抛物线平移与三角形交点问题探究

在近几年的中考命题中探究抛物线平移与直线（含射线、线段）的交点问题已成为一种趋势，此类问题渗透了数形结合思想、函数思想、模型思想和运动变换思想，能准确地考查学生积极思考、动手实践和自主探索的能力，让学生在图形的运动和变化中探索解决问题的思路，在动静结合中培养学生的空间观念和几何直观能力。三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的基本图形，探究抛物线平移与三角形交点问题既要考虑抛物线与直线的位置关系又要考虑抛物线过三边端点的问题，是培养学生数学应用意识和创新意识的有效载体。

一、基本结论

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=mx+n（m≠0），交点个数的判定方法。此方法借鉴了直线和圆的位置关系，属于初高中衔接内容。让学生通过合情推理探索数学结论，体会数学的基本思想和思维方式。

y=ax2+bx+c ax2+bx+c=mx+n ax2+（b-m）x+（c-n）=0y=mx+n =（b-m）2-4a（c-n）

当>0时有两个公共点，此时抛物线与直线相交。

当=0时有且只有一个公共点，此时抛物线与直线相切。

当

利用对应的一元二次方程的根的三种情况来确定公共点的个数，再运用点的坐标来描述图形的位置和运动，有助于学生形成模型思想，提高学生学习数学的兴趣和应用意识。

二、问题探究

如图已知抛物线y=-x2+2x+8，ABC中A（-8，0），B（4，0），C（4，12），设将抛物线沿其对称轴平移后的解析式为y=-x2+2x+8+k

1. 当平移后的抛物线与ABC恰好有3个交点时求K的值

2. 当平移后的抛物线与ABC有4个交点时求K的取值范围

3. 当平移后的抛物线与ABC有2个交点时求K的取值范围

问题分析：抛物线在起始位置时与边AC有2个交点且过点B。直线AC的解析式为y=x+8，先考虑几种特殊位置时K的取值。

（1）抛物线y=-x2+2x+8+k与直线AC：y=x+8相切

由y=-x2+2x+8+k 有x2-x-k=0y=x+8

当=0时，k=-■

（2）抛物线y=-x2+2x+8+k与x轴相切

由-x2+2x+8+k=0，当=0时，k=-9

（3）抛物线经过点A（-8，0）时，

由-（-8）2+2×（-8）+8+k=0得k=72

（4）抛物线经过点C（4，12）时

由-42+2×4+8+k=12得k=12

问题解答：

平移后的抛物线与ABC恰好有3个交点时有两种情形

（1）抛物线y=-x2+2x+8+k与直线AC相切， 此时k=-■。

（抛物线与边AC有且只有1个交点，与边AB有2个交点）

（2） 抛物线向上平移经过点C（4，12），此时k=12

（抛物线经过顶点C，与边AB有1个交点，与边AC还有另1个交点）

平移后的抛物线与ABC有4个交点时有两种情形

（1）抛物线向上平移在与直线AC相切到抛物线经过C点之间时，此时-■

（2）抛物线向下平移由起始位置到抛物线与直线AC相切之间时，此时-■

平移后的抛物线与ABC有2个交点时有两种情形

（1）抛物线向上平移经过C点到继续向上平移经过A点之间时，此时12

（2）抛物线向下平移在与直线AC相切到与x轴相切之间时，此时-9

三、思考

《义务教育数学课程标准》指出数学课堂教学应激发学生学习兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，在数学活动中体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。此类问题可在学生直观想象的基础上利用几何画板数学软件来演示验证，从而提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，培养学生的创新意识和科学态度。