探究高职数学中几种不等式的证明方法

【摘 要】高职数学中的复杂公式和繁琐计算是人们对它的最初印象，其实，如果对高职数学进行细致总结和归纳就会发现，它是有章可循的，是有规律的。下面笔者通过近年来的教学经验，通过一些具体的例子来对高职数学中的不等式的证明方法进行探究，与大家分享。

【关键词】高职数学；不等式；证明方法

高职数学中不等式的内容占有举足轻重的地位，涉及到很多重要的解题方法和技巧。在一年一度的研究生的考试中，不等式的证明也是其常考考点。下面笔者通过近年来的教学经验，通过一些具体的例子来对高职数学中的不等式的证明方法进行探究，与大家分享。

1.利用函数的单调性

常见方法：辅助函数构造判定函数的单调性获得所证明的不等式。

依据：若函数f（x）在区间（a，b）内单调递增？圯f（a）

若函数f（x）在区间（a，b）内单调递减？圯f（b）

【实例1】函数f（x）在区间[0，1]上连续，在区间（0，1）内可导，f（0）=0， 0≤f'（x）≤1。求证：■f（x）dx ■≥■f■（x）dx。

证明：令F（x）=■f（x）dx ■-■f■（x）dx（0

F'（x）=f（x）2■f（x）dx-f■（x）

令G（x）=2■f（x）dx-f■（x），则G'（x）=2■f（x）dx-f■（x）'=2f（x）[1-f'（x）]≥0，故G（x）≥G（0）=0，所以2■f（x）dx-f■（x）≥0，由条件f（x）≥0，F'（x）≥0，F（x）在区间[0，1]上单调不减，得F（1）≥F（0）=0，即■f（x）dx ■≥■f■（x）dx。

2.利用中值定理

常见方法：辅助函数构造依据拉格朗日中值定理得等式由ξ的范围获得所证不等式。

【实例2】设e■（b-a）

证明：令f（x）=ln2x，在区间[a，b]上用拉格朗日中值定理，得■=f'（ξ），即■=2·■ ξ∈（a，b）？奂（e，e2），再令g（x）=■（e

即原不等式成立。

3.利用最值证明不等式（含≥或≤号）

常见方法：辅助函数构造求出其最大（小）值获得所证明不等式。

依据：若f（a）为函数f（x）在I上的最大值？圯f（x）≤f（a）；

若f（b）为函数f（x）在I上的最小值？圯f（x）≥f（b）。

【实例3】证明：当x>0时，（x2-1）lnx≥（x-1）2。

证明：令f（x）=（x2-1）lnx-（x-1）2，则f（1）=0，f'（x）=2xlnx-x+2-■，f'（1）=0，f''（x）=2lnx+1+■，f''（1）=2>0。x=1为极小值点，但不能断定它是最小值点。

又f'''（x）=■，f'''（x）=0。f'（x）在（0，+∞）上单调递增，又f'（1）=0，f'（x）在x=1由负变正，故x=1为函数f（x）的最小值点，f（x）≥f（0）=0，即（x2-1）lnx≥（x-1）2■

【参考文献】

[1]刘继合.简析高等数学结构与化归[J].聊城师范学院学报（自然科学版），1999，12（3）.

[2]姜启源.数学建模.北京：高等教育出版社，2002：110～120.