求函数值域范文

求函数值域篇1

关键词:函数;值域;方法

中图分类号:G623.5文献标识码:A

函数是中学数学重要的基本概念之一,它与代数式、方程、不等式、三角函数等内容密切联系,应用十分广泛。函数的值域是函数的一个重要组成部分,值域是由定义域和对应法则所确定的。在研究函数值域时,不但要重视对应法则作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用,在初等数学的范围内,求函数的值域是没有通用方法的,它不象定义域有一定可依据的法则和程序,因此要根据问题的不同特点,综合而灵活地运用各种方法求之。下面列举几种函数值域求解的常用方法。

一、观察法

对于一些简单函数,可通过对于函数定义域及对应法则的观察分析求值域。

例1:y=1-|x|

解:|x|≥0 y≤1 故所求的值域为(-∞,1〕

例2:求函数 的值域

解:

故值域为(-∞,1)∪(1,+∞)

注:若观察出函数是单调函数,则可利用函数单调性求值域。

二、判别式法

用判别式求(a1,b1,c1,a2,b2,c2皆为常数,a1、a2不同时为零)型函数值域时分两种具体情况:

1.当分子与分母有公因式时,这时,可先约去公因式后再求值域,但须除去使公因式为零的x所对应的y值。

例3:求函数的值域

解:由

可知y≠1/2,同时因x≠2,故y≠3/2

所求值域为{y|y∈R且y≠1/2,y≠3/2｝

2.当分子与分母无公因式时,使用判别式求值域时,先转化为含参量y的一元二次方程,但要从判别式求出的结果中除去关于x的一元二次方程的二次项系数为零且又使方程无实数解的y值。同时要注意弄准函数定义域,并要检验边界点能否达到,否则可能得到错解。

例4:求函数的值域

解:经检验分子、分母无公因式,把原式变形:

(y-2)x2+(y-2)x+y-3=0①

显然y≠2(若y=2,则方程①为-1=0不成立,y≠2)

y∈R方程①有实根的充要条件

y≠2

{=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,得2y≤10/3

故所求值域为(2,10/3〕

三、配方法

适用于求二次函数和与二次函数有关的函数值域

例5:求函数y=x2+4x+3(X∈〔-1,0〕的值域

解:y=(x+2)2-1-1≤x≤0

当x=-1时,ymin=0,当x=0时,ymax=3

故所求值域为〔0,3〕

注:用配方法可求二次函数在指定区间上值域时,切勿直接套二次函数的最值公式,因为这时最值未必在顶点处取得。

例6:求函数y=sin2x+cosx+1=1-cos2x+cosx+1

=-cos2x+cosx+2=-(cosx-1/2)2+9/4

-1≤cosx≤1当cosx=1/2时,ymax=9/4

当cosx=-1时,ymin=0

y∈〔0,9/4〕

四、反函数法

利用反函数定义域求原函数值域

例7:求函数 值域

解:函数的反函数为y=log2x/(1-x)且定义域为

(0,1)故函数值域为y∈(0,1)。

五、换元法

1.形如y=x+b± ,(、b、c、d皆为常数,且、c不为零)。

例8:求函数y=2x-3+值域

解:由4x-13≥0得x∈〔13/4,+∞〕

令t= (t≥0)则x=

于是y=2 -3+t=2/1(t+1)2+3≥7/2

即所求函数值域为〔7/2,+∞)

2.三角代换

3.如(,b,c,d均为常数,且c≠0)

①>0,c

③>0,c>0,与④

例9:求函数 值域

解:设

则:2s2-t2=11①

s-t=y②

函数值域转化为方程①与②在直角坐标平面内有公共点时,y取值范围。

方程①可化为( t≥0)

此方程图象是双曲线,在第一象限部分,方程②的图象是斜率为1,在t轴上的截距为-y的直线,由图可知:

故所求函数值域为(-∞,〕

注:本题例12方法也可以解决函数

f(x)=的值域问题,只是转化为椭圆与直线有公共点时,直线在t轴上的截距问题。

六、不等式法

利用某些重要不等式,结合等号成立条件,得出函数值域。

例10:求函数值域

解:此函数定义域为(1,+∞)设

μ=

=(x>1,x-1>0)

上式当且仅当 即x=3取等号,即y=log2μ≥2

故所求函数值域为〔2,+∞)

七、最值法

对闭区间〔a,b〕上的连续函数,可求出y=f(x)在区间〔a,b〕内极值,并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数最值,可得到函数值域

八、单调法

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数值域。

九、数形结合法

画出函数图象,利用图象直观得出函数值域。

例11:求函数y=|x-3|-|x+1|值域

解:设y=|x-3|-|x+1|

-4(x≥3)

=2-2x(-1≤x≤3)

4(x≤-1)

的图象如右图

故值域为〔-4,4〕

总之,在具体求某个函数值域时,首先要仔细认真观察其题型特征,然后再选择适当方法,做题就会得心应手,取得事半功倍的效果。

参考文献:

[1]厉以宁,秦宛顺.现代西方经济学概论[M].北京:北京大学出版社,1983

[2]黎诣远.西方经济学(上册)[M].北京:清华大学出版社

[3]李种,现代西方微观经济学概论[J].北京:高等教育出版社,1995

[4][美]H•范里安.[M].上海:上海三联书店,上海人民出版社,1994

[5]朱建中,高汝熹.数理经济学[Ml武汉:武汉大学出版社,1992

作者简介:

求函数值域篇2

函数是中学数学的重要内容，函数的值域是函数概念的三要素之一。一般地，求函数值域的问题可以转化为解不等式、求反函数的定义域、求最值、判断函数的单调区间、一元二次方程有实根的判别式0的应用、用新变量代换函数式中的某些量、函数的有界性、画函数的图像等等，在数学思想方法上是融会贯通的。

一.反函数法

利用反函数的定义域求原来函数的值域。互为反函数的两个函数，原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域，因此只要求出反函数的定义域，就求出了原函数的值域，这样求函数的值域的问题便得以解决。

例1.求y=函数的值域.

分析：函数y=的反函数为y=log，且其定义域为.

函数的值域为.

二.不等式法

根据完全平方数、算术平方根为非负数等特点，先由函数的定义域，列出满足条件的不等式或不等式组，而后解不等式或不等式组，判断函数的值域，有的题目也可以直接由函数的自变量取值范围观察确定函数的值域。还有些题目可以直接由均值不等式求出函数的值域。

例2求函数的值域.

解 ：

，

故值域为.

三.用求函数最值的方法求函数的值域

函数的最大值与最小值是中学数学的知识点，最值问题涉及中学数学的各个分支，融会了众多数学思想和解题方法，构成了中学数学中重要的横向知识体系，它对于求一部分函数的值域有很重要的作用。

例3.求函数y=

的值域.

解 y=，

当x=2时，=3；

当x=0时，=.

函数的值域为[].

四.单调性法

函数的单调性是函数的重要性质，利用函数在给定区间的单调性来求值域是常用的方法，只要知道函数在给定的区间的增减性，就可以首先确定函数的最大值或最小值或最大值与最小值，然后确定函数的值域.

例4.求函数的值域，

解 设，

，

易知它是定义域内为增函数，从而，.

在上也为增函数，而且，故函数的值域为.

五.判别式法

把已知函数看做是以x为未知数，以y为参数的方程，进行恒等变形，得到关于x的一元二次方程，再利用一元二次方程有实根的判别式，列出关于的不等式，解不等式求函数的值域.

例5.求函数的值域.

解：整理得

.

当时，，得 ；

当时，x=-.

又当y=1时，x=0；y=时，x=-1，0与-1在定义域内.

值域为.

六.换元求函数值域的方法

以新变量代换函数式中的某些量，使函数转为以新变量为自变量的形式。

在新变量代换某些量的过程中，必须由某些量在函数解析式中的意义，确定新变量的取值范围。写出新变量代换某些量的表达式，然后整理转化为原自变量为函数，新变量为自变量的函数表达式，再代入原函数解析式中，得到原函数与新自变量关系的函数解析式，这样函数将变为新自变量的二次函数，下面通过配方求出函数的最大值或最小值，进而求出值域。

例6.求函数的值域.

解：设，

则 .

于是

，

函数的值域为.

七.有界法.

把待求值域的函数式，通过恒等变形变为值域已知的函数式，再利用变形后的函数式的值域，求出原来函数的值域.

例7.求函数的值域.

解 ，

，又

，.

解得，，因此

函数值域为.

八.图像法

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，因而数形结合的思想是研究数学的基本思想之一。"数缺形时少直观，形缺数时难入微"。就是说，在解题时要经常思考，有些数量关系可以借助图形，使抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化，找到研究对象的"几何意义"来形象、直观地揭示数量关系，启示解题思路。

画出函数图像，增强直观形象性，从图像上直观的得出函数值域.

例8.求函数的值域.

解：

可以看做是单位圆外的一点到点与圆上的点的所连线段的斜率的2倍，由下图知，，

设过的直线方程为：

，即

，，

整理得，

，

解得，

值域为.

例9.已知函数， 求函数的值域.

解：分子分母同除以，得

令则

当时，.当时，. 所以，

其图像如下图所示：

，函数有最大值

.

，函数有最小值

，故函数值域为

九.导函数法

导函数法求函数的值域就是利用导数和函数的连续性求出各个极值点，再与连续函数端点值进行比较，从而求得最大值和最小值，故求出值域.其中过程中有重要的几点⑴求导，准确无误求得函数的导函数.⑵确定零点，求出导函数的零点.⑶确定函数的单调性，由导函数的符号确定函数在每个区间的单调性.⑷求最值，通过比较极值和端点值的大小，求得最大值和最小值，故求得值域.

例10.已知，且 函数

当时，求函数值域.

若曲线不经过第4象限，求实数的取值范围.

解 当时，

令，则.

由题意得，，

当时，

当时，，单调递增

，

无最大值

函数的值域为

根据题意可知，当

即

在时恒成立.

令，则

当，有，故在上单调递减.

故的值域为，因此满足

题意的的取值范围为.

求函数值域篇3

【关键词】反函数;常数分离;判别式法;数形结合;换元法;有界性

直接求解复合函数的值域比较困难，本文主要解决不能用直接法求解值域的复合函数，本文主要讲解了七种常用的经典方法，分别是求导法、反函数法、常数分离法、判别式法、数形结合法、换元法和有界性.

一、形如y=x-kx（k>0）与y=x+kx（k>0）两类函数的值域

y=x-kx（k>0）与y=x+kx（k>0）两个函数形式很像，但是性质差异却很大，下面我们来分别讲解下这两种函数求解值域的方法.

对于y=x-kx（k>0），我们用直接法去求解它的值域，可以把它看成两个单调递增函数y=x与y=-kx（k>0）的和，其中y=x在实数上单调递增，y=-kx（k>0）在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别单调递增的，因此两个函数的和在（-∞，0）上和（0，+∞）两个区间上分别也是单调递增的.

例1 求y=x-6x在[1，7]上的值域.

解析 因为y=x-6x在x≠0上是单调递增函数，因此它在[1，7]的值域为-5，437.

对于y=x+kx（k>0），它在定义域x≠0上没有单调性，可求导判断单调性.

y′=1-kx2，当y′>0时，x∈（-∞，-k）∪[k，+∞）.当y′<0时，x∈[-k，0）∪（0，k].也就是说单调递增区间是（-∞，-k]和[k，+∞），单调递减区间是[-k，0）和（0，k]，它不是连续函数，在零点间断，所以分别在各区间上单调递增和单调递减.

例2 求y=x+6x在（-∞，-1]上的值域.

解析 因为y=x+6x在（-∞，-6]上单调递增，在这个区间上的值域是（-∞，-26]，在[-6，-1]上单调递减，在这个区间上的值域也是[-7，-26]，所以在整个定义域上的值域是（-∞，-26].

点评 这种类型的题，主要看x和1x前面的系数是否同号，如果异号就直接判断它的单调性，如果同号就是分段的单调性.同样地，y=-x+kx（k>0）两个系数异号，直接考虑单调性，它相当于y=x-kx（k>0）函数取负，所以它在（-∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别单调递减;y=-x-kx（k>0）两个系数同号，所以考虑分段单调性，它相当于y=x+kx（k>0）函数取负，所以它的单调递减区间是（-∞，-k]和[k，+∞），单调递增区间是[-k，0]和（0，k].一般形式，y=ax+kx，其中a，k为任意常数，如果a，k异号，则直接判断函数的单调性;如果a，k同号，则可以变形为y=ax+kax，然后分别得出单增区间和单减区间.

二、反函数法和分离常数法求解形如y=cx+dax+b（a≠0）的值域

首先介绍反函数法.

若f（x）与g（x）互为反函数，则f（x）的定义域就是g（x）的值域，而f（x）的值域就是g（x）的定义域，所以如果要求一个函数的值域，可以通过求它的反函数的定义域得到.

例3 求y=x-12x+3的值域.

解析 f（x）=x-12x+3，求它的反函数.

2xy+3y=x-1，

（1-2y）x=3y+1，

x=3y+11-2y.

所以反函数为f-1（x）=3x+11-2x，可得反函数的定义域为-∞，12∪12，+∞，所以原函数的值域为-∞，12∪12，+∞.

现在介绍分离常数法.

y=cx+dax+b可以经过一系列变形，首先把分子和分母上x的系数提出来，如y=ca・x+dcx+ba，然后变形为y=ca・x+ba+dc-bax+ba，最后分离得y=ca・1+dc-bax+ba，dc-bax+ba不可能为零，所以函数值不可能为ca，所以值域为-∞，ca∪ca，+∞.在例3中，a=2，c=1，所以值域为-∞，12∪12，+∞.

点评 对于此类题目，分离常数法比较容易，计算量小并且速度快，y=cx+dax+b的值域只与a，c两个常数有关，与b，d两个常数无关.

三、判别式法和分离常数法求解形如y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2（a21+a22≠0）的值域

例4 求y=x2-x+3x的值域.

解析 y=x2-x+3x把它变形为关于x的二次方程yx=x2-x+3，

然后变形为x2-（1+y）x+3=0.

当x=0时，y∈R.

当x≠0时，Δ=（1+y）2-12≥0，也就是（1+y）2≥12，所以1+y≥23或者1+y≤-23，所以值域为（-∞，-23-1]∪[23-1，+∞）.

当a1和a2其中有一个为0，一个不为0时，可以利用y=x+kx（k>0）的性质求解值域.

在例4中，y=x2-x+3x可以变形为y=x+3x-1，因为x+3x在（-∞，0）上的值域为（-∞，-23]，在（0，+∞）上的值域为[23，+∞），所以y=x+3x-1的值域为（-∞，-23-1]∪[23-1，+∞）.

例5 求y=x2-8x+17x-4在[7，+∞）上的值域.

解析 除了判别式法，还可以联合分离常数法和y=x+kx（k>0）的性质求解.

原函数可变形为y=（x-4）2+1x-4，则y=（x-4）+1x-4.

令t=x-4，因此y=t+1t，t≥3，y在t∈[3，+∞）上单调递增，

所以y∈103，+∞.

点评 注意分子和分母的函数形式.当分子和分母至少有一项为二次函数时均可用判别式法求值域，其中如果分子和分母一个是二次函数，一个是正比例函数，则可利用y=x+kx（k>0）的性质求解值域问题，如果分子和分母一个是二次函数，一个是一次函数，则利用分离函数法和y=x+kx（k>0）的性质求解值域问题.当分子和分母都是一次函数，则用分离常数法求值域.

四、数形结合法求解函数的值域

形如y2-y1x2-x1可联想两点（x1，y1）与（x2，y2）连线的斜率，而形如y=（x-x1）2+（y-y1）2+（x-x2）2+（y-y2）2可联想到一个点分别与（x1，y1）和（x2，y2）的连线和.

例6 求y=sinx2-cosx的值域.

解析 可把原来的函数看成y=0-（-sinx）2-cosx，可看作（2，0）和（cosx，-sinx）连线的斜率，而点（cosx-sinx）的轨迹方程为x2+y2=1，是圆心在原点，半径为1的圆，而（2，0）与圆上的点连成的直线方程，斜率取到最大值和最小值是过（2，0）这个点引圆的两条切线方程的斜率，所以问题就转化为求过（2，0）点引圆的两条切线的斜率为多少，设斜率为k，切线方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0.因为圆心到切线的距离为1，所以|-2k|1+k2=1，解得k=±33，所以（2，0）和（cosx，-sinx）连线的斜率最大值为33，最小值为-33.所以原函数的值域为-33，33.

例7 已知x，y满足5x+12y-60=0，求x2+y2的取值范围.

解析 x2+y2可看成（x-0）2+（y-0）2，可看作直线5x+12y-60=0上的点到原点的距离，易知这个距离可以无限大，而距离最小就是过（0，0）引垂线交于直线5x+12y-60=0，这条垂线段距离最短，即|-60|52+122=6013，所以x2+y2的范围是6013，+∞.

五、换元法求解函数的值域

利用代数或三角换元求解值域.形如y=ax+b±cx+d，其中a，b，c，d均为常数，并且ac≠0，令cx+d=t.形如a2-x2，可用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0，π].

例8 求y=x-1-2x的值域.

解析 令t=1-2x，t≥0，所以x=1-t22.

因此原函数变为y=1-t22-t，即y=-12（t+1）2+1，t≥0，

y=-12（t+1）2+1在[0，+∞）上单调递减，所以y∈-∞，12.

例9 求y=x+1-x2的值域.

解析 令x=cosθ，θ∈[0，π].原函数变为y=cosθ+sinθ，θ∈[0，π].

变形为y=2sinθ+π4，θ∈[0，π]，所以θ+π4∈π4，5π4

，sinθ+π4∈-1，22.因此y∈[-2，1].

六、利用有界性求解函数的值域

例10 求y=sinx1+cosx的值域.

解析 原函数可变形为y+y・cosx=sinx，sinx-y・cosx=y，

1+y2sin（x-φ）=y，其中tanφ=y，

所以sin（x-φ）=y1+y2.又因为|sin（x-φ）|≤1，

则y1+y2≤1， y2≤1+y2，所以y∈R.

求函数值域篇4

二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题，更是常见的题型，能够熟练地解决此类问题，也是高考必备的能力要求。借助二次函数的图像，明确其对称轴与给定区间的关系，是解决这类问题的关键所在。下面我就对这一问题的解法谈谈自己的见解，并进行归纳总结。

一、轴定区定问题

即二次函数的图像的对称轴明确，所给区间具体，只需结合其图像，即可直接求得最值，进而得到其值域。

【例1】求二次函数y=-x+4x-2在区间［0，3］上的最大值和最小值。

解：y=-（x-2）+2且x∈［0，3］，

当x=2时，y取得最大值2。

又f（0）＜f（3），

当x=0时，y取得最小值-2。

【例2】求函数y=1-2sinx+2cosx，x∈［-，］的值域。

解：y=1-2sinx+2cosx=2cosx+2cosx-1=2cosx+-

x∈［-，］

cosx∈［，1］

当cosx=即x=±时，y=；

当cosx=1即x=0时，y=3。

所以所求函数的值域为［，3］。

【小结】对于二次函数f（x）=a（x-h）+k在区间［m，n］上的最值：

若h∈［m，n］，则当a＞0（a＜0）时，f（h）是最小（大）值，且f（m）与f（n）中最大（小）者为最大（小）值；

若h?埸［m，n］，则f（x）在区间［m，n］上是单调的，因此f（m）与f（n）中的最大者为最大值，最小者为最小值。

二、轴动区定问题

即二次函数的图像的对称轴变化，而所给区间具体，这时要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论解决。

【例3】已知二次函数f（x）=-x+2ax+1-a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。

分析：抛物线开口方向明确，其对称轴为x=a，由于对称轴位置不定，所以要根据对称轴“穿过”区间的不同方式进行分类讨论。

解：函数f（x）的图像的对称轴为x=a。

（1）当a＜0时，（如图1.1），f（x）在［0，1］上是减函数，

当x=0时，

f（x）=f（0）=1-a。

（2）当0≤a≤1时，（如图1.2），此时函数的最大值在对称轴处取得，

当z=a时，

f（x）=f（a）=a-a+1。

（3）当a＞1时，（如图1.3），f（x）在［0，1］上是增函数，

当x=1时，

f（x）=f（1）=a。

综上所述：当a＜0时，f（x）=f（0）=1-a；

当0≤a≤时，f（x）=f（a）=a-a+1；

当a＞1时，f（x）=f（1）=a。

【例4】已知二次函数f（x）=（4-3a）x-2x+a（a∈R），求函数f（x）在区间［0，1］上的最大值。

分析：函数的图像的对称轴为x=，注意到参数a对抛物线开口方向及对称轴位置的影响，同时注意对称轴“穿过”区间的不同方式，因此应对参数a进行分类讨论。

解：易得函数图像的对称轴为x=（4-3a≠0）。

（1）当a＞时，4-3a＜0，从而x=＜0。

此时当x=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.1）

（2）当a＜时，4-3a＞0，从而x=＞0。

①当a≤时，0＜≤，

此时当x=1时，f（x）=f（1）=2-2a；（如图2.2）

②当＜a＜时，＞，

此时当=0时，f（x）=f（0）=a。（如图2.3）

综上所述：（1）当＜a＜或a＞时，f（x）=f（0）=a；

（2）当a≤时，f（x）=f（1）=2-2a。

三、轴定区动问题

即二次函数的图像的对称轴位置给定，所给区间变化。这时要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论解决。

【例5】已知函数f（x）=x-2x+2在x∈［t，t+1］的最小值为g（t）。试写出函数g（t）的解析表达式。

分析：二次函数f（x）=x-2x+2的图像的对称轴方程为x=1，而对称轴可能在区间［t，t+1］的左边，中间，右边。因此分三种情况加以讨论。

解：f（x）=x-2x+2的图像的对称轴为x=1，其开口向上。

（1）当t＞1时，对称轴在区间［t，t+1］的左边，因此f（x）在［t，t+1］上是增函数，所以g（t）=f（t）=t-2t+2；

（2）当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，对称轴在区间［t，t+1］的中间，因此f（x）的最小值在对称轴处取得，所以g（t）=f（1）=1；

（3）当t+1＜1，即t＜0时，对称轴在区间［t，t+1］的右边，因此f（x）在［t，t+1］上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t+1。

综上所述，可得：g（t）=t+1（t＜0）1（0≤t≤1）t-2t+2（t＞1）。

四、结语

对于有关二次函数在给定闭区间上的最值或值域问题，只要把握对称轴与给定闭区间的位置关系，结合二次函数的图像，就会迎刃而解。只有熟练掌握解决这一问题的思路与方法，才能突破这一高考热点，在做题时得心应手，从而在考试中取得优异成绩。

求函数值域篇5

关键词：高中数学 函数定义域 思维品质

学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：用篱笆围一个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x） .

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围： 0

即：函数关系式为：S=x（50-x） （0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此项品质是十分必要的。

另外如：y=x和 虽然对应关系相同，但定义域不同，也是不同的函数。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数 的值域.

错解：令

故所求的函数值域是 .

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数 在[0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1.

故所求的函数值域是[1， +∞）.

以上例子说明，变量的允许值范围的重要性，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

求函数值域，往往也会想到函数最值的求解。这里以二次函数

为例举例说明。

例3：求函数 在[1，4]上的最值.

解：

当 时，

初看本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到此题定义域不是R，而是[1，4]。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。学生只知道利用对称轴求二次函数最值。然而，那往往是定义域是R的时候，当条件改变时，需要考虑完善。本题还要继续做下去：

f（4）=42-4x4-5=-5

函数 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活性很重要。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4：求出函数f（x）=1n（4+3x-x2）的单调区间.

解：先求定义域：

函数定义域为（-1，4）.

令 ，知在 上时，u为减函数，

在 上时， u为增函数。

又

即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。此题正解应该是函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5：判断函数 的奇偶性.

解： 定义域区间 不关于坐标原点对称

函数 是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性可能得出如下错误结论：

函数 是奇函数.

综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生辨析理解能力，有利于培养学生的数学思维品质，激发学生的创造力。

参考文献：

[1]刘绍学，钱玲，章建跃.普通高中课程标准实验教科书[M]. 北京：人民教育出版社，2007.1.

求函数值域篇6

关键词：函数；定义域；重要性

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-033-01

函数是高中数学的重点和难点，它贯穿于整个高中数学教学的始终。而函数的定义域是构成函数的两大要素之一，它似乎是非常简单的，然而在解决问题中稍不留神，常常会引人走进误区。因此，在解函数题中要特别强调定义域对解题结论的作用与影响。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 的角，再焊接而成。求该容器的体积V与容器高x的函数关系式？

解：设容器的高为x米，则容器底的宽为(48－2x)米，长为(90－2x)米。

由题意得：

故函数关系式为：．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量 的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 24时，V ，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：（ ）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若忽略这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域将会导致最值的错误。如：

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数 的值域．

错解：令

故所求的函数值域是 ．

剖析：经换元后，应有 ，而函数 在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin= ．故所求的函数值域是[ ，+∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数 的单调区间．

解：因为对数函数的真数要大于0，所应先求出函数的定义域：

函数定义域为 ．

令 ，知在 上时，u为减函数， 在 上时u为增函数。

又 ．

函数 在 上是减函数，在 上是增函数。

决即函数 的单调递增区间 ，单调递减区间是 。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

求函数值域篇7

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数

关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

S=x（50-x）

故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。

即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2：求函数y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。

解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4

当x=1时，y =-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax +bx+c（a＞0）在R上适用，而在指定的定义域区间［p，q］上，它的最值应分如下情况：

（1）当- ＜p时，y=f（x）在［p，q］上单调递增函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（2）当- ＞q时，y=f（x）在［p，q］上单调递减函数f（x） =f（p），f（x） =f（q）；

（3）当p≤- ≤q时，y=f（x）在［p，q］上最值情况是：

f（x） =f（- ）= ，

f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

-2≤1≤5

f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3

f（5）=5 -2×5-3=12

f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12

函数y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3：求函数y=4x-5+ 的值域。

错解：令t= ，则2x=t +3，

y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。

故所求的函数值域是［ ，+∞）。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函数，

所以当t=0时，y =1。

故所求的函数值域是［1，+∞）。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

综上所述，在求解函数函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析的能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。

参考文献：

［1］王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.

［2］田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

求函数值域篇8

我们知道，单调性是函数的重要性质，只要了解了一个函数的单调性，就可求出其值域. 同样，了解了一个函数的单调性，即可作出函数的大致图象，由图象法求其值域. 因此，这两种方法均可作为求函数值域的通法. 只是对于单调函数来说，作图已经没有必要，直接由单调性法求值域更为轻松；而对于非单调函数来说，虽然也可由单调性法解决，但图象法往往更为简单. 因此，笔者认为，可将判断函数的单调性作为思维的起点，将作出函数的图象作为思维的终点，而将换元法和导数法作为沟通起点或终点之间的“使者”，以此来构建函数值域问题的思维路线. 具体步骤为：首先判断函数y=f（x）（x∈D）在D（可以是函数的定义域，也可以是定义域的某个子区间）上是否单调，若是，则用函数单调性法求解；若不是，对于基本初等函数或通过换元可转化为基本初等函数的复合函数，用图象法解决，而对于无法通过换元转化为基本初等函数的复合函数，则先用导数判断单调性，然后再由图象法求解. 下面笔者先介绍有关方法，然后举例佐证.

1. 函数单调性法求值域的依据

（1）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]（a

（2）若函数y=f（x）在区间D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

2. 基本初等函数按单调性分类