数学解题过程中的“细节决定成败”

面对如今江苏的高考模式，很多同学感叹道：“高考成也数学，败也数学”，这话不无道理.数学题目分值较大，一不留心，便铸成了大错，而铸成大错的原因很多在于忽略细节.我们高中各个章节的内容，所涉及到的很多题目中都需要注意细节.本文将从细节在审题过程中、在思考过程中、在回顾过程中这三个方面来进行举例阐述.

一、细节在审题过程中

案例1 已知函数y=log2(x2-ax-a)的值域为R，则实数a的取值范围为 .

错解：令f(x)=x2-ax-a，

则y=log2f(x),f(x)>0恒成立，所以应有Δ=a2+4a

解得－4

错因分析：以上的错误原因在于没有准确地理解函数y=log2(x2-ax-a)

的值域为R的意义.

根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当f(x)=x2-ax-a的值能取遍一切正实数时，

函数y=log2(x2-ax-a)的值域才是R，

而当Δ0恒成立， 这只能说明函数y=log2(x2-ax-a)的定义域为R，

而不能保证f(x)可以取遍一切正数，要使f(x)可以取遍一切正数，结合二次函数的图象知，

f(x)的图象应与x轴有交点才能满足.

正解：要使f(x)=x2-ax-a的值能取遍一切正实数，

应有Δ=a2+4a≥0，解得a≥0或a≤-4，即实数a的取值范围为(－∞,－4］∪［0,+∞).

案例2 已知曲线C:y=ax2-1及A(0,0),B(2,3)，若曲线C与线段AB只有一个公共点，求实数a的取值范围

.

错解：直线AB的方程为：y=32x，

由y=32xy=ax2-1

得ax2-32x-1=0

曲线C与线段AB有且只有一个公共点

Δ=94+4a=0

a=-916，

由此得符合条件的a的值为-916.

错因：上述解法错误的原因在于忽略了直线与线段这两个概念的区别，

线段AB的方程为：y=32x(0≤x≤2)，

而不是y=32x，曲线C与线段AB只有一个公共点等价于方程

ax2-32x-1=0在［0,2］ 内只有一个根.

正解：线段AB的方程为：y=32x(0≤x≤2)

由y=32x(0≤x≤2)y=ax2-1

得ax2-32x-1=0……①

要使两曲线只有一个公共点，只需方程①在0≤x≤2之间只有一个根.

当a=0时，x=-23不符合题意，舍去.

当a≠0时，f(x)=ax2-32x-1要使方程①在［0,2］ 内只有一个根，

因为f(0)=－1

a≥1.

反思：审题切忌一目十行，断章取义，漫无目的，而应该逐字逐句，全面解读，从而抓住要点，理清题意，去思考相关的知识和方法.

二、细节在思考过程中

案例3 首项是125，从第10项起开始比1大的等差数列的公差d的取值范围是 .

错解1：由a10>1,得125+9d>1,解得d>875

错解2：由a10>1，且a9

错因分析：错解1只考虑到了a10>1这个条件，没有注意到题中“开始比1大”这段关键语句，错解2虽然注意到了这关键的语句，但却忽视了等于1这种情况，因此都得出了错误的答案.

正确解：由题意得：a9≤1a10>1 ，即125+8d≤1125+9d>1 ，解得875

案例4 若向量a=(x,2x),b=(－3x,2),且a,b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 .

错解：因a,b的夹角为钝角，于是可以得到a•b

错因：a•b

从而扩大了x的范围，导致错误.

正解：因a,b的夹角是钝角，故a•b=－3x2+4x

又由a,b共线且反向可得x=－13……②

由①、②可得的范围是(-∞,-13)∪(-13,0)∪(43,+∞).

反思：在解答过程中同学们要将所学的知识和方法最优化整合，必须做到细心，认真，严谨，否则往往是一着不慎，满盘皆输.

三、细节在回顾过程中

案例5 已知关于x的不等式(a2－4)x2+(a+2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围 .

错解：由Δ=(a+2)2+4(a2－4)

错因分析：当二次项前面的系数不是确定的实数而含有参数时，应首先对二次项系数分等于0和不等于0两种情况讨论，切忌不可直接计算Δ.

若a2－4=0，即a=±2时，a=－2，则原不等式为－1≥0，解集是空集，满足题意，a=2，则原不等式为x≥14，不合题意；

若a≠±2，则a2-4

不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为空集，求得-2

故正确答案为－2≤a

案例6 函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,试确定a,b的值.

错解：f′(x)=3x2+2ax+b,因为函数f(x)在x=1处取极值10，所以f′(1)=3+2a+b=0,又f(1)=1+a+b+a2=10，从而a=4,b=－11或a=－3,b=3.

错因：当f′(x0)=0时x=x0不一定是函数的极值点.

事实上，当a=－3,b=3时，f′(x)=3x2－6x+3=3(x－1)2≥0，

函数f(x)在R上没有极值，该结果应舍掉.

正解: a=4,b=－11

反思：类似如，由函数f(x)在区间(a,b)内为单调增函数，得导函数f′(x)≥0在区间(a,b)内恒成立，这里也不是等价转化.所以说，对知识点的理解掌握固然重要，但当解题过程中的每个步骤并非完全等价转化时，解答完后的回顾就显得尤为重要，事实上，对解题结果进行检验是解答数学题目的一个重要环节之一.

数学解题过程中出现的错误，有粗心之错，忽略之错，遗漏之错等等，很多都是在细节上出了问题，我们要将细心，认真，严谨的学习态度贯穿在整个解题过程中，包括审题、解答、检验.总之，数学解题必须步步留心，因为细节决定成败.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学)

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（2）当n=2k－1时

a2k+1a2k－1=22k－1

a2k－1=a1a3a1a5a3…a2k－1a2k－3=1•21•23…22k－3=2(k－1)2

即an=2（n-12）2（n为奇数）

an=2(n－12)2(n为奇数)2n24－n2+1(n为偶数)

点评：对于出现“an+2an”的隔项问题，需要分奇偶讨论得出答案.