探究正弦余弦三角函数值比较大小的方法

摘 要：三角函数是高中数学的重要内容之一，它的定义和性质涉及的知识面较广，并且有许多独特的表现形式，因而作为高考考查基础知识和基本技能方面的重要内容。我们在日常教学工作中我们会发现三角函数值比较大小的题目还是多种多样的且解法也是多种多样的。对此我结合对数，指数比较大小的分类方法将正弦余弦函数值比较大小这种题型分成了：1、同角不同三角函数名；2、同三角函数名不同角；3、不同三角函数名不同角；4、综合四类进行了方法总结。按照不同的类型找到了相应的方法。以提高学生做题的速度和效率。

关键词：三角函数线；单调性；诱导公式；象限符号

三角函数是高中数学的重要内容之一，它的定义和性质涉及的知识面较广，并且有许多独特的表现形式，因而作为高考考查基础知识和基本技能方面的重要内容。即便是在新课改之后我们都使用了人教A版的新教材但是三角这块的知识除了去掉了反三角函数、积化和差、和差化积、半角公式等，基本上保留大部分的内容，所以依然是高考的重点内容。综观近几年的高考试题，一般为一道客观题和一道解答题，分值约占整个试卷的10%左右，高考对本章的考查表现为：

1、客观题的考点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、三角函数的性质以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。

2、计算或证明题的难度明显降低，主要考查对基本知识的掌握程度以及基本技能、基本方法的运用。试题大都来源于课本中的例题、习题得变形，因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”。

3、实际应用题将三角函数融入三角形中，既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，近年来备受命题者的青睐。

在人教版老教材中高一下册第四章4.8节三角函数单调性中有这样一道例题。

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：

其实判断它们大于0还是小于0也就是比较它们的大小：

结合本节的教学目标：单调性，我们可以解决这一问题。而我们在日常教学工作中会发现这样的三角函数值比较大小的题目还是多种多样的且解法也是多种多样的。

对此我结合对数，指数比较大小的分类方法：

① 同底不同真（同底不同指）利用单调性；

② 同真不同底（同指不同底）利用图像关系；

③ 不同底不同真（不同底不同指）利用中间量。

将正弦余弦三角函数值比较大小这种题型进行了分类总结。一共分了4类：

① 同角不同三角函数名

② 同三角函数名不同角

③ 不同三角函数名不同角

④ 综合应用。

以下简记：同角不同名，同名不同角，不同名不同角，综合。

按照不同的类型找到了相应的方法。以提高学生做题的速度和效率。

一、同名不同角

方法：利用三角函数线。

例如：比较大小：

图中我们可以看到45°时正弦线MP=OM余弦线。

（1）可以明显看出1弧度角的OM

（2）可以明显看出190度角的OM的长度大于MP的长度，但是它们都是负的所以OM

点评：在使用三角函数线时要注意以下几点：

1、当角?琢的终边在y轴上时，余弦线变成一个点。

2、当角?琢的终边在x轴上时，正弦线，正切线都变成了点。

3、三种有向线段必是OM,MP,AT起点在前终点在后。比较除了长度外还要考虑正负。

三角函数线的正负与坐标轴的正反方向一致。

4、三角函数线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆。

5、在不使用量角器的条件下画出非特殊角的三角函数线时可以利用，的三角函数线作为比较界线。

当然你会发现利用三角函数线也可以解决在同一象限内不同角同名的三角函数值比较大小的问题。

二、同名不同角

方法：利用单调性。

例如：比较大小：

点评：同角不同名的三角函数值比较大小利用单调性这一种方法要求学生熟练掌握正弦函数余弦函数，正切函数的单调区间及单调性。

当然同角不同名的三角函数值比较大小不只有利用单调性这一种方法。

像例（1）就是同一象限内的同名不同角的三角函数值比较大小可以使用三角函数线。

（2）可以通过象限符号判断。

点评：像此类不同角不同名比较大小的题有时候考察的着重点不是比较大小而是三角函数象限符号问题。大家要熟记口诀：“第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限切为正，第四象限余弦为正。”简记：“一全二正弦三切四余弦”这种题相对来说比较简单。

当然大家也会发现这种方法不能解决所有的不同角不同名比较大小的问题。因为很多不同角不同名的三角函数值的符号是相同的。那么我就需要另外的方法了。

方法2：利用诱导公式化为同名，再同名不同角的方法来判断。

例如比较大小：

当然在知道

的时候我们也可以利用三角函数线得到答案。

点评：像此类不同角不同名比较大小的题考察的着重点却是六类诱导公式。大家要熟记简记角琢的诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限。”可见在此分类中，它可以通过诱导公式转化为“同名不同角”这类。也可以说这一类已经开始体现知识的灵活与连贯了。例如：

此种类型是不同名不同角但是给出了大小关系而判断角的关系。

同样也可以根据诱导公式变为同名结合单调性得。

前三种分类虽然是比较有章可循，但并不一定是唯一的方法也可能不是最简单的方法。作这种分类目的是能够在看到此题型可以在方法选择上不浪费太多时间。当然如果知识掌握灵活，能够想到最简单的方法也是可以的。

按此这些类型分开按图索骥很有效率，但是方法与方法之间也不是完全割裂分离得的，也有综合使用的。

四、综合

前面的三种方法会分开考察也会综合考察。这就需要大家在熟练掌握的基础上加以灵活应用了。这种题通常要具体问题具体分析了没有什么特定的形式。下面仅以一例作解释。

例如比较大小：

点评：这道题考查了2类比较大小的方法。但它的难点确是值又作了角，这2个角的大小关系和所属的区间是重点。两次比较值的方法分别用了“同角不同名”，“同名不同角”的方法。

三角函数是基本初等函数之一，它和代数、几何、平面向量等有着密切的联系，因而可以很好的锻炼学生的思维能力和创新能力，对于三角函数比较大小只是三角函数中极小的知识但方法却多种多样，以上的方法总结只是冰山一角，希望能够给同学们打开一扇通往神奇的三角函数研究之门。