高考中解决抽象函数的常用方法

抽象函数就是没有给出具体的函数解析式，只给出体现函数特征的一类函数．下面介绍几种解决抽象函数问题的常用方法．

1．合理赋值，巧妙转化

赋值的基本思路是将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体值常常起到桥梁作用．

例1 （2009四川卷）已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f［f(52)］=( )

A.0

B.12

C.1

D.52

解：f(x)是R上的偶函数，故f(－x)=f(x)，由已知xf(x+1)=(1+x)f(x)，令x=0，则f(0)=0，

令x=－12，

(－12)f(12)=12f(－12)得f(12)=0，再令x=12，12f(32)=32f(12)，得：f(32)=0，令x=32，32f(52)=52f(32)得f(52)=0，所以f［f(52)］=f(0)=0．故选A.

2．构造模型，推测验证

根据已知条件，寻找函数模型（一次函数、指、对数函数、三角函数模型），通过分析其函数图像或性质去推测验证抽象函数的性质，从而达到解决问题的目的．

例2 （2009年全国卷Ⅰ）f(x)的定义域为R， 若f(x+1)与f(x－1)都是奇函数，则（ ）

A.f(x)是偶函数

B.f(x)是奇函数

C.f(x)=f(x+2)

D.f(x+3)是奇函数

分析：f(x+1)与f(x－1)都是奇函数，说明函数f(x)的图像向左或向右平移一个单位都关于原点对称，故考虑三角函数．

解：令f(x)=cosπ2x，

则f(x+1)=cos(π2x+π2)=－sinπ2x是奇函数，

f(x－1)=cos(π2x－π2)=sinπ2x也是奇函数，

故f(x)=cosπ2x符合题意．

显然f(x)=cosπ2x是偶函数，且最小正周期为4，故排除B、C．

再令f(x)=sinπx，显然f(x)=sinπx是奇函数，故排除A．综上所述选D．

3．反复迭代，合理递推

迭代是不断用变量的旧值递推新值的过程，实际就是重复操作，对于递推关系的抽象函数问题，常用此法求解．

例3 （2009年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在区间［0,2］上是增函数，则（ ）

A.f(－25)

B.f(80)

C.f(11)

D.f(－25)

解：f(x－4)=－f(x)，x用x+4代替得：f(x+4－4)=－f(x+4)，

即f(x)=－f(x+4)，所以f(x+4)=－f(x)，

x用x+4代替得：f(x+4+4)=－f(x+4)=f(x)，f(x+8)=f(x)，T=8.

f(x)是奇函数，由f(x+4)=－f(x)=f(-x),用x-2代替x,

f(x+2)=f(2-x),

得f(x)的一条对称轴是直线x=2，

在［0,2］上是增函数，

f(x)在［－2,2］上是增函数，

f(－25)=－f(25)=－f(3×8+1)=－f(1)=f(－1)，

f(11)=f(8+3)=f(3)=f(2+1)=f(2－1)=f(1)，

f(80)=f(0)，又－2

f(x)在区间［－2,2］上是增函数，

f(－1)

即f(－25)

故选D．

4．消去变元，巧得方程

消去变元就是把某些抽象函数看作未知数，通过函数概念列出方程组，实现解题目标．

例4 （2011年湖北卷）若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex，则g(x)=( )

A.ex－e－x

B.12(ex+e－x)

C.12(e－x－ex)

D.12(ex－e－x)

分析：把f(x)和g(x)看做方程的两个未知量，利用函数的奇偶性再构造出一个关于f(x)和g(x)的方程，联立方程整体消元即可得到结果．

解：f(x)是定义在R上的偶函数，f(－x)=f(x)，又g(x)是定义在R上的奇函数，g(－x)=－g(x)，由f(x)+g(x)=ex(1)

得f(－x)+g(－x)=e－x，即f(x)－g(x)=e－x(2)，由（1）（2）消去f(x)，得g(x)=12(ex－e－x)．故选D．

5．整体突破，局部解决

应用整体思想，优化整体为局部，再由局部的解决使问题顺利得到解决．

例5 （2011年辽宁卷）函数f(x)的定义域为R，f(－1)=2，对任意的x∈R，f′(x)>2，f(x)>2x+4的解集为（ ）

A.(－1,1)

B.(－1,+∞)

C.(－∞,－1)

D.(－∞,+∞)

分析：由于f(x)的解析式不确定，注意到f(x)>2x+4的结构及f′(x)>2，则不妨构造函数h(x)=f(x)－(2x+4)．

解：设h(x)=f(x)－(2x+4)，则h′(x)=f′(x)－2>0，故h(x)在R上单调递增，又h(－1)=f(－1)－2=0，当h(x)>0时，x>－1，即f(x)>2x+4的解集为(－1,+∞)，故选B．

6．利用周期，化未知为已知

对于抽象函数求值（值域）问题，充分利用周期性，化未知为已知．

例6 （2011年上海卷）函数g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间［3,4］上的值域为［－2,5］，则f(x)在区间［－10,10］上的值域为 ．

案为［－15,11］．

7．数形结合，抽象化为具体

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的数学图形结合，通过“以数观形”、“以形助数”，使复杂的问题简单化，抽象问题具体化．

例7 （例3改编题）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)=－f(x)，且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(x)=m，m>0在区间［－8,8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= .

解：

由例3的解题过程可知，函数f（x）是以8为周期的函数，且关于直线x=2对称，在［-2，2］上单调递增.

如图所示，那么方程f(x)=m，m>0在区间［－8,8］上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1

8．利用单调，巧脱“f”

解决抽象函数不等式关键是利用函数单调性脱掉对应法则“f”．

例8 （2009年辽宁卷）已知偶函数f(x)在区间 ［0,+∞) 单调递增，则满足f(2x－1)＜f(13)的x取值范围是（ ）

A.(13,23)

B.［13,23)

C.(12,23)

D.［12,23)

解：由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(|x|)，得f(|2x－1|)