函数概念范文
时间：2023-02-26 15:49:25
函数概念范文第1篇
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
（1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
（2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
（3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。学法：
四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
二.新课讲授：
（1）接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
（2）巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y=f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f（x））值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
三.讲解例题
例1.问y=1（x∈A）是不是函数？
解：y=1可以化为y=0*X+1
函数概念范文第2篇
【关键词】：函数概念；类比方法；抽象
中图分类号：G623.5
函数是中学数学学习的主线，万事开头难，明确函数的概念，是学习及应用函数的前提，也是学生们思想，思维提升的关键。
一、函数的表达由来
函数的发展历程最为可观。十九世纪才对函数有了对应关系，1821年，柯西（Cauchy，法，1789-1857）从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年傅里叶（Fourler，法国，1768-1830）发现某些函数也可用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识有推进了一个新层次。
1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805-1859）突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他开拓了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x的值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托（Cantor，德，1845-1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen.，美，1880-1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其他对象。
1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
二、中文“函数”的由来
在中国清代数学家李善兰翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function"翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”：这里的“函”是包含的意思。
三、初高中数学教材函数概念
经过多年的数学教学发现，函数概念的理解是中学生学习上的一个困难。
1、初中教材中，函数的概念即函数的传统概念：在某一变化过程中，有两个变量x，y。在某一法则的作用下，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与其相对应，这时，就称y是x的函数。这时，x是自变量，y是因变量。初中阶段，由于学生们的认知水平存在差异，少部分同学能够接受函数的概念，一部分同学能够机械的运算函数问题，而还有一部分同学是函数为一座高山，难以逾越，这不能怪学生学不会，函数的这两个变量之间的关系，真的很抽象；进入高一，学生们先学习集合表示，集合是高中数学的学习基础。
在集合的基础上，教材中出现了集合观念下的函数概念即函数的近代概念：设A，B都是非空的数集，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么在f的作用下，集合A中的每个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，就叫集合A到集合B的函数关系；记：y=f（x），其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f（x）的定义域，象集合C叫做函数f（x）的值域。
四、趣解函数概念
不难发现函数就是表达数与数之间的对应关系，由于它的抽象性，对学生来说，理解起来并不是这么容易，其实只要掌握函数两个要求：?对象是数字；?对应关系；数字同学们能理解，关键是对应关系，对应关系有：一对一对应关系，多对一对应关系，一对多对应关系，哪种对应关系才是函数关系？这是同学们困惑的关键点，为了让同学们更容易的理解，我从以下两个方面做了类比解读函数概念。
1、从函数字面意思上解读；函，李善兰前辈解释为“包含”，我从中华词典中查阅，函，即信函；信函，这是每个同学都熟悉的事物并且都知道同一个时间：一封信一个地方，多封信同一个地方，却没有一封信多个地方；那么前面发生的两种对应关系正是近代数学中函数表达的两种对应关系即：一对一关系和多对一关系；而这种关系就体现在函数的概念：设A，B都是非空的数集，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么在f的作用下，集合A中的每个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；信封就是集合A，集合A中的数字就是信封中的信纸，集合B就是寄信地址；而邮递方式就是对应法则：f；这样就能很好的帮助学生们理解函数的对应关系；例如：函数y=kx+b（b为常数），x的范围是集合A中的数字，y的范围是集合B中的数字，对应法则f为：y=kx+b，由我们熟悉的一次函数解析式，同学们很容易的理解 每取一个数字，通过对应法则y=kx+b，都有惟一的y值与之对应；
2、从函数的表达式解读：多数函数的表达都习惯用x，y表示；对于x，y学生们都明白，在古代中国有一夫多妻制，在生理学中x代表雌性，y代表雄性，所以从这个角度来理解函数的对应关系：一夫一妻制即一对一对应关系；一夫多妻制即一对多对应关系（夫代表数字y；妻代表数字x）
从上面的对应关系中，很容易确定后两个对应关系才是函数对应关系；经过多年教学用这种方法解读函数概念，学生们很轻松的接受了这个概念，在下面学习函数表示及函数的应用时就驾轻就熟了，从思想上也减轻了知识负担；
研究函数的入门课程很重要，如果这个问题能够引起注意，帮助同学们顺利的完成这部分的学习，对以后学习函数性质有很大的帮助，甚至对整个中学数学的学习都起到抛砖引玉的作用。
参考文献
[1]《函数概念的发展史》.杜石然，数学通报，1961年06期
[2]《初中生对函数概念理解的调查研究》.彭丹
[3]《谈函数概念的教学》.陈红霞、蒋佩锦，数学通报，1980年05期
函数概念范文第3篇
本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁
性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.
2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.
6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.
9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.
10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二.编写意图与教学建议
1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.
4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.
5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约13课时。
1.1集合4课时
1.2函数及其表示4课时
1.3函数的性质3课时
实习作业1课时
复习1课时
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;
(2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;
(4)会用集合语言表示有关数学对象;
(5)培养学生抽象概括的能力.
2.过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二.教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：投影仪.
四.教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
(二)研探新知
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程的所有实数根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.你认为学习集合有什么意义?
3.选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
1.课后书面作业：第13页习题
1.1A组第4题.
函数概念范文第4篇
一、 从函数概念的本质属性上把握
对于函数，大多数学生都在头脑中存在着非本质属性泛化的错误观念：“有完整数学表达式的才是函数。”这也是他们不能理解抽象函数的根本原因。其实不然，他们并没有真正掌握函数的本质特征。什么是函数的本质属性？ “按照某种对应关系f，非空数集中的每一个元素x，在非空数集B中都有唯一的元素与它相对应，这种从A到的B对应是函数”。其概念有两个要点：一是数集A中的每一个元素在B中都有对应的元素；二是数集A中每一个元素的对应元素只有一个。满足这两个条件的对应关系才是函数，这就是函数的本质属性，也是抽象函数的内涵。这意味着，如果能够认识到函数的本质特征，是函数不变的性质，除此之外，一切都是可变的，那么，表达形式对于函数来说就是无关紧要的了。实质上，抽象函数y=f(x)，是指对应关系f：xf(x)，其中x是自变量，定义域中的元素，f(x)是值域中的元素，意即对应关系“f”把定义域中的元素“x”变成了值域中的元素“f(x)”。因此，从本质上讲，抽象函数与其它的函数，尤其是具体函数，是没有差别的，我们也就可以借助于具体函数来讨论抽象函数了。
二、 从函数的符号表示上把握
形式不是函数的本质，符号当然也不是。而解析式表示的函数，其自变量可以是任意字母的，自变量的存在形式也可以任意。那么，没有解析式的函数，其自变量的存在形式可以任意，但自变量是唯一的。例如，函数y=f(x)，x∈R表示以x为自变量，对应关系为f的函数。那么y=f(2x-1)的自变量是x还是2x-1？我们不妨假设y=f(x)是一个具体函数f(x)=x+1，则f(2x-1)=2x，即y=2x。现在就无需争辩了，自变量当然是x，而2x-1仅仅是一个中间量。一般地说，一个含x的函数式，无论它以什么样的形式给出，其自变量都是x，而不是x的某一代数形式。明确了抽象函数的自变量，那么有关于定义域的问题，比如：已知函数y=f(x)的定义域为[1，2]，求函数y=f(2x-1)的定义域，就迎刃而解了。但是，下面这个问题：“已知函数y=f(2x-1)的定义域为[1，2]，求函数y=f(x)的定义域。”解决时需要慎重一些。当然，如果搞清了函数的自变量，问题就不是问题了。根据前面的讨论，函数y=f(2x-1)中，自变量是x，而2x-1仅仅是一个中间量，因此，函数y=f(2x-1)的定义域为[1，2]，即x∈ [1，2]，得2x-1∈[1，3]。而函数y=f(x)中的“x”相当于y=f(2x-1)中的“2x-1”这个整体，故函数y=f(x)的定义域为[1，3]。
三、 从函数的图像及某些性质上把握
奇偶性是函数的重要性质之一，数形结合是重要的数学思想方法。运用函数图像研究抽象函数的对称性，你会有意想不到的收获。例如，设函数y=f(2x-1)是一个偶函数，则函数y=f(x)的图像的对称轴是什么？有些学生会误认为对称轴还是y轴。产生此误解的原因是前面的问题还没有搞清楚，误认“2x-1”是自变量，从而导致错误。实际上应该这样解答：因为y=f(2x-1)是偶函数，则-f(2x-1)=f(2x-1)，即有f(2x-1)=f[-(2x-1)-2]，令2x-1=t，即有f(t)=f(-t-2)，从而可知y=f(x)的图像的对称轴是直线x=1。
如果从函数图像变换来看也可以这样解：
图像变换如下：函数y=f(x)图像 函数y=f(2x)图像 函数y=f[2(x-
四、从函数的反函数的角度上把握
反函数与原函数有着密切的关系，深刻理解二者之间的联系与区别能加深对抽象函数的二重性的认识，提升概念
总而言之，抽象函数的概念教学不能仅仅停留在简单的语义表述上，而应淡化形式，注重实质。抽象函数概念的理解应是多维度、多因素的。抽象函数仅仅是函数中的一个概念，应从整个函数概念网络来理解，引导学生向相关知识迁移，重视概念的表层知识与对象结构诸种概念中蕴含的数学思想，培养概念理解的层次观，逐步完善对概念的认识，提高数学素养。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
函数概念范文第5篇
一、教材分析
1．教材的地位和作用
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿于中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2．教学目标及确立的依据
（1）教学目标：
1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
（2）教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3．教学重点难点及确立的依据
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高档题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。 函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不同了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这个难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
四、教学程序
学 法：
〖课程导入〗
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1，把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
〖新课讲授〗
1．接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
2．巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对一，多对一”但不能是“一对多”。
例1，给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射，进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y＝f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y［或f（x）］值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
（1）函数是非空数集到非空数集的映射。
（2）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
（3）f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
（4）集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
（5）“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
〖讲解例题〗
例1，问y＝1（x∈A）是不是函数？
解：y＝1可以化为y＝0•x＋1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
［注］：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
〖课时小结〗
1．映射的定义。
2．函数的近代定义。
3．函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4．函数近代定义的五大注意点。
〖课后作业及板书设计〗
书本P51习题2.1的1、2写在书上，3、4、5上交。
函数概念范文第6篇
关键词：运动 变化 思维转化
函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。
一、函数概念学习困难的原因分析
1．函数概念本身的原因
认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展过程的简约反映。因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上的困难是比较自然的。另外，从函数概念本身看，以下特点会造成学生理解上的困难。
（1）“变量”概念的复杂性和辩证性。函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则，等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，于学生理解“变量”的意义并没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。
另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异。从日常经验看，“变量”不可能与“确定”联系在一起，而且变量的形式表示之间没有可替代性。但数学中的“变量”具有形式的可替代性，因此，变量概念的形成是辩证法在数学中运用的典范。
（2）函数概念表示方式的多样性。函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。
能否正确地使用函数的不同表示形式，灵活地对不同的表示进行转换，是考察函数概念形成水平的重要标准。
2．学生思维发展水平方面的原因
心理学认为，学生掌握概念的一般特点是：概念的识别优于概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关系。本质属性越多、越鲜明，概念形成越容易；非本质属性越多、越明显，概念形成越难。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辩证概念。
函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。理解函数概念时，需要学生在头脑中建构一个情景（解析式的、表格的或图形的），使得函数的对应法则能够得到形象的、动态的反映；函数是对应法则、定义域、值域的统一体，学生应当领会它们之间的相互制约关系，对三者进行整体把握。像这种抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究对象，而且要在头脑中把整个动态过程转化为研究对象来研究，这就需要学生的思维在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但是，学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。
总之，学生的辩证逻辑思维处于发展的初级阶段，与函数概念的运动、变化、联系的特点非常不适应，这是构成函数概念学习困难的主要根源。不过，正因为函数概念所具有的这种特性，才使它在促进学生思维发展中起着别的数学内容所无法替代的作用，成为从形式逻辑思维向辩证逻辑思维转化的转折点。
二、函数概念的教学
1.重视函数概念的形成过程
函数概念产生于研究变量之间关系的需要，函数是描述数学和现实问题的有效工具。学生已有经验中存在许多可以用以说明函数产生过程的实例。例如：
通过引导学生对表格进行观察，有的学生会注意到，边数每增加1，内角和增加180°；通过归纳，有的学生会猜测到边数与内角和之间存在下列关系：Sn＝180°（n－2）。这是一个一次函数。这个过程可以使学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，这对理解函数概念是很重要的。
为了使学生获得关于猜想正确性的自信心，教师应该鼓励学生采用不同方法来探索同一个问题。例如，上述问题还可以用画图的方法进行探索：从四边形到五边形，由于增加了一个三角形，所以内角和增加了180°。
另外，由图还可以得到如下想法：从n边形的一个定点画出所有对角线，恰好得到（n－2）个三角形，于是内角和公式得到确证。
另外，循着“从四边形到五边形，由于增加了一个三角形，所以内角和增加了180°”，还可以用递推的方法：“后继数＝前数＋180°”。
之所以要鼓励学生采用多种表示方式探索规律，目的是为了使学生由此体验函数关系的产生过程，为后面的抽象概念学习打下基础。实际上，在探索过程中，学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，这种感受对于理解抽象的函数概念是非常重要的。因此，教学中，教师应当多采用学生熟悉的具体实例，引导学生认识其中的变量关系。另外，在上述过程中，学生所使用的主要是归纳的思维形式：通过归纳，探寻规律。归纳之重要性，不仅在于由它可以猜想结论，可以培养学生的创新思维，而且还在于它采用了由具体到抽象、由特例到一般的形式，这就可以使推理建立在学生已有经验的基础上，这是符合学生的认知规律的。
2．重视对变量概念的理解
“变量”是函数概念的核心，但发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。在学习函数概念之前，学生从代数式、方程等内容的学习中获得了关于变量的一定理解。例如，他们已学会解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程组；能够作恒等变形；会使用公式S＝πr2求圆的面积；另外，通过解二元一次方程，他们体验到对于方程y＝2x＋1，可以有无数多个有序数对（x，y）满足它，等等。这些是学生学习“变量”概念的基础。教师应当以此为基础，使学生认识“变量可以在某种约束条件下取不同的值”，以及在这个约束条件下变量之间的对应关系，从而发展学生的变量概念。
3．重视不同表示方式之间的转换
通常，在人们头脑中，函数的表示主要使用解析式，但实际上各种表示（语言的、图像的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解。
4.重视函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解。在数学内部，可以通过用函数性质比较大小、求解方程、求解不等式、证明不等式等活动，深化对函数概念的理解。还要注意用函数知识解决实际问题的训练。实际上，函数是非常重要的“数学建模”工具，现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的。同时，在解决实际问题的过程中，学生对函数概念以及与它相关的变量、代数式、方程等知识都能够加深理解。
例如，教师可以给学生设计类似于这样的问题：
函数概念范文第7篇
函数概念 概念引入 反思 函数不仅是一种重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想，它是联系中学代数主要内容的一条纽带。因此，函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题。 一、概念引入分析 以往教材的呈现方式和课堂讲授方法，虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延，但由于函数概念本身的抽象性，学生接受函数概念的引入，需要教师创设符合学生实际的数学情境。教学中可以结合所教班级的实际补充一些实例，如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关系等。 因为学生在初中对函数已经有了初步的认识，进入高中后又学习了集合的概念，函数的概念引入，可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，可以设计如下： 问题1：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？ 问题2：在上面的例子中，涉及哪些集合？其中的表格、表达式和图象的作用是什么？ 问题3：如何用集合语言阐述几个实例共同特点？ ①你的结论是否正确地概括了例子的共同特征？ ②我们初中学习过的函数都有这样的特征吗？ ③你现在的认识与初中函数概念是否有本质上的差异？ 在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应。在构建函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系。建立函数，必须交代定义域。但是，对定义域和值域不作过多技巧要求和训练。在函数定义的教学过程中，需突出以下几点： ①集合A与集合B都是非空数集；②对应法则的方向是从A到B；③强调“非空”“每一个”“惟一”这三个关键词。 要注意发展学生的数感、符号感。用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号f(x)的意义：对应法则f对自变量x作用。应强调函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，它表示“f对x作用得到y”。应指出f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)是f(x)在x＝a的情况下的一个函数值，一般地，f(a)是一个特殊值，而f(x)是一个变量。现代信息技术的引入，为学生进一步体会、理解函数的本质，为求函数值、作函数的图像，提供了新的行之有效的工具。 二、概念引入反思 1.情景选择的反思 在教学中对情景的选择要有目标意识，要符合学生实际，而且还要有真实性。 2.反例使用的反思 在学生对概念认识的起始阶段，给学生提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当，不然就会影响概念的形成。但在概念的巩固和应用中，可以通过适当的反例让学生辨析概念，达到对概念内涵和外延的掌握。 三、借鉴概念的发展历史引入概念 函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课堂上学生的认知障碍。因此，在函数概念教学中，如果能恰当地借鉴历史，根据函数历史途径，选择学生容易接受的典型情景，探究函数概念，使学生在情景的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次一次逐步抽象出函数概念的方法，这样有助于学生打破原有的思维定势，形成清晰的认识并对函数的概念达到深刻的理解。这种历史的方法是一个多层次逼近，反映了认识由远及近，由模糊至清晰，由粗略到精确的过程，是我们在教学中值得借鉴的。
函数概念范文第8篇
最早提出函数(function)概念的，是德国数学家莱布尼茨(1646-1716)，最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如x2，x3，x4等都叫函数，以后，他又用函数表示直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。
1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量，这个定义的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，贝努利其实强调的是函数要用公式来表示。
后来，一些数学家觉得不应该把函数概念局限在“能用公式来表示”上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以了，至于这些变量的关系是否能用公式来表示，不应作为判别函数的标准。
1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，就把前面的变量称为后面变量的函数，在欧拉的定义中，就不再强调函数要用公式表示了，由于函数不一定要用公式来表示，欧拉就把画在坐标系中的曲线也叫做函数，他认为：“函数就是随意画出的一条曲线。”
当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，甚至抱怀疑态度，他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本中函数定义的函数定义!在某些变数间存在着一定的关系。当给定其中某一变数的值，其他变数的值随之而确定时，则将最初的变数叫做自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。
1822年，法国数学家傅里叶发现，某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。
1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且它随着x一起变化；函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。这个定义指出了对应关系(即所说的“条件”)的必要性，利用这个关系，可以求出每一个，的对应值。
1837年，德国数学家狄利克雷认为，怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数，这个定义抓住了函数概念的本质，比前面的定义更有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便。因此，这个定义之后曾被长期使用，依据这个定义，狄利克雷举了一个例子：对0≤x≤1，当x为有理数时，对应y=1；当x为无理数时，对应y=0，这就是一个函数(也就是著名的狄利克雷函数)，它的图象很难画出来。
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，把“funetion”译成了“函数”。
函数概念范文第9篇
关键词：函数；对应；映射；数形结合
1要把握函数的实质
17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。
迪里赫莱（P.G.Dirichlet）注意到了“对应关系”，于1837年提出：对于在某一区间上的每一确定的x值，y都有一个或多个确定的值与之对应，那么y叫x的一个函数。19世纪70年代集合论问世后，明确把集合到集合的单值对应称为映射，并把：“一切非空集合到数集的映射称为函数”，函数是映射概念的推广。对应说的优点有：①它抓住了函数的实质——对应，是一种对应法则。②它以集合为基础，更具普遍性。③它将抽像的知识以模型并赋予生活化，比如：某班每一位同学与身高（实数）的对应；某班同学在某次测试的成绩的对应；全校学生与某天早上吃的馒头数的对应等都是函数。函数由定义域、值域、对应法则共同刻划，它们相互独立，缺一不可。这样很明确的指出了函数的实质。
对于集合说是考虑到集合是数学中一个最原始的概念，而函数的定义里的“对应”却是一个外加的形式，，似乎不是集合语言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）采用了纯集合论形式的定义：如果集合fС{(x，y)|x∈A，y∈B}且满足条件，对于每一个x∈A，若(x，y1)∈f，(x，y2)∈f，则y1=y2，这时就称集合f为A到B的一个函数。这里f为直积A×B={(x，y)|x∈A，y∈B}的一个特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定义的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定义过于形式化，它舍弃了函数关系生动的直观，既看不出对应法则的形式，更没有解析式，不但不易为中学生理解，而且在推导中也不便使用，如此完全化的数学语言只能在计算机中应用。
2加强数形结合
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽像概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在7—12年级所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图像来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图像就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|(x-?)2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图像是变形后的抛物线，其对称轴为x=?与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈(-3，4)的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。又如：判定方程3x2+6x=1x的实数根的个数，该方程实根个数就是两个函数y=3x2+6x与y=1／x图像的交点个数，作出图像交点个数便一目了然。
3将映射概念下放
就前面三种函数概念而言，能提示函数实质的只有“对应说”，如果在初中阶段把“变量说”的定义替换成“对应说”的定义，可有以下优点：⑴体现数学知识的系统性，也显示出时代信息，为学生今后的学习作准备。⑵凸显数学内容的生活化和现实性，函数是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。⑶变抽像内容形像化，替换后学生会感到函数概念不再那么抽像难懂，好像伸手会触摸到一样，身边到处都有函数。学生就会感到函数不再那么可怕，它无非是一种映射。只需将集合论的初步知识下放一些即可，学生完全能够接受，因为从小学第一学段就已接触到集合的表示方法，第二学段已接触到集合的运算，没有必要作过多担心。以前有人提出将概率知识下放的观点，当时不也有人得出反对意见吗？可现在不也下放到了小学吗？如果能下放到初中，就使得知识体系更完备，衔接更自然，学生易于接受，学生就不会提出“到底什么是函数？”这样的问题。
4区分函数与方程
函数概念范文第10篇
本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁
性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.
2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.
5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从具体到抽象的思维能力.
6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.
9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象.
10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
13.通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二.编写意图与教学建议
1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.
教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.
4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.
5.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，教师要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
6.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
7.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
8.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
9.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约13课时。
1.1集合4课时
1.2函数及其表示4课时
1.3函数的性质3课时
实习作业1课时
复习1课时
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系;
(2)知道常用数集及其专用记号;
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性;
(4)会用集合语言表示有关数学对象;
(5)培养学生抽象概括的能力.
2.过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3.情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二.教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三.学法与教学用具
1.学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：投影仪.
四.教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?
引导学生回忆.举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.
(二)研探新知
1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数;
(2)我国古代的四大发明;
(3)所有的安理会常任理事国;
(4)所有的正方形;
(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程的所有实数根;
(8)不等式的所有解;
(9)洞口一中2007年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2.教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数;
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3.让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
(1)如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
(2)如果用A表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A的关系分别是什么?请用数学符号分别表示.
(3)让学生完成教材第6页练习第1题.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A组第1题.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式?
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
(四)巩固深化，反馈矫正
教师投影学习：
(1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9};
(2)用例举法表示集合
(3)试选择适当的方法表示下列集合：教材第6页练习第2题.
(五)归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1.本节课我们学习过哪些知识内容?
2.你认为学习集合有什么意义?
3.选择集合的表示法时应注意些什么?
(六)承上启下，留下悬念
1.课后书面作业：第13页习题
1.1A组第4题.