函数值域范文

函数值域篇1

一、相关概念

函数y＝f(x)中，函数值是与自变量x的值对应的y值。函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。分式函数是解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

（一）一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=cx+dax+b (a≠0)型

例1求函数y=2－3x2x－1的值域。

解析一：常数分离法。将y=cx+dax+b转化为y=k1+k2ax+b（k1,k2为常数），则y≠k1。y=2－3x2x－1=－32+12(2x－1)，y≠－32。

解析二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。值域为y≠－32（详解略）。

2.y=csinx+dasinx+b (a≠0)型

例2 求函数y=sinx+22－sinx的值域。

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质与y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。13≤y≤3。（详解略）

3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b (a≠0)型

例3 求函数y=3sinx－32cosx+10的值域。

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

［－58，0］（详解略）。

（二）二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化，所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

1.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，x∈[WTHZ]R型

例4 求函数y=3xx2+4的值域。

分析：去分母后，可将方程看做是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。用判别式法，先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式Δ≥0（Δ=f(y)）,即可求出值域。（详解略）

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型

例5 求y=16x2－21x+55－4x（x

分析：因为x

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。这是求一次分式函数的基本方法，利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。这也是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式Δ≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab (a、b∈R＋)，在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑不等式法。用不等式法求值域，应注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不再赘述了。

函数值域篇2

关键词：三角函数;值域;求法

一、可化为y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型

例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.

解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2

=sin2x+cos2x+2

=2sin(2x+π4)+2

y∈［2-2,2+2］

二、可化为二次函数

例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域

解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1

因为cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.

三、反解法

例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域

解: 因为2ycosx-2y=3cosx+4

所以（2y-3)cosx=2y+4.

所以cosx=2y+42y-3.

|cosx|=|2y+42y-3|≤1

解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)

四、当式子中同时含有sinx±cosx,时，常使用换元法

例4 当x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.

简解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］

所以2sinxcosx=1-t2

所以y=-t2+t+1∈［-1,54］

五、配对法

例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范围.

cosx+cosy=t (1)

sinx+siny=1(2) 两式平方相加得：

2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］

所以t∈［-3,3］.

六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角函数的值域照样适用

如分离常数法：

例6 若cos2x+2msinx-2m-2

简解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，

sinx-1=t∈［-1,0)

所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.

所以m>-12.

巧用“对比法”解题

江苏靖江季南初中(214523)  陈一平

对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.

例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在研究“沙子和水谁的吸热本领大”时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间变化的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：

(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?

(2)请根据图象说出水在受热过程中温度变化的特点.

(3)加热满2 min时,水吸收了多少热量?

(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精如果完全燃烧将放出多少热量?

(5)试求出沙子的比热容.

图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，吸收相同热量时沙子温度升得多.

(2) 水在受热过程中温度变化呈先快后慢，至沸腾时温度保持不变的特点

(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J

(4) m=0.8 g×10=8 g

Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg

=2.4×105 J

分析：其中（1）（2）（3）（4）解题如上，不再多赘.

（5）的解题部分同学解题如下：

取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J

C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)

理由是：根据图象、题意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃烧放出的热量可以求出，放出的热量是供沙子升温的，且题目没有给出沙子吸收的热量是酒精燃烧放出的热量的百分比，那沙子吸收的热量就等于酒精燃烧放出的热量.所以解题如此.如果我们采用“对比法”，就会正确找到沙子在t=2 min内吸收的热量了.

共同点：①沙子与水的质量都是200 g；②两只完全相同的酒精灯同时加热.

不同点：①加热对象分别是沙子、水； ②图象中可以看出在相同时间内沙子与水升温不同

再根据苏科版物理九年级上P41的信息快递：如果加热方法完全相同，就可以认为单位时间内物质吸收的热量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的热量等于水吸收的热量4.2×104 J了，这个热量小于1.6 g酒精燃烧放出的热量4.8×104 J.题目的难点就会突破，解题也就豁然开朗、水落石出了.

正确解题如下：（5）取t=2 min， Q沙吸=Q水吸=4.2×104 J，C沙=Q沙/mΔt=4.2×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)==0.91×103 J/(kg·℃)

函数值域篇3

关键词： 函数 定义域 值域 值域的求解方法

设 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，其中 叫做自变量。 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。其中函数的值域是一个较复杂的问题，又是高中数学中的一个难点。总体来讲，求函数的至于要注意以下几点：（1）值域的概念，即与 的值相对应的函数值的集合 ；（2）函数的定义域。当题目中未明确给出函数的定义域时，应先求出函数的定义域，在定义域的范围内求函数的值域；（3）函数的单调性。求函数的值域时，常常借助函数的最值来求解，而求函数的最值时，对函数的单调性的讨论往往是必不可少的；（4）函数的解析式。在求函数的值域时，往往要根据所给函数的解析式的形式，使用相应的方法。具体常用的求函数值域的方法如下：

（1）观察法

对于一些简单的常见的函数，通过观察就可以求出其值域。例如我们熟悉的一次函数的定义域是 ，值域也是 ；反比例函数 的定义域为 ，值域为 。

（2）配方法（或公式法）

（3）换元法

（4）分离常数法

（5）利用函数的单调性求值域

例5. 求函数 的值域

解：由题可知函数的定义域为 ，因为 和 在 上均为增函数，故原函数为 上的增函数.所以 ，故原函数的值域为

（6）利用函数的最值求值域

对于区间上的连续函数，利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。

总之，同学们在学习的过程中应多注意积累，善于总结，从而在求解函数值域的问题中，才能迅速找到求解此类问题的比较简单且合适的方法。

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函数值域篇4

基本函数可以通过观察范围直接推出函数值域，往往需要结合函数的单调性。

例题：求值域（1）y=■-2

（2）y=■+■，（x≥1）

二、二次类型

形如y=ax2+bx+c（a≠0）或F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c（a≠0））类的值域问题，用配方法求解。

例题：求值域（1）y-■ （2）y=3x4-2x2+1

三、分式类型

1.分子、分母都是一次函数的有理函数，形如函数y=■的，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反解法。

例题：求值域（1）y=■ （2）y=■ （3）y=■

2.分子、分母都是二次函数的有理函数，形如函数y=

■(其中a1，a2不全为0)，可以用判别式法求解。

例题：求函数y=■的值域

3.分子、分母分别是一次函数和二次函数的有理函数，可以用均值不等式或对勾函数图像求解。

利用均值不等式求值域,要满足：一正、二定、三相等。若不满足条件的，就得利用对勾函数y=x+■(k>0)在（-∞,-■）和[■，+∞]上单调递增，在[-■，0]和（0，■）上递减来求解。

例题：（1）求函数y=■（x>y=■）的值域

（2）变式：y=■

4.形如y=■的函数，可以通过反解后利用有界性求解。此外，还有一个更重要的方法——几何意义法，即理解为单位圆上的动点（cosx,sinx）和定点（-1，-1）两点间连线的斜率的取值范围。

四、根式类型

1.形如y=ax+b±■（a，b，c，d均为常数，ac≠0）的函数有两类，一类直接观察,利用单调性求值域;另一类利用代数换元，将所给函数转换成二次函数。

例题：（1）求函数y=x-■的值域，很容易判断出函数在定义域上（-∞，■）是增函数。

（2）y=x+4■，设t=■≥0，可化为y=1-t2+4t=-（t-2）2+5（t≥0）求解。

2.含■的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，

θ∈[0，π]，或令x=asinθ，θ∈[-■，■]求解。

例题：求值域（1）y=x+■

（2）y=x+■

（3）y=■-■的值域（y=■，x≥1）

4.形如y=■±■，可利用几何意义转化为一个动点和两个定点之间距离的和与差的最值问题。

例题：求y=■+■的值域。

解析：原函数可转化为动点P(x，0)与定点A(-2,1)和B(2,2)间距离之和，即求|PA|+|PB|的最值。

变式：求函数y=■-■的值域。

五、绝对值类型

形如y=|ax+b|±|cx+d|类型的函数,通常采取零点区间讨论的方法和几何意义的方法.

例题：（1）求y=|x+3|+|x-5|的值域。

解析：一是去绝对值零点讨论，二是可以理解为数轴上的点x与-3和5的距离之和问题。

（2）求变式函数的值域。

函数值域篇5

摘 要：求函数的值域是相当复杂的数学问题，而掌握典型函数值域的求法对提高学生的数学思维品质和解题能力十分有益. 本文就一类无理函数值域的解法进行探讨.

关键词：函数；值域；变形

函数的值域是函数的三大要素之一，当一个函数的定义域给定后，此函数的值域也就确定了. 求函数值域的常见方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、图象法、构造法、利用函数的单调性和数形结合法等. 掌握典型函数值域的求法对提高学生的数学思维品质和解题能力是十分有益的. 下面就针对t=+（a，n>0，am+bn>0）型的无理函数值域的多种解法进行探讨.

[⇩]几种变形

①把根号下x前面的系数的绝对值均变为1，得：

+=t.

②两边同除以t，得：

+=1.

③两边平方，得：

t2=b+m+（ax－nx）+2.

④作代换，令=u，=v，消去x得：

u2+v2=+，t=u+v.

[⇩]几种构思

1.对于变形①，由于

2+

2=+=，可考虑利用三角函数求值域.

2.对于变形②，可令=tcos2θ，=tsin2θ，消去x转化为三角问题.

3.利用变形④，研究动直线t=u+v与圆弧u2+v2=+（0≤u≤，0≤v≤）的位置关系.

4.设向量p=（，），q=

，

，利用数量积求范围.

5. 求导，考查函数在区间端点和其稳定点的值的大小.

[⇩]例题讲解

例 求函数t=+的值域.

解法1 原式可变形为t=+・.

由于（）2+

2=，所以令=cosα，=sinα，

从而t=cosα+sinα=

cosα

+sinα=sin（α+φ），其中α∈0，

.

sinφ=，cosφ=（取φ为锐角），当sin（α＋φ）=1时，tmax=.

又φ≤α+φ≤+φ，所以tmin=，即t∈

，

.

解法2 在等式t=+的两边同除以t得：+=1.

令=tcos2θ，=tsin2θ，消去x得：1=t2（2cos4θ+sin4θ），

故t2=

=

=.

当cos2θ=-时，t=，当cos2θ=1时，t=，所以t∈

，

.

解法3 令=u，=v，由1≤x≤知0≤u≤，0≤v≤，

消去x得：u2+v2=.

问题变为：关于u，v的方程组

t=u+

v，

u2+v2

=，在0≤u≤

，

0≤v

≤的条件下有解时，求t的取值范围.即动直线t=u+v与圆弧u2+v2=（0≤u≤，0≤v≤）有公共点时，求t的范围（如图1）.

[B][A][u][v][O]

图1

当直线t=u+v过点A

，0时，t值最小，tmin=；

当直线t=u+v与圆相切于点B时,利用Δ=0可求得tmax=.

所以t∈

，

.

解法4 由于t=+・，设向量p=（1，），q=

，

，两向量夹角为β，则t=p・q=p・qcosβ=・cosβ=cosβ.

由于p与q均为非零向量，所以当p与q同向时，即=，也即x=时，cosβ的最大值为1，从而tmax=.

当点

，

落在坐标轴上时，cosβ最小，从而t取最小值.

令=0得x=，t=，令=0得x=1，t=1，由于

所以t∈

，

.

解法5 令f（x）=+，

f ′（x）=・－ ，

令f ′（x）=0得x=，

由于f（x）的最值必在x=或x=1或x=处取得，故考查f

，f（1），f

三数的大小，

因为f

=，f（1）=1，f

=，

所以f（x）∈

，

.

特别地，对t=+（a，n>0，am+bn>0），当n=a时还可采用以下两种方法：

解法6（构造数列法）由+=2×，可知，，构成等差数列. 于是可设=－d，=+d，

消去x得

bn+am=n

－d2+a

+d2

=t2

++（ad－nd）t+ad2+nd2

=t2

++2nd2

=t2+2nd2，

于是得到关于t的一元二次函数，再利用配方法求其最值即可.

解法7（平方法）两边平方得

t2=ax+b+m－nx+2

=（a－n）x+b+m+2

=b+m+2，

于是可得根号里关于x的一元二次函数，再利用配方法求其最值即可.

函数值域篇6

y(x-x+1)=2x-2x+3?圯(y-2)x-(y-2)x+y-3=0,由Δ≥0,y≠2?圯y∈(2,]。

但是,对于定义域不是一切实数R的分式函数,就不能直接用判别式法,如果要用判别式法,容易出差错。比如:求函数y=的值域。

略解:由x+x-6≠0得x≠2,x≠-3。

函数的定义域为{x|x∈R,x≠2,x≠-3},

由原函数变形得:(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0。

关于x的方程(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3。

(1)当y=1时,代入方程求得x=-3,而x≠-3,因此y≠1。

(2)当y≠1时关于x的方程(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需≠0,即可得出即可得出y≠,由上可知:原函数的值域为{y|y≠1,y≠}。

显然,这样的解法很麻烦,学生不易理解,且容易出错。因此,我建议对定义域不是实数R的分式函数求值域问题,不用判别式法,可以用下述的办法来解决,既直观形象又不容易出错。

1.借助反比例函数求分式函数的值域

【例题1】求函数y=的值域。

解析:借助反比例函数的图像研究分式函数的值域。

y====1+,x≠-3且x≠2。因为≠0,从而得知y≠1,再把x=-3代入,得知y≠。故原函数的值域为{y|y≠1,y≠}。

这样的解法把问题转化为初中阶段已学过的熟悉的反比例函数,学生易于接受。

也可以结合反比例函数的图像,这样更直观。

【例题2】求函数y=的值域。

y==

===-≠。

根据图像y=-,且x≠-1,(图略)。

所以y∈(-∞,)∪(,4)∪(4,+∞)。

拓展训练:

①y=,x∈(-,+∞);答案:y∈(-∞,)。

②y=,x∈(-,1]。答案:y∈(-∞,-)。

2.利用基本不等式求分式函数的值域

【例题3】求函数y=,x∈(3,+∞)的值域。

解析:不能根据Δ≥0,因为定义域不是任意实数。

y==2[(x-3)++6]≥22+6=24,当且仅当x-3=?圯x=6时,等号成立。或令t=x-3,根据分式(双钩)函数的图像,考虑到t>0。

3.利用换元法求分式函数的值域

【例题4】求函数f(x)=,x∈[2,5]的值域。

解析:不能根据Δ≥0,因为定义域不是任意实数。

令t=x-1,则x=t+1,t∈[1,4]

g(t)=t+-2

y∈[2-2,9]。

函数值域篇7

关键词： 函数值域 函数类型 教法 线 点

函数值域是函数部分的重要内容，在高考中占有一定的比重，是高考的热点和难点.求值域的方法比较多，学生掌握起来有一定的难度，这就需要教师在教法上下工夫.传统的教法是以求值域的方法为线来展开教学的，我认为这样的教法虽然能比较系统地将求值域的方法一一讲授，但不利于学生对知识结构的整体把握.我认为应该从学生的认知角度来设计教学.本文将以函数类型为“线”将求值域的方法这些“点”串起来，供参考.

在高中阶段，学生要面对的大部分函数是二次型函数、分式型函数和无理型函数（或通过变形、化简得到）.本文主要从这几种类型的函数来阐述求值域的方法.

一、二次型函数（二次函数或可化成二次函数的函数）求值域

例1.求函数y=x-2x，x∈（，2）的值域

解析：本题是二次函数，我们考虑用配方法解决.

y=x-2x=（x-1）-1，x∈（，2）

所以函数值域为［-1，0）

例2.求函数y=sinx-3sinx+4的值域

解析：本题是一个复合函数，但通过运用换元法可以转化成二次函数解决.

令sinx=t，则t∈［-1，1］

y=t-3t+4=（t-）+

所以函数值域为［2，8］

一般可以转化成二次函数的函数可以用配方法求值域.

二、分式型函数求值域

例3.求函数y=的值域

解析：本题用分离常数法将原函数化成了只有分母含有自变量的式子求值域.

y===2+

y≠2

函数值域为（-∞，2）∪（2，+∞）

一般分子分母同次且变量的系数成比例的分式求值域用分离常数法.

例4.求函数y=的值域

解析：本题不能分离常数，观察函数分子分母的最高次为二次，定义域为R，我们考虑利用根的判别式求值域.

两边同时乘以（x+x+1）得yx+yx+y=2x+x+1

变形得（y-2）x+（y-1）x+y-1=0

当y=2时，x=-1

当y≠2时，Δ=（y-1）-4（y-1）（y-2）≥0，1≤y≤

所以函数值域为［1，］

一般可以化成二次方程的分式函数（特别是定义域为R）可以用判别式法.

例5.求函数y=（x＞0）的值域

解析：本题虽然能化成二次方程，但函数定义域不是R，用判别式法比较麻烦，根据函数特点我们考虑用基本不等式解决.

x＞0 y==

x+≥2 y∈（0，］（当且仅当x=1时取“=”）

所以函数值域为（0，］

例6.求函数y=x+（x∈［2，3］）的值域

解析：本题不适合用基本不等式解决（“=”取不到），我们考虑用函数的单调性解决.

y=x+在［2，3］上是单调增函数

函数值域为［，］

一般对于用基本方法不好解决的函数可以考虑利用函数的单调性.

三、无理型函数求值域

例7.求函数y=x+2的值域

解析：本题含有无理项，我们考虑用换元法把根式去掉.

令t=，则t≥0，x=t-1

y=t-1+2t=（t+1）-2（t≥0）

所以函数值域为［-1，+∞）

一般含有无理项的函数求值域可以先用换元法化简.

例8.求函数y=x+的值域

解析：本题用普通换元法不能将根式去掉，结合函数结构我们考虑用三角换元法求解.

由1-x≥0得-1≤x≤1

令x=sinθ（θ∈［-，］），则y=sinθ+cosθ=sin（θ+）

θ∈［-，］

θ+∈［-，］

-1≤y≤

函数值域为［-1，］

例9.求函数y=-的值域

解析：本题虽然含有无理项，但换元并不能把根式去掉，达不到化简的目的，我们考虑用单调性解决.

y=-=

易得函数在定义域［1，＋∞）上是减函数

所以函数值域为（0，］

一般对于基本方法不好解决的函数可以考虑利用函数的单调性.

此外还有高次函数等其他类型函数的函数，在这里就不一一叙述了.

总之，以求值域的方法为“线”来组织教学是用方法来总结题目；以函数类型为“线”来组织教学是用题型来总结方法，而从我们的认知情况来看，我们先面对的是题目而不是方法.

函数值域篇8

关键词：函数；定义域；思维品质

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）看起来非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、自然定义域与人为给定的定义域

在初等数学中，我们所讨论的函数一般都是具有唯一的、明确的解析式的函数。解析式所给出的是函数的对应法则。按此法则，给定自变量X的一个值，可以求出所对应的函数值。然而，并非对于X的任何一个值都能这样，因为某个法则对于X的某些值可能是无意义的。例如，函数f（x）=，对于当x

第一，只要求在所规定的定义域范围内讨论函数，而不考虑x可能取值的其他地方。

第二，在实际问题中，自变量的取值已经受到限制。

二、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x（50-x），

故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围，也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

这个例子说明：在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。

三、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。

例2：求函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值。

解：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，

当x=1时，ymin=-4。

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5，

f（5）=52-2×5-3=12，

f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，

f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12，

函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明：在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

四、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此，在求函数值域时应注意函数定义域。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1，故所求的函数值域是[1，+∞）。

以上例子说明：变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

五、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

例4：指出函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间。

解：先求定义域：

x2+2x>0，x>0或x

函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）。

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，在x∈（0，+∞）上时，u为增函数。

又f（x）=log2u在[0，+∞）是增函数，

函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解。在做练习或作业时，只是对题型、套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

六、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

例5：判断函数y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性。

解：2∈[-1，3]而-2？埸[-1，3]，

定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称，

函数y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函数。

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性。如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论：

f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x），

函数y=x3，x∈[-1，3]是奇函数。

错误剖析：以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成错误结论的原因。

综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

1.王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.

2.田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.

3.庄亚栋主编.高中数学教与学.扬州：中学数学教与学，1999.