函数概念范文

时间:2023-09-24 15:18:03

函数概念

函数概念篇1

关键词:函数;对应;映射;数形结合

1要把握函数的实质

17世纪初期,笛卡尔在引入变量概念之后,就有了函数的思想,把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹,欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是:设x、y是两个变量,如果当变量x在实数的某一范围内变化时,变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量,变量y叫变量x的函数,记作y=f(x)。初中教材中的定义为:如果在某个变化过程中有两个变量x、y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值与之对应,那么y就是x的函数,x叫自变量,x的取值范围叫函数的定义域,和x的值对应的y的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化,它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画,以致不能明确函数是x、y双方变化的总体,却把y定义成x的函数,这与函数是反映变量间的关系相悖,究竟函数是指f,还是f(x),还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

迪里赫莱(P.G.Dirichlet)注意到了“对应关系”,于1837年提出:对于在某一区间上的每一确定的x值,y都有一个或多个确定的值与之对应,那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后,明确把集合到集合的单值对应称为映射,并把:“一切非空集合到数集的映射称为函数”,函数是映射概念的推广。对应说的优点有:①它抓住了函数的实质——对应,是一种对应法则。②它以集合为基础,更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化,比如:某班每一位同学与身高(实数)的对应;某班同学在某次测试的成绩的对应;全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划,它们相互独立,缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。

对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念,而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式,,似乎不是集合语言,1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)采用了纯集合论形式的定义:如果集合fС{(x,y)|x∈A,y∈B}且满足条件,对于每一个x∈A,若(x,y1)∈f,(x,y2)∈f,则y1=y2,这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}的一个特殊子集,而序偶(x,y)又是用集合定义的:(x,y)={{x},{x,y}}.定义过于形式化,它舍弃了函数关系生动的直观,既看不出对应法则的形式,更没有解析式,不但不易为中学生理解,而且在推导中也不便使用,如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。

2加强数形结合

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数,对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的,作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形,函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像,只要心中有形,函数性质就比较直观,处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间,令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|,t=0时,x=-3或x=4,知t函数的图像是变形后的抛物线,其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上,其x∈(-3,4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方,再考虑对数函数性质即可。又如:判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数,该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1/x图像的交点个数,作出图像交点个数便一目了然。

3将映射概念下放

就前面三种函数概念而言,能提示函数实质的只有“对应说”,如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义,可有以下优点:⑴体现数学知识的系统性,也显示出时代信息,为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性,函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化,替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂,好像伸手会触摸到一样,身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕,它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可,学生完全能够接受,因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法,第二学段已接触到集合的运算,没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点,当时不也有人得出反对意见吗?可现在不也下放到了小学吗?如果能下放到初中,就使得知识体系更完备,衔接更自然,学生易于接受,学生就不会提出“到底什么是函数?”这样的问题。

4区分函数与方程

函数概念篇2

函数概念 概念引入 反思 函数不仅是一种重要的数学概念,而且是一种重要的数学思想,它是联系中学代数主要内容的一条纽带。因此,函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题。 一、概念引入分析 以往教材的呈现方式和课堂讲授方法,虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延,但由于函数概念本身的抽象性,学生接受函数概念的引入,需要教师创设符合学生实际的数学情境。教学中可以结合所教班级的实际补充一些实例,如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关系等。 因为学生在初中对函数已经有了初步的认识,进入高中后又学习了集合的概念,函数的概念引入,可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始,可以设计如下: 问题1:在上面的例子中,是否确定了函数关系?为什么? 问题2:在上面的例子中,涉及哪些集合?其中的表格、表达式和图象的作用是什么? 问题3:如何用集合语言阐述几个实例共同特点? ①你的结论是否正确地概括了例子的共同特征? ②我们初中学习过的函数都有这样的特征吗? ③你现在的认识与初中函数概念是否有本质上的差异? 在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上,学习用集合与对应的语言来刻画单值对应,领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应。在构建函数的概念时,要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系。建立函数,必须交代定义域。但是,对定义域和值域不作过多技巧要求和训练。在函数定义的教学过程中,需突出以下几点: ①集合A与集合B都是非空数集;②对应法则的方向是从A到B;③强调“非空”“每一个”“惟一”这三个关键词。 要注意发展学生的数感、符号感。用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号f(x)的意义:对应法则f对自变量x作用。应强调函数符号“y=f(x)”是“y是x的函数”的数学表示,它表示“f对x作用得到y”。应指出f(a)与f(x)既有区别又有联系,f(a)是f(x)在x=a的情况下的一个函数值,一般地,f(a)是一个特殊值,而f(x)是一个变量。现代信息技术的引入,为学生进一步体会、理解函数的本质,为求函数值、作函数的图像,提供了新的行之有效的工具。 二、概念引入反思 1.情景选择的反思 在教学中对情景的选择要有目标意识,要符合学生实际,而且还要有真实性。 2.反例使用的反思 在学生对概念认识的起始阶段,给学生提供的刺激模式应该是正例,而且数量要恰当,不然就会影响概念的形成。但在概念的巩固和应用中,可以通过适当的反例让学生辨析概念,达到对概念内涵和外延的掌握。 三、借鉴概念的发展历史引入概念 函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍。因此,在函数概念教学中,如果能恰当地借鉴历史,根据函数历史途径,选择学生容易接受的典型情景,探究函数概念,使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程,并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法,这样有助于学生打破原有的思维定势,形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解。这种历史的方法是一个多层次逼近,反映了认识由远及近,由模糊至清晰,由粗略到精确的过程,是我们在教学中值得借鉴的。

函数概念篇3

一、教材分析

1、教材的地位和作用:

函数是数学中最主要的概念之一,而函数概念贯穿在中学数学的始终,概念是数学的基础,概念性强是函数理论的一个显著特点,只有对概念作到深刻理解,才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习,所以函数的第一课时非常的重要。

2、教学目标及确立的依据:

教学目标:

(1)教学知识目标:了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素,以及对函数抽象符号的理解。

(2)能力训练目标:通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。

(3)德育渗透目标:使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

教学目标确立的依据:

函数是数学中最主要的概念之一,而函数概念贯穿整个中学数学,如:数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。

3、教学重点难点及确立的依据:

教学重点:映射的概念,函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。

教学难点:映射的概念,函数近代概念,及函数符号的理解。

重点难点确立的依据:

映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强,要求学生的理性认识的能力也比较高,对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现,所以近年来高考有一种“函数热”的趋势,所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。

二、教材的处理:

将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义,是以集合、映射的观点给出,这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了,从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点,主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识,运用引导对比的手法,启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同,使学生真正对函数的概念有很准确的认识。

三、教学方法和学法

教学方法:讲授为主,学生自主预习为辅。

依据是:因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时,更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项,并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解,这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印,为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。学法:四、教学程序

一、课程导入

通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。

例1:把高一(12)班和高一(11)全体同学分别看成是两个集合,问,通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起?

二.新课讲授:

(1)接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质(一对一,多对一),进而给出映射的概念,表示符号f:AB,及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。

(2)巩固练习课本52页第八题。

此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多,多对一”但不能是“一对多”。

例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数,通过画图表示这些函数的对应关系,引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义(设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射,它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f),并说明把函f:AB记为y=f(x),其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值,函数值的集合{f(x):x∈A}叫做函数的值域。

并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。(函数是非空数集到非空数集的映射)。

再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项:

2.函数是非空数集到非空数集的映射。

3.f表示对应关系,在不同的函数中f的具体含义不一样。

4.f(x)是一个符号,不表示f与x的乘积,而表示x经过f作用后的结果。

5.集合A中的数的任意性,集合B中数的唯一性。

6.“f:AB”表示一个函数有三要素:法则f(是核心),定义域A(要优先),值域C(上函数值的集合且C∈B)。

三.讲解例题

例1.问y=1(x∈A)是不是函数?

解:y=1可以化为y=0*X+1

画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射,所以它是函数。

[注]:引导学生从集合,映射的观点认识函数的定义。四.课时小结:

1.映射的定义。

2.函数的近代定义。

3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。

4.函数近代定义的五大注意点。

五.课后作业及板书设计

书本P51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。

函数概念篇4

    二次函数概念教学反思

    二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课,通过实例引入二次函数的概念,并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 在教学中,我主要遇到了这样几个问题:

    1、关于能够进行整理变为整式的式子形式判断不准,主要是我自身对这个概念把握不是很清楚,通过这节课的教学过程,和各位老师的帮助知道,真正达到了教学相长的效果。

    2、在细节方面我还有很多的不足,比如,在二次函数的表示过程中,应注意强调按自变量的降幂排列进行整理,这类问题在今后的教学中,我会注意这些方面的教学。

    3、在变式训练的过程中要注意思考容量和密度以及效度的关系,注意教学安排的合理性。另外在教学语言的精炼方面我还有待加强。

函数概念篇5

关键词:函数;概念;教学;数学;能力

中图分类号:G633.6 文献标识码:B 文章编号:1672-1578(2013)12-0169-02

函数是中学数学的核心内容,是许多数学知识内在联系的结点。函数概念是数学的核心概念,在数学中具有重要地位。从中学数学知识的组织结构看,函数既是代数的"纽带",它联结着代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等知识,同时它又是几何问题解决的有效工具,许多几何问题我们可以利用函数知识,运用数形结合思想进行有效解决。因此,函数的学习非常重要。为了更好地帮助学生系统地掌握函数知识,形成函数数学思想方法,教学中应充分重视函数概念的学习。

1.深化函数概念学习,明确函数学习要求

函数概念系统复杂,它涉及许多子概念:映射、非空数集、变量(包括自变量、因变量)、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等;同时函数概念的表达又具有多样性,一方面函数中的定义域、值域,可以用集合、区间、不等式等不同形式表示;另一方面它又有图像、表格、对应、解析式等多种表示方法,并且每一种表示方式既可以独立,又具有密切联系,常常需要进行转换。因此,学生要准确理解函数概念很不容易。

教学中,老师一定要引导学生了解函数概念的形成过程,准确理解"变量"概念,重视不同表示方式之间的转换以及运用函数概念解答实际问题;要让学生在概念学习中,不但能领会对应法则、定义域、值域之间相互制约的关系,而且能够灵活进行符号语言与图形语言的转换,学会运用数形结合的思维进行运算。只有这样,才能真正抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究函数。对中学生来说,函数概念学习的要求是:

1.1 准确理解函数概念,明确函数三要素的作用,能正确理解函数与其反函数的关系。

1.2 系统掌握求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法,能灵活运用换元、待定系数法、数形转换等数学思想方法解决问题。

1.3 通过对分段定义函数、复合函数、抽象函数等的认识,深刻认识函数关系的本质,进一步树立运动变化,相互联系、制约的函数思想。

对此,在函数学习中,首先要帮助学生克服"函数就是解析式"的片面认识,真正明确函数的对应法则和定义域都包含着对函数关系的制约作用。在做有关函数概念型题目时,要对确定函数三要素的类型、方法进行系统梳理,这样才能进一步为函数的综合运用打好基础。

2.熟悉函数概念型问题,掌握常用解题思路和方法

函数是对应法则、定义域、值域的统一体,有关函数概念型问题多与其有关,因此掌握确定函数三要素的基本类型和方法是学习好函数概念的基本要求。

2.1 求函数定义域的基本类型和常用方法。给定函数解析式求其定义域是常见题型,这类问题实际上是求使给定式有意义的x的取值范围,它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。这里尤其要注意复合函数定义域求法:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域)

例1,已知函数 定义域为(0,2),求下列函数的定义域:

分析:x的函数f(x2)是由u=x2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x),f(u)是同一个函数,故(1)为已知0

解:(1)由0

本例(1)求函数定义域,关键在于理解复合函数的意义,用好换元法,即不给出f(x)的解析式,由f(x)的定义域求函数f[g(x)]的定义域。例(2)则是两种类型的综合。求函数定义域,还有第三种类型就是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义域,这类问题就要根据实际情况进行界定了。

2.2 求函数值域的基本类型和常用方法。

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的,其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域,如求函数f(x)=1x-2的值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域,如求函数的值域;(3)求由常见函数作某些"运算"而得函数的值域,如求函数的值域。在此不作详解。

2.3 求函数解析式的类型和方法。

例2.已知xy

分析: 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程,仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x),但加上条件xy

所以

因此能确定一个函数关系y=f(x),其定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),且不难得到其值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。

本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系。任何一个函数的解析式都可看作一个方程,在一定条件下,方程也可转化为表示函数的解析式。求函数解析式还有两类问题:

(1)求常见函数的解析式。由于常见函数(一次函数,二次函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的,故可用待定系数法确定其解析式。

(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定。这要把有关学科知识,生活经验与函数概念结合起来,在此不再举例说明。

2.4 厘清反函数与函数的关系,深化对函数概念的认识。

对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).

例3.下列函数中,不存在反函数的是( )

分析:处理本题有多种思路,如分别求所给各函数的反函数,过程繁琐,费时多,如是考试,不合算。从概念看,这里应判断对于给出函数值域内的任意值,依据相应的对应法则,是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应,因此可作出给定函数的图象,用数形结合法作判断,这是常用方法。此题作为选择题还可采用估算的方法。对于D,y=3是其值域内一个值,但若y=3,则可能x=2(2>1),也可能x=-1(-1≤-1)。依据概念,则易得出D中函数不存在反函数。其实不论采取什么思路,理解和运用函数与其反函数的关系是解决问题的关键。

总之,函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。在实际教学中,尽管教材编者进行了分段、分层次地安排函数知识,老师们能针对函数概念的特点和学生认知规律,进行循环往复、螺旋上升的教学,但学生对函数概念的理解还是不很理想,因此教学中还需对学生进行认识论、方法论等哲学层面指导,这样,才能更有助于他们深入地掌握好函数概念。

参考文献

[1] 章建跃. 数学学习论与学习指导. 北京:人民教育出版社, 2001.

[2] 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书・数学4. 北京:人民教育出版社, 2007.

函数概念篇6

通过学习定理和概念的原始形成过程(就是数学史)不仅可以引导学生经历真正的数学思维过程,营造一种探索与研究的数学学习气氛,而且激发学生对数学的兴趣,培养探索精神,揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值,都有重要意义。

把数学史完美有效地融入数学教学中,可拓宽数学文化背景,提供充足的感性教学材料和理性的分析思考及缜密的逻辑推理。数学史能否发挥优势,有效帮助教学,关键在于如何进行数学史与数学教学内容的有机整合。整合的形式可以灵活多变:①将数学史直接渗透融入各章节,使数学史与数学教学内容融会贯通,浑然一体;②将数学史放在每章专设的“数学思想方法”栏中,使数学史借助数学教学内容自成体系;③课外开设数学史专题讲座;④开辟“数学史园地”的墙报;⑤课外活动中广泛开展数学史竞猜活动。例如,在函数概念的教学中,很多学生感到很抽象,难以理解,很少有学生能完整说出函数的定义。教材中函数概念引入方式为:实际例子(问题)数学解答从过程中提炼出函数概念。这种方式更注重函数概念引入的系统性,从两个阶段入手,多层面、多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义及以“集合”为基础的现代函数定义,所呈现的函数概念结构较系统和完整,有利于学生对基础知识和基本技能的熟练掌握,但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解,并且函数概念引入时间较晚,定义方式理论性较强,比较抽象,不利于学生深入理解函数思想的实质,以及自身辩证思维能力的发展。

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的内容,从而推动整个数学的发展。但正是由于函数概念的抽象性与层次性,学生往往不习惯用集合、对应的观点解释函数关系,缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。本文拟通过对函数概念的发展与比较研究,对函数概念的教学进行探索。

公元十六世纪之前,数学上占统治地位的是常量数学,其特点是用孤立、静止的观点研究事物。具体的函数在数学中比比皆是,但没有一般的函数概念。十六世纪,随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式,迫切需要天文知识和力学原理。当时,自然科学研究的中心转向对运动、对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究。数学研究也从常量数学转向变量数学。数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的,他在《几何学》一文中首先引入变量思想,称其为“未知和未定的量”,同时引入两个变量之间的相依关系。这便是函数概念的萌芽。十七世纪,在对各种各样运动的研究中,人们愈来愈感到需要有一个能准确表示各种量之间关系的数学概念。如伽利略是用文字语言表述这些函数关系的。“从静止状态开始以定常加速度下降的物体,其经过的距离与所用时间的平方成正比”;“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体,其下滑的时间与平板的长度成正比”;显然,只需引进适当的符号,上述的函数关系就可以明确地用数学形式表述:s=kt■;t=kl……以这些具体的函数为原型,经过深思熟虑,人们从笛卡尔的变量思想中得到启示,从而引出了函数概念。据考证,十七世纪中叶,微积分的创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用函数(function)这个名词。不过,他指的是变数x的幂x■,x■,…。后来才逐步扩展到多项式函数、有理函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数,以及由它们的四则运算、各种复合所形成的初等函数。这些函数都是具体的,都有解析表达式,并且和曲线紧密联系在一起。那时的函数就是表示任何一个随着曲线的点的变动而变化的量。至此,还没有函数的一般定义。十七世纪的一些数学家通过一般化获得了如下函数概念:

“函数是这样一个量,它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的。”

上述定义显然过于狭窄了,因为它事实上仅适用于代数函数的范围。所以,在其后的发展中,函数概念得到了进一步扩展。随着数学研究的深入,人们逐渐接触到了一些超越函数,如对数函数、指数函数、三角函数等,尽管这些函数已经超出了代数函数的范围,但是在一些数学家看来,两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次,从而人们又通过一般化提出了如下函数概念:

“函数是指由一个变量与一些常量,通过任何方式(有限的或无限的)形成的解析表达式。”

这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄,但在18世纪曾长期占统治地位。

后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式表达上。只要一些变量变化,另一些变量能随之而变化就可以,至于这两个变量的关系是否要用公式表示,就不作为判别函数的标准。十九世纪初,函数概念再次得到了扩展,函数的概念开始摆脱“解析表达式”,突破用式子表达的限制。另外,狄里克雷还提出了如下函数概念:

“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应,那么,y就是x的一个函数。”(类似于初中的函数概念)

这个定义抓住了函数概念的本质属性,变量y称为x的函数,只需有一个法则存在,使得这个函数取值范围中的每一个x值,有一个确定的y值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式。这个定义比前面的定义更具普遍性,为理论研究和实际应用提供了方便,因此这个定义曾在较长期内被广泛使用。

此时,可以通过学生的回顾,再现初中变量观点描述函数的概念:在一个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定了一个x值,相应地就确定了唯一的一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。

例1:加油站为汽车加油,油价为每升7.19元,启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停止,问金额y元与加油量x升之间的关系式是什么?通过实例使学生进一步认识生活中充满变量间的依赖关系,激发学生学习数学的兴趣,提高发散思维能力。

最后,如果用任意的数学对象取代具体的数量,并采用集合论的语言,则可以获得更为一般的“映射”概念:

如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系,就称为是一个映射。(类似于高中的函数概念)

例2:炮弹发射后,经过60s落到地面击中目标.炮弹的射高为4410m,且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h=294t-4.9t■,(0≤t≤60,0≤h≤4410).

炮弹发行时间t的变化范围是数集A={t|0≤■≤60}

离地面的高度h的变化范围是B={h|0≤h≤4410}

从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系,在数集中都有唯一确定的高度h和它对应。

在学生充分分析和讨论的基础上,总结归纳以上实例的共同特点:变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系:对于数集A中的任一个x,按照某个对应关系,在数集B中都有唯一确定的值与之对应。

进而引出高中函数的定义:设A,B是两个非空数集,如果按某种对应法则f,则对于集合中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,记为y=f(x),x∈A。其中输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,所有输出值y的取值集合叫做函数y=f(x)的值域。

从生活实际出发进行教学是数学教学的基本要求,也是数学新课程大力提倡的,体现数学教学来源于生活又解决生活实际问题的原则。苏联著名的数学家A.R.辛钦说过:我想尽力做到在引进新概念、新理论时,学生先有准备,能尽可能地看到这些新概念、新理论的引进是很自然的,甚至是不可避免的。我认为只有利用这种方法,在学生方面才能非形式化地理解并掌握所学到的东西。这段话很精辟,但若将数学史渗透其中,让学生感受数学概念的形成过程,则不仅能让学生学到数学知识,更能提高学生的数学素养,进而激发学生的数学学习兴趣。

参考文献:

[1]刘洁民.数学史与数学教育[M].北京:北京师范大学出版社,2003.

[2]数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社,2001.

[3]骆祖英.数学史教学导论[M].杭州:浙江教育出版社,1996.

函数概念篇7

关键词:映射,函数,算子,泛函

中图分类号:N04;O1文献标识码:A文章编号:1673-8578(2015)06-0050-03

引言

在科技术语中,有很多概念交叉、错综复杂、同义异名及同名异义的现象,厘清这些术语之间的概念差别是术语工作的重要内容之一。在数学中,经常会用到映射(mapping)和函数(function),按照集合论的观点,它们都是表示两个非空集合之间的特殊对应关系。然而在不同的教科书和工具书中,它们的定义不尽相同,且有的定义相差较大,这就给学习和使用的人带来了困惑。比如在《中国大百科全书》(第二版)[1]和大学教材《高等数学》[2]中,称函数是映射的一种特殊情况,函数是实数域到实数域的映射。而在专业工具书如《数学大辞典》[3]和《数学百科全书》[4]中,称函数就是映射,二者完全等同。与这两个概念含义相近的还有算子(operator)、泛函(functional)等,这些概念之间具体有什么差别?本文尝试分析并探讨其差异,建立起它们之间的逻辑关系。

一映射的概念

映射是集合论中非常基本的概念,它的定义并无争议,在不同的教科书或者工具书中只有一些表述的差异。在《高等数学》中,映射的概念如下:设数集X、Y为两个非空集合,如果存在一个法则f使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射[2]。也就是说映射是建立在两个非空集合之间的对应关系,并且满足以下几个条件:(1)“对X中每个元素x”,就是说X中不能有剩余元素;(2)“在Y中有唯一确定的元素y与之对应”,就是说在Y中有即可,也就是Y中可以有剩余元素;(3)“唯一确定”,说明X中的一个元素不能在Y中对应多个元素,即“不能一对多”;(4)X中的一个元素在Y中只能对应一个元素,即可以“一对一”;(5)X中的多个元素也可以在Y中对应一个元素,也就是可以“多对一”。在《中国大百科全书》中称其为函数概念的推广,而在《数学大辞典》和《数学百科全书》中称映射就是函数。

二函数的概念

函数是数学中最重要的术语之一,但是其概念却并不完全统一。在大学教材《高等数学》中,函数的定义如下:设数集DR,则称映射f∶DR为定义在D上的函数,在这个函数定义中,对每个x∈D,按对应法则f,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f在x处的函数值[2]。从中可以看出,这个定义中的“函数”是映射的一个特例,包含于映射,并且其是实数集到实数集的映射。在《中国大百科全书》第二版中称函数本质上是数集之间的一种对应(或称为“映射”)[1]。这也是说函数本质上是一种映射,是数集上的映射,它与映射的概念不同,它的范围小于映射。

而在《数学大辞典》中的函数定义为:即映射。设X与Y为给定的两个集合,f是某个法则,每个x∈X按照f对应唯一的y∈Y,称f为从XY的一个函数[3]。《数学百科全书》中函数的定义也是从集合论的角度给出,与上述定义内涵一致,还指出函数的概念与映射等价[4]。这就是说函数等同于映射,两者概念一致。

由此可见,在不同的工具书中,映射和函数的关系并不相同。这主要是由于函数这个术语的概念在历史上发生过多次变化,其概念不断扩展,所以才形成了函数概念的不一致,从而函数和映射的关系也不一致。

三函数概念的发展历史

作为数学中非常重要而又非常基本的术语,函数概念的形成和发展经历了一段比较长的历史过程。Function这个词首先由莱布尼茨(G.W.Leibniz)提出,后来被中国数学家李善兰译为“函数”。1755年, 欧拉(L.Euler)在他的《微分学原理》的序言中又给出了如下定义:“ 如果某些量以这样的方式依赖于另一些量, 即当后面这些量变化时, 前面这些变量也随之变化, 则将前面的变量称为后面变量的函数。”[5]后来随着分析学的发展,函数的概念也随之扩展。伯努利(J.Bernoulli I)等人拓广了函数自变量的取值范围, 他们允许自变量取函数, 从而产生了泛函,开创了泛函分析学科。由此可见,泛函的概念原本大于函数的概念。

1837年狄利克雷(P.G.Dirichlet)也给函数下了一个定义:如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应, 那么y就是x的一个函数, 至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x, 或者y依赖于x是否可用数学运算来表达, 那都是无关紧要的[6]。这个概念推广到实数域即是我们现在常用的函数的用法。随着集合论的大力发展,人们认识到函数与映射的内涵是一致的,于是将函数的概念进一步扩展。戴德金(R.Dedekind)首先将映射和函数的概念统一了起来。布尔巴基(N.Bourbaki)学派1939年给出了函数的一个较完整的定义:设E和F是两个集合, 它们可以不同, 也可以相同,E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数, 如果对每一个x∈E,都存在唯一的y∈F,它满足跟x的给定关系,我们称这样的运算为函数。这也是现在数学专业工具书上常用的定义。所以根据现代数学的观点,映射等同于函数,他们的概念是统一的。出现函数定义的差别主要原因在于根据分支学科的适用范围采用了历史上曾有的函数定义,而不完全采用现代数学观点中的函数定义。

四算子、泛函等相关概念

算子是指从一个空间到另一个空间的映射。在泛函分析中习惯称为“算子”,而称取值为数域的算子为“泛函”。基于此发展起来的算子理论是研究抽象空间之间的对应关系的重要领域。算子的范围相对于泛函来说扩展了,如果两个空间都为实数域,则此算子就是传统概念中的函数。可见算子的概念大于泛函和传统概念中的函数。

如果将函数的定义域从实数域扩展到复数域,那么以复数作为自变量和因变量的函数称为复变函数。定义域为实数域的函数可以看作是复变函数的特殊情况。一个自变量对应多个因变量的情况,称作多值函数。

五映射、函数、算子、泛函之间的相互关系

由上文分析可见,映射、函数、算子、泛函从本质来看基本是一致的,只是它们的应用范围不同。函数和映射是两个集合的特殊对应关系,泛函是空间对数集的映射,算子是空间对空间的映射,算子是扩大的泛函。虽然以现代数学的观点,映射和函数完全等同,但是在分析学中常用函数,在集合论中常用映射。在术语学理论中,科技术语要明确界定概念及其应用范围并不容易,特别是有些学科有习惯用法,也就是术语学中所说的“约定俗成”。对于同义术语,也要加以分析,区别出不同的情况,既然语言中存在同义词,包括所谓相对同义词与绝对同义词的差别,那么,在同一题材的范围内,也可以并行地使用不同的说法。因此,即使术语的概念相近,只是在不同的领域内有不同的名称,也是符合术语规范化工作的实际情况的。虽然它们的内涵是一致的,却不宜统一名称,在不同领域及不同范围内,根据实际情况,在不同的学科保持惯用的、约定俗成的名称更合理,强行统一只会造成更大的使用混乱。因此保持映射、函数、算子、泛函在不同数学分支中根据各自的常用习惯来使用更合理。所以,从内涵上来说,映射、函数、算子、泛函可属于同义异名,但各自应用领域不同,不宜完全统一;从约定俗成角度,在集合论中,惯用映射;在分析学中惯用函数;在泛函分析中,惯用泛函和算子。

六结语

从现代数学的观点,函数就是映射,两个概念完全等价。映射、函数、算子、泛函从内涵来看基本是一致的。从应用范围来看,映射=函数算子泛函函数(实数域)。函数多用在实数集上,常用于分析学;映射常用于集合论;泛函和算子常用于泛函分析。保持它们的习惯用法,不强制统一,符合术语规范化工作的实际情况。

专业工具书(如《数学大辞典》《数学百科全书》等)主要面对数学界专业人员,所以将函数与映射的概念统一,符合数学中这一概念的实际发展情况。而《中国大百科全书》和《高等数学》教材面对更广泛的人群,将函数的概念限制在实数域,映射用在集合论,将映射作为函数概念的扩展,这更符合大家的实际使用习惯。

参考文献

[1] 《中国大百科全书》总编委会. 中国大百科全书[M].2版.北京:中国大百科全书出版社,2009.

[2] 同济大学数学系. 高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.

[3] 王元,文兰,陈木法,等.数学大辞典[M].北京:科学出版社,2010.

[4] 《数学百科全书》编译委员会. 数学百科全书[M].北京:科学出版社,1999.

[5] Dieter Ruthing. 函数概念的一些定义――从Jon.Bernoulli到N.Bourbaki[J].数学译林,1986(3):21-23.

[6] 吉特尔曼 A.数学史[M]. 北京:科学普及出版社,1987:265.

[7] 奇.函数概念300 年[J].自然辩证法研究,2001,17(3):48-52.

函数概念篇8

关键词:高中数学;三角函数;教学方法

三角函数是高中生接触到的第一个有多对一对应关系的函数,也是高中数学的教学重点之一,也是沟通代数与几何的桥梁。然而,由于三角函数概念的抽象性,很多学生在角、函数、任意角三角函数等概念的认知上与教师要求的程度还存在不小的差距,师生普遍反映三角函数的学习很困难,很多学生宁愿使用建立代数函数的方法解决三角形相关问题。针对这种现象,笔者对三角函数概念的教学进行了总结,现介绍如下。

一、三角函数的教学难点及其原因

对高中学生而言,三角函数概念的学习存在困难已经成为不可争辩的事实,那么,这些困难具体有哪些方面的表现呢?笔者对我校高一某班级的学生进行了调查,结果表明绝大部分学生都能使用初中学到的锐角三角函数知识解直角三角形,但普遍不理解锐角三角函数的定义,如回答“在直角三角形ABC中,∠C为直角,则∠A的三角函数是只与∠A有关,还是与RtABC有关?”这个问题时,有接近80%的学生回答与RtABC有关。

为了探讨产生这种现象的原因,笔者查阅了本地区初中教材上对三角函数的定义。发现在初中数学教材中,三角函数都是在直角三角形中来定义的,利用直角三角形边与边的比来定义锐角的正弦、余弦与正切函数,虽然教材也对高中三角函数的引入进行了一定的铺垫,但从当前高中阶段在三角函数方面的学习效果来看,这些铺垫很显然没有起到多大效果。究其原因,首先是部分初中教师在教学时偏重于对解题的教学,忽视对定义的教学,其次是很多教材在章头问题上存在不少先入为主的影响。

在本次对某班的调查中,发现能准确理解并掌握三角函数概念的学生,只占不到20%,有接近50%的学生在三角函数概念的理解上存在不同程度的困难,在调查中,很多学生都谈到了以下两个问题:(1)为何高中教材要用坐标法来定义三角函数概念呢?(2)在用坐标法定义三角函数概念时,为何∠α中边上的点P能够任意选取呢?

如何帮助学生建构三角函数这一概念结构呢?笔者认为,可以从以下几点采取措施。

二、高中三角函数概念的建构方法

1.复习初中三角函数的定义,建构三角函数的新定义

从复习初中教材入手,有助于激活学生对相关内容的记忆。再利用高中函数观点来解析初中三角函数概念,即“高中三角函数概念是对初中三角函数概念的深化,也是对初中三角函数概念的局限性(主要指定义域上的局限性)的揭示,是建构三角函数新定义的‘催化剂’”。函数思想是高中数学学习的重要内容,对帮助学生理解三角函数新定义具有很大的帮助,是学生实现从旧定义向新定义转化的有力保证。

在高中函数定义的解释下,学生能准确的看到初中定义的不足:旧定义中的自变量局限为锐角,只能解决锐角三角函数的相关问题,而高中三角函数概念中,角的范围变大了,因此,三角函数的定义域也必须相应扩大才行,将角纳入到直角坐标系中,在规定了始边与终边之后,用“坐标法”来定义三角函数概念的方法也就更加容易理解了。

将角纳入到直角坐标系中之后,角就变得更加富有“生命力”了,新定义也不再那么抽象,而是在涵盖旧定义的基础上有了新的内涵。建构三角函数新定义的过程,可用图1中的4个步骤来表示。

2.巩固新定义,重视数学思想方法

在三角函数概念的定义中,旧定义内容少、浅、易,而新定义内容丰富,外延广泛,概括程度高,理解难度大,学生在学习新定义时,常对新定义的把握不够稳定,容易还原,因此,不间断、及时的帮助学生巩固新定义是教学不得不考虑的问题。

我们知道,三角函数旧定义的最大优点就是直观性和情境性较好,“形”的特征突出,而新定义则是“数”、“形”兼备:距离、坐标、比值属于“数”的范畴,而坐标系的引进,角的旋转,则属于“形”的范畴,以“数”解“形”、以“形”助“数”、“数”“形”结合是我们帮助学生理解新定义的有力武器,转变学生的数学思想方法,培养学生数学思想方法,无疑是帮助学生巩固三角函数新定义的明智途径。

结语:总而言之,在高中教学阶段,定义性的数学概念的教学与学习是存在较大难度的,以上方法也只是笔者自身的探讨,具体的执行还需要广大教育从业者的实际实施与创新。我们相信,只要切实理解学生的学习难处,加强新旧知识的衔接,做好师生间的沟通,就一定能使学生更好的掌握新定义,为后续学习打下良好的基础。

参考文献

[1] 钮兆岭.让概念教学变得更自然些——“三角函数的周期性”案例分析[J].中国数学教育,2011(10)

[2] 万鹏.“过程性知识教学”案例——锐角三角函数概念的教学[J].数学大世界(教师适用),2011(02)

[3] 彭林.实现从“变量说”到“对应说”的跨越——从整体上把握高中函数概念教学[J].数学通讯,2011(12)

上一篇:图像法论文范文 下一篇:写作训练范文