浅谈函数对称与函数周期

一道学生易做错的题目是：函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图像关于直线x=__对称。不少同学都会脱口而出：“x=1”，其实错了，应该是“x=0”。道理很简单，设P（x，y）为y=f（1+x）的图像上任一点，则y=f（1+x）=f[1+（-x）]，说明总有P点对应的P’（-x，y）在y=f（1-x）的图像上，而P与P’关于直线x=0对称，从而这两个函数的图像关于直线x=0对称。

出错的原因是他们把这题与另一个题混淆在一起了：如果f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）的图像关于直线x=1对称，f（1+x）=f（1-x），用语言叙述出来就是点Q（1+x，y）与Q’（1-x，y）同在y=f（x）的图像上，而且动点Q，Q’总关于直线x=1对称，所以y=f（x）的图像关于x=1对称。

把这两个问题比较一下，就会发现它们有两点明显区别：首先前者说的是两个函数图像之间的相互对称，后者说的是一个函数自身对称。其次，前者所说的函数都是复合函数，自变量是x，后者说的只是外函数f（x），其中1+x，1-x是自变量的两个不同取值。

现在我们更一般地讨论一下对称与周期问题：

如果f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）的图像关于直线x=对称，这是因为关于直线x=对称的两点P（a+x，y）和P’（b-x，y）总同在（或同不在）y=f（x）的图象上，所以上述结论成立，偶函数是a=b=0时的特例。还需指出一个容易与之混淆的问题：如果f（x+a）=f（x+b）（a>b），则a-b是f（x）的一个正周期。事实上：f（x+a-b）=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x），所以命题成立，两个式子非常相似。x系数的绝对值都是1，其不同的是：x的系数异号时反映出的是对称性，同号时反映出的是周期性。

y=f（a+x）与y=f（b-x）的图象关于直线x=对称，这是因为：如果点P（x，y）在y=f（a+x）上，则y=f（a+x）=f[b-（b-a-x）]，说明与P点关于直线x=对称的点P’（b-a-x，y）必在y=f（b-x）的图象上。如果f（a+x）=-f（b-x），则函数发f（x）的图象关于点（，0）对称。y=f（a+x）与y=-f（b-x）的图象关于点（，0）对称。

同理可以证明：方程f（x，y）=0与f（x，2a-y）=0的图象关于直线y=a对称。若f（x，y）=f（x，2a-y），则f（x，y）=0的图象关于直线y=a对称。

方程f（x，y）=0与f（2a-x，2b-y）=0的图象关于点（a，b）对称。若f（x，y）=f（2a-x，2b-y），则方程f（x，y）=0的图象关于点（a，b）对称。

方程f（x，y）=0与方程f（a-y，a-x）=0的图象关于x+y=a对称。若f（x，y）=f（a-y，a-x），则方程f（x，y）=0的图象关于x+y=a对称。

方程f（x，y）=0与方程f（a+y，x-a）=0的图象关于x-y=a对称。若f（x，y）=f（a+y，x-a），则f（x，y）=0的图象关于直线小x-y=a对称。

下面再指出对称性和周期性的关系，给出以下三个定理：

定理一：如果f（x）=f（2a-x），并且f（x）=f（2b-x）（a>b），那么2（a-b）是y=f（x）的一个正周期。

证明：对于任意，对于任意，x∈R

y=f（x）是2（b-a）以为周期的周期函数。

定理二：若定义在上的函数y=f（x）的图像关于点（a，0）和（b，0）对称，则称y=f（x）是以为周期的周期函数。

证明：对于任意，对于任意，x∈R

y=f（x）是2（b-a）以为周期的周期函数。

定理三：若定义在上的函数y=f（x）的图像既关于直线x=a对称，有关于点（b，0）对称（a≠b），则称y=f（x）是以4（b-a）为周期的周期函数。

证明：对于任意，x∈R

y=f（x）是以4（b-a）为周期的周期函数。

特别地，若函数y=f（x）是奇函数（或偶函数）且它的图像关于点（a，0）（a≠0）（或直线x=a）对称，则称此函数一定是周期函数。

同理可证明：

定理四：如果f（x）=f（2a-x），并且f（x）=-f（2b-x）（a>b），那么4（a-b）是y=f（x）的一个正周期。

定理五：如果f（x）=-f（2a-x），并且f（x）=-f（2b-x）（a>b），那么2（a-b）是y=f（x）的一个正周期。