函数教学论文范文

函数教学论文篇1

（一）案例教学的内涵

对于案例教学，不同的教育工作者给出了不同的定义，不一而足。笔者认为，经济数学的案例教学，是指教师以案例为基本素材，创设（问题）情境，通过师生、生生间多向互动，激发学生有意义的学习，使其加深对基本原理和概念的理解，以达到建构知识与提高分析、解决问题能力的目的的一种特定的教学方法，是一种理论与实际有机切合的重要教学形式。

（二）案例应用方式分类

依据案例在经济数学概念（原理）教学过程中应用的方式和出现的位置，可将其分为以下四类。

1.概念（原理）前案例。在进入教学主题之前，先引入若干简单、特殊的案例，然后以不完全归纳的形式呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）前案例教学。概念（原理）前案例数量以二三为宜。如：在导数（边际）定义前引入变速直线运动物体的速度问题、曲线在一点处的切线的斜率问题，在定积分定义前引入曲边梯形的面积问题等。

2.概念（原理）中案例。通过引入贴合教学主题、难度适中的案例，随剖析随呈现概念（原理）的教学方式称为概念（原理）中案例教学。经济数学中的弹性概念适合概念（原理）中案例教学。

3.概念（原理）后案例。在呈现概念（原理）后，再抛出相对较难的案例，以演绎的形式再现或者应用概念（原理），以加深学习者对概念（原理）的理解、内化、迁移能力的教学方式称为概念（原理）后案例教学。概念（原理）后案例涉及的知识面比较广，难度较大，可以分为课上、课下两部分实施。课上以教师为主导，课下以作业的形式，促使有兴趣的学生翻阅资料钻研探索，锻炼其分析综合、解决问题的能力。概念（原理）后案例教学具有普适性。

4.前后呼应式案例。在进入教学主题之前，先抛出案例题干激发学生的学习兴趣，而后呈现概念（原理），最后剖析案例，应用概念（原理）解决案例的教学方式称为前后呼应式案例教学。前后呼应式案例教学适合于复杂概念（原理），如微分方程理论、差分方程理论、级数理论等。

二、分段函数的案例教学

例1：快递收费问题。圆通快递哈尔滨发深圳收费规定如下：首重1公斤，收费13元，续重每公斤10元。试建立快递收费y（元）与货物重量x（公斤）之间的函数关系。解：y=13，0<x≤113+10（x-1），x>—1例2：邮资问题。国内普通信函重量在100克及以内的，每重20克（不足20克，按20克计）本埠收费0.80元，外埠收费1.20元；100克以上部分，每增加100克（不足100克，按100克计）本埠加收1.20元，外埠加收2.00元。试分别建立本外埠邮资与信函重量之间的函数关系。

三、总结

数学到底有什么用？这是学习者———尤其是高动机水平的学生所热切关心的问题。经济数学的案例教学以案例为基本素材，以遒劲有力的笔触向学生点画出作为科学之王的数学在生产生活实践中的用武之地。快递收费问题、邮资问题，以及薪金所得税案例、出租车收费案例，联袂证明了分段函数不是一只无魂无魄的木偶，而是一只有血有肉的精灵。

函数教学论文篇2

冉光华

（贵阳市二中，贵州  贵阳  550001）

摘  要：函数的文化性近年来颇受关注，有诸多论点：历史论，三说论，思想论，模型论，应用论等。这些论点却忽视了离我们最近的汉语文化和社会文化，再探函数文化有：1、汉语字义诠释函数本意；2、联系实际，尊重社会准则，合理解释唯一对应；3、函数符号的断想、实验及欣赏。

关键词：再探；函数；文化

函数的文化性近年来颇受关注，主要有以下观点的论述：

历史论：追溯最早函数概念的提出，过程的历史变迁及相关数学家的贡献。

三说论：变量说——函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型；映射说——函数是连接两类对象的桥梁；关系说——函数是“图形”。

思想论：运动变化的思想，应用模型的思想。

模型论：用数量关系表示变量之间的依赖关系，并通过数及其运算等研究变化规律。

应用论：函数来源于社会，应用于社会，一方面，用函数解决现实生活中一些简单的实际问题，另一方面，用函数思想讨论其它的数学问题。

    对函数再作如下文化探讨:

一、汉语字义诠释函数本意

“近水楼台先得月。”汉语是离我们最近的文化，我们天天都在汉语中生活，我们随时在不自觉地继续着汉语学习。汉语是最宽和最近的社会文化，数学文化的自身发展要自觉吸收社会文化、民族文化，数学教育也要自觉借鉴其它文化，函数概念的教学可以先从汉语角度教学，即先解释字面词义：

    函：①﹤书﹥匣；封套；②信件。古代也有用套囊代替信件的。

大家知道三国演义中刘备到吴国相亲的过程中，赵云总是在关键的时候把诸葛亮事先给他的套囊拿出来看，每每使危机化解。由此看来，套囊有两种涵义：一种是指信件，一种是指装有计谋或便条的嚢袋。匣—匣子：装东西的较小的方形器具，有盖儿。无论是匣、套囊或信件，都是装有东西的一件物体的意思，或都是装有关系的一样东西的意思。于是仅凭字义，函数意思则可以解释为：

    函数——装有关系数（量）的器具或东西，或用器具或东西装的关系数。由此而知函数是什么的大致意思了。 

    讲了函数的概念后，把 是 的函数记为 ，这就是一个器具或东西，它里面装着对应关系的变数（量） ， 。每一个函数式，就是一个物件式的对应关系，而表格、图像又何尚不是呢。 因此， 函数即为变量 ， 的对应关系器（式）。这里的函是对应关系器（式）的意思。

二、联系实际，尊重社会准则，合理解释唯一对应

函数的定义：……对 的每一个取值， 都有唯一确定的值与之对应……这里的“唯一对应”都认为是天经地义的——这是规定，只需按此准则去理解函数概念就是。相信大多数数学教师均是如此或类似教学唯一对应的。武断地规定式的教学“唯一对应”显然有悖于教育本质。“数学文化就在数学里面”，函数定义中的唯一对应有着极好的社会文化：

数学来源于社会生活，社会生活方方面面都遵循着普遍的准则

——唯一对应性。如：几千年来的道德规范，每个妇女都是唯一的丈夫与之对应；每个人都是唯一的生母与之对应，每个公民都是唯一的祖国与之对应；和谐社会每个地方都是唯一的政府与之对应；每套住房都是唯一的合法主人与之对应……。这种唯一对应性，正是生活的准则，道德的准则，社会的准则。数学来源于社会，服务于社会，天经地义的是数（学）社（会）合一，数（学）道（德）合一。这种唯一性是社会有序的基石，社会诚信的基石，社会和谐的基石，社会稳定的基石。这种唯一性也是数学真的基石，是数学善的基石，是数学美的基石，是数学严谨的基石，数学理性的基石。同时也要指出，不唯一对应也是存在的，但不是主流，社会如此，数学如此，看对什么而言，这才符合辩证法。

这种唯一的文化论同样能对映射概念中的唯一性对应进行合理解释。

针对唯一对应性，设计练习：

1、有否存在关于 轴对称的函数？

2、下列方程是 的函数吗？

① ；② ；③ ；④

3、设 ， ,问集合 的交集有多少个元素？

三、函数符号的断想、实验及欣赏

数学教学长期忽视了数学符号（下简称符号）的文化教学，至少是符号学习只是大学教师研究的课题，少有在中小学课堂中探索和实践。符号是数学语言主流，也是现实问题数学化的标志。中国数学史表明：符号（字母）创造匮乏，这与汉字文化不无关系。符号蕴含的文化价值被数学教育忽视了。符号的文化从一种角度反映了一个民族的文化史，乃至创造史，中华民族则是在汉字符号上体现了独特的创造力，但在科学符号的创造上相对匮乏。现实是，许多学生因符号化（字母化）而怕数学，部分学生因符号化而喜欢数学，滑稽的是数学教学恰恰没有从符号（形式）角度去化解学生的学习障碍，更谈不上借助符号文化去培养学生学习数学的兴趣，去提高数学教学质量。符号（字母）学习有它的过程性和规律性，但被中国教育者忽略了。

表示函数的符号 似乎是天经地义的，最初是怎么来的？其历史如何？如果是信函，应该怎么用符号表示？你如果是第一个来创造函数符号的人，你用什么表示？笔者用此在我校学生中作为学生课外研究性课题，结果得到了许多表示函数的符号：

 ； ； ； ； ，其中 是值域英语单词 的缩写， 表示函数的中文的第一个字母， 表示自变量的中文第一个字母； ； ； ； ； ； ；等等。

把这些来自学生中的创造符号写在黑板上，让学生欣赏，选出好或比较好的表示函数的符号，并说明理由，结果是：

好—— 、 ，都表示有自变量与因变量的确切关系，对每一个自变量的取值，都有表示确定对应的函数值。但后者美中不足的是 不是我们习惯用的自变量 ，字母 ， 容易使人想到高度及半径。

较好—— 、 ，除具有前者特征外，符号 、 从视觉和书写上有点别扭，不流畅。 中的符号 少了形和状。 、 中在书写 时则不但别扭，而且形状怪怪的，视觉不顺。

不好—— 、 、 三者都难以表示函数的确定对应取值。 中表示自变量 、因变量 的对应关系模糊，且符号 太过平庸。

并且，让学生审视 与 的优缺点，学生明显感觉到后者的优点，好像前者的 是不平等的。

我们再来欣赏通常的函数 ，它的优点有哪些？如何欣赏这一景点？为此，引导学生发表自己的观赏感言。归纳起来，对该符号等式有如下评价：简约性，包容性，蕴含性，畅通性，对应性，唯一性，轻盈性，平等性，并且比较前面的学生创造的符号式，该符号式似乎不但简洁，而且美观。

再欣赏：把函数 比喻成一座桥。“ ”这不正是一座桥吗？！有流通的功能，不但形似，而且神似。桥有互逆性，该符号式有互逆性。这种看法多么体贴！

无疑，函数符号式 是函数表示方法中的最简单明了的。

参考文献：

[1]现代汉语词典(第五版) .商务印书馆,2008.

[2]王尚志. 高中数学课程中的函数 .中学数学教学参考(上半月),2007,(10).

[3]黄传军. 高中数学新课程中函数的教学建议 .中学数学教学参考(上旬),2009,(8).

[4]章建跃.数学概念的理解与教学 .中学数学教学参考(上旬),2010,(11).

[5]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论 .高等教育出版社,2009.

函数教学论文篇3

【关键词】教学改革 教学方法 数学思想

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）25-0087-01

作为本科数学专业的重要基础课之一，复变函数论在整个课程体系中起着承上启下的重要作用。该课程以数学分析为基础，重点讨论了解析函数的积分理论。通过这门课的学习，学生能够对泛函分析等课程的学习打下良好的基础。针对教师只重视讲授教学内容而忽视培养学生各方面能力的现象，笔者提出以下几点建议。

一 注重培养学生发现问题和解决问题的能力

在重要定理的证明过程中突出探索问题和研究问题的思路，特别强调证明过程中蕴含的数学思想。引导学生提出问题并解决问题，提高学生对定理内容的理解。例如：在Cauchy积分定理的证明过程中，为什么有些地方用到了函数的解析性，而有的地方仅仅用到了函数的连续性？怎样用严格的数学语言描述折线逼近曲线的过程？在此过程中，让学生深刻体会由特殊到一般、折线逼近曲线等朴素的数学思想，提高学生的逻辑思维能力。另外，定理的证明过程再现了数学大师们思考问题的方式，学生可通过学习定理窥视到他们是如何探索真理的，从而激发学习的积极性。尽量避免老师在黑板上推导、学生做笔记的现象发生，让学生在提出问题、思考问题、解决问题的过程中感受定理的证明思路。

二 在比较过程中学习新知识

复变函数课程中的内容有很多都和数学分析中的教学内容相似。教师可以在教学过程中引导学生多做比较，得出两门课程相关知识的区别和联系。如引导学生思考复变函数的导数与一元函数、二元函数的导数有什么联系？实数项级数的敛散性判别法是否适用于复数项级数？对于复函数项级数中的幂级数，它的性质、收敛半径求法是否和实函数项级数中的幂函数保持一致？非零的解析函数的零点孤立性定理是否对可导的实函数成立？在用留数定理计算特殊的实积分时，回顾数学分析课程中的方法，比较两种办法的优缺点，让学生切身感受到留数定理的威力。在教学活动中注重学生的主体意识，寻找类似于上面提到的切入点，通过指出本课程与数学分析课程的区别和联系，使学生懂得该课程的重要性，同时激发学生的学习积极性。总之，让学生在比较的过程中既可以温习旧知识，又可以学到新知识。

虽然复变函数是数学分析的后续课程，但复变函数不仅仅是数学分析的延拓，它还有许多和数学分析不同的概念与方法。如多值函数、Laurent级数与孤立奇点、留数理论与共形映射等。在复变函数中学习的知识和数学分析中学习的知识侧重点也不一样，如微分与导数，数学分析主要讲微分的概念、意义和计算，而在复变函数中只是简单介绍了微分与导数的概念、性质及计算，重点研究的是解析函数。复变函数概念多，性质定理也很多，在教学过程中，既要抓好基础，又要突出重点，更要通过总结、复习等教学环节，顺着知识的逻辑结构，理清知识脉络，这样才能让学生系统地掌握复变函数的理论和方法。

三 注重培养学生的构造能力

构造映射或函数是数学当中较难的问题，所以提高学生这方面的水平是教师需要考虑的一个课题。复变函数中某些定理的证明和第七章共形映射中涉及这个话题。通过详细的讲解并结合数形结合的思想，给学生在这方面有一个完整地呈现。如解析函数唯一性定理的证明过程中需要构造一连串的圆盘。另外，在共形映射这一章，构造符合条件的共形映射是主要目标。在介绍分式线性变换、分式线性变换和幂函数的复合以及分式线性变换和指数函数复合的教学内容时，通过画图和讲解，让学生学会构造简单的共形映射。通过对这类问题的学习，培养学生的构造能力。

四 提高学生的归纳、总结能力

通过十几年的学习积累，学生都有了一定的归纳总结能力。在复变函数论的教学过程中，教师可以引导学生思考解析函数的充要条件有哪些？计算复积分的方法有几种？在解决这类问题的过程中促使学生对这门课有一个整体的把握，而不再是零散的知识点。

总之，为了让学生能够从复变函数论课程中得到更多的收获，教师一定要注重学生各方面能力的培养，改进教学方法，更新教学观念和思想，教学效果必能得到明显的提升。

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[2]黎延海.《复变函数》课程的教学改革与实践[J].科技创新导报，2010（35）

函数教学论文篇4

关键词：建构主义 一课三案 学习模式

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）01-0256-01

正文

建构主义学习理论认为，学习是学习者在原有知识经验的基础上，在一定的社会文化环境中，主动对新信息进行加工处理，建构知识的意义（或知识表征）的过程。学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程。基于建构主义的学习理论，结合教育学博士韩立福教授的有效课堂教学理论，我校作为黑龙江省省级示范高级中学开展了“一课三案”的教学模式的实践。“一课三案”教学模式的核心理念就是：以问题为任务，贯穿学习过程，驱动学生自学，教师组织、指导、引导，帮助每个学生完成学习任务，学有所得。概括说来就是在教师指导下创建学习共同体，使学生学会自主合作探究学习。

“一课三案”具体来说就是对于每节新课教师针对学生实际学习情况准备了课前《自主预习案》，课中《合作探究案》，课后《复习巩固案》三个学习方案。“一课三案”的教学模式注重以学生为中心进行教学，提倡协作学习，关注学生的个别差异，为学生提供充分的学习资源。实现学生对于新知识的主动构建。具体方案如下：

课题：1.3.1 函数单调性 自主预习案

【学习目标】

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义;

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质;本节课

（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性.

（4）通过自主预习，小组合作，完成导学案内容初步体会新课学习模式，掌握学习方法，养成学习数学的良好习惯。

【知识梳理】

1、观察27页图1.3-1回答下列问题：

①随x的增大，y的值有什么变化？

②能否看出函数的最大、最小值？

③函数图象是否具有某种对称性？

2、画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1. f（x） = x

①从左至右图象上升还是下降 ______？②在区间 ____________ 上，随着x的增大，f（x）的值随着 ________ .

2. f（x） = x2 ①在区间 ______上，f（x）的值随着x的增大而 _______ .②在区间 ____________ 上，f（x）的值随着x的增大而 ________ .

函数单调性定义

1.增函数：

2.减函数：

3、函数的单调性定义：

3.判断函数单调性的方法步骤：（学生总结）

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

【预习检测】

1、函数 的单调减区间是（ ）

A、 B、 C、 D、

【我的疑惑】

课题：1.3.1 函数单调性 合作探究案 编号：9

【预习反馈】

请同学们根据教科书中例题要求进行展示29页例1。

【合作探究】

请同学们根据实际能力选择你能完成的题来做。

A层：完成教科书中第32页1、2、3、4题

B层：

1、下列函数在区间（0，+∞）上不是增函数的是（ ）

A y =2x+1 B y =3x2+1 C y = D y =2x2+x+1

2、若x1，x2∈（-∞，0），且x1<x2，函数f（x）= - ，则下列关系正确的是（ ）

A f（x1）<f（x2） B f（x1）>f（x2） C f（x1）=f（x2） D f（x1）f（x2）<0

【拓展训练】

C层：

1、写出下列函数的单调递减区间

（1） （2） （3）

2、判断函数 在 上的单调性。

3、已知函数 ，求 的单调区间。

【总结提升】

课题：1.3.1 函数单调性 复习巩固案

1、如果函数 在 上是增函数，对于任意的

下列结论中 不正确的是（ ）

A、 B、

C、 D、

2、设 是函数 的单调区间， 且 ，

则有（ ）

A、 B、 C、 D、以上都有可能

3、函数 的递减区间是__________。

4、函数 则 的递减区间是_________。

5、证明函数 在 上是减函数。

6、用定义证明函数 在区间 上是增函数。

“一课三案”的教学模式坚持"以学生发展为本"的思想，也就是说我们的教学应该围绕着学生的发展而展开，所有的教学活动一定要着眼于学生、着力于学生、着重于学生的发展。即"以学定教"、"以学施教"和"以学论教"，而不应该无视学生生命个体的存在，自顾自的去讲，致使在整个教学过程中学生没有问题、没有怀疑、没有想象空间，进行"目中无人"的教学。

参考文献

[1]韩立福《新课程有效课堂教学行动策略》 首都师范大学出版社 2012

函数教学论文篇5

一、清晰的教学思路

对于高中数学来说，基本分为几何和函数两大块内容.函数部分在其中占有很重要的地位.《指数函数及其性质》一课，是指数函数部分的基础课，所有相关指数函数的题目都是凌驾于其性质之上，掌握这一课的内容更是重中之重.所以要求教师建立系统清晰的教学思路，着重教学重点难点，并将知识全部串连起来，让学生更容易接受和掌握.

以《指数函数及其性质》这一课来说，众所周知，函数分为三种表示方法，即列表法、图像法和解析法.教师应当将这块内容系统的列在幻灯片中，让学生有清晰的认识.以此三种方法为根基，发散出三块内容，将其他知识穿起来，让学生通过题目或者实践活动从三种不同的描述角度来得到指数函数的概念和性质，这样的自主研究方法更容易让学生对指数函数有全方面的了解，并且带有自己的研究学习方法，这样一来，学生不仅仅掌握了指数函数的相关内容，在学习其它函数的时候也会有自己系统的学习方法，便于其他函数的学习和掌握.

二、着重教学重点难点

以重点难点出发，进行数学的学习更容易掌握复杂难记的性质、公式和概念.但是教师在教学时，一定要注意方法，更好的帮助学生知识的吸收和应用.

案例分析针对《指数函数及其性质》这一课来说，它的重点和难点在于指数函数图像和性质的发现推导过程，以及底数a对于指数函数图像的影响.所以，教师在教学中可以利用两点来进行教学：

1.一般形式的指数函数；

2.指数函数的图像和性质.

这两部分内容可以分成三个阶段，首先，由一个特殊形式的指数函数来进行讲解，便于学生的学习观察和研究，掌握了特殊形式的指数函数性质后；然后，由特殊形式推入到上来，掌握指数函数的一般形式及其性质；最后，再重点讲解一些关于指数函数引出的特殊形式.教师可以由：

y1=1[]24和y2=34

两个函数为例来进行讲解：

教师：大家来把这两个函数的图像做出来，观察结果会发现什么呢？

学生：因为1[]2小于1，所以函数图像在定义域上单调递减；因为3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增.

教师：很好，那么有这两个函数我们可以知道底数a对于指数函数的图像来说有什么影响呢？

这样的教学方式，让教师通过对a的假设，以及函数的举例针对指数函数的图像进行具体分析.让学生不仅仅加强了对指数函数一般形式的掌握，更是为之后的图像性质等方面的研究奠定了坚实的基础，同时让学生体会到了数学分类讨论的思想.最后通过思考题来加深学生对本节课所学习的指数函数的概念以及图像有更深的理解和简单的应用.

三、创设丰富的互动实践

丰富多样的课堂互动实践，是集中学生课堂注意力的最佳方法，这样的互动教学方式也可以很好地提高学生的学习兴趣，帮助他们更好地而掌握和吸收课堂知识.

案例分析以《指数函数及其性质》一课为例.教师可以创设这样的互动实践活动.

活动一：

教师：现在老师有一个思考题要考考大家，大家以前后四人为单位以形成小组来讨论一下，之后老师来检查你们的答案.

学生：好.

教师：1号学生分到2颗球，2号学生分到4颗球，3号分到6颗球，4号分到8颗球……请问51号同学会分到多少颗球呢？

学生小组讨论.

活动二：

教师：现在老师又想到了一个类似的问题，大家也来想想看，到底答案是什么？

学生：好.

教师：同上，1号学生分到2颗球，2号学生分到4颗球，3号分到8颗球，4号分到16颗球……请问51号同学会分到多少颗球呢？

学生小组讨论.

之后由教师进行提问并找不同组的两位同学来黑板上回答.

教师：现在两个小组的同学到前面来进行PK，请问，在以上两个问题中，每位学生所分到的球数用y表示，每位同学的编号用x表示，y与x的关系如何表示呢？这两个函数怎么命名呢？

两组学生均写出： 函数解析式：y=2x（x∈N*）和 y=2x（x∈N*）.

教师：回答的很好，这两个函数一个是我们以前学过的简单函数，另一个就是我们今天要学习的指数函数，现在，大家对指数函数都有系统的概念了吗？

学生：有.

在教学中，教师不应当急于给出结论，让学生死记硬背；而是要通过知识的认知过程，让学生在实践活动和自主思考中充分理解函数的形成过程，学会自己研究得到答案，从而达到掌握重点、突破难点的目的，提高自身的指数函数运算能力和理解能力.

【参考文献】

[1]罗文杰.指数函数的教学设计[J].广东教育，2007 （7）.

[2]高文.现代教学的模式化研究[M].济南：山东教育出版社，2013.

函数教学论文篇6

关键词： 函数 连续 有界

闭区间上连续函数的有界性定理，即：

定理：若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，则函数f（x）在闭区间［a，b］上一定有界.

证明：设函数f（x）在闭区间［a，b］上连续.根据连续函数的局部有界性定理，对于任意x∈［a，b］，存在正数M及正数δ，当x∈（x-δ，x+δ）∩［a，b］时，有|f（x）|≤M.作开区间集

J={（x-δ，x+δ）||f（x）|≤M，x∈［a，b］，x∈（x-δ，x+δ）∩［a，b］}，

显然J覆盖了闭区间［a，b］.由有限覆盖定理，存在J中的有限个开区间

（x-δ，x+δ），（x-δ，x+δ），…，（x-δ，x+δ），

它们也覆盖了闭区间［a，b］.取M=max{M，M，…，M}，

于是对于任意的x∈［a，b］，存在i，1≤i≤n，使得x∈（x-δ，x+δ），有：

|f（x）|≤M≤M.即函数f（x）在闭区间［a，b］有界.

但是，如果上述定理的条件中闭区间［a，b］改为开区间（半开半闭区间、无穷区间）时，函数不一定是有界函数，例如：函数f（x）=在开区间（0，1）连续，函数f（x）=在开区间（0，1）是无界函数.又如函数f（x）=x在任何有限区间都是有界函数，但（-∞，+∞）在上是无界函数.文章讨论在一定条件下，可保证连续函数是有界函数.

结论1：若函数f（x）在［a，b）连续，且f（x）存在，则函数f（x）在［a，b）有界.

证明：设f（x）=A，从而

?埚ε=1，?埚δ＞0，?坌x∶x∈（b-δ，b）?奂［a，b），有|f（x）|≤1+|A|.

因为函数f（x）在闭区间［a，b-δ］连续，从而函数f（x）在闭区间［a，b-δ］上有界.

即?埚M＞0，当X∈［a，b-δ］，使得|f（x）|≤M.

取M=max（1+|A|，M），于是?坌x∈［a，b），有|f（x）|≤M，

即函数f（x）在［a，b）有界.

结论1′：若函数f（x）在（a，b］连续，且极限f（x）存在，则函数f（x）在（a，b］有界.

证明：设f（x）=A，与结论1的证明类似.

结论2：若函数f（x）在（a，b）上连续，且极限f（x）与f（x）都存在，则函数f（x）在（a，b）有界.

证明：设f（x）=A，f（x）=B

设F（x）=A （ x=a）f（x） （ a＜x＜b）B （x=b），

由于F（x）=f（x）=A

F（x）=f（x）=B

及函数f（x）在（a，b）上连续，所以函数F（x）在闭区间［a，b］上连续，根据闭区间上连续函数的有界性定理，函数F（x）在闭区间［a，b］上有界，因为在（a，b）内f（x）=F（x），从而函数f（x）在（a，b）有界.

结论3：若函数f（x）在［a，+∞）上连续，且极限f（x）存在，则函数f（x）在［a，+∞）有界.

证明：设f（x）=A，即：

?埚ε=1，?埚B＞0，（B＞a） ?坌x∶x＞B，有|f（x）-A|＜1，

从而当x∈（B，+∞）时，|f（x）|＜1+|A|

由于函数f（x）在［a，+∞）连续，当然在［a，B］?奂［a，+∞）上连续，

故由闭区间上连续函数的有界性，?埚M＞0，?坌x∈［a，B］，

有|f（x）|＜M，取M=max（1+|A|，M），

于是?埚M＞0，?坌x∈［a，+∞），有|f（x）|≤M，

即函数f（x）在［a，+∞）上有界.

结论3′：若函数f（x）在（-∞，b］上连续，且极限f（x）存在，则函数f（x）在（-∞，b］有界.

结论4：若函数f（x）在（-∞，+∞）上连续，且极限f（x）存在，则函数在（-∞，+∞）有界.

证明：设f（x）=A，即?埚ε=1，?埚B＞0， ?坌x∶|x|＞B，有|f（x）-A|＜1，从而|f（x）|＜1+|A|，所以函数f（x）在（-∞，-B）∪（B，+∞）上有界.已知函数在（-∞，+∞）上连续，当然在［-B，B］?奂（-∞，+∞）上连续，由闭区间上连续函数的有界性，?埚M′＞0， ?坌x∈［-B，B］，

|f（x）|≤M′，取M=max（1+|A|，M′）.

于是?埚M＞0， ?坌x∈（-∞，+∞），有|f（x）|≤M，

即函数f（x）在（-∞，+∞）有界.

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［5］桂祖华.微积分新探［M］.上海：上海交通大学出版社，2004.

函数教学论文篇7

【关键词】局部探究；幂函数；由一般到特殊；数形结合

《笛Э纬瘫曜肌分赋觯航淌Σ唤鍪强纬痰氖凳撸而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量，因此，教师不应该按部就班地照抄教材、教参或者一些教辅材料，要结合学生的实际，将教学内容安排得更加丰满、有趣.下面以幂函数为例，谈谈笔者对执行新课标、实施新课改的一次尝试.

一、创设情境生成概念

有下列5个函数：（1）y=x；（2）y=x12；（3）y=x2；（4）y=x-1；（5）y=x3.

（1）上述5个函数都是什么函数类型？

（2）观察形式上的共同点，能否用一个式子概括出？

（3）这是不是我们学过的函数呢？

（4）这和我们学过的函数有什么区别？

设计意图说明：教师类比指数函数图像的研究过程，引出研究新函数的一些思想方法：类比思想；由特殊到一般.引导学生主动想到需要研究特殊的幂函数，然后归纳总结出一般幂函数的规律.本节重点是在分析函数性质的基础上，能绘制幂函数的图像，再通过图像归纳一般的性质，以图促性.所以，应侧重图像教学，应详尽地展示过程，关注课堂生成，留足时间给学生自主探究幂函数的图像和性质.

二、合作探究总结规律

探究一：注意到所有的幂函数图像都不经过第四象限，并且都经过第一象限，这是偶然吗？

探究二：在（0，+∞）上哪些函数是增函数，哪些函数是减函数？规律是什么？

探究三：在第一象限内，递增的幂函数中，幂指数的范围对函数递增的速度有什么影响？

探究四：哪些函数是奇函数，哪些是偶函数？

设计意图说明：让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，注重生生、师生之间的有效互动，让学生一层一层地总结出结论，而且还能总结出思想方法：特殊到一般；类比思想；分类讨论；数形结合.

三、规律生成师生共议

幂函数的图像画法.

（1）先求定义域；

（2）再画出幂函数在第一象限的图像，分三种情况：

当α>0时，递增：

如果α>1，增加的越来越快；

如果0

当α

（3）根据奇偶性，判断是否对称到其他象限

设计意图说明：通过前面的四个探究问题，学生完全可以自己总结出一般幂函数的图像和性质，实现了认识上的一次飞跃.学生在经历了之前的观察、分析、思考与讨论、抽象概括后，在这一环节相互交流、相互补充完善结论.体现了教师引领着学生体验思维的发生与发展过程.

四、回归情境运用新知

例1：讨论函数y=x23的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的单调性.

练习：讨论函数y=x13的定义域、奇偶性，作出它的图像.在第一象限内，它与之前我们画过的y=x3的图像有什么关系？

例2：比较下列两个代数式值的大小：

（1）（a+1）1.5，a1.5；（2）（2+a2）-23，2-23.

设计意图说明：学生已经有了用图像研究函数性质的意识，也要知道利用函数的性质来辅助作图，体现了数学上数形结合的思想.学生独立探究，当幂指数互为倒数时，在第一象限，他们互为反函数，图像关于直线y=x对称.习题的设计补充了幂指数的其他情况，对于学生全面了解幂函数的图像和性质大有裨益.

五、梳理小结双管齐下

好的课堂小结对一堂课能起到画龙点睛的作用，是针对课堂教学内容的概括和升华.传统教学中，教师包办式的总结极易忽视对思维方法和数学思想的提炼，只注重对知识点的总结，不利于学生温故知新，也不利于学生提升思维.

教师启发式提问：这节课我们学到了什么？

1.幂函数的定义.

2.幂函数的图像和性质.

3.经历并感受了研究新函数的思想方法：特殊到一般；类比思想；分类讨论；数形结合.

六、论文线索创新培优

1.幂指数α对幂函数图像和性质（定义域、奇偶性和单调性）的影响，要注意整理幂指数α（既约分数）所有的情况.

2.针对你学过的几种函数类型（指数函数、幂函数和对数函数），其图像的增长速度和函数类型有关系吗？你能总结出一般规律吗？

函数教学论文篇8

（陕西省建筑职工大学，陕西 西安 710068）

【摘　要】根据函数连续性的定义，讨论的初等函数间断点的判断方法。从函数极限存在性入手，给出了判断函数间断点类型的一般步骤。通过几个特出非初等函数连续性和间断点的讨论，说明了判定过程，对于函数连续性和间断点的教学具有一定的指导意义。

关键词 连续函数；间断点；初等函数；分段函数

函数连续性是高等数学中衔接函数极限和函数微分的重要概念，函数连续性与间断点则是教学中的一个重点概念，如何讨论函数连续性，判断函数间断点的类型则是学生学习的一个难点。本文从函数连续性的定义入手，分析了判断函数间断点的一般步骤，为这一环节的教学提供了思路。

1　函数间断点的判断

2　函数间断点类型的判断

函数间断点分为可去间断点和跳跃间断点，该两类间断点统称为“第一类间断点”；除此之外的间断点均称为“第二类间断点”。

根据可去间断点和跳跃间断点的定义[2]可以得到以下结论：

结论1：左右极限存在是x0为f的第一类间断点的必要条件。

结论2：函数极限存在是x0为f的可去间断点的必要条件。

根据函数极限的存在性定理，“函数f（x）在x0处极限存在的充要条件是在x0处的左右极限存在且相等”。所以，函数极限不存在分为两种情况：（1）左右极限不存在；（2）左右极限存在但不相等。

根据上述两个结论，结合函数连续性的定义，得出讨论函数连续性与间断点的一般过程为：首先从判断函数极限的存在性入手，判断是否可能为可去间断点；如果极限不存在，则根据不存在的类型，分别判断是跳跃间断点还是第二类间断点。

伪算法如下：

为了更清楚的说明问题，下面研究几个具体函数的连续性问题。

通过上面几个例子，说明了判断函数间断点的一般方法和间断点类型判断的一般步骤。针对不同类型的函数，采取相应的分析方法，为函数连续性与间断点的学习提供了思路。

参考文献

［1］同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2000:76-85.

［2］华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:71-78.

［3］周玉兰,冯娟.关于函数连续性的分析方法[J].邢台职业技术学院学报,2007:24,5.