探究中考数学猜想问题

著名物理学家牛顿说过：“没有大胆而放肆的猜想，就不可能有伟大发现.”这句至理名言道出了猜想的重要性.综观近几年中考命题，命题者在猜想方面进行了有益而大胆的探索改革，为推动素质教育，培养同学们的创新能力起到良好导向作用.

1.数与式规律问题的探究

通过对一列有序数、式的特点与结构的分析与研究，找出共性规律，进而归纳猜想出隐含的一般规律，然后再探索出问题的答案.这种思维策略体现了从特殊到一般，再到特殊的思想方法，能够有效检测同学们的观察、分析、推理、猜想能力.

例1（2007年陕西省考题）小说《达芬奇密码》中出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是．

分析：欲求第8个数，首先必须揭开这串数的排列规律.观察数的大小，我们可以发现从第3个数起，每一个数都等于它前面相邻的两个数的和，因此第8个数应等于第6个数（8）与第7个数（13）之和即8+13=21.事实上这列数就是我们常说的著名的“斐菠那挈数列”.

例2（2007年河池市考题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为 ．

分析：先观察分析第2个数与第1个数的差，发现是2，接着探索第3个数与第2个数的差，发现是3，这样我们又得出第4个数与第3个数的差是4，由此我们不难发现第n个数与第n-1个数的差为n，从而得到结论：第100个三角形数与第98个三角形数的差为100+99=199.

2.从对图表的探究过程中发现、归纳、猜想规律

解决图形规律问题应充分发挥数形结合的指导思想，从分析图形结构入手，从简单到复杂进行归纳猜想从而获得隐含的数学规律，并用代数式描述出来，进而解决相关的问题.

例3（2007年陇南市考题）如图1，用灰白两色正方形瓷砖铺地，第6个图案中灰色瓷砖块数为_______．

分析：方法（1），从横的角度观察，每个图案中灰色瓷砖都是2行，第1个图案中每行中有2个灰色瓷砖，共有2×2块灰色瓷砖；第2个图案中每行中有3个灰色瓷砖，共有2×3=2×（2+1）块灰色瓷砖；第3个图案中每行中有4个灰色瓷砖，共有2×4=2×（3+1）块灰色瓷砖；…由此可推出第n个图案中每行中有n+1个灰色瓷砖，共有2×（n+1）=2n+2块灰色瓷砖.故第6个图案中灰色瓷砖块数为2×6+2=14块.

方法（2），从纵的角度观察，每个图案中每列都有2个灰色瓷砖，第1个图案中有2列灰色瓷砖，共有2×2块灰色瓷砖；第2个图案中有3列灰色瓷砖，共有2×3=2×（2+1）块灰色瓷砖；第3个图案中有4列灰色瓷砖，共有2×4=2×（3+1）块灰色瓷砖；…由此可推出第n个图案中有n+1列灰色瓷砖，共有2×（n+1）=2n+2块灰色瓷砖.故第6个图案中灰色瓷砖块数为2×6+2=14块.

例4（2007年安徽省考题）探索n×n的正方形钉子板（n是钉子板每边上的钉子数），相邻钉子间距离为1连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：

（3）对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式．

分析：n=2，3，4，5，是引领同学们从简单到复杂进行探究归纳的过程，数一数每种情况下得到不同长度值的线段种数就是在积累实验数据，为探索、猜想规律提供依据.通过探索我们不难得到表格中的数据.

解：（1）4，2+3+4+5（或14）；

（2）①n×n的钉子板比（n-1）（n-1）的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n种；②分别用a、b表示 n×n与（n-1）（n-1）的钉子板中不同长度值的线段种数，则a=b+n；

（3）S=2+3+…+n．

例5（2007年河北省课改实验区考题）观察下面的图形（每个正方形的边长为1）和相应的等式，探究其中的规律.

（1）写出第五个等式，并在5个正方形上画出与之对应的图示；

（2）猜想并写出与n个图形相对应的等式.

分析：（1）本题创设了一个观察几何图形面积的情境，用来探究、验证相应的代数恒等式成立，同时也给同学们提供一个“从简单情形入手，发现规律”的科学探究的思维方法.

本题的数学内涵是“阴影部分的面积既可直接求解，也可间接求解――用整体图形的面积减去空白部分的面积”.根据两种方法得到的面积相等容易知道①②③④具有的数学规律成立.观察数学表达式①②③④和相应的图形容易发现，第五个等式与之对应的图示为：

从上述解题过程中不难看出，猜想是一种高层次的思维活动，是数学探索发现过程中的一种创造性思维，这类问题既能考查同学们对数学知识的掌握程度，培养收集、处理信息的能力，同时又能促进同学们养成科学探究的思维方式，为发展同学们的创新思维奠定了基础.随着新课程的实施，相信今后中考试题中“数学猜想”问题必将出现一个百花齐放的新局面.

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