鱼的美味”呢?

为让我们的学生享受“鱼的美味”，我们能不“烧中段”吗?

展望

数学中的判断，通常称为命题，数学命题的学习，主要是公式、定理、法则、性质的学习，也可以说是数学规律的学习。

如果说数学概念的学习是基础知识学习的基础，那么数学命题的学习可以说是基础知识学习的核心。

对公式的结构应进行全方位审视，达到“横看成岭侧成峰”之境界。

数学公式在生活中的应用篇3

一、巧设情境，掌握构成特征

从生活中的实例引入，一是想激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意义做好铺垫。采用如下引例：

（a+ b ） （a一 b ） =a2-b2用语言叙述为：“两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差.”这就是平方差公式的构成特征.判断两式的积能否应用平方差公式而直接写出结果，就是看这 两个式子能否表示为“两数的和与这两数的差的积”的形式.为方便起见 ，不妨把这两个数分别称为第一个数与第二个数.其中第一个数在两因式中应是完全相同的项 ，而第二二个数在两因式中应是互为相反数的项.满足这样条件的两个因式的积便可直接写成第一个数的平方减去第二个数的平方的差.

二、自主探索，获取新知

在教学中以一组相关联但又有区别的题目为载体，让学生通过计算，观察每个算式、结果的特点，挖掘题目间的共性，发现规律，这样既复习了旧知，又为下面学习平方差公式作了铺垫。让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式――平方差公式，体会归纳这一数学思想方法。为此设计了下列问题：

问题1：利用多项式的乘法法则，计算下面各题。再观察、分析这组题目左边的算式和右边的结果，你能从中发现什么规律？

（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；

（3）（a+12 b）（a-12 b）= ；（4）（2x+1）（2x-1）= ；

问题2：通过这些题目的计算，你发现了什么？

发现：【左边】两个数的和与这两个数的差的积【右边】这两个数的平方差猜想：（a+b）（a-b）=？ 该“探究”题组的问题指向是“你能发现什么规律”，这就将学生的思维自然地导向了“结构特征”，与接下来的“再来计算（a+b）（a-b）”上下呼应，在突出结构特征的同时，揭示了“平方差公式”与“一般多项式乘法”之间的内在联系。

归纳平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

通过多项式的乘法法则践行猜想，让“感知”得到到“理性的检验”，体现数学学科思维的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进，进而准确的用数学语言表述公式。

三、理解公式中字母的广泛含义.

判断两个因式相乘时能否用平方差公式的关键 ，是看这两个因式中是否存在完全相同的项及互为相反数的项.

例如：计算（一 5a一 1 ） （ 5a一 1 ）

分析两因式中的“-1 ”为完全相同的项 ，“-5a ”与“5a”是互为相反数的项，故原式可化为：（-1-5a） （-1+ 5 a） = （一1 ）2一 （ 5 a） 2= 1一25a2

例：计算 （ a-b + c） （a+ b -c）

分析：两因式中的“a”完全相同的项，“-b+c”与“+b-c”是互为相反数的项故原式可化外

[a+（-b+c）][a-（-b+c）]=a2-（-b+c）2=a2-b2+2bc-c2

四、剖析公式，发现本质

通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式。在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。

在平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2中，其结构特征为：

①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即a2-b2；

②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的 a 和 b，明确公式中a和b 的广泛含义，归纳得出：a 和b可能代表数或式。

五、数形结合，几何说理

例如让学生计算图形中阴影部分面积，只有让学生通过观察、计算发现面积的求法与乘法公式之间的吻合，激发了学生学习兴趣的同时也激活了学生的思维，加深学生对平方差公式的理解。对“用面积说明平方差公式”，用意在于说明“平方差公式”具有直观的几何意义，没有做过多文章”，更不能将其作为推导“平方差公式”的依据，以免造成学生对“平方差公式”的误解。

数学公式在生活中的应用篇4

[关键词]主题式教学；职业高中；数学

进入职业高中的学生在学习过程中与未来的职业前景联系紧密，学生对于专业的选择受到兴趣爱好、自身能力、就业等多方面的影响，所以实用性技能的培养成为职业高中的亮点，主题式教学正是顺应这一需求的改革举措。

一、职业高中数学主题式教学的内涵

数学是职业高中的基础课程，职业高中数学课程的内容方面与普通高中区别不大，主题式教学是针对这一现状提出的，它在尊重教材内容的同时，为各个模块的理论知识建立应用载体，即主题，使静态知识转为动态，师生在动态应用的过程中感受理论知识的真谛，职业高中数学主题式教学涉及多媒体软件的应用、动态环境的熏陶，以及师生的互动，最终的目标是培养高素质的实用人才。

二、主题式教学在职业高中数学教学中应用的必要性

主题式教学的应用不仅是必要的，而且是迫切的，一方面，主题式教学是激发学生数学学习兴趣的关键，兴趣是最好的老师，在环环紧扣的职业高中数学教学中，学生没有足够的兴趣支撑，根本无法实现对理论知识的驾驭，实践应用也就无从谈起，主题式教学是以学生感兴趣的主题为出发点。使学生在兴趣的引导下产生主动探究意识，研究理论知识的应用方法，主题式教学要求数学教师具备创造性的课程设计能力，从主题的构建到动态环境的营造，以及互动交流的方式，都将带来职业高中数学教学面貌的重大改观。

三、主题式教学在职业高中数学教学中应用的方法

主题式教学在职业高中数学教学中的应用需要从主题环境的构建开始，运用逐步深入的主题探讨，营造师生互动交流的良好氛围，本文将以数列的内容为例，分析主题式教学的应用方法。

第一，主题环境的构建，数学主题式教学的起点在于主题的开发，教师应当选取学生普遍感兴趣的热门话题，发挥他们有独到见解、自信心强的优势，进而投入到主题研究的活动中来，在主题明确后，主题环境的构建可以分为模拟和现实两种情况，模拟环境需要借助多媒体软件的视觉听觉演示；现实环境则是教师带领学生进入真实的主题场景，以北京地区城市卫生建设的主题为例，学生对环保活动非常关心，教师可以公交车的更新换代作为教学主题――为在2008年奥运会前有效改善北京的城市大气环境，北京市公交总公司在2005年12月开始对公交车进行历史上最大规模的更新换代，运用数列知识解决更新的速度问题。

第二，循序渐进主题研究的设计，主题式教学应本着由浅入深，逐步发挥学生主观能动性的原理，由教师对所确定的主题设计递进的学习阶段，将集体活动与分组活动相融合。激发各组学生的竞争意识，提高教学效率，针对上述主题，集体活动设计如下：

集体活动

此次换代活动历时32个月共淘汰12000辆老旧公交车，公司在2005年12月(第一个月)更换了30辆公交车，以后每个月更换的数量比上个月多增加一个定值，请问：在2008年6月(最后一个月)，公司更换了多少辆车?

集体活动用于引领全体学生进入主题教学的氛围，接下来的分组活动则是推动学生主题研究的必要举措：

分组活动1―1如果你是753售票员，请回答：

北京市753路公交车实行票价：1.00元起价，12－5－5－进制(每站地平均1公里)，从郎辛庄(首站)上车六人，分别在百子湾桥(11站地)、四惠(13站地)、大山庄(19站地)、望和桥(24站地)、亚运村(28站地)、学员路东(33站地)下车，他们共需付多少票款?

分组活动1－2　如果你是753司机，请回答：

753路公交车全程57站地，正常运行需1小时54分钟，平均每站地需行驶2分钟，上下班高峰时，清河至龙华园段(共8站地)道路拥堵行驶缓慢，从清河站起至龙华园站每站地比上一站地多用时1分钟，请问：上下班高峰时。753走完全程需用多长时间?(提示：S=S堵+S正)

经过集体活动到分组活动的主题研究锻炼，学生已经将数列知识消化吸收，此时适时推出再提高活动，能起到画龙点睛的作用。

再提高某公交车受命运送400名志愿者到指定地点执勤，从公交总站出发，向西行1000米的地方开始下人，1000米处下10人，以后每隔100米下10人，公交车一次只能运送40人，试计算完成任务该公交车共行驶了多少米?

一堂完整的主题教学课程需要有始有终的主题贯穿，教师既要从全局出发，以简单的主题活动为开端，又要通过不同主题活动的分组开展拓展学生的视野，创建互动交流的机会，最后，教师还应以再提高的训练帮助学生取得跨越式进步。

第三，持续不断的互动交流，仅仅依靠课堂时间开展主题式教学毕竟是有限的，师生不妨充分运用现代信息技术的支持，将网络博客作为主题式教学课堂的延伸，各自设计创新的主题素材，共同参与讨论，学生借此机会发表学习见解，教师协助解决疑难问题，主动学习的状态得以形成。

四、总结

数学公式在生活中的应用篇5

关键词：公式；定理；知识的发生；知识的发展

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）36-0157-03

公式和定理揭示了数学知识的基本规律，具有一定的形式符号化的抽象性和概括性的特征，是学生数学认知发展水平发展的重要学习载体，是中学数学知识体系的重要组成部分，是数学推理论证的重要依据。因此，公式和定理的教学是基础知识教学的重要组成部分。按照课程标准的定位，高中数学公式和定理大部分是需要达到掌握的层次，即必须明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能从本质上把握内容、形式的变化，对其中蕴含的数学思想方法也要加以掌握。

长期以来，由于中学数学教学的基础知识源远流长，不可能再有什么创新，更不太可能要求学生发明创造新的初等数学的结论。同时，基于高考升学的压力，数学教师普遍对定理、公式课的教学重视不够，数学公式和定理教学容易产生“一背二套、公式加例题”的形式，在数学课堂中更多地重视“解题训练”，习惯了“满堂灌”的模式，这种形式的教学往往使学生的头脑里只留下公式、定理的外壳，而忽视他们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围，代之以更多地靠背诵数学的结论和公式，盲目、机械地去进行模仿，在茫茫的题海中漫游，学生不知不觉地成了知识的容器。在这样的课堂上，学生思维的时间和空间无情地失去了，长此下去，学生很用功，书本知识很纯熟，但动手能力差，学生对数学问题根本不可能进行深入的思考和探究，更不可能有创新思维和创新精神。

如何在新课改下的数学公式和定理的教学中，充分发挥学生在学习中的主体地位，提高教学效率，并大面积提高教学质量呢？通过教学实践，笔者认为，在教学过程中，教师应做好以下几方面的工作，从而提高定理教学的质量。

一、知识的发生阶段

在公式定理的教学中，如何一开始就把学生的兴趣调动起来，把学生吸引住，激发他们的求知欲，是发展学生思维、培养学生探索能力的关键。在教学实践中，笔者主要采取了如下几种比较有效的引入方式：

1.注重与生活实际相结合。建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠自身的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。因此，在教学中，教师不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导他们从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。

例如，在等差数列通项公式的教学中，通过如下问题引入：1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星描绘的曲线和1531年、1607年的彗星惊人的相似，便大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归。这就是著名的哈雷彗星。它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的时间。学生通过审题分析可以很快得出结论，这个时候再提出等差数列的通项公式就水到渠成，相当自然。

2.学会从实验去归纳猜想。著名数学教育家G・波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨的科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学，在定理教学时，教师也可以设置实验引入，引导学生通过实验结果发现定理。

以二项式定理的教学为例，二项式定理是两个计数原理的典型应用，为了引导学生追本溯源，把二项式定理的研究还原到应用计数原理的思考上来，在本节课教学时，笔者进行了精心设计，下面是其中的部分教学设计：

问题1：两个粉笔盒，每个盒里各有一红一白两支粉笔，现连续抽取两次，每个粉笔盒各抽一支粉笔，问：有多少种不同的抽取结果？

（学生小组合作讨论，得出可能结果。教师板书学生陈述的结果于黑板右侧，并引导学生分别用分步和分类两个原理加以说明。）

（1）分步乘法计数原理：2×2=4。

（2）分类加法计数原理：抽取结果分为三大类。

①两白？邛白1白2？邛1？邛C

②一白一红？邛白1红2？邛1

白2红1？邛12？邛C

③两红？邛红1红2？邛1？邛C

问题1设计意图：从粉笔盒取粉笔生动形象，学生比较熟悉，解决起来得心应手。

问题2：你能够得出（a+b）2的展开式吗？（教师板书于黑板中间）

问题3：对比取粉笔的过程，思考（a+b）2与它有什么共同之处？描述这些共同之处。（教师引导学生从项数、项的次数、各项的项数对（a+b）2进行分析。）

学生小组合作，得出如下结论：

项数：2+1

项次数： 展开项的各项均为二次，a降幂b升幂，每一项可记为a2-kbk，k∈{0，1，2}

各项的项数：a2？邛a2b0？邛C

ab？邛a1b1？邛C

b2？邛a0b2？邛C

问题2设计意图：把新问题回归到已掌握的知识上，体会知识之间的联系与问题的解决；体会展开式中系数的由来。

探究活动一：学生独立探究（a+b）3的展开式，并请学生展示探究过程：（学生依旧选择了取粉笔的过程，改为三个粉笔盒）

（a+b）3=C a3+C a2b+C ab2+C b3

=a3+3a2b+3ab2+b3

活动一设计意图：再次理解取粉笔问题和展开式的联系，特别是展开式各项的系数与取粉笔过程中分类计数原理的联系。

探究活动二：请大家思考（a+b）n=？

（a+b）n=C an+C an-1b+C an-2b2+……+C bn n∈N*

活动二设计意图：发现规律，猜想。

活动三：请哪位同学能对比刚刚的（a+b）2的分析过程，分析（a+b）n的展开式。

项数：n+1

项次数：展开项的各项均为二次，a降幂b升幂，每一项可记为an-kbk

活动三设计意图：由特殊到一般，再次用计数原理归纳并证明的过程。

在这一设计中，学生经过从粉笔盒抽粉笔的实践操作，发现了（a+b）2的各项展开式系数与计数原理应用下的抽粉笔的结果之间的联系，然后经过类似实验得到 （a+b）3中类似的结论，由此猜想（a+b）n的展开式，从而轻松得到二项展开式定理。

3.注重知识类比引入。数学知识不是孤立存在的，学生可以应用已经掌握的公式、定理推导新的公式定理，也可以通过对知识点的相同、相通之处分析，采取类似的方法。

例如，在正弦定理的教学中，部分引入的教学设计为：

问题1：初中时，在三角形中，边和角有什么样的关系？

学生答：大边对大角，小边对小角。

问题2：已知RtABC中，∠C是最大角，所对的斜边c是最大的边，边和角有什么关系？

学生思考后，作图分析，得出结论：根据正弦函数的定义，■=sinA，■=sinB，所以■=■=c，又sinC=1，所以■=■=■

问题2设计意图：直角三角形是学生已经掌握的三角形，学生入手比较快，解答比较容易。

问题3：已知ABC中，A角对a边，B角对b边，C角对c边，边和角有什么关系？

学生类比问题2的解答，作图，分类讨论得出结论：■=■=■

问题3设计意图：类比特殊三角形进行推广。

学生对直角三角形的边角关系很熟悉，当在直角三角形中得出结论后，再次提出新问题，即其他三角形中是否也有类似关系？学生就很容易类比直角三角形进行推导，得出结论。

二、知识发展阶段

1.重视推导和证明。掌握数学知识的过程是一个建构和再建构的过程，而理解把原有知识变成更容易记和提取的知识，提高新知识的记忆程度。在传统的定理教学中，学生因为不清楚定理的来龙去脉，对数学结论性的定理和公式只能生硬地记忆和套用，经常出现书本例题和练习都会做，但稍有变式便无从下手的情况，这是因为学生没有理解定理。没有理解，知识就是孤立存在，各种知识分别占用记忆单位，记忆量大，学生在学习的过程中苦不堪言。因此，在定理教学中，恰当地引入，发现定理后，学生的兴趣被激发，对证明、推导有迫切感，此时，教师要紧紧抓住这一理想状态，充分调动学生的积极性，发挥学生的主导作用，能由学生自己解决的推导过程坚决不插手。同时，还要注意引导对学生推导进行完善处理，注重分析推导方式的原因，思考有没有别的方法，以扩充学生的思维。学生经过自己动手推导的思考和理解，渐渐地体会到数学是一个紧密的内部联系的整体，知识网络之间非常有条理地联系在一起，这些联系是学习者通过努力去探索和尝试而建立起来的，同时就建立了比较正确的数学观、数学学习观和数学信念等。就在学生对数学概念的本质及关联有了理解，对数学方法的运用有体会时，学生对数学及其应用就会产生兴趣，并产生学习更新、更深知识的欲望。

2.注重灵活应用，提高学生的学习能力。知识的学习是为了能运用定理公式进行思维解决问题，在应用训练中关注两点：

（1）强调特例和成立条件。公式定理的成立是有一定条件的，学生学习公式定理的最大弱点是把公式作为万能公式乱用乱套。因此，在教学中要强调公式成立的条件。例如，在a+■≥2应用中，a是有范围限定的，如果a的取值改变，会导致结果改变。

（2）注重练习。依据认识论的观点，一个完整的教学过程必须经过“由感性的具体上升到抽象的规定”和“再由抽象的规定发展到思维中的具体”这样两个科学、抽象的阶段，因此，定理公式的应用训练不可或缺。但练习的目的在于巩固、深化概念，形成技能，培养分析问题、解决问题的能力。因此，选题要典型、灵活多样，对题目的探讨、挖掘要深入，切忌盲目的进行题海战术。

总而言之，在数学公式定理的教学中，教师必须使学生做到能用准确的数学语言表述公式和定理的内容；会分析其条件与结论间的内在关系。掌握公式定理的证明及推导方法，明确其使用的条件和适用的范围及应用的规律。

数学公式在生活中的应用篇6

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“要有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力”.与此相适应地，高中数学课标教材明显加重了数学应用份量，数学应用越来越广泛，应用题考查的重要性愈显突出.但现状表明，“数学应用题问题”仍是长期困扰学生和教师的难题.基于此，笔者认为，为加强学生的数学应用意识，为培养学生对数学的兴趣，对高考数学应用题难度要素的研究尤为重要.

1 影响数学应用题难度的因素

应用题的命制是高考命题的一大难点，若命制成功，则极易成为整卷的亮点；毋庸置疑，若命制的质量较为一般，则起不到应有的考查功能.试题难度是试卷参数中的一个重要指标，代表了试题对学生知识和能力水平的适合程度.对难度的调控就是正确实现考核要求的有效手段.在高考数学应用题中，对难度的影响主要体现在以下几个方面：

1.1 应用题的背景

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》中提出了“优先发展、育人为本、改革创新、促进公平、提高质量”.把促进公平作为国家基本教育政策.教育公平是社会公平的重要基础，教育公平的关键是机会公平.高考承担着教育筛选和社会筛选的双重功能，所以高考数学应用题的背景的公平性至关重要.挑选的情景材料对于所有学生来说均熟悉，方能保障考试的公平性.要考虑试题中情景材料对学生的影响，消除城乡差别、地区差别、性别差别、贫富差别等对答题的影响.

例1 （1999年高考全国大纲卷·理22）下图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对冷轧棍组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.

本题在生活中有较多的实例题目，涉及到球和圆柱构成的组合体的表面积和体积，贴近学生的学习实际，背景公平，难度适中，无任何牵强附会之嫌.由于教材中也出现了多个以体积为平台，考查导数应用的实际问题，因此该问题的设计充分体现了“源于教材而高于教材”的理念，对中学教学将起到积极的引导作用.该题的设计，符合实际情景，考查了导数的应用与分类整合的思想，以及建模能力和应用意识.该题背景和数学知识相得益彰，体现了命题者对中学数学教学实际的充分把握和自身的较高的数学素养，也是于平淡处挖掘新意的典范.

1.2 应用题的阅读量

数学应用题的文字量对试题难度的影响较大，很多学生遇到文字比较长的应用题不知道怎样去分析和寻找题中的数量关系，不知道怎样把实际问题化成一个数学问题，建立数学模型.所以，应适当控制数学应用题的文字量.

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

（2）问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？

本题背景公平、新颖，时代性强，与国家的政策相吻合，数学应用味道浓，但题干文字稍多，考生理解较费时；同时数量关系较复杂，建模难度大，得分情况自然就不理想.

例4 （2009年高考宁夏海南卷·理17）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.

本题言简意赅，是课本习题的改编题，重视建模，淡化计算，不失为一道好题.考生对该题背景熟悉，对题干的理解较容易，便于建模，较好地考查了学生的应用意识，得到了一致好评.

1.3 应用题的设问方式

应用题设问是问题的呈现方式，也是常常影响到试题难度的一个因素，在对应用题进行考查时，对于问题的不同设问方式也常常对试题难度有着影响.在考查相同的内容知识时，试题不同的设问方式、编排对试题难度的控制也起着非常重要的作用.

例5 （2010年高考重庆卷·文17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……，6），

（Ⅰ）求甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；

（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

例6 （2010年高考重庆卷·理17）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……6），求：

（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.

从上面的例子可以看出，两个题目的题干皆相同，但可根据文理科的差异等，采取不同的设问方式，试题的难度就截然不同.

2 数学应用题难度调控方法

试题的难度是根据不同层次的数学考试要求而确定的.试题太难，则好生与差生都做不出，试题过于简单，则好生与差生都能做，这样就降低了信度，不利于选拔人才.数学命题必须有适当的难度，当然，对于不同程度、不同层次的数学考试，其命题的难度也是不同的，命题者需根据参加考试的考生水平来确定试题的难度.

调控数学应用题难度的主要方法有以下几种：

2.1精选应用题的背景

传统应用题是为了巩固数学知识，拉大了与现实生活之间的距离，造成这些问题离学生太远，学生欠缺这方面的生活经验，甚至有些应用题的情境是人为编造，学生面对这些问题时就会感到枯燥乏味.因此设计应用题时，不妨选用学生喜欢的充满乐趣的生活中的数学问题，必要时可对教材中应用题的选材做适当的改编.在教学中，不妨以例题为基本内容，做些生活化的加工，拉近数学与生活的距离.数学应用题应源于生活，背景可取自于生活实际或教材.

2.2调控应用题的阅读量

有一种美叫做简洁.数学应用题不应有太多的文字语言，才能体现自身的美.过多的文字叙述只能增加应用题的难度，让考生过多的时间花在对题目的阅读上，使考生反感；反之，则更能激发他们的潜能，增加他们解题的信心，从而真正达到考查学生应用能力的目的.

2.3 合理设计应用题的设问

可以通过试题的设问方式来控制试题的难度.根据应用题在试卷中的不同位置、考生的实际情况等，设计不同的设问方式.若题目靠前或考生水平较低，则可通过建立简单的数学模型即可解决为宜；若题目靠后或考生的水平较高，则可增加适当的分类讨论、开放性、探索性的设问，试题的难度也就加大了.

当然影响高考数学应用题的难度的因素还有许多，以上只是笔者从多年的数学应用题的命制中得到的一些肤浅的体会.应用题设计时，问题情境应贴近生活，扩大开放性，可以给学生提供既能激发兴趣，又能创造广阔的思维空间的学习材料.这有利于培养学生的创新思维能力，提高数学应用意识和能力，培养良好的数学情感，从而强化学生对数学学习的兴趣.

参考文献

数学公式在生活中的应用篇7

关键词：高中数学教学；数列教学；教学内容

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）12-0159-01

在高中数学教学中，数列教学是其中较为典型的离散函数代表知识之一，并且在高中数学中占有相当重要的地位，同时数列在现实生活当中也具有较大的应用价值.高中数学教学当中的数列教学是有效培养学生的思维能力、分析能力以及归纳能力的一种重要的途径之一，同时也是培养学生在高中数学学习中对问题的分析能力与解决能力的重要知识.因此应对数列教学加以重视，结合新课改的教学理念，对数列教学进行深入研究.

1.1 新课改教学观念下的教学设计。按照传统的教学理念来说，教学设计主要是指有效地运用相应的教学系统，有效地将教学与学习理论逐渐转变为有效地对教学参考资料和教学活动具体规划实现系统化的整个过程，其中教学内容、教学方法和教学效果问题在教学设计当中得到有效的解决.也可以说，所谓的教学设计就是将教学具体活动步骤制定成合理的教学方案，同时在教学结束后对教学过程进行相应的评估与总结，从而使教学效果得到提升，并实现对教学环境的优化工作.

1.2 数列主要包括一般的数列、等差数列、等比数列以及数列的应用四部分。重点是等差数列以及等比数列这两部分。数列这一部分主要是数列的概念、特点、分类以及数列的通项公式；等差数列和等比数列这两部分内容主要介绍了两类特殊数列的概念、性质、通项公式以及数列的前 n 项和公式；数列的应用除了渗透在等差与等比数列内宾的堆放物品总数的计算以及产品规格设计的某些问题外，重点是新理念下研究性学习专题，即数列在分期付款中的应用以及储蓄问题。

数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身中也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法：

①不完全归纳法不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观，而且可以帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公式推导的过程就用到了不完全归纳法。

②倒叙相加法等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据等差数列的特点，很好的应用了倒叙相加法，而且在这一章的很多问题都直接或间接地用到了这种方法。

③错位相减法错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求和的问题。等比数列的前 n 项和公式的推导就用到了这种思想方法。

④函数的思想方法数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。

⑤方程的思想方法数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第 n 项和前 n 项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程。

3.精心探究教学策略

在课堂教学中，教师若想提高教学效率，则需了解学生学情，然后在此基础上，紧扣教学内容，采用多种教学方法，以调动学生参与性，使其积极思考，把握科学学习方法，从而提高学习效率。

3.1 分析学生学习情况。进入高中后，多数同学有了较为丰富的经验与知识，也具有了一定的抽象思维、分析概括、演绎推理能力，可通过观察而抽象出一定的数学知识。同时，学生思维也由逻辑思维发展为抽象思维，但需依靠一些感知材料。当然，也有部分同学的数学基础知识不牢固，对数学缺少学习兴趣。因此，在高中数列教学中，教师需要根据学生认知结构，考虑学生学习特点，以贴近学生生活实际的实例为出发点，注意适时引导与启发，加强学生思维能力训练，以适应学生学习心理发展特征。如教师可创设生活化的教学情境，引导学生由生活实际问题来学习数列知识，构建数学模型。

3.2 分析教法与学法。当了解学生学习特点后，教师则需要灵活运用不同教学方法，以诱导学生主动参与课堂活动，展开积极思索。在课堂教学中，问题教学法是较为常用的，其主导思想为探究式教学。即教师精设系列问题，让学生在老师指导与启发下，自主分析与探究，从中获得结论，增强体验，得到知识，提高能力。如学习《等比数列前项和》时，教师可提出问题：某厂去年产值记作1，该厂计划于今后五年内每年产值比上一年增加10%，那么自今年起至第5年，该厂总产值是多少？该厂五年内的逐年产值有何特点？通过什么公式可求出总产值？这样，通过问题将学生带入等比数列前项和的探究学习中。其次，诱导思维法。通过这一方法，可凸显重点，帮助学生突破难点。同时，可发挥学生主观能动性，使其主动构建知识，培养创造精神。再次，分组讨论法。利用这一方法，可加强了师生、生生间的交流互动，碰撞思维，启迪智慧，使学生自主发现与解决问题。另外，还有讲练结合法。对于一些重难点知识，还需要教师详细见解，并借助典型例题，让学生巩固知识，掌握解题方法。此外，教师还需要对学生进行学法指导。如引导学生由实际问题对数组特征加以抽象，从而得到数列、等比与等差数列概念；如根据等比数列概念特征对等比数列通项公式加以推导等。在教学过程中，教师还可让能力较强的学生拓展思维方法，运用不同方法来推导等差或等比数列通项公式。同时，教师还需为学生留出充足的思考空间与时间，让学生大胆质疑、自主联想与探究。

数学公式在生活中的应用篇8

关键词：学术形态；教育形态；转化

数学的学术形态是指那些形式化地、冰冷地摆放在教科书里的数学知识，如：准确的定义，逻辑地演绎、严密的推理等。学术形态的数学知识学起来比较枯燥乏味，脱离学生生活背景，导致学生理解困难。教育形态是指数学知识在教育条件下的表现形式，从学生的角度看，是建立在已有认知结构基础的学习过程；从教师的角度看，是根据教师的教育学理论知识、数学教学经验、数学专业知识和一般文化知识，充分利用教学设备，将数学知识进行再创造而形成的便于学生理解的数学知识形式。

著名数学教育家，华东师范大学张奠宙教授认为：教师的任务是将教科书上冰冷的数学知识在学生已有的认知结构上，经过对知识的再创造传授给学生，并让其理解及应用。个人通过参考大量文献，并结合三年的教学经验，归纳出初中教学中，将数学的学术形态转化为教育形态的几种常用方法：

1、联系学生生活背景，实现转化

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。《义务教育・课程标准（2011年版）》明确指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考和探索。”在数学课堂教学中，教师应将数学教学的“触角”科学合理地延伸到学生的生活中去，使学生认识到数学知识来源于实践，来源于我们生活的实际背景，数学知识只不过是世界和生活中问题的模型化和抽象化。

【案例1】“有理数的加法”的教学。

“有理数的加法”是初一学生学习的一个重点、难点，教材由足球循环赛中净胜球数的计算引入新课，借助数轴通过对物体运动结果的探究归纳出有理数加法的运算法则，最后辅予一定例题加以强化。根据个人教学经验，若照本宣科，则很难真正掌握法则。在教学中，若能多举一些生活中用到正负数加减的简单例子，学生通过对生活实例的计算，则能更好地理解法则，而不是照搬法则进行计算，即便在记不住法则的情况下，也能根据生活经验进行计算。

研究表明：当学生的学习内容和他们熟悉的生活实际越贴近，学生自觉接纳知识的程度越高。所以，教学中，教师若能联系学生生活背景，必然让学生兴趣盎然，这样不仅有利于学生理解数学知识的内在本质，而且能较好的培养和提高数学的应用意识。

2、应用类比的思想，实现转化

何为“类比”，美籍匈牙利数学家波利亚认为：“类比是一个伟大的引路人。”类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似之处，从而推测出它们在其他方面也可能存在相同或相似之处。数学学习以其说是学习数学知识，倒不如说是学习数学的思维活动。而类比是一种特殊的数学思维方法，是学习数学的一种常用方法。在数学教学中，教师应该启发学生领悟知识间的关联性。学生的学习不能只停留在简单的机械记忆、按部就班的解题，而是通过类比推理、类比猜想的方法去理解数学问题的产生背景以及数学问题间的相关性，去领悟数学知识的发生和发展过程，积极主动地搭建新旧知识之间的联系，最终完成对新知识的意义建构。类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视的运用。

【案例2】“开平方运算”的教学。

“开平方运算”是学生在学习了“加、减、乘、除、乘方运算”及“算术平方根的概念”后，学习的另一种新运算。新符号“±”比较抽象，若教师在教学过程中，不考虑学生的已有知识经验和认知规律，不对教材实施二次开发，而是照本宣科，那么学生就无法真正达到对新知识的理解和把握。因此，在教学中，可以类比学生熟悉的“加、减、乘、除、乘方运算”进行教学。加法与减法互为逆运算，如：2+3=5，那2=5-3，即2用5和3表示出来，加法变成了减法；同样乘法和除法互为逆运算，如：2×3=6，那么2=？，2=6÷3，同样结果也可由6和3表示出来，此时乘法变成了除法；学生已经知道±32=9，可以询问学生：±3=？，学生很容易类比猜想：±3也应该可以用2和9来表示，由此创造了一个新概念和新运算――平方根与开平方运算：±3=±29（2通常省略），即±3=±9。再利用对逆运算关系的研究，自然过渡到开平方与平方互为逆运算。

用类比的方法引入新知识，不仅能使学生更好地掌握知识，而且可以启发学生的思维，养成善于思考、乐于思考、勇于思考的好习惯，以及客观地感知世界是相互联系、密不可分的。类比在获取解题思路，新概念的引入，公式、定理的记忆和证明，新知识的探索研究等方面都有着重要作用。如：一元一次不等式的学习可类比一元一次方程，分式的学习可类比分数等等。

3、应用化归的思想，实现转化

随着新课程改革的开展和不断深入，人们越来越重视数学思想方法的教学。除了类比思想以外，化归思想也是初中数学学习的一种重要的思想方法。数学学习中的化归思想就是把那些需要解决的或难解决的问题，通过某种转化，使它变成已经解决的或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答。即化未知为已知，化复杂为简单。

【案例3】“解分式方程”的教学。

教材中，通过轮船在顺水、逆水和静水中航行的速度关系，得出分式方程10020+v=6020-v，要求v的值，即解这个分式方程。根据学生已有经验，引导学生把分式方程转化为熟悉的整式方程，即化未知为已知，这种转化的思想就是化归。学生自然想到通过“去分母”实现这种转化。

“类比思维”方法是解决陌生问题的一种常用策略。它运用已有的知识经验将陌生的、不熟悉的问题与已经解决了的、熟悉的问题或其他相似事物进行类比，再通过某种转化，从而创造性地解决问题。

4、应用变式教学，实现转化

数学的变式教学已经是数学教学的一种常用手段，是指教师在引导学生解决数学问题时，改变概念、公式和定理的非本质特征，变换问题的条件或结论，转换问题的形式或内容，创设各种应用环境，使学生真正掌握数学对象的本质属性。在数学学习中，若只局限于狭窄的课本知识领域，对知识不举一反三，那么学生在做习题时往往停留于机械模仿，条件或形式稍加变化，可能就束手无策。因此，教师应合理地应用变式进行教学，帮助学生理解问题的结构特征和适用范围等。

【案例4】“利用完全平方公式进行因式分解”的教学。

完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2，它是一种形式化的材料，是根据等式的对称性，由乘法的完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2直接推导出来。公式a2±2ab+b2=a±b2和a±b2=a2±2ab+b2本质是一致的，公式中的“a”

与“b”可以是数字、字母和式子。由于初一学生的逆向思维能力比较弱，当新公式的形式稍加变化，学生就不知道能否应用该公式进行因式分解。为此，在教学中设计一组变式题，帮助学生理解公式的结构特征，并让学生通过练习归纳出哪些情况下可以利用该公式分解因式。

下列各式能否利用完全平方公式进行因式分解？若能，请因式分解？

公式学习是初中数学学习的重要内容，而数学公式具有抽象性，学生不易掌握，往往利用变式教学能提高学习效果，不仅如此，变式也应用于概念、定理等教学中，它能使抽象的、形式的、枯燥的知识变得生动活泼起来。

5、利用信息技术，实现转化

随着科学技术的迅猛发展，先进的信息技术为教师的教学增添了新的活力，为学生的数学学习提供了许多丰富且便捷的资源，为数学知识的学术形态向教育形态的转化提供了载体。特别是多媒体技术，教师通过演示幻灯片、播放视频等电教手段，向学生提供并展示多种类型的资料，包括文字、声音、图像等，并能灵活选择与呈现；可以创设、模拟多种与教学内容适应的情景；能为学生从事数学探究提供重要的工具；可以使得相距千里的个体展开面对面交流。通过信息技术手段，给学生提供了大量的、丰富多彩的感性材料，极大的激发了学生的学习兴趣。

【案例5】“圆与圆的位置关系”的教学。

圆与圆的位置变化规律是复杂的、抽象的。在教学中，利用flash演示地球绕太阳公转的过程，学生可以清楚直观的看出两圆的不同位置关系。利用flash充分让图形“说话”，它以生动、形象、逼真的方式呈现在学生面前，为学生的观察、想象、理解、归纳等创造了良好的平台。

在数学课堂教学中，因时间和空间的限制，许多教学内容涉及的问题没有直观形象的数学模型作为想象的支架，因而成为教学中的难点。“抽象性”是数学学科的一大特点。在数学课堂中，教师可以利用flash动态演示、投影仪操作等手段，将教学内容由静态变为动态，由抽象变形象，从而创设积极的学习环境，有效地吸引学生的注意力，使学生从感性认识上升到理性认识，提高学习效率。

数学的学术形态转化为教育形态的途径当然不止这些，而且在教学中，各种途径也是互相融合、交叉使用的。作为一线教师的一个重要职责就将数学知识的学术形态适当地转化为学生感兴趣、乐于探究、易于接受的数学知识的教育形态，其转化过程也是一门高超的艺术。

参考文献：

[1]林燕.浅谈初中数学知识由“学术形态”向“教育形态”的转化[J].新课程研究：2011.07（91-93）.

[2]刘香芹，郭玉峰.数学知识由“学术形态”向“教育形态”的转化――以“开平方”教学为例[J].中小学教材教学：2005（69-71）。

[3]王济贫，郭江荣.数学知识的学术形态转变为教育形态的常用策略[J].中学数学研究：2012，5（1-3）.

[4]郑晓珍.论数学三形态的把握及教学策略[J].襄樊职业技术学院学报：2007，7（97-98）.

[5]梁大贵.善把数学知识的“学术形态”转化为“教育形态”教学[J].广西教育学院学报：2001，6（144-147）.

[6]路秀兰.课堂文化构建的探索与实践[J].现代教育科学（普教研究）：2013.