概率论在经济学中的应用范文

概率论在经济学中的应用篇1

【关键词】概率；中学教学；应用；价值

概率，简单说就是一件事情发生的可能性有多大。例如：在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾；又如，太阳每天都会东升西落，那么这件事发生的概率就是100%，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但在生活中很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，例如某天会不会下雨等，这类事件的概率就介于0和100%之间。生活中无论是股市涨跌、亦或发生事故，但凡捉摸不定、随机出现的情况，都可用概率模型进行定量分析。而我们通常说的随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1/2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现正态分布。

1.概率论起源与发展

1.1 概率论起源

最初概率论的起源与问题有关。早在16世纪，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺便开始研究掷骰子等中的一些简单问题。17世纪中叶，当时法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷4次骰子，如果其中没有6点出现，玩家赢，如果出现一次6点，则庄家（相当于现在的）赢。按照这一游戏规则，庄家长期都是赢家，而玩家大部分时间都是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时的人们也就接受了这种现象。后来，游戏规则发生了变化，这回玩家用2个骰子连续掷24次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2次出现6点的概率是一次出现6点的概率的1/6，因此，6倍于前一种规则的次数，也既是24次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

1.2 概率论的发展

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家J.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。

2.概率在中学数学中的现状

通过对海口多个中学进行调查（主要调查概率统计这门课在中学的教学情况），概率统计这门课，中学课本讲得较浅，导致学生易学易懂而不易解题。都要求作为知识的拓展，以适应新形势需要。

某同学说：“近几年高考中，谈得比较多的是概率的得分率偏低，特别是概率方面的考题”，针对这个问题，调查了某中学的高三年级1200多名学生，从中随机抽取了100名学生，对概率统计的应用进行调查。调查结果75%的同学认为很难，20%的同学认为一般，而仅有5%的同学认为很简单。

从此结果可以看出：比例显然不符合正态分布。究其原因，根据同学们的反映，课本上的知识讲得较浅，知识面窄，从而导致学生易学易懂而不易解。

3.概率论的应用

概率论的应用领域正在日益扩大，经济学方面、金融、股票、物理学微观、工业工程中产品的质量以及设计、监测和检查都离不开概率论。以经济领域的应用为例：

经济学的数学化已经成为不可否认的事实，而且数学化的趋势愈演愈烈。特别是近十几年来，由于金融学、保险学等经济学分支学科越来越普遍的应用，研究随机事件的概率论在经济学中得到越来越快的发展，而且近几年诺贝尔奖也授予在经济学的随机处理方面做出突出贡献的学者：如1990年奖获的证券组合选择理论，1994年获奖的博弈理论。同时由于概率论考虑了样本与总体之间的关系的这一特性，对实证经济学特别是经济计量学起到了非常大的推动作用。可以说，当代实证经济学的发展就是概率统计知识在经济模型中的实际应用，如果考虑在实证经济学领域的诺贝尔获奖者，那概率论对经济学的影响就更大了，包括第一届诺贝尔奖获得者丁博根、第二届诺贝尔获奖者萨谬尔森等在内，前前后后大约有20名经济学家研究和应用概率论在经济学中的作用，因此概率论在经济学中有十分广泛的作用。

4.概率在中学数学中的价值

概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。概率论是随机数学的基础，其中蕴含着丰富的辨证思想。在中学阶段学习概率有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系、形成辨证的思想、增进学生对数学本质的理解。概率在中学数学中具体的价值体现在以下几个方面：

4.1 知识技能方面

有利于增强学生动手能力和对数学学习的兴趣培养以及学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系。

概率的主要内容是在学习“事件的可能性的基础上来学习如何预测不确定事件（随机事件）发生的可能性的大小”，系统地理解概率的意义及求概率的方法，为下面学习求比较复杂的情况的概率打下基础。掌握用概率预测随机发生的可能性大小，在日常生活、自然、科技领域有着广泛的应用，学习了概率知识，无论是今后继续深造（高中学习概率的乘法定理）还是参加社会实践活动都是十分必要的。概率教学中存在着大量的有趣的实践活动，如硬币、掷骰子等。学生参加这些实践活动后，不仅能够真正掌握概率内容，体会其中的思想内涵，并且由于学习过程的轻松愉快，更易于培养学生学习数学的兴趣。因此，中学数学概率的教学，将有效地促进学生学习方法的改变，提高学生动手试验能力，培养学生学习数学的兴趣。

众所周知，概率具有丰富的现实背景，在现实生活中有着广泛的应用，在科技高速发展的今天，概率更加显示出其广泛的应用性，如“生日问题”、“晚会礼物问题”、“中奖问题”、“抽检问题”、商界的各种风险投资、气候的瞬息万变等在日常生活中随处可见的现象都与概率有着千丝万缕的联系，而这些同样又是其他学科要讨论的重要话题之一。因此，概率的学习，对于学生认识数学与现实生活及其它学科的联系，体会概率在刻画和解决实际问题中的作用，感受数学的应用价值起着非常重要的作用。

4.2 思维能力方面

有利于学生数学思维的培养以及辩证思想的形成。

在概率的教学中，从集合到事件，一般变量到随机变量的延伸中都充满了数学思维方法。通过这些让学生切实体会到数学思维的本质，从类推中学生体会到数学抽象思维的层次性；而随机变量是以前学习过的变量的扩充，从离散型随机变量的认识中，学生初步体会到数学知识基本的扩充方式：内容的扩充（研究对象的扩充）和研究方法的扩充。

在我们生活的现实世界中，充满了许多不确定的现象，如投掷一枚硬币，可能正面（国徽）向上也可能反面（文字）向上，结果是不确定的，可是经过无数次的投掷，就会发现其正面向上和反面向上的几率是均等的。但这并不能保证投掷100次正面向上50次，实际上正面向上50次只有8%。在射击实验中，射手射中某一环的概率是局部问题，如果全面考察各环则是涉及随机变量的分布列的全局问题。通过这些随机现象的教学，学生可以感知偶然与必然、变与不变、有限与无限、确定与不确定、局部与整体的对立与统一，这些都有助于学生辨证思想的形成。

参考文献

[1]杨利垚.中学数学中的概率与统计教学研究[D].长春师范学院，2012.

[2]邱晓昇.中学数学中统计与概率的教学实践与研究[D].苏州大学，2010.

[3]王亮.中学数学中概率统计教学问题研究[D].辽宁师范大学，2007.

[4]吕林燕，王学红.新课标下大学概率统计教学与中学数学教学内容的衔接探讨[J].高等函授学报（自然科学版），2010-12-25.

[5]骞龙江.概率统计教学研究[J].价值工程，2011-08-08.

概率论在经济学中的应用篇2

关键词：课堂教学;概率论与数理统计;应用能力;教学模式 

概率与数理统计是实际应用性很强的一门数学学科，它在经济管理、金融投资、保险精算、企业管理、投入产出分析、经济预测等众多经济领域都有广泛的应用。概率与数理统计是高等院校财经类专业的公共基础课，它既有理论又有实践，既讲方法又讲动手能力。然而，在该课程的具体教学过程中，由于其思维方式与以往数学课程不同、概念难以理解、习题比较难做、方法不宜掌握且涉及数学基础知识广等特点，许多学生难以掌握其内容与方法，面对实际问题时更是无所适从，尤其是财经类专业学生，高等数学的底子相对薄弱，且不同生源的学生数理基础有较大的差异，因此，概率统计成为一部分学生的学习障碍。如何根据学生的数学基础调整教学方法，以适应学生基础，培养其能力，并与其后续课程及专业应用结合，便成为任课教师面临的首要任务。作为我校教学改革的一个重点课题，在近几年的教学实践中，我们结合该课程的特点及培养目标，对课程教学进行了改革和探讨，做了一些尝试性的工作，取得了较好的成效。

1 与实际结合，激发学生对概率统计课程的兴趣

概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程都有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。为了激发学生的兴趣，在教学中，可结合教材插入一些概率论与数理统计发展史的内容或背景资料。如概率论的直观背景是充满机遇性的，其最初用到的数学工具也仅是排列组合，它提供了一个比较简单而非常典型（等可能性、有限性）的随机模型，即古典概型；在介绍大数定律与中心极限定理时可插入贝努里的《推测术》以及拉普拉斯将概率论应用于天文学的研究，既拓广了学生的视野，又激发了学生的兴趣，缓解了学生对于一个全新的概念与理论的恐惧，有助于学生对基本概念和理论的理解。此外，还可以适当地作一些小试验，以使概念形象化，如在引入条件概率前，首先计算著名的“生日问题”，从中可以看到：每四十人中至少有两人生日相同的概率为 0.882，然后在各班学生中当场调查学生的生日，查找与前述结论不吻合的原因，引入条件概率的概念，有了前面的感性认识后学生就比较主动地去接受这个概念了。

在概率统计中，众多的概率模型让学生望而生威，学生常常记不住公式，更不会应用。而概率统计又是数学中与现实世界联系最紧密、应用最广泛的学科之一。不少概念和模型都是实际问题的抽象，因此，在课堂教学中，必须坚持理论联系实际的原则来开展，将概念和模型再回归到实际背景。例如：二项分布的直观背景为 n重贝努里试验，由此直观再利用概率与频率的关系，我们易知二项分布的最可能值及数学期望等，这样易于学生理解，更重要的是让其看到如何从实际问题抽象出概念和模型，引导学生领悟事物内部联系的直觉思维。同时在介绍各种分布模型时可以有针对性地引入一些实际问题，向学生展示本课程在工农业、经济管理、医药、教育等领域中的应用，突出概率统计与社会的紧密联系。如将二项分布与新药的有效率、射击命中、机器故障等问题结合起来讲；将正态分布与学生考试成绩、产品寿命、测量误差等问题结合起来讲；将指数分布与元件寿命、放射性粒子等问题结合起来讲，使学生能在讨论实际问题的解决过程中提高兴趣，理解各数学模型，并初步了解利用概率论解决实际问题的一些方法。

2 运用案例教学法，培养学生分析问题和解决问题的能力

案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与互相讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法。它是连接理论与实践的桥梁。我们结合概率与数理统计应用性较强的特点，在课堂教学中，注意收集经济生活中的实例，并根据各章节的内容选择适当的案例服务于教学，利用多媒设备及真实材料再现实际经济活动，将理论教学与实际案例有机的结合起来，使得课堂讲解生动清晰，收到了良好的教学效果。案例教学法不仅可以将理论与实际紧密联系起来，使学生在课堂上就能接触到大量的实际问题，而且对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过案例教学可以促进学生全面看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实经济生活中得到更好的应用，发挥其应有的作用。

在介绍分布函数的概念时，我们首先给出一组成年女子的身高数据，要学生找出规律，学生很快就由前面所学的离散型随机变量的分布知识得到分组资料，然后引导他们计算累积频率，描出图形，并及时抽象出分布函数的概念。紧接着仍以此为例，进一步分析:身高本是连续型随机变量，可是当我们把它们分组后，统计每组的频数和频率时却是用离散型随机变量的研究方法，如果在每一组中取一个代表值后，它其实就是离散型的，所以在研究连续型随机变量的概率分布时，我们可以用离散化的方法，反过来离散型随机变量的分布在一定的条件下又以连续型分布为极限，服装的型号、鞋子的尺码等问题就成为我们理解“离散”和“连续”两个对立概念关系的范例，其中体现了对立统一的哲学内涵，而分布函数正是这种哲学统一的数学表现形式。尽管在这里花费了一些时间，但是当学生理解了这些概念及其关系之后，随后的许多概念和内容都可以很轻松地掌握，而且使学生能够对数学概念有更深层次上的理解和感悟，同时也调动了学生的学习积极性和主动性，培养了他们再学习的能力。

3 运用讨论式教学法，增强学生积极向上的参与和竞争意识

讨论课是由师生共同完成教学任务的一种教学形式，是在课堂教学的平等讨论中进行的，它打破了老师满堂灌的传统教学模式。师生互相讨论与问答，甚至可以提供机会让学生走上讲台自己讲述。如，在讲授区间估计方法时，就单双边估计问题我们安排了一次讨论课，引导学生各抒己见，鼓励学生大胆的发表意见，提出质疑，进行自由辩论。通过问答与辩驳，使学生开动脑筋，积极思考，激发了学生学习热情及科研兴趣，培养了学生综合分析能力与口头表达能力，增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程，教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习，更新知识，提高讲课技能，同时也调动了学生学习的积极性，增进师生之间的思想与情感的沟通，提高了教学效果。教学相长，相得益彰。

保险是最早运用概率论的学科之一，也是我们日常谈论的一个热门话题。因此，在介绍二项分布时，例如一家保险公司有1000人参保，每人、每年12元保险费，一年内一人死亡的概率为0.006。死亡时，其家属可向保险公司领得1000元，问:①保险公司亏本的概率为多大?②保险公司一年利润不少于40000元、60000元、80000元的概率各为多少? 保险这一类型题目的引入，通过讨论课使学生对概率在经济中的应用有了初步的了解。

4 运用多媒体教学手段，提高课堂教学效率

传统上一本教材、一支粉笔、一块黑板从事数学教学的情景在信息社会里应有所改变，计算机对数学教育的渗透与联系日益紧密，特别是概率论与数理统计课，它是研究随机现象统计规律性的一门学科，而要想获得随机现象的统计规律性，就必须进行大量重复试验，这在有限的课堂时间内是难以实现的，传统教学内容的深度与广度都无法满足实际应用的需要。在教学中我们可以采用了多媒体辅助手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，形成了一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而大大增加了教学信息量，以提高学习效率，并有效地刺激学生的形象思维。另外，利用多媒体对随机试验的动态过程进行了演示和模拟，如:全概率公式应用演示、正态分布、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、中心极限定理的直观演示实验等，再现抽象理论的研究过程，能加深学生对理论的理解及方法的运用。让学生在获得理论知识的过程中还能体会到现代信息技术的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果。

5 改革考试方式和内容，合理评定学生成绩

应试教育向素质教育的转变，是我国教育改革的基本目标。财经类专业的概率与数理统计教学，除了在教学方法上应深入改革外，在考试环节上也需要进行改革。

考试是教学过程中的一个重要环节，是检验学生学习情况，评估教学质量的手段。对于数学基础课程概率与数理统计的考试，多年以来一直沿用闭卷笔试的方式。这种考试方式对于保证教学质量，维持正常的教学秩序起到了一定的作用，但也存在着缺陷，离考试内容和方式应更加适应素质教育，特别是应有利于学生的创造能力的培养之目的相差甚远。在过去的概率与数理统计教学中，基本运算能力被认为是首要的培养目标，教科书中的各种例题主要是向学生展示如何运用公式进行计算，各类辅导书中充斥着五花八门的计算技巧。从而导致了学生在学习概率与数理统计课程的过程中，为应付考试搞题海战术，把精力过多的花在了概念、公式的死记硬背上。这与财经类培养跨世纪高素质的经济管理人才是格格不入的。为此，我们对概率与数理统计课程考试进行了改革，主要包括两个方面：一是考试内容与要求不仅体现出概率与数理统计课程的基本知识和基本运算以及推理能力，还注重了学生各种能力的考查，尤其是创新能力。二是考试模式不具一格，除了普遍采用的闭卷考试外，还在教学中用互动方式进行考核，采取灵活多样的考核形式。学生成绩的测评根据学生参与教学活动的程度、学习过程中掌握程度和卷面考试成绩等综合评定。这样，可以引导学生在学好基础知识的基础上，注重技能训练与能力培养。

实践表明，运用教改实践创新的教学模式，可以使原本抽象、枯燥难懂的数学理论变得有血有肉、有滋有味，可以激发学生的求知欲望，提高学生对课程的学习兴趣。在概率统计的教学模式上，我们尽管做了一些探讨，但这仍是一个需要继续付出努力的研究课题，也希望与更多的同行进行交流，以提高教学水平。

参考文献

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［2］姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［3］肖柏荣.数学教学艺术概论［M］.合肥:安徽教育出版社，1996.

［4］蔺云.哲学与文化视角下概率统计课的育人功能［J］.数学教育学报，2002，11(2):24-26.

概率论在经济学中的应用篇3

本书从简要概述经典物理、统计物理与量子力学之间的明显不同开始，论证为什么量子力学的应用可以超出物理学的范围，并且定义了量子社会科学。指出所谓的量子社会科学并不是要用适用微观尺度的量子力学原理重新表述社会，而是尝试借助量子力学的一些形式理论和概念，研究社会科学中的一些问题，包括在心理学、经济学与金融学中量子概率效应的存在，提出并解答了一些基本问题。他们论证了社会科学体系中的信息处理在一定程度上可以利用量子力学的数学工具形式化的奇妙方法。本书建议了一种类-量子方法可以作为理解经济学与金融学中心对象决策问题的有效工具。两位作者还论证了概率相干性能够用来解释著名的Ellsberg决策佯谬中总概率规律的破坏，本书两位作者对这一新奇的研究领域做出了一些领先的贡献。

两位作者深知这样一本书所讨论的内容是与直觉相反的，他们要把解释亚原子行为发展起来的物理学理论用于解释我们日常生活世界。尽管我们掌握了很多亚原子世界的精确知识，但是从来没有关于这个世界的直接经验。把微观世界有效的理论用于宏观世界可信度如何？这样奇特的做法会不会令人担忧？感兴趣的读者都可能提出这类问题。两位作者的想法是，关于他们开创的这种做法的可行性，应该由读者在读过该书之后自己得到答案。

本书陈述的模型可以称之为类-量子的，他们与量子物理没有直接关系。作者强调指出，对于复杂的社会系统所做的信息处理可以通过量子力学的数学工具描述。正是在这个意义上，本书阐释了金融市场、行为经济学和决策问题。

把精确科学与社会科学联系起来不是件轻而易举的事。其中最为困难的问题是消除这样的一种误解，即似乎在物理学与社会系统模拟之间本来就应当存在一架桥梁。实际上，在一些特殊的社会系统中，所得结果的“物理等价物”几乎毫无意义。

全书内容分4个部分，共15章。第1部分 社会科学中的物理概念，含第1-3章：1.经典、统计和量子力学，三合一概览；2.经济物理学； 3.量子社会科学。第2部分 数学与物理的预备知识，含第4-6章： 4.矢量的微积分学及其他数学预备知识；5.量子力学基本要素；6.Bohm力学的基本要素。第3部分 心理学中量子概率效应：基本问题及其答案，含第7-9章：7.简略概述；8.心理学中的干涉效应——导论；9.决策的类量子模型。第四部分 经济学、金融学与脑科学中的其他量子概率效应，含第10-15章：10.危机中的金融学/经济学理论；11.金融与经济学中的Bohm力学；12.BohmVigter模型和路径模拟；13.对于经济学/金融学理论的其他一些应用；14.大脑的类-量子处理的神经心理学起源；15.结论。

本书是面向经济学和心理学以及物理学的研究人员的一部具有新颖、独特观点的专著，很具启发性和创新性，对于希望开拓新的研究领域，特别是交叉学科相关领域的研究生以及研究人员很有参考价值。作者概述了进入该领域所需的数学预备知识和量子力学的基本概念以及社会科学相关的基础知识，这对那些对这一问题感兴趣并打算阅读该书的读者很有益处。

丁亦兵，教授

（中国科学院大学）

Ding Yibing， Professor

概率论在经济学中的应用篇4

关键词：马尔科夫链 随机过程 状态分析

中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）010-116-02

1 研究背景

不确定性这一概念在1921年，由奈特在其经典名著《风险、不确定性与利润》中提出。他明确地区分出了不确定性与风险的根本差异――前者是在面对各种的影响经济的活动时，经济行为人无法全面而准确的观察市场、分析波动和得到未来预期的内外因素。凯恩斯在此基础上发展了不确定性这一概念：由于参与者自己对每一时刻的价格变化都是不确定的，因此行为人本身是不可能获得关于价格均衡的全部情报的。归根结底，在经济世界中，压根就没有所谓能让预期全部得以实现的稳定状态，所以在某种程度上来说凯恩斯经济学就是研究，在一个模糊不确定的、无法用概率准确描述的社会中，预期的产生与影响行为的途径。

基于以上认知，我们可以确定动态不确定性分析较以往的静态分析的优越性，因而不断朝着应用动态随机模型发展的时代已经到来。而从数学的角度来看，由于模型中我们通常用随机过程来表示其不确定性，因此实质上不确定性问题就是通过随机过程表达不确定性、运用随机分析处理模型的问题。而马尔科夫链预测法就是一种应用性较强的随机过程建模办法，运用其马尔科夫链原理可以将收集的数据资料用概率转移矩阵等数理方法来预测结果。在实践中，这一应用已经有了部分实例。

2 马尔科夫链理论概要

2.1 Markov链与Markov过程

2.2 概率转移矩阵

马尔科夫链的一步转移概率，即当给定的马尔科夫链Xn在状态i时，Xn+1处于状态j的条件概率，即随机变量由当前状态变化到下一刻状态之间的固定概率p{Xn+1=jXn-1}。其一步转移矩阵为：

概率转移矩阵的某一行代表在某一时期，随机变量可能处于的各种状态i1、i2、i3…，某一列代表下一时期，随即变量可能变成的各种状态j1、j2、j3…。矩阵的任何一个元素P表示某时期其变量由状态i在下一时期变成状态的概率。因为概率是非负的（0≤P≤1），并且概率必然存在（状态不变也试做一种改变，例如从状态i变成状态i），所以，，j≥0，

以此类推，N步转移概率矩阵就是，过程由初始状态i，经过n步变化后转移到状态j的概率，记作P。N步概率转移矩阵是以一个矩阵的形式反映出多步随机转移过程的概率，实质上就是一步转移概率矩阵的n次幂。

2.3 马尔科夫链理论的应用条件

（1）经过较长时间后，如果变化过程比较平稳，系统将逐渐趋于稳定状态，且该状态与初始状态无关。

（2）系统每一次变化后的状态仅与变化前的状态相关，而与初始状态无关。

例如随机变量从状态i3变化到i4，其中i4只与i3有关，且P不断趋近于一个稳定值。

3 马尔科夫预测方法

运用基于马尔科夫链理论的马尔科夫预测法，当代经营者可以预测出市场的占有率变化、销售增长或衰退、期望利润率等等。相较于现有的其他预测方法，马尔科夫预测法无需连续的信息，只需一部分近期或者现在的动态数据（即离散的数据）就可以进行预测，大大降低了对数据收集的要求。下面本文将简单介绍下通过马尔科夫预测法进行企业的销售状态预测的建模分析。

（1）初始状态概率的建立。

状态：是指事物在某一时刻上所处的某种状态。例如假定某商品畅销为1，商品滞销为2，那么该商品的状态空间E=（1，2）。 （下转第131页）（上接第116页）

状态概率：指的是每种状态出现的可能性。这里用 i（t）表示，i代表商品销售状态，t代表当前时间。例如某商品刚投入市场时，畅销可能性为0.5，则 1（0）=0.5。即 1（0）=0.5就是某商品的初始状态概率。

概率向量：是指其中各元素非负，且总和为1的行向量。即，j≥0，且，假定A=（0.2，0.3，0.5），B=（-0.5，0.7，0.8），则A是概率向量，B不是。

（2）一步状态转移概率矩阵的建立。

所谓状态转移是指事物从一种状态转变为另一种状态。例如商品从滞销转变为畅销；亏损变成盈利等等。例如某商品某月畅销，下个月继续畅销可能性为0.8，变为滞销可能性为0.2；假如本月滞销，下个月变为畅销可能性为0.6，继续滞销可能性为0.4。则该商品的转移概率矩阵为：

（3）预测实例。

从上述例子可见，不管目前该商品状态如何，经过一段较长时间的状态转移后，畅销与滞销的概率将逐步趋于稳定。这也满足马尔科夫链理论的应用条件，即足够大时，假定转移概率矩阵P不变，则状态概率将达到稳定状态，且当前值与初始值无关。

4 结论

据上预测分析可看出，运用马尔柯夫链理论可以预测未来的商品销售趋势。通过改进以下几个方面，可以使建模分析更有效、更迅速地应用于实践：

（1）注意初始数据的收集。详尽的初始数据能够极大的帮助改善预测的可信度，同时也能够充分体现市场变化的波动与规律性，能够帮助决策者做出更加有针对性的决策。

（2）丰富系统状态。上述应用中只举了比较简单的例子，因此只设定了两种系统状态，但实际应用中，可以尽量详细的根据情况设定多种状态，通过matlab等计算机软件辅助，从而达到准确、高效的预测出未来趋势，更符合商业化需求。

参考文献：

[1] 黄奕林，赵爱华.不确定性经济学的发展[J].经济学动态，1997（09）.

[2] 黄伟民.布朗运动理论向金融经济领域的延拓[J].大学物理，1999（01）.

概率论在经济学中的应用篇5

2015年10月内蒙古自考科目安排

专业代码及名称 10月17日上午 10月17日下午 10月18日上午 10月18日下午 不考外语加试课 000000 社会主义市场经济概论 07673 中国民族区域自治法学 05828 自然科学基础（二） 00822 计算机文化基础 05829 金融(本) 020106 保险学原理 00079马克思主义基本原理概论 03709概率论与数理统计(经管类) 04183 国际金融 00076 金融市场学 00077中国近现代史纲要 03708线性代数（经管类） 04184 英语(二) 00015管理系统中计算机应用 00051 经济管理(本) 020125 西方经济学 00139马克思主义基本原理概论 03709 电子商务基础及实务 03491 中国近现代史纲要 03708生产运作与管理 08920 英语(二) 00015经济法概论(财经类) 00043财务管理 00803 工商企业管理(本) 020202 马克思主义基本原理概论 03709概率论与数理统计(经管类) 04183 国际贸易理论与实务 00149 质量管理(一) 00153中国近现代史纲要 03708线性代数（经管类） 04184 英语(二) 00015管理系统中计算机应用 00051 会计(本) 020204 会计制度设计 00162马克思主义基本原理概论 03709概率论与数理统计(经管类) 04183 国际贸易理论与实务 00149 高级财务会计 00159中国近现代史纲要 03708线性代数（经管类） 04184 英语(二) 00015管理系统中计算机应用 00051财务报表分析(一) 00161 市场营销(本) 020208 国际商务谈判 00186马克思主义基本原理概论 03709概率论与数理统计(经管类) 04183 国际贸易理论与实务 00149 市场营销策划 00184中国近现代史纲要 03708线性代数（经管类） 04184 英语(二) 00015管理系统中计算机应用 00051国际市场营销学 00098 旅游管理(本) 020210 马克思主义基本原理概论 03709导游学概论 06123 客源国概况 00200 中国近现代史纲要 03708旅游景区管理 06153 管理系统中计算机应用 00051旅游企业投资与管理 00198 人力资源管理(本) 020218 马克思主义基本原理概论 03709工作分析 06092 劳动关系学 03325 基础会计学 00041中国近现代史纲要 03708人力资源开发与管理 06093 英语(二) 00015管理系统中计算机应用 00051管理思想史 06088 物流管理(本) 020229 政治经济学(财经类) 00009马克思主义基本原理概论 03709概率论与数理统计(经管类) 04183物流企业财务管理 05374 中国近现代史纲要 03708线性代数（经管类） 04184 英语(二) 00015经济法概论(财经类) 00043 公共事业管理(本) 020230 人力资源管理(一) 00147公共政策 00318马克思主义基本原理概论 03709 公共事业管理 03331 公共管理学 03335中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015管理信息系统 02382 劳动与社会保障(本) 020232 人力资源管理(一) 00147马克思主义基本原理概论 03709 劳动关系学 03325 劳动和社会保障法 03322中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015管理系统中计算机应用 00051 采购与供应管理(本) 020282 马克思主义基本原理概论 03709物流企业财务管理 05374 中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015 销售管理(本) 020314 马克思主义基本原理概论 03709 国际贸易理论与实务 00149 中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015经济法概论(财经类) 00043管理系统中计算机应用 00051 法律(本) 030106 中国法律思想史 00264马克思主义基本原理概论 03709 公司法 00227票据法 00257西方法律思想史 00265 劳动法 00167保险法 00258中国近现代史纲要 03708婚姻家庭法 05680 英语(二) 00015 社会工作与管理(本) 030203 个案社会工作 00282马克思主义基本原理概论 03709 社区社会工作 00281心理卫生与心理咨询 00284 人口社会学 00302中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015中国福利思想 00285 行政管理学(本) 030302 公共政策 00318马克思主义基本原理概论 03709 行政组织理论 00319 西方政治制度 00316中国文化概论 00321中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015中国行政史 00322 公安管理(本) 030401 计算机应用基础 00018警察伦理学 00369马克思主义基本原理概论 03709 犯罪学(一) 00235 中国近现代史纲要 03708大学语文 04729 英语(二) 00015公安决策学 00371涉外警务概论 00373 教育学(本) 040108 中外教育简史 00464马克思主义基本原理概论 03709 教育学原理 00469 比较教育 00472中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015课程与教学论 00467 小学教育(本) 040112 中外教育简史 00464小学语文教学研究 03329马克思主义基本原理概论 03709 小学数学教学研究 03330小学艺术教育 06230 比较教育 00472中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015课程与教学论 00467 汉语言文学(本) 050105 外国作家作品专题研究 00813马克思主义基本原理概论 03709外国文学史 00540 语言课综合考试 05577 中国古代文学史（二） 00539中国近现代史纲要 03708中国文化概论 00321 语言学概论 00541英语(二) 00015 蒙古语言文学(本) 050106 马克思主义基本原理概论 03709美学(蒙) 05571 中国古代文学史(三) 00553民俗学与蒙古民俗(蒙) 05570 蒙古族方言学概论 00552中国近现代史纲要 03708 外国文学(蒙本科段) 04276 英语(本) 050201 高级英语 00600马克思主义基本原理概论 03709 现代语言学 00830英语科技文选 00836 语言与文化 00838中国近现代史纲要 03708 英语写作 00603 新闻学(本) 050305 传播学概论 00642马克思主义基本原理概论 03709 新闻摄影 00659 中国文化概论 00321中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015经济法概论 00244外国新闻事业史 00660 公共关系(本) 050309 公共政策 00318马克思主义基本原理概论 03709 现代媒体总论 03300 中国文化概论 00321国际公共关系 03295中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015 环境艺术设计(本) 050412 马克思主义基本原理概论 03709 装饰材料与构造 00708 中国近现代史纲要 03708 艺术概论 00504 视觉传达设计(本) 050433 马克思主义基本原理概论 03709 广告策划 00634 中国近现代史纲要 03708 生物科学(本) 070406 计算机应用基础 00018马克思主义基本原理概论 03709生物技术概论 06250 分子生物学 02087免疫学 05135 生物教育学 02088中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015进化生物学 02081 机电一体化工程(本) 080307 概率论与数理统计(二) 02197机电一体化系统设计 02245马克思主义基本原理概论 03709 计算机软件基础(一) 02243 中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015 电厂热能动力工程(本) 080502 复变函数与积分变换 02199马克思主义基本原理概论 03709 热力发电厂 02266 锅炉燃烧设备 02264中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015工程热力学(二) 02258 电力系统及其自动化(本) 080605 概率论与数理统计(二) 02197计算机软件基础(二) 02365马克思主义基本原理概论 03709 高等数学(工本) 00023自动控制理论(二) 02306 电力系统分析 02310中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015发电厂动力部分 02311 计算机及应用(本) 080702 概率论与数理统计(二) 02197马克思主义基本原理概论 03709Java语言程序设计（一） 04747 高等数学(工本) 00023数据库系统原理 04735 中国近现代史纲要 03708C++程序设计 04737 英语(二) 00015 计算机网络(本) 080709 马克思主义基本原理概论 03709Java语言程序设计（一） 04747 高等数学(工本) 00023数据库系统原理 04735 中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015通信概论 04742 计算机应用软件(本) 080762 计算机设备原理 01352马克思主义基本原理概论 03709 算法设计与分析 01345 中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015 建筑工程(本) 080806 概率论与数理统计(二) 02197混凝土结构设计 02440马克思主义基本原理概论 03709 流体力学 03347 计算机基础与程序设计 02275中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015建筑经济与企业管理 02447 道路与桥梁工程(本) 080807 道路勘测设计 02405马克思主义基本原理概论 03709 交通工程 00365 测量学 00113中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015道路建筑材料 06280 建筑学(本) 080810 马克思主义基本原理概论 03709建筑设计基本知识 06554 住宅建筑设计原理 06555 中国近现代史纲要 03708中外建筑史 06216 英语(二) 00015建筑构造 06563 营养、食品与健康(本) 081311 马克思主义基本原理概论 03709营养学（一） 05760 中医营养学 05763 中国近现代史纲要 03708流行病学 05757新型食品概论 05766 英语(二) 00015实用卫生统计学 05755 食品加工与检验(本) 081313 乳品加工工艺 03271马克思主义基本原理概论 03709 食品卫生与安全 09005 食品工程 03262中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015肉类食品生产工艺 03270 交通（铁路）运输(本) 081711 路基路面工程 02407马克思主义基本原理概论 03709 交通运输经济法规 07111 中国近现代史纲要 03708隧道工程 06081 英语(二) 00015桥梁工程 02409 铁路运输(本) 081720 马克思主义基本原理概论 03709铁路运输能力计算 07115 交通运输经济法规 07111 线性代数 02198中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015 汽车服务工程(本) 082232 马克思主义基本原理概论 03709汽车节能技术 06895 汽车运用工程 06898汽车智能化检测技术 06899 中国近现代史纲要 03708汽车鉴定与评估 04444 英语(二) 00015汽车维修工程 04447 农学(本) 090102 计算机应用基础 00018马克思主义基本原理概论 03709 农业推广学 02678 田间试验与统计方法 02677中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015作物栽培学(一) 00130 园林(本) 090115 马克思主义基本原理概论 03709园林景观设计 07902 园林测量 07897 中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015园林植物遗传育种 07894 畜牧兽医(本) 090403 计算机应用基础 00018马克思主义基本原理概论 03709经济动物生产学 06775 农业推广学 02678 动物遗传育种学 02794中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015家畜饲养管理学 02797 护理学(本) 100702 计算机应用基础 00018护理管理学 03006外科护理学(二) 03203马克思主义基本原理概论 03709 精神障碍护理学 03009 中国近现代史纲要 03708老年护理学 04435 英语(二) 00015社区护理学(一) 03004妇产科护理学(二) 03010 药学(本) 100805 计算机应用基础 00018马克思主义基本原理概论 03709有机化学(五) 05522 分子生物学 02087 物理化学(二) 02051中国近现代史纲要 03708 英语(二) 00015 会计(专) 020203 政治经济学(财经类) 00009计算机应用基础 00018思想道德修养与法律基础 03706 国民经济统计概论 00065 基础会计学 00041中级财务会计 00155毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 经济法概论(财经类) 00043企业管理概论 00144 旅游管理(专) 020209 政治经济学(财经类) 00009计算机应用基础 00018思想道德修养与法律基础 03706 饭店餐饮管理 00201 饭店前厅与客房管理 00202毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012内蒙古民俗 05587 劳动与社会保障(专) 020231 思想道德修养与法律基础 03706就业与培训 03314 公文写作与处理 00341 工伤保险 03319毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656 医疗与生育保险 03318 法律(专) 030112 思想道德修养与法律基础 03706宪法学 05679 刑法学 00245 刑事诉讼法学 00260毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 经济法概论 00244 行政管理(专) 030301 计算机应用基础 00018人力资源管理(一) 00147思想道德修养与法律基础 03706 现代管理学 00107公文写作与处理 00341 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012经济法概论(财经类) 00043工商行政管理学概论 00108企业管理概论 00144 公安管理(专) 030403 思想道德修养与法律基础 03706宪法学 05679 刑法学 00245 刑事诉讼法学 00260毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656 刑事侦查学 00358 学前教育(专) 040101 计算机应用基础 00018幼儿园课程 00394思想道德修养与法律基础 03706 学前儿童数学教育 00388 学前儿童美术教育 00396毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012学前儿童科学教育 00390 小学教育(专) 040103 计算机应用基础 00018思想道德修养与法律基础 03706 小学教育心理学 00407 小学数学教学论 00411毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012数论初步 00418 汉语言文学(专) 050114 计算机应用基础 00018现代汉语 00535思想道德修养与法律基础 03706 中国现代文学作品选 00530 外国文学作品选 00534毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656 英语(一) 00012中国古代文学作品选(二) 00533 蒙古语言文学(专) 050115 蒙语写作 00548思想道德修养与法律基础 03706 文学概论(二) 00542汉语文 00549 蒙古族古代文学 00545毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656 语言学概论(蒙) 05572 英语(专) 050207 英语阅读(二) 00596思想道德修养与法律基础 03706 综合英语(二) 00795 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 综合英语(一) 00794 公共关系(专) 050303 计算机应用基础 00018传播学概论 00642思想道德修养与法律基础 03706 现代管理学 00107 公共关系策划 00645毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012经济法概论(财经类) 00043 新闻学(专) 050308 计算机应用基础 00018思想道德修养与法律基础 03706 中国现代文学作品选 00530新闻心理学 00657 中国新闻事业史 00653毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012 视觉传达设计(专) 050406 思想道德修养与法律基础 03706 设计概论 00688 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 机电一体化工程(专) 080306 思想道德修养与法律基础 03706 高等数学(工专) 00022 机械设计基础 02185毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012电工技术基础 02232 房屋建筑工程(专) 080801 计算机应用基础 00018工程力学(二) 02391思想道德修养与法律基础 03706 高等数学(工专) 00022 土木工程制图 02386毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 建筑工程定额与预算 00170 交通运输(专) 081701 计算机应用基础 00018思想道德修养与法律基础 03706 高等数学(工专) 00022 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729运输市场营销 07269 英语(一) 00012运行组织 02570 铁道工程(专) 081705 思想道德修养与法律基础 03706铁路桥梁 05592 高等数学(工专) 00022新技术混凝土结构 06937 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656运输市场营销 07269 铁路现代企业制度基础 07141 机车车辆(专) 081706 思想道德修养与法律基础 03706铁道机械设计基础 06354 高等数学(工专) 00022计算机在机车车辆中的应用 07142 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656机车构造原理 06357运输市场营销 07269 铁路现代企业制度基础 07141 畜牧兽医(专) 090414 兽医学 01714思想道德修养与法律基础 03706 家畜解剖及组织胚胎学 02765 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656牧场设计与管理 08771 兽医药理学 02787 护理学(专) 100701 病理学 02901思想道德修养与法律基础 03706 药理学(一) 02903护理伦理学 02996 医学心理学 02113毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论 12656大学语文 04729 英语(一) 00012外科护理学(一) 03001妇产科护理学(一) 03002说明:

本表第一栏“不考公共外语顶替课程”为各本科专业的考生可从中选三门课程顶替所报专业中的“英语（二）”及英语本科中的“第二外语”，各专科专业的考生可从中选两门课程顶替所报专业中的“英语（一）”。

垂询电话0471-3261107。

专业 课程及代码 使用教材 不考公共外语顶替课程使用教材 05830　公民道德与修养 新伦理学教程（第二版） 05828　中国民族区域自治法学 民族理论与民族政策 02126　应用文写作 应用文写作 07673　社会主义市场经济概论 中国社会主义市场经济概论（第二版） 00822　自然科学基础（二） 自然科学基础 05827　内蒙古民俗与文化 内蒙古民俗概要 05829　计算机文化基础 大学计算机应用基础（第一至五章）

概率论在经济学中的应用篇6

[关键词] 概率 统计 企业管理

随着我国经济建设的迅速发展，在企业管理工作中的人们越来越重视经济分析的数量化，管理和决策的科学化，这就使数理统计理论与方法逐步渗透到管理科学的各个领域，且其重要性已为人们所公认。这里将利用数理统计的理论和方法就企业管理中的一些问题进行定量化的分析。

一、企业管理中的决策分析

决策理论是1939年由统计学家。瓦特作为假设检验和参数估计等经典的统计理论提出的。对于决策的制定包括四个步骤：找出指定决策的目标；找到可行方案；对诸多方按进行抉择；对已选择的方案进行评价。决策分析的一般模型为:

其中是状态的总体，通常指不受决策者主观愿望和所决定影响的环境;A为方案a的总体；C为结果c的总体即得益或损失；V是评价v的总体，v表示一定的结果在决策者心目中符合目标的程度。在决策过程中，如果根据经验知道了自然状态的概率分布，即获得了先验概率,，则可根据风险决策问题的中心准则――期望值方法选出最优方案， 即

以最优方案进行实施。在最大期望值对应多个方案时，还需考虑方案的分散程度，一般应选分散度较小的方案。方案的分散度为

但是随着信息公司和咨询公司的出现，如果在决策时又进行某种试验和调查得到了关于状态的补充信息和附加信息，就可以对先验概率加以修正而得到后验概率。这种概率既概括了原先的知识和经验，又吸收了当时试验和调查的信息，可以更准确地决策，提高决策的期望收益。以表示可能的附加信息集合，概率分布表示在状态下的似然分布，表示决策者事先由过去的知识和经验所知的先验分布，表示附加信息的边缘概率分布，即

根据贝叶斯公式，后验概率分布

因此，对于同一个和每个方案的期望收益 使最大的方案满足

则总期望收益

其中就是在条件z下的最佳方案，称为在z条件下的最大期望收益，称为模型的最大收益。

当然，从经济效益的角度来看，在最优方案下，按先验概率和后验概率所获得的期望收益和之差（即提高的效益）应大于收集信息所支付的费用，否则，在经济上是不合理的。

二、企业中的库存管理

贮备货物以供未来销售或使用，这在工业生产和商业管理中普遍存在，否则由于工厂原料和零备件的短缺，停工停产。造成损失，因此在企业管理中考虑库存的问题时极其必要和有价值的，库存并非愈多愈好，过好的库存量会占据大量的流动资金，还有增加库存管理费用，且容易使物资失效变质，造成损失。因此，研究合理的库存量是企业管理中的重要问题。

库存问题涉及的因素很多，如需求、库存策略、费用等，在很多情况下，需求使随机的，但根据以往的资料和经验知道需求具有一定的统计规律，符合一定的分布，目标函数使衡量一个存贮策略好坏的标准。通常，凡出现随机变量的库存问题，就要用数理统计的理论来研究，特别是一些短寿命产品，如时装、报纸、挂历、血液等库存问题，大部分属于随机存贮。

对于短寿命产品，在整个需求期内只订货一次，订货量为Q（未知），市场的需求量根据以往的经验存在着统计规律，其密度函数为.对该产品的需求量为x，每单位产品购价为C，当货物售出时，每单位售价为,如货物没有售出，则不存贮而折价卖出，单位售价为，显然

售出货物=

则利润为

由于需求x为r，v。且符合一定的分布，故其期望利润

令得，由于

故满足上式的订货量Q可使企业具有最大利润。

实践证明，概率论与数理统计在现代社会生产、生活各个方面的应用越来越广泛，在产品的质量控制，经济管理，经济决策等方面都发挥着重大作用。管理者应充分利用生产过程、管理过程中出现的数据资料、信息，运用统计理论知识寻找其间隐含的统计规律性，以此来指导生产实践，有利于我们更好地选择管理技术和手段，从而提高企业经济效益。

参考文献：

[1]财政部司编.企业财务风险管理[M].北京：出版社，2004:16-21

[2]徐国祥主编:管理统计学[M]．上海：上海财经大学出版社，1995:39-54

概率论在经济学中的应用篇7

关键词：大类招生；课程教学改革；层次教学；兴趣学习

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）15-0086-02

一、大类招生背景及《概率论与数理统计》课程教改的需求

目前很多原因迫使我国高校公共数学课程进行教学改革，其中我国高校相继开始实行了大类招生是非常重要的原因，这种从细分专业招生到大类招生的变化是迫使各高校必须进行公共课程教学改革的内在动力之一，其次大学课程面向实际、面向应用的定位也成为促进大学课程教学改革的深化实际动力，再次高中新课标也从下向上推动了大学数学公共课程的教学改革，当然这种改革是相互的[1]。《概率论与数理统计》是大学重要的三大数学课程之一，因此高校《概率论与数理统计》课程改革的深化也随之全面展开，不同的高校都进行了相关的探索[2，3]，有的院校还建议对《概率论与数理统计》课程实行双语教学[3，4]。在大类招生的条件下，如何使《概率论与数理统计》课程的教学适应这种变化，激发同学们的学习兴趣，体现出宽口径、强基础、重应用的新要求，这是我们深入研究《概率论与数理统计》课程教学改革的主要动力。而在改革中，既要突出相近专业的共同需求，也要体现工科大类与经济管理大类专业的差异需求，又要进一步考虑该课程教学的改革必须满足大多数同学掌握《概率论与数理统计》知识的需求，还要考虑到部分优秀同学继续升学深造的需求。

二、基于教改需求《的概率论与数理统计》课程教改内容的基本分析

以上需求明确了《概率论与数理统计》进行教学内容改革的方向[5]，要做到教学内容上的及时更新，更加注重教学内容与新应用的结合；注重知识的连贯性，比如在高中概率初步知识的基础上引入概率的各种定义，重点突出古典定义、几何定义；在清楚把握随机事件的基本原理基础上，指出引入随机变量的必要性，掌握一维随机变量与二维随机变量之间的联系与区别，使同学们理解二维（或多维随机变量）随机向量不是一维随机变量简单的罗列，更重要的在于研究随机变量间的关系；从简单概念入手先理解离散型随机变量的概念与公式，进一步引出相应的连续随机变量的概念与公式；随机变量的数字特征是大类招生背景下的《概率论与数理统计》课程的重点内容之一，无论工科大类还是经济大类都有各自的应用背景，可以通过这部分内容深挖案例教学，在基本的教学内容中激发学生的兴趣学习；大数定律和中心极限定理是连接概率论与数理统计的桥梁，是进行数理统计中参数估计等内容的基础，比如通过相应案例的教学使经济管理大类的学生学会借助大数定律和中心极限定理理解保险产品定价的科学性和合理性，工科大类的学生就要注重学会借助大数定律和中心极限定理理解如何通过计算编程进行定积分计算，通过模拟的精度理解频率和概率之间的关系；统计量的分布理论是进一步掌握基本的参数估计和假设检验的前提，统计量的三大统计分布――χ2分布、t分布、F分布中χ2分布尤其重要，χ2分布是理解t分布和F分布的基础，因此要通过不同的角度、不同的案例深入分析；参数估计和假设检验是做好实际工作的有力工具，让同学们理解借助抽样调查我们可以实施监控产品的质量、资金的运作、人员的管理等，实现工作效率的提高，案例教学和基本教学内容的相互渗透使同学们能够通过实际的案例理解更抽象的概念，从而对概率论和数理统计这个处理随机现象最有力的工具有更深入的理解和把握。大类招生下数学统计类专业除了注重以上基本内容外还要注意理论内容的研究，比如“概率”的概念除了在理解概率的统计定义、古典定义和几何定义的基础之上还要加深概率的公理化定义的理解，从数学的角度去把握理解每一个基本概念和原理，数学统计大类除了和工科大类、经济管理大类学习相同的内容外，还要研究方差分析和线性回归分析的基本内容、基本理论，让学生理解线性回归分析的适用基本条件，学会运用基本的统计软件或数学软件（比如spss或matlab）解决回归系数的求解、模型的解释效果等，从过去数学统计类教学中重概率论的理论教学、轻数理统计的教学，转变为既重视概率论的理论研究又注重数理统计的应用内容，同时引入相关的软件去分析模拟相关的结论，比如用计算机编程的方法模拟计算圆周率π的大小，通过计算精度的变化使学生理解概率的统计定义和几何定义的关系，进一步理解概率的基本概念。大类招生下还要满足优秀学生考研学习的需求，条件许可的情况下可开设提高班，从理论上和内容上进行扩展，为将来进一步搞好科学研究打下良好的基础，这部分教学既要突出理论知识的重要性，还要突出学习兴趣的广泛性，通过激发兴趣克服理论学习的困难。

三、《概率论与数理统计》课程教改需要的教学方法、教学手段满足的层次分析

教学方法上也要突出《概率论与数理统计》课程的创新特点，这种创新不仅体现在内容上，还要结合软件使教学内容更具有启发性，激发同学们的学习兴趣。同时，这种创新要满足双层次的发展需求，首先，在新条件下第一层次是满足不同大类的共同的基本需求，第二层次是满足不同大类方向上的不同需求，再次是更深层次上的进一步升学深造的需求。这就要求在教学内容上引进创新的案例教学，讲清楚第一层次上的基本概念、基本知识，注重第二层次上的不同大类间的需求，举出能结合专业应用的案例教学，第三层次是基本概念、基本原理的扩展教学，满足升学提高的需求。教学手段上，结合新的软件进行多媒体使《概率论与数理统计》教学更加生动，变抽象的想象为有趣的形象表达，比如结合软件作图解释事件的随机性，在小班教学中还可以适当引入讨论式教学，在教师的引导下通过对某一具体问题的讨论引导学生掌握基本知识和基本概念，体现不同层次上教学手段的不同。教学手段在课堂练习的处理上，可以分工科大类、经济管理大类、数学统计大类，设计出不同层次教学内容上的相关填空题、选择题及计算题，及时巩固所学内容，使学生做到活学活用、全面理解，激发学生对《概率论与数理统计》课程的兴趣学习。网络教学、幕客的引进也是同学们学习该课程的有力工具，从国外高校的教学来看，我们没有理由忽视网络教学的重要性，如何恰当地引进网络教学是值得教学改革关注的一个地方。网络教学不能仅仅满足于网上听课，教学实践中还应结合手机APP软件进行课程开发，实现分大类、分层次的教学辅助内容的网络化，使同学们实现随时随地学习《概率论与数理统计》课程的需求。我们对两类班级的教学效果进行了对米，一类是利用邮箱管理课堂练习的班级，一类则是没有实行该措施的班级，从对比结果来看，实行该措施的班级教学效果非常显著，同时，这种方法符合学生随时随地学习的特点，具有较高推广的价值。考试手段的改革也是整体教改的一个重要环节，重基础就要重视平时的教、学、练几个环节，不再仅仅依赖最后的期末考试去评定教学效果的好坏，实行分阶段、分层次的网络测验成绩与期末考试成绩相结合，使同学们在每一个教学环节中都能有较高的学习兴趣，实现对概率论与数理统计知识真正的理解。所有这些都表明，《概率论与数理统计》课程在原来教学研究的基础之上，必须进行更深层次的教学改革，以满足大类招生的教学需求。在满足不同层次的教学需求的同时，又满足了解决难点、突出重点的教学理念，适合宽口径、严基础的大类招生需求，教学内容的扩展上可以参看盛骤等编写的《概率论与数理统计》及刘喜波等编写的《概率论与数理统计》中的主要内容，进行进一步深入研究[6，7]。

四、结论

综上所述，在大类招生的背景下，《概率论与数理统计》课程教学改革的任务迫在眉睫，我们突出分析了《概率论与数理统计》课程教学内容分三个大类――工科大类、经济管理大类和数学统计大类教改的重点，分析表明《概率论与数理统计》课程中第一层次基本概念、基本方法教学是进一步学习的基础，是教与学的重点领域，过难的概念、定理要分解，让学生学会从不同角度、侧面去理解，设计好完备的教学内容，利用现代化及网络化的教学手段去实现；适合不同大类的案例教学是教学改革的亮点，结合不同的实际案例让学生理解概率论与数理统计的基本知识如何在实际中应用；三个不同层次强调了大类招生教学的需求及解决方法；最后分析了教学手段、网络教学及考试考核方法在实际教学中的进行改革的必要性。当然我们仅仅作出一些探讨式的研究，我们相信会对大类招生下《概率论与数理统计》教学改革有所帮助，抛砖引玉会引出更多更好的研究，进一步有利于《概率论与数理统计》的教学。

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概率论在经济学中的应用篇8

可靠性与风险是两个互补概念，前者的研究始于本世纪30～40年代，用概率论研究机器设备的维修问题；后者的研究始于50年代，最早是由军工生产部门提出。到80年代初，可靠性和风险分析理论逐步形成一门内容丰富、方法多样、理论体系较完整的边缘科学。

在水资源工程中可靠性概念应用早于风险，例如在水库调度中，人们早就用发电保证率、灌溉保证率等概念方法评价水库运行策略的优劣。风险分析在70年代后期才渗透到水资源研究领域，并最早在美国水资源开发中得以应用。1984年北大西洋公约组织成立了ASI高级研究所，专门从事水资源工程的可靠性与风险研究，并提出了水资源工程可靠性与风险的研究框架和系统理论、方法及评价指标。目前世界各国对水资源工程中的风险决策以及水资源系统运行的风险分析都高度重视，并开展了广泛的研究〔2,3〕。但作为水资源系统研究的一个重要分支——水库调度，其风险概念和分析方法80年代才提出，研究刚刚起步。

近年来国内的许多学者对此进行了研究〔4〕。傅湘等用概率组合方法估算了水库下游防洪区的洪灾风险率，用系统分析方法建立了大型水库汛限水位风险分析模型；冯平等研究了汛限水位对防洪和发电的影响，通过风险效益比较定量给出了合理的汛限水位；谢崇宝等分析了水库防洪风险计算中水文、水流及水位库容关系的不确定性，研究了水库防洪全面风险率模型应用问题；梁川以极差分析法进行防洪调度风险评估；王本德等〔5〕建立了水库防洪实时风险调度模型，该模型考虑了水库下游防洪效益与水库风险两个目标，又在论述水库预蓄效益与风险分析的必要性和主要困难的基础上，首先提出了一种风险率的计算方法，然后提出一种以经济效益与风险率为目标的水库预蓄水位模糊控制模型及求解方法；田峰巍等提出了依据典型联合概率分布函数的风险决策方法。李国芳和覃爱基采用频率分析方法，对水利工程经济风险分析方面进行探讨，得出一些有益的结论。随着矩分析方法和熵理论的日臻完善，可将信息熵、概率论和风险估计结合起来，建立最大熵风险估计模型。李继清等〔6〕采用层次分析方法，将水利工程经济效益系统划分为防洪、发电、灌溉(供水)效益子系统，辩识出风险因子，通过两种风险组合方式，建立最大熵模型，得到系统经济效益的风险特性。

2风险分析的一般方法〔5～10〕<>

2.1静态与动态相结合的调查方法

调查方法是通过对风险主体进行实际调查并掌握风险的有关信息。动态与静态结合是指调查既要了解主体的现状，又要了解过去，又要归纳总结，预测它的未来。就水资源系统而言采用调查法对有些问题并不适宜，如水库调度风险问题。

2.2微观与宏观相结合的系统方法

系统方法是现代科学研究的重要方法。它是从系统整体性出发，通过研究风险主体内部各方面的关系、风险环境诸要素之间的关系、风险主体同风险环境的关系等，确定风险系统的目标，建立系统整体数学模型，求解最优风险决策，建立风险利益机制，进行风险控制和风险处理。该方法适用广泛，从理论上讲是较科学、理想，但应用难度大。

2.3定性和定量相结合的分析方法

2.3.1定性风险分析方法定性风险分析方法主要用于风险可测度很小的风险主体。常用的方法有调查法、矩阵分析法和德尔菲法。德尔菲法是美国咨询机构兰德公司首先提出，主要是借助于有关专家的知识、经验和判断来对风险加以估计和分析。在水资源系统中有些不确定性因素难以分析、计算，因此该法在水库调度风险决策中具有实用价值。

2.3.2定量风险分析方法定量风险分析方法是借助数学工具研究风险主体中的数量特征关系和变化，确定其风险率(或度)。

（1）基于概率论与数理统计的风险分析方法

概率论与数理统计是研究水库调度中可靠性与风险率的最为有力的工具，如过去对水库运行的发电保证率和灌溉保证率等的计算均是建立在该基础上的。该基础理论和方法也适宜于解决风险率的计算。

根据水库调度中风险的特点，以下介绍4种方法：

①采用典型概率分布函数计算风险率

在水库调度中，影响风险主体的不确定性风险变量(或随机变量)大都服从一些典型的概率分布，如三角形分布、威布尔分布、正态分布、高斯分布、伽玛分布、皮尔逊Ⅲ型分布等。因此用概率分布密度函数的积分便可分析计算决策指标获取的可靠率或风险率指标，该法计算简单且精度也可基本满足要求。

②依据贝叶斯原理计算风险率

设B1、B2、…、Bn是一组互斥的完备事件集，即Bi互不相容，则有∑Bi=Ω,又设P(Bi)>0,则对任一事件A，设P(A)>0，则有：

P

式中，P(Bi)为先验概率(已知)或事前概率；P(A/Bi)是与先验概率相关的条件概率(已知)；P(Bi/A)是事件A发生的条件下，引起Bi发生的概率，为后验概率(未知)。

在水库调度中当Bi为水库放水，A为影响水库放水的入库水量和库水位，则P(Bi/A)为水库在已知入库水量和库水位的条件下，水库放水的概率。同理，可对水库放水的风险率进行计算。

③风险度分析法

用概率分布的数学特征如标准差σ或σ-半标准差，可说明风险的大小。σ或σ-越大则风险越大，反之越小。因为概率分布越分散，实际结果远离期望值的概率就越大。

σ=(DX)1/2=((Xi-MX)2/(n-1))1/2或σ-=(DX)1/2=((Xi-MX)2P(Xi))1/2

σ是仅统计Xi<MX或Xi>MX。用σ、σ-比较风险大小虽然简单，概念明确，但σ-为某一物理量的绝对量，当两个比较方案的期望值相差很大时可比性差，同时比较结果可能不准确。为了克服用σ-可比性差的不足，可用其相对量作为比较参数，该相对量定义为风险度FDi，即标准差与期望值的比值(方差系数)：

FDi=σi/MX=σi/μi

风险度FDi越大,风险越大，反之亦然。风险度不同于风险率，前者的值可大于1,而后者只能小于等于1。

④离散状态组合法

此法的基本原理是，首先给出各风险变量的离散型估计值；然后按照概率组合原理由这些离散的估计值来推求结果出现的大小及其可能性。该法属穷举的范畴，当风险变量较多，且每个风险变量的离散状态个数较多时，就存在“维数灾”。但在风险变量个数较少，每个风险变量内有发生或不发生两种状态即三项分布的情况下，用这种方法分析风险十分有效。

（2）基于马尔柯夫过程的风险分析法

水库调度中的入库径流过程一般服从于马尔柯夫过程(马氏过程)。马氏过程是一类变量之间和相互关联影响的非平稳随机过程,其基本特性是无后效性。因此可用马氏过程状态转移概率来推求水库调度中风险变量相互影响的风险率计算问题。用马氏过程已成功地推求了水库调度方案的发电可靠率(保证率)。

（3）蒙特卡洛模拟法（MC法）

此法是目前西方国家广泛应用的投资风险分析方法，其基本思路是将影响工程经济效果的风险变量依各自的分析分别进行随机取样，然后用各变量的随机值来计算经济评价指标值，这样对每个变量随机地取一次样就可以计算出经济评价指标的一个随机值，要作出经济效果评价指标与其实现的累积概率的关系曲线，需要多次的重复试验，且随随机风险变量的增多，其重复模拟计算的次数也要增多，需借助计算机进行计算。另外，这种方法难以解决各个风险变量之间的相互影响，且要求给出各个风险变量的概率分布曲线，在统计数据不足时难以实现。MC法可以考虑随机变量各影响因素，但计算量大且结果未必一定精确。所以，在有其它简单方法时，一般都避免使用MC法，或以此法作为一种对照。

（4）模糊数学风险分析法

水库调度中的不确定性因素很多，如径流、用水、库水位变化等，常模糊不清，具有明显的模糊现象和特征，因而用模糊数学进行风险分析是非常适宜的。

（5）一阶二次矩法

此法的步骤是先选择一理论分布族g(y)=g(y,θ)来逼近Z=f(X1,X2,…,Xn)的概率分布，然后用泰勒公式将Z在(X1,X2,…,Xn)的均值(μ1,μ2,…,μn)处展开，舍去二次以上的高阶项，这样近似求得的二阶矩，进而估计参数。

一阶二次矩法未考虑有关基本变量分布类型的信息，因此不能用概率指标合理反映结构的可靠度，实际上变量的分布类型对可靠度是有影响的。本法只适用于线性方程，当状态方程为非线性时，在中心点处取线性近似，因此可靠度指标是近似的。由于状态方程在描述一个问题时，因方程形式不同，其可靠度指标的近似值也不同，无法保持不变性是该方法的最大弱点。

（6）极限状态法（JC法）

JC法是一阶二次矩法的改进，该法适用于随机变量为任意分布的情况。其基本原理是：先将随机变量的非正态分布用正态分布代替，对于此正态分布函数要求在验算点处的累计概率分布函数(CDF)值和概率密度函数(PDF)值与原来分布函数的CDF值和PDF值相同。然后根据这两个条件求得等效正态分布的均值和标准差，最后用一阶二次矩法求出风险值。

（7）最大熵法

最大熵法的基础是信息熵，此熵定义为信息的均值，它是对整个范围内随机变量不确定性的量度。信息论中信息量的出发点是把获得的信息作为消除不确定性的测度，而不确定性可用概率分布函数描述，这就将信息熵和广泛应用的概率论方法相联系；又因风险估计实质上就是求风险因素的概率分布，因而可以将信息熵、风险估计和概率论方法有机地联系起来，建立最大熵风险估计模型：先验信息(已知数据)构成求极值问题的约束条件，最大熵准则得到随机变量的概率分布。

应用最大熵准则构造先验概率分布有如下优点：①最大熵的解是最超然的，即在数据不充分的情况下求解，解必须和已知的数据相吻合，而又必须对未来的部分做最少的假定；②根据熵的集中原理，绝大部分可能状态都集中在最大熵状态附近，其预测是相当准确的；③用最大熵求得的解满足一致性要求，不确定性的测度（熵）与试验步骤无关。

最大熵法的计算量小于蒙特卡洛法，需要进行许多数学推导，计算较复杂，所以通常只应用在大型工程项目的风险分析中。

3结语

目前，风险分析的方法已有多种，它们在考虑因素、输入信息、计算量以及适用对象上各有不同，进行汛期水库调度风险分析时，应结合本领域本地区的具体情况、特点，比较和改进现有的方法。洪水调度系统是一个开放的系统，本身具有复杂性，因而还要积极拓展其他新理论新方法的研究。

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