数学建模问题范文

数学建模问题篇1

【关键词】 小学数学；应用题；建模；应用；策略

在小学数学课堂教学中，应用题是培养小学生综合素质的有效途径之一. 现阶段国内已经有部分小学在数学课堂中开始引入“问题―建模―应用”的教学模式，以此发展小学生的独立思维能力，培养小学生良好的逻辑能力. 同时还有利于提升小学生运用自己所学知识解决生活实际问题的能力.

一、“问题―建模―应用”教学模式应注意的事宜

此模式属于非常具有科学性的数学教学模式，尤其是将其运用于小学数学课堂教学过程中，还有利于教学目标的实现，以及培养小学生综合能力. 因此相较于其余教学模式，这种教学模式自身就存在比较巨大的优势. 当然，这也就要求有效妥善解决生活和教学间的关系，才能使此教学模式在小学数学中发挥出更大的积极意义.

（一）妥善解决生活和数学间的关系

相较于生活，数学与其存在很大的差异. 数学相对而言更加严谨，没有生活的宽松性. 若是数学教学中的建模不合理，会对小学生学习数学知识引起一系列负面效应. 但是换个角度分析，生活又为数学奠定了很好的背景与运用环境. 只是小学生由于受到自身认知结构的限制，难以根据生活现象进行数学学习. 所以小学数学课堂教学阶段，老师应深层次了解实际生活中的数学素材. 从而才能科学合理引导小学生汲取精华，去除糟粕. 并且，建模期间，老师需要引导小学生辩证看待生活和数学这两者的关系. 这样才能有效将生活现象与数学知识进行有机联系，有效发挥出数学知识的作用. （二）妥善解决知识和能力间的关系

建模理念是基于基础数学上的，这两者间存在着非常紧密的关系，建模思想难以脱离数学而独立存在. 所以课堂教学中，老师要合理引导小学生妥善解决生活和数学间的关系. 同时还应将知识基础和智力开发等当作增强小学生能力的重要机会. 在重视小学生知识与智力的同时，还应增强引导小学生构建知识系统. 除此之外，老师也不能忽视知识的来源和教学活动，应增强培养小学生的观察能力，提升实际问题的解决能力.

二、“问题―建模―应用”模式实施方案

（一）数学与生活的有机联系

将实际生活现象融入数学课堂教学中属于现阶段非常有效的一种途径，而应用题教学更是可以通过这种方式增强学生的了解程度. 长期以来，对于小学阶段的学生而言，应用题都属于难度系数较高的题型，许多小学生甚至连某些应用题的题意都可能理解不到位. 因此，在这种情况下，数学老师需要基于班级学生实际情况，给学生提供操作和观察的机会，让学生能够从实际生活中获取数学知识. 比方说，“长方体面积计算”方面知识教学时，老师通过与学生实际生活中常见的物体作为实物参考，让小学生加以观察、测量以及计算等. 又比方说，老师可以从学生比较感兴趣的生活场景着手，进行提问“所有同学在公园游玩时都想划船，船只共有七辆，每只能容纳六人，还剩18人留在岸上，则需要怎样进行划分才能让大家都坐船？”这种从实际生活提取数学应用题素材的方式，不仅能让学生更了解，还有利于激发学生主动思考. 引导学生实现学以致用.

（二）构建数学建模思想

创建起相应的模型有利于提升问题解决效率，属于数学知识与数学应用两者间的重要桥梁. 然模型建构便是把数学理论知识应用到实际生活中，给小学生“创造”数学的空间，并促使小学生在此过程中获取数学知识. 在构建数学知识过程中更深入准确的了解数学、自然与社会间存在的联系. 比方说，小学数学老师在教授学生“长度单位换算”方面的新知识时，就可以先围着“1 km = 1000m，1 m = 10 dm，1 dm = 10 cm，1 cm = 10 mm”等等量关系对班级学生进行快问快答. 这时小学生因自身认知程度不一样，就极有可能出现多种解决方案. 之后数学老师便能够更好地引导班级学生构建与之对应的模型，尊重学生思维成果，提升其问题的解决能力.

结束语

就小学数学应用题教学而言，老师需要在教学中循序渐进引导班级学生科学合理的了解题意. 尤其是引导学生有效回顾问题的解题思路，促使小学生增强对成功解决问题要素的理解程度，从而在一定程度上有利于小学生形成自己的解题思想.

【参考文献】

[1]邢艳春，段君丽.小学数学应用题“问题―建模―应用”教学模式[J].长春教育学院学报，2011，27（14107）：115-116.

[2]吴小欢.小学生解决开放性数学应用问题的认知研究[D].广州：广州大学，2013.

数学建模问题篇2

【关键词】数学建模;问题矫正;策略思考

笔者任教小学数学多年，深感数学与生活联系之意义，对让学生学会解决数学问题感到责任重大。反思我们平时的数学教学，更感困惑较多。尤其是在让学生应用数学知识，解决各类实际问题的数学建模中存在的问题比较多，有必要在思考与实践的过程中进行比较充分而且有意义的矫正。现本人将平时的相关矫正策略拙于笔端，期求得到大家矫正。

一、数学建模需厘清意义

作为一名一线数学教师，在平时数学教学中是接触到不少数学建模教学，教师之间直接互动对话的时空也比较广泛。当相互之间进行教学课堂的切磋时，当一个个教师在执教具体的数学课堂时，当相互之间交流起相关的数学建模时，笔者发现不少同仁似乎对数学建模的实质性意义理解得不太透彻，主要体现在数学课堂上。我们可以把所谓的数学模型用一段比较通俗的文字进行表述：数学模型就是为解决现实生活中的问题而建立的数学概念、公式、定义、定理、法则、体系等等。而在平时诸多的数学教学活动中，我们的课堂则没有比较理想地将数学模型化、数学语言化、数学符号化。再看看我们的所谓数学建模，本来应当是对现实生活中的原型，为了某一个特定目的，去做出一些必要的简化或比较有意义的假设，在此基础上再运用适当的数学工具，得到一个比较完美的数学结构。但比较现实的是，说起来像是在数学建模，实质上则是在比较草率了事的走过场，小学生数学建模能力则根本没有得以充分的发展。从引领学生进行数学思考的角度去说：数学建模也是一种数学的思考方法，但我们在引领学生建模的过程中，未曾能够比较科学而又理想地把数学的语言和方法运用起来，没有实现真正意义上的通过学生自身的抽象、简化去解决实际的数学问题。总而言之，应当是只要有数学应用的地方，就应当有数学建模，我们也应当很好地去进行数学建模。但事实上，由于我们这样那样的原因，没有比较科学地去进行数学建模的实践与研究。

二、数学建模需学生亲历

义务教育《数学课程标准》指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”《课程标准》提出如此要求，其核心意义是小学数学建模需让学生去亲历建模过程。这就比较明确地要求教师在数学建模中，不能主观臆断地忽视学生的存在，必须重视小学生主体作用的发挥。也就比较现实地要求我们教学中，教师只能引导学生去建立数学模型，而不是代替学生建立数学模型。怎样引导小学生去亲历数学建模？新教育积极倡导者朱永新教授的理想智育，对我们是极具其启迪意义的：“理想的智育，应该充满民主精神，真正‘以人为本’，把‘以学生为主体’的理念体现于教学的过程。”所以，在平时的数学建模中，作为教师其建模的关键不是要自己的学生知道其结果，而是让学生在建立数学模型的过程中发挥自主性的作用，让学生科学地、合理地、有效地与教师和同伴一起建立数学模型。譬如笔者曾让学生去做这样的几道练习题：

（1）一辆电瓶车2小时行28千米，照这样的速度行驶，6小时行多少千米？

（2）买5盒饮料需要15元钱，买8瓶相同的饮料有需要多少钱？

（3）小丽的母亲3小时织9只帽子，那9小时又将会织几只帽子？

在让学生解决这样的三个不同问题后，又让学生去进行这样的思考：在解决这三个不同的问题时，你们发现了些什么？在笔者的启发下，学生边思考边交流，从学生的交流中看到，学生已经开始比较隐约地发现三个不同问题中也存有相同结构，这结构就是不同数量之间的关系所呈现出来的相同结构。这结构还表现在解决问题之过程的相同，那就是都先求出每一个问题中的单一量。实际上，这也是学生充分意义上的自主性数学建模，通过学生比较理想的亲历解决实际数学问题，又亲自进行互动交流，产生相互之间的思维摩擦，比较理想地建立起归一的数学模型。小学生自主亲历数学建模，其问题情境的创设必须是利于学生津津乐道的，建立模型的整个过程也都应当是学生津津乐道的，解释乃至于应用拓展也都应当促其去津津乐道。

三、数学建模需科学推进

为什么需要数学建模，这对我们每个教师而言都应当是心知肚明的，数学建模又怎样去建，从一定意义上讲就需要我们注意建模流程的科学。但建模现实则往往让我们大家都乐观不起来，究其原因是建模的目光还不是那么十分的远大，往往只是图些急功近利，仅考虑学生知识与技能的目标维度。反思自己的数学建模过程，其推进的过程总出现一些缺失科学维度的不良现象，反思其出现如此瑕疵的原因之一，就是所呈现的可以建模的数学内容比较粗糙。譬如一位教师曾教学生解决：求比一个数多几的问题，“小明家养了9只雄兔，养的雌兔只数比雄兔多2只，雌兔有几只？”教学时笔者比较顺便地让学生采用摆一摆的做法，然后再让学生去说一说，从整个教学的现状看，学生所分析的数量关系还基本可以，理解“同样多的部分”和“多出的部分”也比较顺当，而且是绝大部分学生都很顺当。但当让学生去解释9+2=11的数量关系式时，绝大多数学生的说法令笔者感到十分的惊讶，近乎所有学生都这样说：9只小兔加上2只雄兔等于11只雌兔。这给我们小学生所带来是什么？是一种麻烦;这给我们教师又带来的是什么？且是一种尴尬。从这样的尴尬中，笔者发现这样的真谛，倘若能够在具体的内容呈现时，比较科学地推进数学建模的流程，那学生则完全可能会理解“同样多的9只雌兔”加上“比雄兔多2只的雌兔”等于“11只雌兔”。所以，在平时的数学建模中，我们不能简单地让学生去解决问题，而应当从数学模型构建的合理性上去思考。

【参考文献】

[1]教育部.义务教育数学课程标准.北京师范大学出版社.2011

[2]王聿松.谈数学模型思想在问题解决中的培养与应用. 江苏教育（小学教学）.2014.12

[3]肖川.教育的使命与责任.岳麓书社.2007

数学建模问题篇3

【中图分类号】G

【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2012）04A-0066-02

从数学角度讲，数学建模是舍去无关紧要的东西，保留其数学关系，形成数学结构。利用数学建模教学“植树问题”，我们进行了如下尝试。

一、提供背景，让学生初步了解并简化数学原型

1提供原型，初识原型。

要建模首先必须对实际原型有充分的了解，明确原型的特征。为此，我们结合学生的生活实际，把学生所熟悉的一些生活实例作为植树问题的背景原型。

课一开始就创设情境：在一条长30米的校园道路上等距离植树，可以如何植？这样既可以克服教材的不足，使学生对问题背景有一个详实的了解，又有利于学生对实际问题的简化，从而提高学生的数学应用意识。

2发挥学生的想象对实际问题进行简化。

儿童有无限的创造力。他们也善于抓住问题的本质进行“淘汰”组合，进一步想象与简化，这对构建数学模型十分有利。在经历了在30米的道路上植树这一问题后，他们马上把30米的道路简化成了30厘米的线段。在道路上植树其实就是按一定的距离等分线段，等分点个数就是植树的棵数。学生的自主探索能力很快就被激发了出来，为整节课的学习打下了良好的基础。

二、数形结合，引导学生自主建模

1数形结合、自主探索。

结合刚才的问题，学生的操作欲望已被激起，他们迫不及待地要求自己来主宰自己的“命运”，个个跃跃欲试。此时无声胜有声，每个学生都拿出笔来认真地在草稿本上画图，“植树”去也！

2逐层提炼，初步建模。

通过汇报、交流，利用不同学生的不同结论，教师有意识地利用板书，逐步提炼出植树问题的基本特征，引导学生初步建立数学模型。（生边板书边解说）

生1：我每5米种一棵，前后都种，一共种了7棵树。

生2：我每6米种一棵，前面不种后边种，一共种了5棵树。

生3：我每3米种一棵，前后都不种，一共种了9棵树。

……

师适时引导学生总结：等分的距离（5米、6米、3米等）其实就是植树问题中的“间隔”。（这是植树问题一个重要的概念）

3比较梳理，进一步建模。

为什么会有不同的结论?引导学生看老师的板书及学生的草图，逐步比较、梳理，进一步建立数学模型，总结出计算公式。

两端都种：

棵数=路长÷间隔长＋1

间隔长：5米

棵数：7棵（30÷5＋1）

一端不种：

棵数=路长÷间隔长

间隔长：6米

棵数：5棵（30÷6）

两端都不种：

棵数=路长÷间隔长－1

间隔长：3米

棵数：9棵（30÷3－1）

……

（说明：公式上边的部分提炼出了本课主要的数学思想方法，下边部分则是对植树问题基本结构的梳理。虽然简单，却勾勒出了本课的重点和难点，揭示了模型的内涵。）

教师再作适当补充，梳理各种解法的特点：关键在于两端植不植树的问题（分析题意时尤其要注意）。

三、拓展知识，激励学生应用数学建模

1应用并解读数学模型。

学生在经历了数形结合及数学建模后，思路更为清晰，解决问题的信心也更足了！于是，我们又设计了一组练习题（略），重在让学生运用数学建模思想解决实际问题。由于学生学得轻松，解决问题也更顺心，所以个个眉飞色舞，神采飞扬！

2设计矛盾，进一步展示和评价数学模型。

在学生完成并解读好数学建模后，此时故意制造矛盾，设计如下习题让学生解答：在一条长50米的道路两旁，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽树多少棵？在出现两种不同的答案后，先由出错方展示自己的观点，再让他参看别人的正确解答，让他在分析自己错误的同时，学会分享别人的胜利，并自行找出自己的错误，主动纠正。学生在锻炼数学模型的优点和缺点，自己的同时也激励着别人对自己的数学模型进行评价，在展示、评价中比较每个使学生之间得以相互学习、取长补短。

3自主设计，创设生活情境，引导学生自主设计类似的问题。

设计后同桌互相批改，充分利用数学建模解决实际问题。

四、反思质疑，应用建模发展数学空间

1质疑发展。

生活中有类似的“植树问题”吗？学生在植树问题后又想到了在一串珠子中放入另外的其他珠子、锯木头等问题。这些问题都可以用植树问题来解答。

2总结延伸。

完善板书（植树问题），小结全课，注重学法指导，整个过程中将“数形结合”作为帮助孩子们建构模型的重要策略，引领孩子们学会反思。

通过《植树问题》中的数学建模的教学，使学生真正了解了数学知识的发生过程，培养了学生深入思考的意识、不断反思的习惯、数形结合的策略、奇思妙想的胆识……这既提高了学生分析问题和解决问题的能力，又培养了学生的创造能力。

（本文在2010年5月义务教育课程标准实验教科书（人教版）全国小学数学交流会上获二等奖。）

数学建模问题篇4

数学建模涵盖着三个方面：其一是由实际问题到数学模型，其二是由数学模型到数学求解，其三是由数学求解到实际问题求解.

自从新课改全面推行以后，这也是会反映在高中阶段的教学创新领域中.新教材是遵照新课改的规范编写，新授课内容更加关注学生知识体验的过程，引导学生探究数学知识的各方面内容，掌握数学知识存在和发展的进程.关注学生对问题的发现、思考和解决.要是从教学的实际情况分析，由于诸多的教学要素限制，这也使得数学建模教学中还有着很多的不足.本人结合教学经历对此进行分析.

一、问题表现

1.学校层面

学校最关注的学习内容是体现在高考升学率环节中，忽略数学建模活动.

2.教师层面

教师在求学时代学到过数学建模知识，但是由于教学任务的侧重点以及平时缺乏交流，这也导致教师数学建模知识能力不够.

3.学生层面

（1）对实际问题的解决没有信心.实际问题的数学表达方式和纯数学问题的表达方式差异化很大，前者更注重于文字描述的概括能力，这也使得其问题的表现形式更富生活化气息，在分析问题时表现出长题目、多数量以及隐密分散的数学关系等.由此，会让学生产生畏惧的心理.

（2）对实际问题的术语感到陌生.以实际问题为题材的数学应用题有着更多元化的专业术语，它们也是涵盖着其他领域的知识.由于学生平时和社会接触不多，常常会对很多名词术语感到陌生，不知所云，因此，不能有效了解习题所要表达的数学内容.譬如现实生活中常会碰到的金融词汇，学生几乎很少了解到其具体含义，这会直接影响解题的效果.

二、解决措施

1.学校层面

（1）要不断强化教师的后续学习，可以采用专家讲座和指导的方式进行完善.教师拥有着丰富的教学经验，但是缺少相对应的理论知识，所以，能够借助于开展继续教育课程，以此不断完善专业知识能力，显著提升数学应用教学理念.

（2）邀请多种行业专家进行学术报告，这不是局限于教育学领域的专家，而是需要各行各业专家的广泛参与.通常情况下，[HJ1.18mm]学术报告中所包含的实际应用内容，更是体现出科技中数学知识的前沿应用.教师通过多参加相关的学术报告，能够更加及时准确地了解数学学科在现今社会发展的应用和前景，这样也是可以反作用于教学的环节.

（3）拓展数学建模教学活动，促进师生广泛参加.

2.教师层面

（1）教师要将新教材应用于数学建模的环节中，找寻到对应知识点所能够引入的模型内容.譬如教授数列时，讲解储蓄贷款概念.教师要在授课环节中有效融入数学建模知识，这也是可以通过潜移默化的方式引导学生在诸多建模应用问题中了解到其具有的应用价值.当学生认识到数学建模重要性时，会强化学习的关注度.

（2）在课堂教学中，要用结合实际的方式进行数学建模的知识传授.新课改标准中已经提出数学知识应用的重要性，这是需要借助于大量多样的实例导入数学知识，让学生借助于数学学习解决实际问题.要让学生头脑有这样的观念：自己的生活离不开数学，实际的生活更是离不开数学，数学知识不仅对学习有推进作用，更是会对生活有着指导作用，所以要学好数学知识.所以，教师要营造出更加良好的教学情境，不断引入学生感兴趣的生活内容，让数学知识赋予重要的生活属性.学生会突然发觉原本枯燥乏味的数学问题，原来是这样的有意义.这种理论和实际的关系构建，能够产生对学习重要性的认识.

3.学生层面

（1）让学生对数学学习充满信心.自信是来自于主观的精神状态，这是会对知识的学习起到重要的主观能动效应，这也是会为学生将来的培养提供重要保障.教师要密切关注身边的生活环节，能够让学生在了解数学功用的过程中，体验到学习数学知识的乐趣，客观上将会让学生更具数学应用意识和解决现实问题的信心.

（2）培养学生数学阅读能力，一方面可以了解更多数学应用知识，同时也是会促进学生数学语言的认识能力，这会强化学生自主学习的能力，借助于此种方式，让学生数学学习更加稳固.斯托利亚尔认为数学教学的核心是传授数学语言.从语言教学的层面分析，要高度重视数学阅读的能力， 既要注重其中的技巧性，同时也是需要关注其中的有效性，能够让学生从自身角度认知到此种学习方法所具备的应用价值.

数学建模问题篇5

着重发展学生能力，特别是应用能力，包括：计算、推理、空间想象以及辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、口头和书面的分析与交流。

强调计算工具的使用：不仅在计算过程中，而且在猜想、探索、争辨、发现、模拟、证明、作图、检验中使用。

强调学生的积极性与主动性：教师不应只是讲演或者总是正确的指导者，还可以扮演不同的角色：问原因，找漏洞，督促学生弄清楚，说明白，完成进度.评判学生工作及成果的价值、意义、优劣，鼓励学生有创造新的想法和做法。

结合学生实际水平，分层次逐步推进，结合正常教学的教材内容，结合正常的课堂教学在部分环节切入应用和建模内容。

二、应用性问题中常见的建模

随着教育改革的深入，新的课程标准的出台，强调了知识的应用，数学源于实际问题的应用题骤增，因而探讨这类问题的解法具有重要的现实意义，数学建模就是将具有实际意义的应用问题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决。实际问题是复杂多变的，数学建模较多的是探索性和创造性，但是数学应用性问题常见的建模方法还是有规律可以归纳总结的。

（一）建立几何模型。诸如台风、航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥计算、皮带传动、坡比计算，作物栽培等传统的应用问题，涉及一定圆形的性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角函数问题求解。

例1 足球赛中，一球员带球沿直线L逼近球门AB，在什么地方起脚射门最为有利。

分析 这是几何定位问题，画出示意图，如图1：根据常识，起脚射门的最佳位置P应该是直线L上对AB张角最大的点，此时进球的可能性最大，问题转化为在直线l上求点P，使∠APB最大，为此过A、B两点作圆与直线L相切，切点P即为所求，当直线L垂直线段AB时，易知P点离球门越近，起脚射门越有利，可见“临门一脚”的功夫现应包括选取起脚射门的最佳位置。

（二）建立方程模型。例2 如下左图：某小区规划在长为40M，宽为26M的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144M，求甬道的宽度。

分析 如上右图：作整体思考，设甬道的宽度为xm，则问题转化为：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合题意舍去）。

（三）建立直角坐标系与函数模型。当变量的变化具有近似函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图象问题讨论。

例3 有一批1米长的合金钢材，现要截成长为27cm和13cm两种规格，用怎样的方案截取使材料利用率为最高？并求出材料最高利用率。

分析 作出直线 ■+■=12图象，确定与直线最近的整数点（4，2），则4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率为98%。

（四）建立不等式模型。对现实生活中广泛存在的不等量关系：如投资决策等可挖掘实际问题隐含的数量关系，转化为不等式组的求解，目标函数在闭区间的最佳问题。

例4 某工厂有甲、乙两种产品按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需要煤9吨，电力4kw，劳力3个（按工作日计算），生产乙产品1吨需要煤4吨，电力5kw，劳力10个；甲产品美吨价7万元，乙产品每吨价12万元。如果每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200kw，劳力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少吨，才能保证即完成生产任务，又能为国家创造更多得财富？

分析 设每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，总产值为S万元，依题意约束条件为■

目标函数为S=7x+12y。解方程组■

故当x=20，y=24时，Smax=7×20+12×24=428（万元）.

数学建模问题篇6

[关键词] 微分方程 数学建模 经济应用

微分方程是一门独立的数学学科，有完整的数学体系，微分方程是数学联系实际，并应用与实际的重要桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。微分方程在物理学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，如果说“数学是一门理性思维的科学，是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现，现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程的问题，例如物体的冷却、人口的增长、琴弦的震动、电磁波的传播、人才的分配、价格的调整等，都可以归结为微分方程的问题，从中我们可以感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力。

一、逻辑斯谛(Logistic)方程

逻辑斯谛(Logistic)方程是一种在许多领域中有着广泛应用的数学模型，下面借助树的增长来建立该模型。

一棵小树刚栽下去的时候长的比较慢，渐渐地，小树长高了而且长的越来越快，几年不见，绿荫底下已经可以乘凉了，但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来。下面建立这种现象的数学模型。

如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段的生长过程。折中一下，假设树的生长速度既与目前的高度呈正比，又与最大高度与目前高度的差成正比。

数学建模:设小树生长的最大高度为H(m)，在t(年)时的高度为x(t)，则有

其中k>0是比例常数，称此方程为逻辑斯谛(Logistic)方程

解微分方程:分离变量得

两边积分 得

整理得

故逻辑斯谛(Logistic)方程的通解为 (其中的c是正常数)

通解函数的图像成为Logistic曲线。另外这说明树的增长有一个限制，因此也称为限制性模式。逻辑斯谛(Logistic)方程除了应用于生物种群的繁殖外，还应用于信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及商品的销售等等。

1.人口阻滞增长模型:1837年，荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型

y(t0)=t0 其中k，b称为生命系数。

符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，通解为

某国家人口增长满足逻辑斯谛(Logistic)方程，其中b=275（百万），c=54，y的单位是年，根据这些数据可求出再过100年该国的人口数。

因为把以上数据代入得

即再过100年，该国的人口数为5千万。

2.新产品的推广模型:设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销量的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销量存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N-x(t)也成正比,于是有

符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，通解

当x(t*)

研究与调查表明:许多产品的销售曲线与Logistic曲线十分接近，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应转产。

二、国民收入与国民债务问题的模型

某地区在一个已知的时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民收入的若t=0时，国民收入为5(亿元)，国民债务为0.1(亿元)，试求国民收入及国民债务与时间t的函数关系

设国民收入函数为y(t),由条件知

所以得国民收入函数因为t=0时，y=5 得 c=5

故国民收入函数

设国民债务函数D(t)，由已知

解此微分方程得

由t=0时，D=0.1得c=0.1

故国民债务函数为

三、价格调整问题

某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数Q(P），S(P），则在时刻t的价格P(t)对于时间t的变化率可以认为与该商品在同一时刻的超额需求量Q(P)―S(P)成正比，即有微分方程

在Q(P)和S(P)确定情况下，可以解出价格P(t)与时间t的函数关系，这就是商品的价格调整模型

某种商品的价格变化主要服从市场供求关系,一般情况下，商品供给量S是价格P的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数,为简单起见,该商品的供给函数与需求函数分别为

s(p)=a + bp, Q(p)=α―βp(1)

其中a，b，α，β均为常数，且b>0,β>0.

当供给量与需求量相等时，由式(1)可得供求平衡时的价格

并称Pe为均衡价格。

一般情况下，当某种商品供不应求，即S

其中k

将(1)代入方程，可得 (2)

其中常数λ=(b+β)k>0,方程(2)的通解为

假设初始价格P(0)=P0，代入上式，得C=p0―Pe，于是上述价格的调整模型的解为

由于λ>0知，t+∞时，p(t)Pe。说明随着时间不断推延，实际价格p(t)将逐渐趋近均衡价格Pe

四、人才分配问题

每年大学生都要有一定比例的人员分配教育部们充实教育队伍，其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作。设t年教师人数为x1(t），科学技术和管理人员人数为x2(t)，又设1个教员每年平均培养α个毕业生，每年从教育、科技和经济管理岗位上退休、死亡或调出人员的比率为δ(0

（1）

（2）

方程(1)的通解为

若设x1(0)=x01，则于是，得到方程(1)的一个特解

将上式代入方程(2），得

方程(2)的通解为

若设x2(0)=x，则，从而得到上述方程的特解

上述两个特解分别表示在初始人数为x1(0)和x2（0）的情形，对应于β的取值，在t年教师队伍的人数和科技经济管理人员的人数。从结果易见，如果β=1，即毕业生全部留在教育界，则当 t∞时，由于α>δ,必有x1(t)+∞而x2(t)0，说明教师队伍将迅速增加。而科技和经济管理队伍不断萎缩，势必要影响经济的发展，反之也会影响教育的发展，如果将β接近于零，则x1(t)0，同时也导致x2(t)0，说明如果不保证适当比例的毕业生充实教师队伍，将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩，因此，选择好比率β，将关系到两支队伍的建设，以及整个国民经济建设的大局。

数学建模问题篇7

一、 问题探究

分析该问题题意可知，当小汽车出现故障后，乘这辆小汽车的4个人行走方式是完全步行（时间不允许）或原地等候另一小汽车接送直达火车站，或者先步行再乘另一小汽车到达火车站；另一小汽车的4个人可以乘车直达火车站，也可以先乘车再步行到火车站。因此，可以考虑设计的方案有6种，但有些方案受时间限制无需考虑。于是，可以得到以下几种方案：

方案1当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车在原地等待，另一辆小汽车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，立即返回接送在故障点等待的4个人，使得两批人员最后同时到达车站；

方案2当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车步行，另一辆小汽车将车内的4个人送到火车站，立即返回接送步行的4个人到达火车站；

方案3当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人先下车步行，另一辆小汽车将车内的4个人送到某地方后，让他们也下车步行，再立即返回接送小汽车出现故障而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站。

方案4当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车在原地等待，另一辆小汽车将车内的4个人送到火车站后，再立即返回接送在故障点等待的4个人到达火车站。

二、 问题解决

探究方案1设小汽车将车内4个人送到距火车站相遇x千米处，立即返回接在故障点等待的4个人，根据题意得：

说明　列方程所用的等量关系是：第一批人员步行的时间=小汽车返回后至到火车站所需的行驶时间。

说明　列方程所用的等量关系是：步行的4个人与返回的小汽车相遇前的步行时间等于相遇前小汽车的行驶时间。

这个问题还有一些等量关系，如：小汽车从返回到相遇步行的4个人所用的时间等于小汽车返回到相遇所用的时间；步行的人所行的路程与小汽车行驶路程的和等于故障点与火车站之间的路程的2倍等。利用这些关系，我们还可以找到其他列方程的思路，请读者自行研究。（下同）。

探究方案3　设小汽车将第一批的4个人送到距火车站x千米处，立即返回接另外步行的4个人。

解得x=28人全部到火车站所需的时间：2÷5+（15-2）÷60=（小时）=37（分钟）

说明列方程所用的等量关系是：步行的4个人与返回的小汽车相遇前所用的步行时间等于小汽车的行驶时间。

这个方案还有一些等量关系，如：第一批人员步行的路程等于第二批人员步行的路程；小汽车返回前第二批人员步行的路程+小汽车返回后第二批人员步行的路程=第一批人员步行的路程等。

探究方案4当小汽车出现故障时，乘这辆小汽车的4个人下车在原地等待，另一小汽车要将8个人全部送到火车站需要来回行3个相同的路程，所用的时间为：15÷60×3=0.75（小时）=45（分钟）>42分钟，所以此方案不符合要求。

三、 问题反思

上述方案1、2、3中，每种方案都有多种解决方法，都是可行的赶车方案，但这是一个实际问题，考虑到汽车调头及上下车所耽误的时间，方案1与方案2的赶车时间仍然有些紧张，以选择方案3为佳。

四、 问题拓展

对于这个竞赛问题，可以进行一般化处理，拓展以下问题：

现有ab个人（其中a、b为正整数），要从某地赶往火车站乘车，某地与火车站相距C，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，已知包括司机在内这辆汽车限乘（b+1)人，而且这辆汽车平均速度是v/h，人步行的平均速度是v/h，问至少需要多少时间，才能使全部人员赶到火车站？

如果将上述竞赛问题中的8个人变为12个人，其他条件不变，则用一辆小汽车将12个人全部送到火车站至少需要多少时间？如果人数再变为16人？由上述方案3的思路不难找到正确的结果，请读者自行解决。

数学建模在数学学习中有着重要的地位和作用。掌握数学建模的思想和方法，需要我们在数学问题特别是实际问题中，不断地体验和运用。这将有利于培养数学能力、提高探究水平。

数学建模问题篇8

关键词：高中；生物教学；数学建模

中图分类号：G633.91 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）02-0083

生命科学是自然科学中的一个重要分支，在现行的高中生物学科中涉及到的知识，要求学生应具备理科的思维方式。因此，在高中生物教学中，教师应注重理科思维的培养，树立理科意识，渗透数学建模思想。

一、高中生物学科中的数学建模

在高中学习阶段，数学是学习其他学科的基础，它作为一门工具学科在物理和化学上具有广泛的应用。由于高中生物学科以描述性的语言为主，有的学生往往以为学好生物学是与数学没有关系的。他们尚未树立理科意识，缺乏理科思维。这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。

二、数学建模思想在生物学中的应用

1. 数形结合思想的应用

生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型。它能考查学生的分析、推理与综合能力。这类试题从数形结合的角度，考查学生用数学图形来表述生物学知识。

例1.下图1表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系；图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。以下说法正确的是（ ）

A. 图2中甲细胞处于图1中的BC段，图2中丙细胞处于图1中的DE段

B. 图1中CD段变化发生在减数ii后期或有丝分裂的后期

C. 就图2中的甲分析可知，该细胞含有2个染色体组，秋水仙素能阻止其进一步分裂

D. 图2中的三个细胞不可能在同一组织中出现

这是一道典型的数形结合题型：从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减数第二次分裂的后期及丙为减数第二次分裂中期；而图1中的AB段表示的是间期中的S期正在进行DNA复制的过程，BC段表示的存在姐妹染色单体（含2个DNA分子）的染色体，DE段表示的是着丝点断裂后的每条染色体上只含有一个DNA。

2. 排列与组合的应用

高中生物学科在高二、三年级开设的，学生应该清楚排列与组合的相关数学知识。在高中生物学上，涉及到比较多的排列与组合的相关知识。比如，遗传信息的问题，还有精（卵）原细胞经过减数分裂形成配子时，其基因组成的情况分析等等，都需要运用到数学的排列与组合的知识。教师作为学生的启发者与指导者，在教学中可以先结合具体的实例，从用排列与组合角度，以及结合生物学的知识，构建上位概念，进而使学生的知识发生迁移，举一反三。

例2.人类皮肤中黑色素的多少由三对独立遗传的基因（A、a和B、b和D、d）所控制，基因A、B、D可以使黑色素量增加，三对基因对黑色素的作用程度是一样的，而且每对基因以微效累积的方式影响黑色性状。两个基因型为AaBbDd的婚配，子代表现型种类以及子代与AaBBDd的个体表现型一致的概率分别是？

如果把这道题转换成数学当中的排列组合思想来解答，就非常简单了，首先后代个体的表现型根据题意可知如果有六个显性基因的话，皮肤颜色是最深的，如果是五个显性基因加一个隐性基因的话是第二深的，依次类推可知有7种表现型。根据自由组合定律知道后代的结合方式是64种，与AaBBDd的个体表现型一致，只需基因型中有4个显性基因即可，所以是数学当中的C6取4，即15，所以是15＼64 。

3. 数学归纳法的应用

在生物教学中，教师可以先让学生对一些实例的练习，然后经过分析、归纳出一般的规律。如此这样，学生经过分析、推理等思维过程，使新知识与原有的知识建立了联系，进而概括出新的规律性知识并重建新的认知结构，然后通过运用新规律，进一步检验、巩固新知识，并实现知识的迁移。

例3. （1）让杂合黄豌豆连续自交n代后，杂合体所占的比例是

（2）在基因工程中，把选出的目的基因（共1000个脱氧核苷酸对，其中腺嘌呤脱氧核苷酸是460个）放入DNA扩增仪中扩增4代，那么，在扩增仪中应放入胞嘧啶脱氧核苷酸的个数是

教师帮助学生采用数学归纳法，不难构建出数学模型。如第（1）题的数学模型是：N=1/2n；

第（2）题的数学模型是：SN=A×（2N-1）（A为配对的碱基数目，N为复制的次数）。

4. 概率的计算

概率是高中数学中的比较重要的知识，其中涉及到的有相加、相乘原理。在高中生物教学中，结合数学中的概率来计算遗传的机率，就显得十分的简单。因此，建立数学模型显得尤其重要。

例4. （1）囊性纤维变性是一种常染色体遗传病。在欧洲的人群中，每2500人就有一个人患此病。如一对健康的夫妇生有一个患此病的孩子，此后，该妇女又与一健康的男子再婚。再婚的双亲生一患病的孩子机率是（ ）

（2）假定基因A是视网膜正常所必需的，基因B是视神经正常所必需的。这两类基因分别位于不同对的染色体上，现有基因型为AaBb的双亲，从理论上分析，他们所生的后代视觉正常的可能性是（ ）

上述第（1）题运用哈迪――温柏格定律：设常染色体上的一对等位基因A和a的频率分别为P和Q，且P+Q=1，（PA+Qa）2=P2（AA）+2PQ（Aa）+Q2（aa）。不难得出本题的结果。第（2）题可以用概率相乘原理容易得出答案。

三、生物教学中构建数学模型的意义

高中生物学科中涉及到的数学建模远不及这些，限于篇辐，本文在此只作简要的归纳。我们知道，实际问题是复杂多变的，数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性。在生物学科教学过程中进行数学建模思想的渗透，不仅可以使学生体会到生物学并非是一门理解型的自然科学，而且可以使学生感觉到利用数学建模的思想结合生物学理论知识，能很好地解决一些生物学实际问题的妙处，进而对生物学产生更大的兴趣。在生物学科教学中，构建数学模型正是联系数学与生命科学的桥梁。如何将生物学理论知识转化为数学模型，这是对学生创造性地解决问题的能力的检验，也是理科教育的重要任务。