定点线与抛物线相交问题引发的探究与思考

【摘要】本文从浙江省学业水平考试中一道关于定点线与抛物线相交的题目出发，从不同视角、原因分析、引申拓展等几个方面对该题进行探究，得出了定点线与圆锥曲线相交时的定值结论.

【关键词】定点线;抛物线;相交;探究

【背景】2013年浙江省学业水平考试已结束，数学试卷第41题留给我们的思考却远未停止，研究该题可以指导我们今后的复习工作.考后本人对两个班级的学生成绩作了统计，该题得分率只有0.45，针对原题结论结合学生解题情况，本文从不同视角、原因分析、引申拓展等几个方面对该题进行探究，得出了定点线与圆锥曲线相交时的定值结论.

1.原题呈现

如图，过点P（0，2）的直线交抛物线y=x2于点A，B，

（1）求xAxB的值;

（2）动直线AB及抛物线上动点C（不同于点A，B），设直线AC与直线BC相交直线y=m分别于点M，N，问：是否存在常数m，使得xMxN为定值？若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

（1）分析 根据已知条件，设过点P（0，2）的直线的斜率为k（k的值存在），则直线AB方程为y=kx+2，联立方程组得：y=kx+2

y=x2，整理得：x2-kx-2=0，所以xAxB的值为-2，

视角1：设点的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则斜率kAC=y1-y0x1-x0=x12-x02x1-x0=x1+x0，kBC=x2+x0，直线AC的方程是y-y1=（x1+x0）（x-x1），与直线y=m联立方程组得到：y=m

y-y1=（x1+x0）（x-x1），

所以x=m-y1x1+x0+x1=m-y1+x02+x0x1x1+x0=m+x0x1x1+x0，

所以xM=m+x0x1x1+x0，xN=m+x0x2x2+x0，

所以xMxN=（m+x0x1）（m+x0x2）（x0+x1）（x0+x2）

=m2+mx0（x1+x2）+x02（x1x2）x02+（x1+x2）x0+x1x2

=m2+mkx0-2x02x02+kx0-2，

当m=-2

m2=4，得到m=-2时，使得xMxN=-2.

视角2：向量法

设点的坐标为M（xM，m），N（xN，m），OM・ON=（xM，m）・（xN，m）=xM・xN+m2，由方法1可知：xM=m+x0x1x1+x0，xN=m+x0x2x2+x0，

所以xMxN+m2=（m+x0x1）（m+x0x2）（x0+x1）（x0+x2）+m2

=m2+mx0（x1+x2）+x02（x1x2）x02+（x1+x2）x0+x1x2+m2=m2+mkx0-2x02x02+kx0-2+m2

=m2-2x20+（m2k+mk）x0-m2x20+kx0-2，

当m2-2=m2+m=m22时，解得m=-2，使得xMxN=-2.

思考：在不同视角下为何只存在一个值m=-2，使得xMxN=-2. m的取值是否与点P的坐标0，2有关系呢？

2.定值原因分析

如图，过点（0，a）的直线交抛物线x2=2py（p>0）于点A，B.

（1）求xAxB的值;

（2）动直线AB及抛物线上动点C（不同于点A，B），设直线AC与直线BC相交直线y=m分别于点M，N，问：是否存在常数m，使得xMxN为定值？若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

分析 设点A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线的顶点的坐标是O（0，0），连接直线OA，OB，

则斜率之积kOAkOB=y1x1y2x2=14p2x1x2，经过定点（0，a）的直线交抛物线x2=2py（p>0）于点A，B，点A，B在抛物线上任意移动及抛物线上任意动点C（不同于点A，B），斜率之积kOAkOB始终是一个定值.所以才有xAxB的值是一个定值.存在一个m=-a，存在直线y=-a（仅与定点有关），使得xMxN=-2pa.

3.原题引申

在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，点A，B是它的左右顶点，点C（不同于点A，B）是椭圆上的任意一点，连接直线CA，CB，不难发现斜率之积kCAkCB=-b2a2（定值），如果直线CA，CB与直线x=m分别相交于点M，N，是否存在常数m的值，使得yMyN为定值？若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

分析 设点A-a，0，Ba，0，C（x0，y0），（x0≠±a），所以kCA=y0x0+a，kCB=y0x0-a，直线AC的方程是y+a=y0x0+a（x+a），与直线x=m联立方程组得：x=m

y=y0x0+a（x+a），化简得：y1=y0（a+m）x0+a，同理y2=y0（m-a）x0-a，所以y1y2=y02（m2-a2）x02-a2，又点C在椭圆上，所以有x02a2+y02b2=1，x02-a2=-a2b2y02，所以y1y2=-b2（m2-a2）a2，显然有m=±a2c时，yMyN=-b2a2a4c2-a2=-b2a2c2-1=-b4c2（定值）.

4.结论拓展

在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，点A，B是它的左右顶点，点C（不同于点A，B）是双曲线上的任意一点，连接直线CA，CB，不难发现斜率之积kCAkCB=b2a2（定值），如果直线CA，CB.

与直线x=m分别相交于点M，N，显然有m=±a2c时，y1y2=-b2a2a4c2-a2=b4c2（定值）.

这里不再熬诉.

5.统一结论

结论1：过点（0，a）（a≠0）的直线交抛物线x2=2py（p>0）于点A，B，

动直线AB及抛物线上动点C（不同于点A，B），设直线AC与直线BC相交直线y=m分别于点M，N，存在一个m=-a，存在直线y=-a（仅与定点有关），使得xMxN=-2pa.

结论2：在圆锥曲线f（x，y）=0中，点A，B是它的左右顶点，点C（不同于点A，B）是圆锥曲线上的任意一点，连接直线CA，CB，不难发现斜率之积kCAkCB为定值，如果直线CA，CB与直线x=m分别相交于点M，N，存在m=±a2c时，使得y1y2=±b4c2（定值）.

6.思 考

1.在全国各高校放开自主招生和三位一体招生的背景下，数学学业水平考试越来越受重视，数学老师重视对学科水平考试的试题尤其是定点线与圆锥曲线相交的有关问题的研究具有极大的现实意义.

2.用类似科学研究的方法去解决问题的方式，提出结论，并进一步推理、论证解决问题，通过过定点直线与圆锥曲线相交结论相关性的分析，得出圆锥曲线中的统一结论.通过这种积极探究的方式，教师可以获得数学发现和创造的成功体验.

3.对定点线与抛物线相交问题进一步探究，通过观察、类比、归纳，体现了数学的思考是自然的过程，对几个新的结论的推理、论证，有利于激发一线教师的教学热情，在“一题多解，一题多变，多题归一”的探究过程中领悟数学思想方法，把握数学本质.

【参考文献】

[1]马洪炎.运用焦半径公式.速解焦点弦问题[J].中学教研（数学）2013.7

[2]蔡小雄，陈发志.云来山更佳.云去山如画[J].中学教研（数学）2013.10

[3]朱贤良.莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜――对一类高考试题本质的追溯[J].中学数学教学参考：上旬，2013（6）：1-3.

[4]林庆望.当偶然邂逅必然――圆锥曲线的一个优美性质[J].中学教研（数学）2013.9