概率知多少

你很可能从电视上听过气象播音员这么播报：“明天有十分之一的机会是雨天。”“明天下雨的几率是十分之四。”“下雨的几率是十分之一。”

气象播音员在预测天气时要用到数学。他用“机会”和“几率”这样的字眼，表示他无法确定明天的天气。在气象人员和其他许多现代科学家的工作中，都用得到数学中的“几率论”。几率论提供科学家对于未来的天气、大量分子的活动或是大批人群的动向一种预测的准则。他们利用过去的记录，预测未来。

如果气象播音员这么说：“明天下雨的机会大约是十分之七。”这表示有人――或者是电脑，详细地阅读了过去多年的气象报告。电脑把和今天天气状况差不多的日子挑出来，然后再看看这些日子的第二天是什么样的天气。

比方说，有一百天的天气状况和今天差不多。接着那一百天的日子，有七十天下雨。所以，气象播音员可以说，像今天这样的天气，明天下雨的几率大约是百分之七十或十分之七。

当然，气象播音员会核对明天的天气状况到底如何，再把资料加入记录中。记录越多，气象播音员越能肯定他所作的预测。这就是几率论。

做做下面的实验，你就会了解科学家是怎样运用几率论的。

第一个实验：掷图钉。你需要准备一些图钉。具体方法：你可以同时掷出20个图钉，掷10次；或同时掷5个图钉，掷40次；或同时掷10个图钉，掷20次。无论你用多少个图钉掷，掷多少次，掷的图钉的总数一定要是200个。每次投掷都要做记录，记下掷的个数和钉尖朝上的个数。

苏珊和苏梅一块儿做这个实验，她们很快就做好了这张表。

她们一共掷了200个图钉，其中有112个是朝上的。

如果你问她们，下一次掷图钉，钉尖朝上的机会是多少，她们或许会说：“大约是两百分之一百一十二。”

你自己做的实验，有多少个图钉是朝上的？你会怎么预测下一次投掷的结果？

把这个实验再做一次，比较两次的结果。

两次结果相同的概率非常小，不过，你可以预测两次结果很接近。但是，到底有多接近呢？

数学家运用几率论来回答类似“多接近才算‘接近’”的问题。

你实验的结果和苏珊、苏梅的实验结果有多接近呢？

第二个实验：掷“立方八面体”。你可以用卡纸自己做一个立方八面体。右边有一个立方八面体的平面图。

在薄纸上描下平面图，把它们粘在卡纸上，然后剪下来。沿着图上的虚线折。在折之前，可以用剪刀尖和尺在虚线上划一下，会比较容易折。折好后，仔细把这个立方八面体粘好。

滚动立方八面体，它停在三角形面的几率有多大？

想知道答案，就把这个立方八面体滚动很多次，然后记下停在三角形面的次数。

好比说，滚动100次。有多少次停在三角形面？再滚动100次。有多少次停在三角形面？

比较两次实验结果。它们有多接近？

苏登和苏伍在桌上滚动立方八面体1000次，有211次停在三角形面。

你做出来的结果和他们的有什么不同？

根据他们的实验，他们可以说：立方八面体停在三角形面的几率是千分之两百一十一。

在前面两个实验中，只出现两种情形：图钉尖端不是朝上，就是倒在一边；立方八面体不是停在三角形面，就是正方形面。下一个实验中，你一次要掷10个铜板。这就会产生11种情形。0个铜板人头朝上；1个铜板人头朝上；2个铜板人头朝上……依次类推，直到10个铜板人头朝上。数学家会说，有11种可能的“结果”。

（你可以用1元硬币来试试，道理是一样的。）

掷铜板之前，你要先做一张表，以便记录。你的表可以有两栏，一栏是“人头数”，一栏是“次数”。

现在，可以开始掷了。看看每次的结果有几个人头朝上，就在那一栏画一条线做记录。

苏珊和苏梅一次掷10个铜板，各掷100次，然后把结果记在同一张表上。最后的结果是像左面这样的。

比较你所做出来的结果和她们的有什么不同。你的表和她们的表哪里相同，哪里不同？

现在，来试试你能不能利用所得到的结果来预测。如果你再掷10个铜板，可能会有几个铜板人头朝上？

5个人头

如果再掷10个铜板，7个人头朝上的几率是多少？

两百分之十九

掷10个铜板，3到7个人头朝上的几率是多少？

两百分之

你也可以用10个以上或10个以下的铜板做实验。比方说，用6个铜板。你可以邀一些朋友，用不同数量的铜板来做。每一个人都要像前面一样，记录每一次实验的结果，你们可以作出什么样的预测呢？

科学家常常使用“图表”来表示实验的结果。在图表上，数字全转换成图案表现。你也可以把掷铜板的实验结果画成表。

在苏珊和苏梅的图表中，是用一栏的一个小方格记录下每一次的实验结果。每数一次，她们就在一个小方格里涂上颜色。在“3个人头朝上”一栏中，有22个方格涂上颜色。在“6个人头朝上”一栏中，有42个方格涂上颜色。

把你的表和苏珊、苏梅的比较一下。如果你的朋友也在做掷铜板的实验，你是不是也想和他们比一比？你知道为什么比较图表，要比比较数字来得容易吗？

你投掷的铜板数和次数或许和苏珊、苏梅不同，但你们所做的图表仍然可以比较。你知道图表怎么帮助你预测下一次投掷10个铜板的结果吗？

选举之前会举行民意测验。他们会问一些人要选谁，然后运用民意测验或“抽样”的结果，预测谁会当选。

在工业上也用到抽样。有时候工人无法检验每一件产品，于是，质检员就抽取一部分的产品检查。如此一来，他们便能知道大概有多少不良产品。

你可以做一个抽样实验，实验需要：大约50个或100个黑白两色或者红蓝两色的棋子或弹珠。（如果没有棋子也没有弹珠，可以用涂色的硬币代替）

把棋子或弹珠或硬币放进袋子里。不必数有多少个，只要把它们放进袋子里就行了。摇一摇，混匀。然后拿出10个棋子。这10个棋子就是你的样本。你的样本有几个是红色的，有几个是蓝色的？

这10个样本对于预测袋子里有多少红色、多少蓝色的棋子没什么帮助，但却能帮助你预测这两种颜色棋子所占的“比例”。假设你的袋子中有红色和蓝色的棋子，而抽出的样本中有7个是红的，3个是蓝的。这表示你可以根据样本预测袋子里有十分之七，或百分之七十的棋子是红的。

这10个样本也说明了如果你从袋子中拿出一个棋子，这个棋子是红色的几率大约是十分之七。

把第一次的样本放回袋子中。摇一摇，再拿出10个棋子。现在，对于下一个抽出的棋子，你会作什么样的预测？你的预测是不是根据前两次抽出的样本？再多抽几次试试看，每一次样本都是10个棋子。

然后，把所有的棋子都倒出来，数一数两种颜色的棋子各有几个。样本中棋子颜色的比例和全部棋子颜色的比例有多接近？

你有没有发现，抽出的样本越多，也就是资料越多，预测“下一个”棋子的颜色也越正确？你预测两种颜色所占的比例，是不是越来越正确呢？

我们一开始所提到的气象播音员，情形也是如此。资料越多，他越能肯定自己所作的预测。在这儿，“肯定”不是最恰当的字眼。科学家和数学家会说：“搜集到的资料越多，我们对自己所作的预测就越有信心。”

但是，对于大自然的情况，尽管科学家有再多的资料，也无法百分之百肯定他的预测。也就是说，他无法确定某些模式会持续不变。

一个房间里的空气，有可能全部集中在一个角落里，但这是不太可能发生的事，许多资料显示这种情况不可能会发生。

抛出去的球有可能会一直飞到外太空去而不会掉下来，但大多数是不可能的，许多资料显示抛出去的球会掉回地面。

如果你的手和脸脏脏的就想上桌吃饭，也许有时妈妈不会注意到，但是大多时候……有许多资料支持这项预测呢。