函数备考策略

【阅读关键词】 进入一轮复习，本期五篇文章从备考策略、技巧解读、核心考点三个方面对函数部分加以分析，提示解题技巧和优化复习策略，提高同学们的复习效率.

函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿高中数学的始终. 下面分8个内容进行阐述.

函数的表达式

考点1 函数的概念

重点掌握函数的三要素.

考点2 函数的定义域

解题策略 建立使解析式有意义的不等式（组）求解，取交集时可借助于数轴.

易错提醒 已知[f（x）]的定义域是[[a，b]]，求[f（g（x））]的定义域，是指满足[a≤g（x）≤b]的[x]的取值范围；而已知[f（g（x））]的定义域是[[a，b]]，指的是[x∈[a，b]].

考点3 求函数的解析式

解题策略 （1）配凑法：由已知条件[f（g（x））=F（x）]，可将[F（x）]改写成关于[g（x）]的表达式，然后以[x]替代[g（x）]，便得到[f（x）]的表达式.

（2）换元法：已知复合函数[f（g（x））]的解析式，可用换元法.

（3）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法.

易错提醒 求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法求出的解析式，不注明定义域往往是错误的.

考点4 分段函数

解题策略 （1）对于根据分段函数解析式求函数值的问题：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

（2）对于已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围的问题：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

函数的单调性和最值

考点1 函数单调性的判断

解题策略 （1）利用定义（取值、作差或作商、变形、判断）求解.

（2）利用导数判断，但是对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断.

考点2 求函数的单调区间

解题策略 （1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.

（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解.

（3）图象法：如果[f（x）]是以图象形式给出的，或者[f（x）]的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.

（4）导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.

易错提醒 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示. 如有多个单调区间应分别写出，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结.

考点3 函数单调性的应用

解题策略 （1）对于比较大小的问题，先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

（2）对于解不等式问题，在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“[f]”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.

（3）利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.

函数的奇偶性和周期性

考点1 函数奇偶性的判断

解题策略 判定函数奇偶性的常用方法：定义法和性质法，注意性质法. （1）“奇+奇”是奇，“奇-奇”是奇，“奇・奇”是偶，“奇÷奇”是偶；（2）“偶+偶”是偶，“偶-偶”是偶，“偶・偶”是偶，“偶÷偶”是偶；（3）“奇・偶”是奇，“奇÷偶”是奇.

易错提醒 （1）判断函数是否具有奇偶性时，首先要考虑定义域关于原点对称，否则是非奇非偶函数.

（2）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

考点2 函数的周期性

解题策略 判断函数周期性的两个方法：定义法和图象法.

掌握周期性三个常用结论：对[f（x）]定义域内任一自变量[x]的值，（1）若[f（x+a）=-f（x）]，则[T=2a]；（2）若[f（x+a）=1f（x）]，则[T=2a]；（3）若[f（x+a）=-1f（x）]，则[T=2a].（以上均有[a>0]）

易错提醒 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.

考点3 函数性质的综合应用

解题策略 （1）函数单调性与奇偶性结合. 注意函数的单调性和奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

（2）周期性与奇偶性结合. 此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性和周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.

（3）周期性、奇偶性与单调性结合. 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

函数的图象

考点1 作函数的图象

解题策略 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出.

（2）图象变换法：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.

考点2 识图和辨图

解题策略 （1）定性分析法：通过对问题进行定性分析，从而得出图象升或降的趋势，利用这一特征解决问题.

（2）定量计算法：通过定量的计算来解决问题.

（3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来解决问题.

考点3 函数图象的应用

解题策略 （1）利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系. 如：图象的左、右范围对应定义域；上、下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性.

（2）有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题，利用此法也可由解的个数求参数值.

（3）有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解决.

二次函数和幂函数

考点1 幂函数的图象和性质

掌握幂函数的图象和性质.

考点2 求二次函数的解析式

解题策略 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：（1）已知三个点坐标，宜选用一般式；（2）已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值等，宜选用顶点式；（3）已知图象与[x]轴两交点的坐标，宜选用零点式.

考点3 二次函数的图象和性质

解题策略 （1）二次项系数含参数的二次函数、方程、不等式问题，应对参数分类讨论. 分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系.

（2）当二次函数的对称轴不确定时，应分类讨论. 分类讨论的标准就是对称轴在区间的左、中、右三种情况.

（3）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.

指数函数和对数函数

考点1 指数、对数的化简和求值

解题策略 变形后根据性质进行运算.

考点2 指数函数和对数函数的图象及应用问题

解题策略 （1）画指数函数[y=ax（a>0，a≠1）]和对数函数[y=logax]的图象时，抓住关键点.

（2） 注意图象的平移和对称变换.

考点3 指数函数和对数函数的性质及应用问题

解题策略 （1）比较大小问题，常利用指数函数和对数函数的单调性及中间值（0或1）求解.

（2）解决指数函数和对数函数的综合问题时，要把指数函数、对数函数的概念和性质同函数的其他性质结合起来，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.

（3）一些指数、对数型方程和不等式问题常转化为函数图象问题，利用数形结合法求解.

易错提醒 解决指数函数和对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质，都要注意：（1）无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；（2）如果需要将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

函数与方程

考点1 函数零点区间的判定

解题策略 （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数[y=f（x）]在区间[[a，b]]上的图象是否连续，再看是否有[f（a）・f（b）

（2）数形结合法：通过画函数图象，观察在给定区间上图象与[x]轴是否有交点来判断.

考点2 判断函数零点的个数

解题策略 （1）解方程法：若对应方程[f（x）=0]可解时，通过解方程，有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理法：不仅要判断函数在区间[[a，b]]上是连续不断的曲线，且[f（a）・f（b）

（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题. 先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.

考点3 函数零点的应用

解题策略 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解.

函数模型及其应用

考点1 用图象刻画实际问题中两变量的变化

解题策略 （1）构建函数模型法：根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

（2）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

考点2 应用所给模型解决实际问题

解题策略 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

（3）利用该模型求解实际问题.

考点3 构建函数模型解决实际问题

解题策略 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型.

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.

（3）解模：求解数学模型，得出数学结论.

（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义.

易错提醒 注意问题反馈. 在解决函数模型后，必须验证这个结果在实际问题中的合理性.