在高中数学中椭圆与双曲线的交点问题

时间:2022-10-08 04:10:46

在高中数学中椭圆与双曲线的交点问题

摘 要:高中数学解析函数中椭圆与双曲线是两个重要的考点,很多题目都是就两者之间相交或相离或相切所产生的一系列延伸。本文就椭圆和双曲线的长轴在不同坐标轴的四种情况,分别探讨每种情况下的交点问题。希望寻找到两者交点问题规律,提高对椭圆和双曲线问题的理解力和解题速度。

关键词:高中数学;椭圆;双曲线;问题;方法;规律

一、四种不同情况下的交点问题

设四种情况下椭圆的长轴长均为a,短轴长均为b,双曲线的长轴长均为d,虚短轴长均为e。设它们在有交点的情况下的交点为M。下面为四种情况下的大致图像。

图1 图2

图3 图4

(一)椭圆和双曲线的长轴均在x轴上,椭圆、双曲线两者大致所在位置如图1

1.当a<d时,即有椭圆与双曲线相离,两者不存在交点;2.当a=d时,即有图(1)中两者相交,存在两个交点,分别为椭圆或双曲线在x轴上的两端点,因此交点坐标为M1(a,0)或(d,0)和M2(-a,0)或(-d,0);3.当a>d时,从图像看有四个交点,根据椭圆与双曲线关于x轴、y轴对称的性质,四个交点关于x轴、y轴对称。故而可设在第一象限的交点为M1(x0,y0),第二象限内交点M2(-x0,y0),第三象限内交点M3(-x0,-y0) 第四象限内交点M4(x0,-y0)。首先,联立方程,(1)式乘以a2b2d2再与(2)式乘以a2d2e2相加,消去y,可以解得,由于x0>0,因此x0=ad,将x0代入(1)式中,可以得到y0= be。所以会有椭圆和双曲线的四个交点为M1(ad,be),M2(-ad,be),M3(-ad,- be), M4 (ad,- be)。

(二)同在y轴上,两者大致所在位置如图3

1.当a<d时,椭圆与双曲线相离,两者不存在交点;2.当a=d时,即有图(3)中两者相交,存在两个交点,分别为椭圆或双曲线在y轴上的两端点,因此交点坐标为M1(0,a)或(0,d)和M2(0,-a)或(0,-d);3.当a>d时,图像有四个交点,交点存在对称性(同上所述)。依旧可设在第一象限的交点为M1(x0,y0),第二象限内交点M2(-x0,y0) ,第三象限内交点M3(-x0,-y0) 第四象限内交点M4(x0,-y0)。首先,联立方程,(3)式乘以a2b2d2再与(4)式乘以a2d2e2相加,消去x,可以解得,由于y0>0,因此y0=ad,将y0代入(3)式中,可以得到x0= be。所以会有椭圆和双曲线的四个交点为M1(be,ad),M2(-be,ad) , M3(-be,- ad), M4 (be,-ad)。

(三)椭圆和双曲线的长轴分别在x轴和y轴上,椭圆、双曲线两者大致所在位置如图2

1.当b<d时,即有椭圆与双曲线相离,两者不存在交点;2.当b=d时,即有图(2)中两者相交,存在两个交点,分别为椭圆或双曲线在y轴上的两端点,因此交点坐标为M1(0,b)或(0,d)和M2(0,-b)或(0,-d);3.当b>d时,从图像上看有四个交点,依旧可设在第一象限的交点为M1(x0,y0),第二象限内交点M2(-x0,y0) ,第三象限内交点M3(-x0,-y0) 第四象限内交点M4(x0,-y0) (原理同上)。首先,联立方程,(5)式乘以a2b2d2再与(6)式乘以b2d2e2相加,消去x,可以解得,由于y0>0,因此y0=bd,将y0代入(5)式中,可以得到x0=ae。所以会有椭圆和双曲线的四个交点为M1(ae,bd),M2(-ae,bd) , M3(-ae,- bd), M4 (ae,- bd)。

(四)椭圆和双曲线的长轴分别在y轴和x轴上,椭圆、双曲线两者大致所在位置如图4

1.当b<d时,即有椭圆与双曲线相离,两者不存在交点;2.当b=d时,即有图(4)中两者相交,存在两个交点,分别为椭圆或双曲线在x轴上的两端点,因此交点坐标为M1(b,0)或(d,0)和M2(-b,0)或(-d,0);3.当b>d时,从图像上看有四个交点,依旧可设在第一象限的交点为M1(x0,y0),第二象限内交点M2(-x0,y0) ,第三象限内交点M3(-x0,-y0) 第四象限内交点M4(x0,-y0) (原理同上)。首先,联立方程,(7)式乘以a2b2d2再与(8)式乘以b2d2e2相加,消去y,可以解得,由于x0>0,因此x0=bd,将x0代入(7)式中,可以得到y0=ae。所以会有椭圆和双曲线的四个交点为M1(bd,ae),M2(-bd,ae) ,M3(-bd,- ae),M4 (bd,- ae)。

二、结语

观察每四大种的解题思路和计算结果,存在着交点坐标数值数据结构相似,根号里分母相同,皆为的规律,而且在每一个单独的x、y值中,根号里数值与根号外的数值相互对应。从四大种情况中,第一种与第二种,第三种与第四种存在着x0与y0数值替换的关系,因此,在记忆规律时 ,可以只记忆两种情况,节省精力。总的来说,发现和记忆这些规律,对于之后做题效率会有很大帮助。

参考文献:

[1] 王小可.椭圆双曲线和抛物线性质的相关性[J].池州师专学报,2004 (05).

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