抛物线为舞台三角板导演探究性问题

将三角板按某种方式镶嵌于平面直角坐标系两坐标轴之间（或抛物线中），然后以“旋转”为图形的变换策略，让三角板“动”起来，设计而成的开放探索性问题，为学生创设了一个动态的可实践操作的数学环境，让学生经历观察分析——猜想判断并进行说理验证的数学活动过程，进而感悟知识的发生、发展过程.解决此类问题我们既要抓住三角板固有的性质特征、理解旋转变换的本质特点，又要学会添加适当的辅助线构造出需要三角形全等及相似关系，更要掌握抛物线相关知识，方可迎忍而解.本文举例加以剖析与读者共赏.

1. 抛物线上等腰直角三角形的顶点是否存在问题

例1　（2011年?东营市）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）．点C（1，0），如图所示；抛物线y=ax2－ax－2经过点B．

（1） 求点B的坐标；

（2） 求抛物线的解析式；

（3） 在抛物线上是否还存在点P（点B除外）．使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在．请说明理由．

分析　（1）过点B作BDx轴，垂足为D，只要求得BD、CD值便可得到点B的坐标，这可由BCD≌CAO，根据对应边相等得到.

（3） 先构造出以AC为直角边的等腰直角三角形，此时应分类考虑，分点C、A为直角顶点，再求出第3个顶点的坐标代入抛物线的解析式，适合就存在，反之就不存在.

解　过点B作BDx轴，垂足为D，

∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°

∠BCD=∠CAO；

又 ∠BDC=∠CAO=90°；CB=AC，

BCD≌CAO,

BD=OC=1，CD=OA=2

点B的坐标为（3，1）；

（2） 抛物线y=ax2－ax－2经过点B（3,1），则可得到1=9a-3a-2，解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2－x－2；

（3） 假设存在点P，使得ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

① 若以点C为直角顶点；

则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，

过点P1作P1Mx轴，

CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BCD=90°；

MP1C≌DBC

CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P（-1,-1）；

② 若以点A为直角顶点；

则过点A作AP2CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，

过点P2作P2Ny轴，同理可证AP2N≌CAO；

NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P（-2,1）；

经检验，点P（-1,-1）与点P（-2,1）都在抛物线y=x2－x－2上．

评注：本题以三角板为实验操作工具，抛物线为问题背景设计了一个考查三角形全等知识，及图形轴对称、旋转变换思想，求点P（-1,-1）与点P（-2，1）时又涉及到分类讨论的思想.

2. 旋转变换后三角形顶点是否在抛物线上探究

例2　（2009年?庆阳市）如图2-1，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线上．

（1） 点A的坐标为

，点B的坐标为

；

（2） 抛物线的关系式为

；

（3） 设（2）中抛物线的顶点为D，求DBC的面积；

（4） 将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

分析　（1） 确定点A、B的坐标，只要求出线段OA、CB的长度即可.观察图形，在RtAOC中由勾股定理得OA=2，过点B作BEx轴于E，易证AOC≌CEB，所以CE=AO=2，EB=OC=1，故A（0，2）， B（-3，1）．

（2） 将点B（-3，1）代入抛物线得y=ax2+ax-2得a=所以抛物线的关系式为y=x2+x-2．

（3） 欲求DBC的面积，设直线BD交x轴于点F如图，可以转化为求BFC的面积+DFC的面积，而它们具有公共的底边FC其高分别是点B与D的纵坐标，因而只需求出点F、D的坐标即可.

将抛物线的解析式配方得抛物线的顶点D（-，-）．

设直线BD的关系式为y=kx+b， 将点B、D的坐标代入，求得k=-，b=-，

BD的关系式为y=-x-．

设直线BD和x轴交点为F，则点F（-，0），CF=．

?摇DBC的面积为××（1+）=．

（4） 根据旋转的特征，只要求出点B′与C′的坐标代入抛物线的解析式，适合说明在抛物线线，否则不在抛物线上.

如图，过点B′作B′M轴于点M，过点B作BNy轴于点N，过点C′作C′Py轴于点P．

在RtAB′M与RtBAN中，

AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，

RtAB′M≌RtBAN．

B′M=AN=1，AM=BN=3， B′（1，-1）．

同理AC′P≌CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；

将点B′、C′的坐标代入y=x2+x-2，可知点B′、C′在抛物线上． （事实上，点P与点N重合）

3. 三角板直角边与抛物线交点间线段过定点的坐标的探索

例3　（2011年?株洲市）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a