函数值域范文

函数值域范文第1篇

关键词：函数值域解题技巧解题方法

函数是数学学习中的一个重要内容，它与日常生活有着密切的联系。而值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。求函数值域的方法比较灵活，它所涉及的知识面较广，用到的数学思想方法较多，是数学考查的基本内容。研究函数值域，必须仔细观察函数解析式的结构特征，采取相应的解法，灵活机动地“变通”。以下通过几个例子说明常见函数值域的几种常规求法。

一、配方法

点评：单调性在此类问题中的比重较大，也比较灵活，可以和其他函数性质综合来考察，因此此类型需要重点关注

总结上面介绍了求函数值域的几种方法，可以让人更清晰明了地了解各种方法.但是了解方法与掌握方法是不同层次的要求。要掌握一种方法，一定要熟悉这一方法运用的全过程。要掌握求函数值域的方法，就要反复地练习、使用，学会如何避免使用一些方法时可能产生的错误。并且要多动脑，多思考钻研，擅于从解题中总结经验.其次，要熟悉一些关于初等函数值域的结论，因为它是求复杂函数的基础。必要时，可以将较复杂的函数分解、转化为基本初等函数来求值域。总之，求函数值域的方法多样，很多题目解题方法不唯一。关键是要正确选用合适的求值域的方法，根据函数的结构，特点以及类型等选择合适的方法。这就要求我们要灵活变通，才能找到简便巧妙的方法。而且，函数值域跟定义域和对应法则相关，不仅要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域的约束作用，以免错解。这样，做到了对求函数值域的各种方法有一定的透切的了解，并且能够清楚每个需要注意的问题之后，我们就会“心中有数”。

参考文献：

[1]求函数值域的方法简介-中国基础教育研究 - 赵建新 2007年1月第1期

[2]例析求三角函数值域的方法 - 数理化学习：高中版-侯守一2003年第5期

函数值域范文第2篇

一、直接观察法

有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。

例1（1）求函数的值域。

（2）求函数的值域。

解：（1）先求函数的定义域：列不等式组

解得：

所以函数的定义域为： 而当x=，y=0

所以函数的值域为：

（2）函数的定义域为：R

因为所以：

所以函数的值域为：

注：利用观察法求函数的值域要熟练掌握一些基本函数的性质，如等函数的基本性质。

二、二次函数法（配方法）

二次函数或可转化为形如：类的函数值域问题均可用此法解决。

例2（1）求函数的值域。

（2）求函数的值域。

解：（1）解1：函数的对称轴：

，

所以原函数在上单调递增，有最小值f（1）=1，无最大值。

故原函数的值域为。

解2：

故原函数的值域为。

（2）令

（以下略）

三、换元法

运用整体代换将所给函数的值域转化为值域容易确定的函数，从而求得原函数的值域。

例3（1）求函数的值域。

（2）求函数的值域。

解：（1）令：

（以下略）

（2）

令：

，

所以原函数可化为：

（以下略）

注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。

四、逆求法

用函数的自变量（定义域）与函数值（值域）之间的相互制约关系，通过自变量的取值范围而得到函数值域的方法。

例4（1）求函数的值域。

（2）求函数的值域。

解：（1）由，得

由，

列不等式组：

解得：所以原函数的值域为：（－1，1］

（2）由

即有：

解得：所以原函数的值域为：（，1）

注：逆求法是根据所学的反函数与原函数的定义域与值域互换，但在求解过程中不一定要求出x，可保留x的某种形式。

五、判别式法

一般地，如果函数可化成关于x的一元二次方程：f（y）x2 +g（y）x+ψ（y）= 0，可根据方程的判别式Δ＝g2（y）- 4f（y）ψ（y）≥0求出y的取值范围，从而得出原函数的值域。但要注意几点：

（1）由于在变形过程中涉及到去分母，故应考虑函数的定义域是否为R；否则用“判别式法”求出的值域与最值是不可靠的。

（2）应分别讨论f（y）≠0和f（y）＝0两种情况。

例5（1）求函数的值域。

解：对于

由去分母并整理得：

（*）

①当y-2=0，即y=2时，（*）即为：

方程无解；

②方程(*)为一元二次方程,且

则由：

又

综合①②，可知原函数的值域为

六、单调性法

通过确定函数在定义域（或定义域的某个子区间）上的单调性求出函数值域的方法。

例6（1）求函数的值域。

（2）求函数的值域。

（3）求函数的值域。

七、奇偶性法

根据函数奇偶性的图象性质，先求出函数在半个定义域上的值域，再根据对称性求出函数在整个定义域上的值域的方法。

例7（1）求函数的值域

解：显然函数的定义域为：，并且函数是奇函数。

当x>0时，，

所以当，

又因为函数是奇函数，，

所以，原函数的值域为：

八、图象法

九、分离常数法

分离常数就是将分子中隐藏着分母的那部分分离出来，从而起到简化函数解析式的作用。

例8（1）求函数的值域

（2）求函数的值域

解：（2）（函数的定义域为：R）

令：

故原函数的值域为：

注：分离常数仅仅是一个简化解析式的步骤，有时分离常数后较容易，有时还需要用其它方法求解。

函数值域范文第3篇

1. 观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数y= 的值域。

解：x≠0， ≠0

显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。

2. 二次函数法

例2.已知函数f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。

(1)若f(x)的定义域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围。

解：（1）依题意(a －1）x +(a+1)x+1＞0对一切x∈R恒成立，

当a －1≠0时，其充要条件是

a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0

即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1

a＜-1或a＞ 。

又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意。

故a≤－1或a＞ 为所求。

(2)依题意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又当a －1=0即a=1时t=2x+1符合题意，而a=-1时不合题意，1≤a≤ 为所求。

3. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3.求函数y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函数的性质可知：

当x=1时，y =4

当x=-1时，y =8

故函数的值域是［4，8］。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4.求函数y= 值域。

解：由原函数式可得：x=

则其反函数为：y=

其定义域为x≠

故所求函数的值域为（-∞， ）。

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5.求函数y= 的值域。

解：由原函数式可得e =

e ＞0， ＞0，

解得-1＜y＜1。

故所求函数的值域为(-1，1)。

6. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例6.函数y=x+ 的值域是( )。

A. (－∞，1］

B. (－∞，－1］

C. R

D .［1，+∞）

解：令 =t(t≥0)，则x= 。

y= +t=－ (t－1) +1≤1

值域为(－∞，1］。

答案：A。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

函数值域范文第4篇

从这个例子中我们发现，对于同一个对应法则的函数，不同的定义域可能会引起函数值域的改变（即使值域没有改变也应视为不同的函数）.更为关键的是，当定义域是连续变化的数集时，值域就是连续变化的数集，当定义域是离散的数集时，那么相应的值域也就相应变成了离散的数集.这就说明，尽管函数的值域是由定义域和对应法则共同确定的，但值域本身的连续或离散的特性只是由定义域本身决定.

我们平常要求的函数的值域大多数都是定义在连续数集上的函数，以下我们所研究的话题如未作特殊说明均基于此.从函数值域定义可以发现，要求出所有的函数值是不现实的，我们只能求出有限的几个，那么究竟要求出几个呢，聪明的同学当然想到了，只需求出函数值中的最大和最小的就可以了.随之而来的问题是，是不是所有的函数都有最大和最小值呢，这些最值又是在哪里取到的呢？

要想弄清这点，我们还得从函数最值的概念说起.对于函数y=f （x），其定义域为x∈D，如果同时满足：①对于任意的x∈D，均有f （x）≤M；②存在x0∈D满足f （x0）=M，则称实数M为函数的最大值，最小值的概念只需将条件①中的不等号调整为“≥”即可.从形的角度，函数的最大（小）值就是函数图象上最高（低）点对应的纵坐标.这里其实已经揭示了函数值域的一个求法：图象法.

当然，我们不可能每次都通过图象来解决，而且也不必如此.我们的目标是图象的最高（低）点，而这是由函数的单调性决定的.对于一个定义在闭区间上函数而言，如果它在定义域内单调，那么它的最大（小）值就在区间端点处取得；如果函数在定义区间内某点x=x0的左右单调性发生改变，该点称为极值点，相应的函数值f （x0）称为相应的极值，则函数的最大（小）值就在区间端点及极值点处取得.特别值得一提的是，如果该区间内仅有一个极值点，那么在该点处取得的极值必为相应的最值.

到这里我们就不难明白前面给出的错误案例中同学错解的原因了，他知道要去求函数的最值，但是不清楚函数的最值并不一定在定义区间的端点处取得.正确的解答应该是：

现在我们应当清楚，函数值域的最根本的求法就是单调性法（图形求解的数化）；我们要想跨越“函数值域求解”这道鸿沟，只需做到下面两点：①熟悉常见基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、勾形函数等）的单调性；②能利用配凑、换元等手法将复杂的函数化归为基本初等函数.

例2（2011江苏卷17）请你设计一个包装盒，如图1所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

函数值域范文第5篇

关键词： 函数 函数值域 方法

1.观察法

对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。

由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。

例1：求函数y=（x-3）的值域。

解：函数定义域为-1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函数值域y∈（-∞，0］。

2.反函数法

如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。

即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。

例2：求函数y=+，x∈（0，1］的值域。

错解一：y=+≥2，函数值域y∈［2，+∞）。

剖析：当x=（0，+∞］时，结论x=［2，+∞）才是正确的。但当x∈（0，1），这个结论就不可靠了。

错解二：y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。

函数值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）。

剖析：以上求出的结果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈（0，1］的值域用“判别式法”是无法解决的。

正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函数值域为［，+∞）。

3.转化法

利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。

例3：求函数y=的值域。

解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=确定。

|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函数值域y∈［，+∞）。

4.不等式法

运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。

例4：已知α∈（0，π），求函数y=sinα+的值域。

错解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函数值域为［2，+∞）。

剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。

正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。

当且仅当sinα=，即sinα=1时，上式能全取等号。

小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。

5.最值法

由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。

例5：求函数y=的值域。

解：由函数定义域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。

（1）当cosx∈［-1，-）时，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。

（2）当cosx∈（-，1］时，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。

故函数值域为（-∞，-1］∪［，+∞）.

一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。

6.判别式

根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时，=b-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。

例6：求函数y=2x-7x+3的值域。

解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，该函数值域为［，+∞）.

此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则判别式法失效。

7.换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。

例7：已知函数f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。

解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，则t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］时单调递增

当t=，y=，当t=，y=，

y=f（x）+的值域是［，］.

8.图像法（数行结合法）

通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致图形，从而确定函数的值域。

例8：求函数y=|x-1|+x的值域。

解：原函数可以表达成：当x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；当-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。

作出函数图像（见图1）

由图像知函数值域为［-1，+∞）。

9.单调性法

利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。

例9：求y=x-的值域。

解：y=x和y=-均为单调增函数，

y=y+y=x-为增函数，由定义域x≤知y=，故y≤.

10.配方法

如果给定一个复合函数，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。

例10：求y=x+的值域。

解：y=x+=1-（-1），在定义域x≤内，显然有（-1）≥0，y≤1，函数值域为（-∞，1］。

本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。

参考文献：

［1］董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法［J］.昆明冶金高等专科学校学报，1999，15，（2）：19-23.

［2］王英.求函数值域的技巧方法探讨［J］.南都学坛（自然科学报），2001，21，（3）：115-117.

［3］侯剑方.求函数值域的几种方法［J］.中学数学，2002，（3）：28-30.

［4］谭廷经.求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析［J］.中学数学教学，1995，（3）：28-30.

［5］张秦.求函数值域的方法与技巧［J］.榆林高等专科学校学报，1997，7，（4）：46-49.

［6］林如恺，江杰.求函数值域的几种方法［J］.乐山师范高等师范专科学校学报，1999，（3）：100-103.

［7］王慧贤，张莉.求函数值域的几种方法［J］.白城师范高等师范专科学校，2001，15，（4）：40-42.

［8］纯刚.求函数值域的方法与技巧［J］.安顺师专学报（自然科学报），1996，（4）：53-60.

［9］赵振威.中学数学方法指导［M］.北京：科学出版社，1999：71-75.

［10］谭光宙.中学数学解题方法［M］.北京：北京师范大学出版社，2001：149-151.

函数值域范文第6篇

一、相关概念

函数y＝f(x)中，函数值是与自变量x的值对应的y值。函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。分式函数是解析式为分式形式的函数。

二、分式函数的类型及值域解法

（一）一次分式型

一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。

1.y=cx+dax+b (a≠0)型

例1求函数y=2－3x2x－1的值域。

解析一：常数分离法。将y=cx+dax+b转化为y=k1+k2ax+b（k1,k2为常数），则y≠k1。y=2－3x2x－1=－32+12(2x－1)，y≠－32。

解析二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。值域为y≠－32（详解略）。

2.y=csinx+dasinx+b (a≠0)型

例2 求函数y=sinx+22－sinx的值域。

分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质与y=ct+dat+b（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。13≤y≤3。（详解略）

3.y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b (a≠0)型

例3 求函数y=3sinx－32cosx+10的值域。

分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1解题。

［－58，0］（详解略）。

（二）二次分式型

二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化，所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。

1.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，x∈[WTHZ]R型

例4 求函数y=3xx2+4的值域。

分析：去分母后，可将方程看做是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域。用判别式法，先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式Δ≥0（Δ=f(y)）,即可求出值域。（详解略）

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。

2.y=dx2+ex+fax2+bx+c (a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型

例5 求y=16x2－21x+55－4x（x

分析：因为x

三、提炼知识，总结分式函数值域解法

求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函数法。这是求一次分式函数的基本方法，利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。

2.判别式法。这也是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x的二次方程f(x，y)＝0，因为方程有实根，所以判别式Δ≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2ab (a、b∈R＋)，在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑不等式法。用不等式法求值域，应注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”。

4.换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。

5.单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域的方法。

另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不再赘述了。

函数值域范文第7篇

关键词：函数值域 解答 方式方法

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0241-02

求函数值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

1 配方法

例1：求函数y=2x2-6x+3的值域。

解：y=2（x-3）2-≥-

函数X的值域为[-，

2 判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式≥0得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2：求的值域。

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当y时，≥

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

3 非负数法

当函数的解析式中出现绝对值、偶次方幂、算数根或指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3：求函数的值域。

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为。

4 分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4：求函数的值域。

解：

因为且，

所以，

故该函数的值域为[

5 换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5：求函数的值域。

解：令）

所以（当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为。

6 函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6：求函数的值域。

解：设

因为

当时，t有最小值;

又因为是增函数

所以当≥;

故原函数的值域为。

7 反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。

例7：求函数的值域。

解：求得的反函数为，

其定义域为;

故所求函数的值域为;

8 数形结合法

例8：求函数的值域

解：原函数化为

将此函数化为分段函数的形式

通过图像可知

故所求函数的值域为≥

以后通过学习不等式和三角函数求函数的值域还可以用不和利用有界性法。

参考文献

[1] 如何求函数值域[J].云南教育：基础教育版，1980（9）：35-36.

[2] 黄桂香.求函数值域的常用方法[J].中学课程辅导・教学研究，2012（30）：113-114.

函数值域范文第8篇

1.观察法

从函数解析式观察，利用如等，直接得出它的值域.

例1.求函数的值域.

解：由得，所以函数的值域为.

2.分离常数法

对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.

例2.求函数的值域.

解：分离常数，得，，，函数的值域为.

3.配方法

主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.

例3.求函数的值域.

解：配方，得，又，结合图象，知函数的值域是.

4.判别式法

对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域.

例4.求函数的值域.

解：原函数可化为关于的一元二次方程.

（1）当时，，，解得；

（2）当时，，而.故函数的值域为.

5.换元法

有时候为了建立已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法.在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.

例5.求函数的值域.

解：令，则，，

，当时，函数取得最大值，所以函数的值域为.

6.反解法

就是用来表示，利用其变形形式求得原函数的值域.

例6.求函数的值域.

解：函数可化为，可得，所以原函数的值域为.

7.单调性法

单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.

例7.求函数的值域.

解：此题可以看作和，的复合函数，

显然函数为单调递增函数， 易验证亦是单调递增函数，

故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为.

当时， 取得最小值.当时， 取得最大值.故而原函数的值域为.

8.数形结合法

对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化.

例8.求函数的值域.

解：将原函数的解析式中的绝对值去掉，得，

作出图象（如右图），显然.

所以函数的值域是.

9.基本不等式法

利用基本不等式和求函数的值域， 要合理地添项和拆项， 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量， 同时， 利用此法时应注意取等号成立的条件.

例9.求函数的值域.

解： ，当且仅当时等号成立.

故函数的值域为.

10.导数法

若函数在内可导， 可以利用导数求得在内的极值， 然后再计算在，点的极限值. 从而求得的值域.

例10.求函数的值域.

解：显然在可导，且. 由得的极值点为.

易得在上单调递减，在上单调递增，

比较 ，，得在上的最小值为，最大值为4.

函数值域范文第9篇

一、相关概念

1、值域：函数y=f(x)(x∈I)，所有函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域.

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函数的值域常常化归为求函数的最值.

3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域.

二、确定函数值域的原则

1.当函数用表格给出时，函数的值域指表格中y实数的集合；

则值域为{1，2，3，4}

2.当函数是图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数的集合；

3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

4.由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定.

三、基本函数的值域

1.一次函数y=ax+b(a≠0)的值域为R；

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域当a>0时，y∈[ ，+∞），当a

3.反比例函数y= (a≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；

4.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0,+∞)；

5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域为R；

6.三角函数的有界性.

四、求函数值域的常用方法.

1.观察法：根据函数y=f(x)的解析式，直接观察出y的取值范围

例1 求函数y= +1的值域.

解：x≠0， ≠0， +1≠1，

函数y= +1的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).

2.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.

例2 求函数y= 的值域.

解：由y= 解得2x= ，

2x>0， >0，-1

函数y= 的值域为y∈（-1，1）.

3.分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.

例3 求函数y= 的值域.

解：y= = =- + ，

≠0，y≠- ，

函数y= 的值域为{y|y≠- }.

4.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法求解.

例4 求函数y=x2-4x+1的最大值、最小值与值域：

解：y=x2-4x+1=(x-2)2-3，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

抛物线的开口向上，函数的定义域R，

x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3}.

例5 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值.

解：设t=ax,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2，当a>1时，t∈[a-1,a]，ymax=a2+2a-1=14，解得a=3，满足a>1；当0

注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

（1）若定义域为R时，

①当a>0时，则当x=- 时，其最小值ymin= ；

②当a

（2）若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a

②若x0 [a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

5.换元法：利用代数或三角代换，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y= 的函数，令f(x)=t，形如y=ax+b± （a,b,c,d为常数且a≠0）的函数，令 =t;形如含 的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0,π]或令x=asinθ，θ∈[- , ].

例6 求函数y=2x+ 的值域.

解：令t= （t≥0），则x= ，

y=-t2+t+1=-(t- )2+

当t= ，即x= 时，ymax= ，无最小值.

函数y=2x+ 的值域为(-∞, ].

例7 函数y=x+ 的值域.

解：（三角代换法）-1≤x≤1，设x=cosθ，θ∈[0，π]

y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= sin(θ+ )∈[-1, ]

原函数的值域为[-1, ].

6.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y= .

例8 求函数y= 的值域.

方法一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0①

当y≠1时 x∈R Δ=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0

由此得(5y+1)2≥0.

检验y=- 时，x=- =2代入①求根

函数定义域为{x|x≠2且x≠3} y≠-

再检验y=1代入①求得x=2 y≠1

综上所述，函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }

方法二：把已知函数化为函数y= = =1- (x≠2)，由此可得y≠1.

x=2时y=- ,即y≠- .

函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }.

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

7.不等式法：利用基本不等式a+b≥2 ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b≥2 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.

例9 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最大值.

解：x< ，5-4x>0，y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.

8.函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑函数的单调性.判断函数的单调性，常利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数的单调性，或利用导数求函数的单调性.

例10 求函数y=x- 的值域.

解：因为当x增大时，1-2x随x的增大而减少，- 随x的增大而增大，所以函数y=x- 在定义域(-∞, ]上是增函数.

所以y≤ - = ，所以函数y=x- 的值域为(-∞, ].

9.函数的有界性法：形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-1≤sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的值的范围.

例11 求函数y= 的值域.

解：将原函数化为

sinx+ycosx=2y,即 (sinx• + cosx)=2y且cosφ= 且sinφ= ，

sin(x+φ)= ，| |≤1，

平方得3y2≤1,- ≤y≤ .

原函数的值域为[- , ].

10.数形结合法

例12 求函数y= + 的最小值.

改造为y= + ，并理解为点(x,0)至(-3,8)和(2,2)距离之和，易得最小值为5 .

例13 函数y= 的最大值为 ,最小值为

.

将解析式理解为定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)的连线斜率，且不难得出动点(-cosx,sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2,3)且与单位圆相切的切线斜率即可，所求最大值与最小值.

例14 求函数y=|x+2- |的单调区间和值域.

改造为y= • ,将其中 理解为动点(x， )至直线x-y+2=0的距离即可，不难得出动点(x， )的轨迹为单位圆的上半部分，从而易得函数y=f(x)在x∈[-1,- ]是减函数，在x∈[- ，1]是增函数，因此求得值域为y∈[2- ,3].

点拨：数形结合法求函数值域的关键在于对函数表达式的几何意义的主观感知，从几何意义上去求解，这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念.

11.导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.

例15 求函数y= - 的值域.

解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0求得，即x≥-2.

y′= - =

=

当x>-2时，y′>0，即函数y= - ，在（-2，+∞）上是增函数，又f(-2)=-1，所求函数的值域为[-1，+∞）.

点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.

（2）求值域时，当x=-2，函数不可导，但函数y= - 在[-2，+∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=-2时，取得最小值.

函数值域范文第10篇

一、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 ：求函数y=3-■的值域。

解：因为■≥0，

所以-■≤0，3-■≤3，

故函数的值域是: （-∞,3]。

二、图象法

利用函数的图象，直观地得出函数的值域。此方法广泛应用于一些分段函数的值域和求二次函数在闭区间上的值域。其关键在于能否准确作出函数的图象。

例2：求函数y＝x■-x-6（如图所示）,x∈-2,4的值域。

解：由函数图象得所求函数的值域为-6.25,6.

三、配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。其关键在于能否正确地将二次函数式配成完全平方式。

例3：求函数y=■的值域。

解：由-x■+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函数的值域是0,■。

四、判别式法

若函数式为分式结构，分子分母均为二次式，且函数的定义域为R，则可用此法.通常先将分式转化为一元二次方程，再由?驻≥0，确定y的范围，即得原函数的值域.

例4：求函数y=■的值域。

解：函数的定义域为R（?驻=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函数化为关于x的一元二次方程为(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以

（1）当y≠1时，?驻=(1-y)■-4y(y-1)≥0，

解得-■≤y≤1。

（2）当y=1时，1≠0，故y≠1。

综上，原函数的值域为[-■,1)。

评注：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=■的函数。

五、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，常用代数代换或三角代换法，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均为常数，且ac≠0）等。

例5 ：求函数y=x+■的值域。

解：令■=t(t≥0)，则x=t■+1，

所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，

由二次函数的性质可知原函数的值域为[1,+∞)。

六、函数单调性法

首先确定函数的定义域，然后再根据函数在给定的区间上的单调性求值域.常用到函数y=x+■(p＞0)的单调性：增区间为(-∞,-■]和[■,∞)，减区间为[-■,0]和[0,■]。

例6：求函数y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。

解：令y■=2■，y■=log■■,

则y■,y■在[2，10]上都是增函数,

所以y=y■+y■在[2，10]上是增函数。

当x=2时，y■=2■+log■■=■；

当x=10时，y■=2■+log■■=33，

故所求函数的值域为：■,33。

例7：求函数y=x+■,x∈(0,5]的值域。

解：原函数的导数为y＇=1-■，其单调递增区间为[■,+∞)，单调递减区间为(0,■]，故原函数在x=■处取得最小值2■，在x=5处取得最大值■，所以原函数的值域为[2■,■]。

七、分离常数法

此方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常数，且ac≠0），这时通过拼凑,将分子进行常数分离。

例8：求函数y=■的值域。

解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。

评注：此题也可利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，即反函数法。

八、函数有界性法

利用函数的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因为sinα≤1,x■≥0，可解出y的范围，从而求出其值域或最值.

例9：求函数y=■的值域。

解：由原函数式可得e■=■，

e■＞0，

■＞0，

解得-1＜y＜1。

故所求函数的值域为(-1,1)。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接观察法，函数单调性法和图象法，然后才考虑用其他各种特殊方法。