探究抛物线关于任一点位似变换问题

经过任意不在一条直线上三点，可以确定一条抛物线，把三角形关于一点作位似变换（放大k倍，或者是缩小到原来的1k，其中k是任意正实数），可以得出变换后的三角形三个顶点的坐标，因此可以确定位似变换后经过三点的抛物线的解析式.

1 关于原点的位似变换

2 关于原点以外的任意一点的位似变换

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b2a，顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a）因此位似变换后对称轴是直线x=u+k（-b2a-u）或者是x=u-k（-b2a-u），即是x=u-k（b2a+u）或x=u+k（b2a+u），顶点纵坐标为v+k（4ac-b24a-v）或v-k（4ac-b24a-v），因此顶点坐标是u-k（b2a+u，v+k（4ac-b24a-v）或u+k（b2a+u），v-k（4ac-b24a-v），由于位似变换后抛物线的开口程度改变，二次项系数为ak或者是-ak，因此位似变换后抛物线的解析式为：

得出结论：把抛物线y=ax2+bx+c关于P（u，v）作位似变换，使得变换后的抛物线与原来抛物线的位似比是1∶k（k是任意非0正实数），因此得出的抛物线的解析式为：

3 问题的一般结论

把抛物线y=ax2+bx+c关于点P（u，v）（其中u≠0，v≠0）作位似变换，使变换后的抛物线与原来抛物线的位似比是k∶1（k是任意非0正实数），得出的抛物线的解析式：

当变换后的抛物线与原来抛物线的位似比是1∶k时（k是任意非0正实数），得出的抛物线的解析式：y=ak・x-u+1k（b2a+u）2+v+1k（4ac-b24a-v）或y=-ak・x-u-1k（b2a+u）2+v-1k（4ac-b24a-v）.

应用举例：

例1 把抛物线y=12x2+2x-6关于原点作位似变换，使得变换后的抛物线与原来抛物线的位似比是3∶2，确定变换后的抛物线的解析式.

解 由于3∶2=32∶1，所以k=32，因此变换后的抛物线解析式是y=akx2+bx+kc，即y=13x2+2x-9，或是y=-akx2+bx-kc即y=-13x2+2x+9.

也可以按照下面方法解答：

3∶2=1∶23，所以k=23，因此变换后的抛物线解析式是y=akx2+bx+ck，或是y=-akx2+bx-ck得出答案.

例2 把抛物线y=-5-14x2+2x+5+1关于原点作位似变换，使得变换后的抛物线与原来抛物线的位似比是5-12，确定变换后的抛物线的解析式.

解 5-12=5-12∶1，所以k=5-12，1k=5+12，变换后的抛物线解析式是y=akx2+bx+kc，即y=-5-14×5+12x2+2x+5-12×（5+1），化简即是y=-12x2+2x+2.或者是y=-akx2+bx-kc，即y=12x2+2x-2.

变换5-12=1∶5+12，令k=5+12的方法略.

例3 把抛物线y=12x2+4x+7关于点P（1，2）作位似变换，使得变换后的抛物线与原来抛物线的位似比是3∶1，确定变换后的抛物线的解析式.

解 由于k=3，a=12，u=1，v=2，b2a=4，4ac-b24a=-1，代入y=ak・x-u+k（b2a+u）2+v+k（4ac-b24a-v），即是y=16×[x-1+3×（4+1）]2+2+3×（-1-2），则y=16（x+14）2-7.

或者是代入y=-ak・x-u-k（b2a+u）2+v-k（4ac-b24a-v），即是y=-16×[x-1-3×（4+1）]2+2-3×（-1-2），则y=-16（x-16）2+11.