概率计算范文

概率计算范文第1篇

【关键词】概率；计算

结合平时教学，我认为在平时的概率计算题中的常见错误主要如下：

一、有序与无序不统一

例1 在一个盒中装有15支圆珠笔，其中7支一等品、5支二等品和3支三等品，从中任取2支，问：下列事件的概率有多大？

（1）恰有一支一等品；（2）恰有两支一等品；（3）没有三等品。

仅以第（1）问为例，简单介绍主要错误情况。

错解 记恰有一支一等品为事件A，则从15支圆珠笔中抽取两支共包含15×14(个)基本事件，事件A中共有7×8（个）基本事件，P(A)＝56210＝415。

我们现在重新审视这道题，从15支圆珠笔中抽取两支可以理解为有序抽取，即逐一抽取，此时共有基本事件的总数可用分步原理解决：

第一次抽取共有15种结果，第二次抽取共14种结果。

从15支圆珠笔中抽取两支共有15×14＝210(种)结果。

事件A为恰有一支一等品，研究它包含基本事件也必须理解为有序抽取，共包含两种情况：

情况一：第一次取到一等品且第二次取到非一等品，共含有7×8＝56(个)基本事件。

情况二：第一次取到非一等品且第二次取到一等品，共包含8×7＝56(个)基本事件。

事件A中共包含基本事件的个数为56＋56＝112(个)。

到此处，同学们错解本题的原因就真相大白了，在求基本事件总数时所用的抽取方式为有序抽取，而在求事件A基本事件的个数时又用无序抽取，即在一个问题中有序与无序不统一，此时必然出错。

正解一 记取到一支一等品为事件A。

从15支圆珠笔中抽取两支共包含15×14＝210(个)基本事件，事件A中共有7×8＋8×7(个)基本事件。

P(A)＝112210＝815。

本题也可将抽取过程理解为无序抽取。

正解二 记取到一支一等品为事件A。

从15支圆珠笔中抽取两支共有15×142＝105(种)结果，事件A中共有7×8＝56(种)结果。

P(A)＝56105＝815。

由此可知，无论从有序抽取还是无序抽取的角度处理古典概型的摸球问题都是可以的，关键是有序与无序的统一。

二、实际背景理解不透

概率计算范文第2篇

【关 键 词】 遗传概率；生物；高中

在高中生物教学中，有关遗传概率的计算是教学中的重点及难点。面对概率的计算时，大多数学生往往不能掌握解题方法，做题时一头雾水。教师应帮助学生总结规律，以便让学生轻松解决概率计算问题。笔者通过一些典型例题，针对学生在计算遗传概率时容易混淆的问题进行分析、归纳及总结。

一、当“性别”与“患者”组合，何时需要乘以1/2

遗传题中，常出现患病男（女）或男（女）患病概率的计算。经统计，大部分学生遇到此类问题均感到混乱，不清楚什么时候需要乘以男性（女性）的概率（1/2）。其实，解决这类问题关键要做到下面两点。

（一）理解“男（女）孩患病概率”与“患病男（女）孩概率”的研究范围

“男（女）孩患病概率”与“患病男（女）孩概率”这两句话的含义是不相同的。前者“性别”在“孩子”之前，表明孩子的性别已经确定，故研究的范围只是男孩（女孩）。其含义是男（女）孩中患者的概率。而后者“性别”在“孩子”之后，表明这孩子的性别是有待确定的，研究的范围是子代全部的孩子。含义是患病男（女）孩在子代中的概率。明确这两句话的含义，是正确计算遗传概率的前提。

（二）判断控制该性状的基因的位置

1. 常染色体遗传

由于常染色体遗传与性别无关。故常染色体遗传病中，患病孩子概率=女孩患病概率=男孩患病概率。因为男女比例为1∶1，故患病男孩概率=患病女孩概率=患病孩子概率×男（女）孩概率（1/2）

[例1] 一对表现型正常的夫妇生了一个白化病的女孩。求：①该夫妇再生一白化孩子的概率；②生一个女孩白化病概率；③生一个白化病女孩的概率。

分析：白化病是常染色体隐性遗传病，据题意夫妇基因型为Aa×Aa，推出子代基因型及比例为AA：Aa：aa=1：2：1。患病孩子概率是1/4。女孩患病概率与患病孩子概率相同。白化病女孩概率=1/4×1/2=1/8。

2. X染色体遗传

X染色体上的基因遗传时与性别有关，对男性女性的影响未必相同。要根据遗传图解具体分析。

[例2] 一个表现正常的女性与一色盲男性生了一个色盲的儿子。请问：①该夫妇再生一个患病孩子的概率；②生一个男孩色盲的概率；③生一个色盲男孩的概率。

分析：根据题意，推出夫妇的基因型为XBXb×XbY。遗传图解如下：

P XBXb×XbY

F XBXb XbXb XBY XbY

1 ∶ 1 ∶ 1 ∶ 1

第①问中，患病孩子（XbXb+XbY）概率是2/4。第②问中，性别在前，即男孩中色盲的概率。该夫妇所生男孩为XBY（正常男孩）：XbY（色盲男孩）=1∶1，故男孩色盲的概率为1/2。第③问中，性别在后，即求子代中既是色盲又是男孩的概率。故色盲男孩（XbY）的概率是1/4。此时基因型XbY的孩子即是色盲又是男孩，所以就不需要乘以1/2。

综上所述，男（女）孩患病概率的计算，不管是常染色体遗传还是X染色体遗传都不需要乘以1/2。而患病男（女）孩概率的计算，只有在常染色体遗传时需要在患病概率基础上乘以1/2。

二、当亲本基因型不确定，如何正确算出子代相关概率

遗传概率计算中有一类题型是双亲中某亲本的基因型是有待确定的，要求其子女相关性状的概率。学生做该类题型时，往往会忽略了待定亲本基因型的比例，导致错误答案的产生。做此类题目的解题方法及步骤如下：

①首先对不确定的亲本基因型进行初步推断，推测其可能出现的基因型。

②求出该亲本可能出现基因型种类的比例，计算出每种基因型所占的分数比。这是解题的关键步骤。不少学生做题时因为忽略了该比例，或者计算该比例出错导致结果错误。

③计算该亲本在相应的基因型时子代相关性状的概率。

④子代相关性状概率×产生该子代的亲代基因型的分数比。

[例3] 右图是某遗传病系谱图。如果6号与有病女性结婚，则生育患病男孩的概率是（ ）

A. 1/4

B. 1/3

C. 1/8

D. 1/6

分析：学生多错选A或C答案。究其原因：第一种情况学生就直接把6号基因型确定为Aa，认为题目求患病男孩的概率，6号的基因型只能是Aa，错选A。第二种情况，学生虽然从3号与4号的基因型推出6号基因型为AA或Aa。但错误的认为6号的基因型有两种可能即比例为1∶1，错选C。根据遗传系谱，该病为常染色体隐性遗传病。6号表现型正常，从3号和4号推出6号基因型可能是AA或Aa，且AA∶Aa=1∶2。只有6号基因型为Aa才可能生育有病男孩。有病男孩概率为aa（1/2）×男孩（1/2）=1/4。而6号基因型为Aa所占的分数比是2/3，最后结果是1/4×2/3=1/6。

三、当两种遗传病相结合，怎样快捷算概率

遗传概率计算中常见的题型还有一类是同时研究两种遗传病。学生做这类题目时出现的问题通常是思路不太清晰，或者做题花费时间太长。只要掌握解题方法，就能快捷算出概率。该类题型采用“先分离后组合”的方法能减少做题花费的时间。即根据基因分离定律单独计算每一种遗传病的相关概率，再根据自由组合定律进行组合。

[例4] 已知人的红绿色盲属X染色体隐性遗传，先天性耳聋是常染色体隐性遗传（D对d完全显性）。下图中Ⅱ2为色觉正常的耳聋患者，Ⅱ5为听觉正常的色盲患者。Ⅱ4（不携带d基因）和Ⅱ3婚后生下一个男孩，这个男孩患耳聋、色盲。既耳聋有色盲的可能性分别是（ ）

A. 0、1/2、0 B. 0、1/4、1/4

C. 0、1/8、0 D. 1/2、1/4、1/8

分析：该题若用棋盘法或直接用基因自由组合定律来解题，耗时较长。根据题意，所求概率都以男孩为研究范围。对于先天耳聋而言，Ⅱ3和Ⅱ4的基因型为Dd×DD，男孩先天耳聋概率=先天耳聋概率=0；对于红绿色盲而言，Ⅱ3基因型为XBY，Ⅱ4基因型为XBXB∶XBXb=1∶1，即XBXb占分数比是1/2。Ⅱ3基因型为XBXb时，与Ⅱ4生育的男孩基因型及比例是XBY∶XbY=1∶1，故男孩色盲概率为1/2×XBXb分数比（1/2）=1/4。

学生只要理清思路，掌握各类题型的解题方法，就能轻轻松松解决概率的计算问题。

【参考文献】

[1] 王明华. 概率和遗传概率计算中应注意的问题[J]. 生物学教学，1994（12）.

概率计算范文第3篇

一、两对常染色体基因控制的遗传病患病情况及概率计算

患甲病：就是两种病中，只考虑患有甲病，不考虑是否患有乙病.这时，只需考虑有关甲病的基因型及概率a，不涉及乙病，则不患甲病的概率是1-a.患有甲病应包括只患有甲病和两病兼患两种情况.

患乙病：就是两种病中，只考虑患有乙病，不考虑是否患有甲病.这时，只需考虑有关乙病的基因型及概率b，不涉及甲病，则不患乙病的概率是1-b.患有乙病应包括只患有乙病和两病兼患两种情况.

只患甲病：就是两种病中，只能患有甲病，同时不能患有乙病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，只患甲病的概率应等于患有甲病的概率和不患乙病的概率之积，即等于a（1-b）.

只患乙病：就是两种病中，只能患有乙病，同时不能患有甲病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，只患乙病的概率应等于患有乙病的概率和不患甲病的概率之积，即等于b（1-a）.

两病兼患：就是两种病中，既患有甲病，同时又患有乙病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，两病兼患的概率应等于患有甲病的概率和患有乙病的概率之积，即ab.

完全正常：就是两种病中，既不患甲病，同时又不患乙病的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，两病兼患的概率应等于不患甲病的概率和不患乙病的概率之积，即（1-a）（1-b）.

患病：就是两种病中，无论哪种病，只要患有一种病或两病兼患的情况.按照遗传的基本规律和概率的计算法则，患病的概率应等于患有甲病的概率与患由于乙病的概率之和再减去两病兼患的概率，即a+b-ab；也等于只患有甲病的概率、只患有乙病的概率与两病兼患的概率之和，即a（1-b）+b（1-a）+a b；还等于1减去完全正常的概率之差，即1-（1-a）（1-b）.

例1 在一个家庭中，父亲是多指症患者（由显性致病基因P控制），母亲的表现型正常，他们婚后生了一个手指正常但先天聋哑的孩子（由隐性致病基因d控制），试推断他们后代可能的表现型及其概率.

解析 根据基因的自由组合定律及亲子代的表现型可推知，父亲的基因型为PpDd，母亲的基因型是ppDd.根据父亲和母亲的基因型可以推断可能的表现型及概率：

患多指症：只考虑多指症的情况，即Pp×pp，所以患有多指症的概率为1/2，不患多指症的概率为1/2；

患先天聋哑：只考虑先天聋哑的情况，即Dd×Dd，故患有先天聋哑的概率是1/4，不患先天聋哑的概率是3/4；

只患多指症：考虑多指症的情况，患有多指症的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，不患先天聋哑的概率是3/4，所以只患有多指症的概率是1/2×3/4=3/8；

只患先天聋哑：考虑多指的情况，不患多指症的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，患有先天聋哑的概率是1/4，所以只患有先天聋哑的概率是1/2×1/4=1/8；

两病兼患：考虑多指症的情况，患有多指症的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，患有先天聋哑的概率是1/4，所以两病兼患的概率是1/2×1/4=1/8；

完全正常：考虑多指症的情况，不患多指病的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，不患先天聋哑的概率是3/4，所以完全正常的概率是1/2×3/4=3/8；

患病：考虑多指的情况，患有多指病的概率为1/2，考虑先天聋哑的情况，患有先天聋哑的概率是1/4，两病兼患的概率是1/8，故患病的概率为1/2+1/4-1/8=5/8；也可用1减去完全正常的概率计算，即1-3/8=5/8.

二、遗传病与性别相关联时的患病情况及概率计算

当遗传病与性别相关联时，往往会出现“男（女）孩患病”与“患病男（女）孩”的概率问题，二者的差别主要在于求解概率的范围不同，男孩患病是指在已知是男（女）孩的条件下，出现患病情况的概率问题，其概率的计算就是在子代所有男（女）性个体中求解患病的概率，即子代男（女）性患病个体数除以子代男（女）性个体数；而患病男（女）孩是指在未知所生孩子是男（女）孩的条件下，将出现患病情况的概率问题，其概率的计算就是在所有子代个体中求解男（女）性患病的概率，即子代男（女）性患病个体数除以子代个体数.

（1）一对或多对常染色体上的基因（不连锁）控制的遗传病，由于常染色体上基因的遗传与性别无关，所以男孩患病概率=女孩患病概率=患病孩子概率，而患病男孩概率=患病女孩概率=患病孩子概率×1/2，其中“1/2”的生物学意义（实质）是什么呢？常染色体与人的性别无关，在减数分裂过程中，由于性染色体与常染色体自由组合，因此后代无论男女，其发病率相同，患病孩子实际包含了男孩患病和女孩患病两种情况，其患病概率相同，因此，患病男孩概率=患病女孩概率=患病孩子概率×1/2.由此可见，这里的“1/2”是指自然状况下男女的概率均为1/2.

（2）性染色体上的基因控制的遗传病与人类的性别这一“性状”是“连锁”的，计算其概率问题时有以下规律：若病名在前、性别在后，推测双亲基因型后可直接作图解，从全部后代中找出患病男（女）孩，即可求得患病男（女）孩的概率，而不需再乘以1/2；若性别在前、病名在后，求概率问题时只考虑相应性别中的发病情况，根据图解可直接求得，亦不需再乘以1/2.当多种遗传病并存时，只要有伴性遗传病，求“患病男（女）孩”概率时一律不用乘以1/2.

例2 在一个家庭中，父母双亲均表现正常，他们婚后生了一个白化病且色盲的孩子（分别由隐性致病基因a和b控制），试推断：

①他们生一个男孩且是白化病的概率；

②他们生一个白化病女孩的概率；

③他们生一个男孩且是色盲的概率；

④他们生一个色盲男孩的概率；

⑤他们生一个两病兼患男孩的概率.

解析 根据染色体的传递规率和亲子代的表现型可推知，母亲的基因型是AaXBXb，父亲的基因型为AaXBY.根据父亲和母亲的基因型可以推断可能的表现及概率：

①他们生一个男孩且是白化病的概率，就是在男孩中只计算患有白化病的概率，不考虑色盲的有无，即Aa×Aa，所以其概率为1/4；

②他们生一个白化病女孩的概率， 就是在所有孩子中只计算患有白化病女孩的概率，不考虑色盲的有无，即Aa×Aa，故其概率是1/4×1/2=1/8；

③他们生一个男孩且是色盲的概率，就是在男孩中只计算患有色盲的概率，不考虑白化病的有无，即XBXb×XBY，所以其概率为1/2；

④他们生一个色盲男孩的概率，就是在所有孩子中只计算患有色盲男孩的概率，不考虑白化病的有无，即XBXb×XBY，所以其概率为1/4；

⑤他们生一个两病兼患男孩的概率，就是在所有孩子中计算同时患有白化病和色盲的男孩的概率，即AaXBXb×AaXBY，所以其概率为1/4×1/2=1/8.

答案：①1/4；②1/8；③1/2；④1/4；⑤1/8

综上所述，要解决好有关的患病及概率计算问题，就要很好地把握常染色体遗传和伴性遗传的差别，充分理解遗传的基本规律，分析各对等位基因控制的疾病的发病情况，根据概率计算的法则，进行认真全面地计算，才能做到准确快速的目的.

三、经典习题

一对表现正常的夫妇生了一个患有甲病的女孩和一个患有乙病的男孩，经检测父方不含乙病致病基因，甲病基因用A或a表示，乙病基因用B或b表示，请回答：

（1）甲病致病基因是位于

染色体上的

性基因；乙病致病基因是位于

染色体上的

性基因.

（2）这对夫妇的基因型分别为

和

.

（3）这对夫妇再生一个患有乙病的孩子，其性别一定不是

，原因是

.

（4）这对夫妇所生孩子的基因型有

种，表现型有

种.

（5）如果只考虑甲病，则所生后代中患甲病的概率是

；如果只考虑乙病，则所生后代中患乙病的概率是 ；由此可见，一对性状的遗传符合

定律.

（6）如果只考虑这两种性状不考虑性别，则子代中完全正常的概率是

，只患甲病的概率是

，只患乙病的概率是

，两病兼患的概率是

，由此可见，这两对性状的遗传符合

定律.

参考答案：

（1）常 隐 X 隐 （2）AaXBY AaXBXb

（3）女孩 父亲的X染色体及其正常显性基因一定传给女儿，使女儿表现正常.

（4）12 6

（5）1/4 1/4 基因的分离

（6）9/16 3/16 3/16 1/16 基因的自由组合

概率计算范文第4篇

一、当遗传类型为常染色体遗传时

1.一种常染色体遗传病的遗传

例1 一对正常的夫妇生下一个患白化病的男孩，请问该夫妇：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？

解析 白化病为常染色体隐性遗传病，由题意可知该夫妇均为携带者（Aa×Aa），因此再生一个患病孩子（aa）的概率是1/4。

第②问中性别在前，表明已经确定性别为女孩，因此概率的计算则与性别无关，所以再生一女孩患病的概率是1/4。

第③问中性别在后，表明性别不确定，而生下女孩的概率是1/2，因此再生一患病女孩的概率等于生下患病孩子的概率（1/4）乘以生下女孩的概率（1/2）为1/8。

2.两种常染色体遗传病的遗传

例2 一个患多指症的女子与一个正常的男性生下了一个患白化病的男孩，请问该夫妇：①再生一个女孩两病皆患的概率是多少？②再生一个两病皆患女孩的概率是多少？

解析 多指症为常染色体显性遗传病，白化病为常染色体隐性遗传病，由题意可知该夫妇的基因型为：SsAa和ssAa。分别考虑两对性状：Ss×ssSs（多指）的概率是1/2；Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4。

第①问性别在前，因此计算与性别无关，再生一女孩两病皆患的概率为：患多指症的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）等于1/8。

第②问性别在后，表明性别不确定，因此再生一个两病皆患女孩的概率为：患多指症的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）再乘以生下女孩的概率（1/2）等于1/16。

二、当遗传类型为伴X遗传时

1.一种伴X遗传病的遗传

例3 一对患抗维生素D佝偻症的夫妇生下一个正常的孩子，请问该夫妇：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？

解析 抗维生素D佝偻症为伴X显性遗传病，与性别有关，对男女的影响不同。由题意可知该夫妇的基因型为：XDXd和XDY。因此其后代为XDXD（患病女孩）∶XDXd（患病女孩）∶XDY （患病男孩）∶XdY（正常男孩）=1∶1∶1∶1。所以再生一患病孩子的概率为3/4。

第②问性别在前，表明只研究女孩，而后代中只要生下女孩必患病，因此再生一女孩患病的概率为1。

第③问中性别在后，表明性别不确定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率为1/2。

2.两种伴X遗传病的遗传

例4 母亲正常，父亲是红绿色盲患者，生下一个男孩是血友病患者，一个女儿是红绿色盲患者，如果不考虑交叉互换，请问该夫妇：①再生一个女孩患病的概率是多少？②再生一个患病女孩的概率是多少？

解析 色盲症和血友病均为伴X隐性遗传病， 由题意可知该夫妇的基因型为： XBhXbH和XbHY。

因此其后代为XBhXbH（正常女孩）∶XbHXbH （色盲女孩）∶XbHY（色盲男孩）∶XBhY（血友男孩）=1∶1∶1∶1。

第①问性别在前，表明只研究女孩，因此再生一女孩患病的概率为1/2。

第②问性别在后，表明性别不确定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率为1/4。

三、当遗传类型为常染色体遗传和伴X遗传相结合时

例5 父亲是红绿色盲患者，母亲正常，生了一个既患白化病又患色盲症的男孩，请问该夫妇：①再生一个女孩两病皆患的概率是多少？②再生一个两病皆患女孩的概率是多少？

解析 白化病为常染色体隐性遗传病，色盲症为伴X隐性遗传病， 由题意可知该夫妇的基因型为： AaXBXb和AaXbY。分别考虑两对性状：Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4；XBXb×XbYXBXb（正常女孩）∶XbXb（患病女孩）∶XBY（正常男孩）∶XbY（患病男孩）=1∶1∶1∶1。

第①问性别在前，因此白化病的概率计算与性别无关，而色盲症只考虑女孩；所以再生一女孩两病皆患的概率为：患白化病的概率（1/4）乘以女孩中患色盲症的概率（1/2）等于1/8。

第②问性别在后，表明性别不确定，因此再生一个两病皆患女孩的概率为：患白化病的概率（1/4）乘以色盲中患病女孩的概率（1/4）等于1/16。

1.一对表现正常的夫妇，男方的父亲是白化病患者，女方的父母均正常，但女方的弟弟是白化病患者。这对夫妇生出白化病女孩的概率是（ ）

A.1/8 B.1/4

C.1/12 D.1/6

2.人的血友病属于伴性遗传，苯丙酮尿症属于常染色体遗传。一对表现型正常的夫妇生下一个既患血友病又患苯丙酮尿症的男孩。如果他们再生一个女孩，表现型正常的概率是（ ）

A.9/16 B.3/4

C.3/16 D.1/4

3.人类的钟摆型眼球震颤是由X染色体上显性基因控制，半乳糖血症是由常染色体上的隐性基因控制。一个患钟摆型眼球震颤的女性和一正常男性婚配，生了一个患半乳糖血症的男孩（眼球正常），他们生的第二个孩子是两病皆患的女孩的几率是（ ）

A.1/2 B.1/4

C.1/8 D.1/16

4.某家庭多指（显性致病基因P控制）遗传情况如下图。

[3] [4] [2] [6] [1] [5]

（1）若1、2再生一个孩子，该孩子患多指的可能性是 。

（2）图中6和一个与自己基因型相同的男性结婚，生患病女孩的可能性是 。

（3）图中4手指正常但患先天性聋哑（隐形致病基因d控制），这对夫妇再生一个聋哑女的可能性是 。

5.下图是患甲病（显性基因A，隐性基因a）和乙病（显性基因B，隐性基因b）两种遗传的系谱图，据图回答问题：

[1][2][3][4][5][6][1][2][3][4][5] [正常女][正常男][甲病男][甲病女][乙病男][两种病男]

（1）甲病致病基因位于 染色体上，为 性基因。

（2）从系谱图上可以看出甲病的遗传特点是 。子代患病，则亲代之一必 ；若Ⅱ5与另一正常人结婚，其中子女患甲病的概率为 。

（3）假设Ⅱ1，不是乙病基因的携带者，则乙病的致病基因位于 染色体上，为 性基因，乙病的特点是 遗传。Ⅰ2的基因型为 ，Ⅲ2的基因型为 。假设Ⅲ1与Ⅲ5结婚生了一个男孩，则该男孩患一种病的概率为 ，所以我国婚姻法禁止近亲间的婚配。

1.C 2.B 3.D 4.1/2 3/8 1/16

概率计算范文第5篇

一、游戏类问题

例1 图1是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形.装置A上的数字分别为1，6，8，装置B上的数字分别是4，5，7，这两个装置除表面数字不同外，其他结构相同.现在你和另一个人分别同时用力转动A，B两个转盘上的箭头.规定箭头停留在较大数字的一方获胜（若箭头停在界线上，再重转一次，直到不停在界线上为止），那么你会选择哪个装置？为什么？

解析： 这是两次操作问题，所以用列表法.把所有可能得到的数字组合列成下表：

由表知P（A>B）= ，P（B>A）= ，所以选择A装置.

例2 （济宁市）如图2，将转盘等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6.指针的位置固定，自由转动转盘，当它停止时，指针指向偶数区域的概率是（指针指向两个扇形的交线时，当做指向右边的扇形）______，请你利用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针所指区域的概率为 .

解：指针指向偶数区域的概率是P＝ ＝ .

游戏设计：① 将1和2所在的扇形涂成红色，3和4所在的扇形涂成黄色，5和6所在的扇形涂成绿色，则指针指向红色或黄色或绿色区域的概率都为 .② 分别将1和4所在的扇形涂成红色，2和5所在的扇形涂成黄色，3和6所在的扇形涂成绿色，则指针指向红色或黄色或绿色区域的概率为 .

例3 （辽宁省）四张质地相同的卡片如图3所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求随机抽取1张卡片，恰好得到数字2的概率.

（2） 小贝和小晶用以上4张卡片做游戏，规则见图4，你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图法说明理由；若不公平，请你修改规则，使游戏变得公平.

解析： （1） 是一次操作问题，可直接用公式.（2） 是两次操作问题，要用列表法或画树状图法.

（1） P（恰好得到数字2）= = .

（2） 根据题意画树状图如图5.

从树状图中可以看出所有可能的结果共16种，不超过32的两位数有10个，超过32的两位数有6个.

P（不超过32）＝ = ；

P（超过32）＝ = .

因为二者不相等，所以游戏不公平.

修改规则：① 组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜.这样能使游戏公平.

② 抽到的两位数不超过32的得3分；抽到的两位数超过32的得5分.这样能使游戏公平.（有多种修改方法，仅举两种）

二、综合计算题

例4 （沈阳市）如图6，A，B，C是三个几何体，设正对我们的方向为它们的正面.设A，B，C三个几何体的主视图分别是A1，B1，C1，左视图分别是A2，B2，C2，俯视图分别是A3，B3，C3.

（1） 请你分别写出A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3图形的名称.

（2） 小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1，A2，A3的3张卡片放在甲口袋中，画有B1，B2，B3的3张卡片放在乙口袋中，画有C1，C2，C3的3张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别取出1张卡片.

① 通过补全图7的树状图，求出小亮随机抽取3张卡片上的图形名称都相同的概率；

② 小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的3张卡片中，只有2张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；3张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜.这个游戏对双方公平吗？为什么？

解析： 这是三次操作问题，用树状图是解决问题的最有效办法.

（1） 由已知可得A1，A2是矩形，A3是圆；B1，B2，B3都是矩形；C1是三角形，C2，C3是矩形.

（2） ① 补全树状图如图8.

由树状图可知，共有27种等可能的结果，其中3张卡片上的图形名称都相同的有12种.所以3张卡片上的图形名称都相同的概率是 = .

② 游戏对双方不公平.由①可知，3张卡片中只有2张卡片上的图形名称相同的概率是 ，即P（小刚获胜）＝ ；3张卡片上的图形名称完全不相同的概率是 ＝ ，即P（小亮获胜）＝ .

概率计算范文第6篇

关键词：概率；计算；方法

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）53-0198-02

概率的公理化定义方面的公式是概率论古典概型问题中的重要公式，它本身公式繁多，许多问题更夹杂了排列、组合、函数、不等式等数学问题，使得概率问题更加复杂多变，只有掌握好正确的方法才能使问题快捷求解。

一、概率的公理化定义公式

（一）基本公式

概率的公理化定义中所涉及的概率计算的基本公式：设Ω为样本空间，A为事件，

以上公式再结合事件与集合的关系、条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式或贝叶斯公式后，概率运算的问题就变得更加麻烦了，不掌握好处理概率的好的方法，就步履维艰了。

二、求解概率问题的方法和技巧

（一）文氏图法，利用文氏图解决两个事件概率的运算问题

数形结合是数学中最好用的方法之一，用文氏图来记忆有关概率的一些公式会非常容易，若掌握了文氏图与概率公式的对应，对于这么多的公式也没必要全都装进脑袋，遇到概率的运算问题画画文氏图就能轻松解决了，特别是两个事件的概率运算问题。

例1.对于任意两个事件A和B，则P（A-B）是（ ）。

（A）P（A）-P（B） （B）P（A）-P（B）+P（AB）

（C）P（A）-P（AB） （D）P（A）+P（B）-P（AB）

本题是两个事件的差的概率，按照集合的文氏图画法可知，左椭圆区域表示事件A，右椭圆区域表示事件B，左椭圆中白色区域为事件A-B，把事件的概率用对应区域的面积来理解，很容易得出C选项是正确的。

（二）转化法，正确理解所求事件的概率，尽量把事件划分成简单易求概率的事件，再利用对应公式求解

在处理概率的问题时，有些同学就是找不到问题的突破口，也不知道用哪个公式来求解问题，特别是对于复杂的事件，若是不能把它分解成相互独立、不重复也不遗落的简单事件，就很难实现问题的求解，因为很多概率问题就是通过事件的关系所对应的公式运算来进行的。

例2.进行一系列独立试验的成功率都是p，则在试验成功2次之前已经失败3次的概率是多少？

本题的难点是如何理解“试验成功2次之前已经失败3次”，这说明进行了5次试验，第5次试验成功，前4次试验中有一次是试验成功，其他3次都失败了，那么“试验成功2次之前已经失败3次”等同于“前四次试验只有1次成功且第5次试验成功”，因此记A={第5次试验成功}，B={前4次试验只有1次成功}，A、B为相互独立的事件，P（A）=p，B事件的概率为伯努利概型本题中的关键问题就是对于复杂事件的分解，这直接决定着问题是否能顺利得到结果，复杂事件的理解要经过认真咀嚼，理顺它意思中包含怎样的基本事件以及他们之间是怎样的关系。一些明显的字眼“且”、“或”、“同时发生”、“至少有一个发生”、“不发生”等所表达的事件的关系一定要明白，在不含有这些字眼的复杂事件中再认真思考如何分解成简单事件。

（三）推演法，根据题中的条件推演出相应的结论

很多问题中的条件实际上就是一种概率的运算关系，再通过表达出的数学关系和表现形式结合公式进行推导就能得到结论。

例3.若事件A、B、C同时发生必导致事件D发生，试证：P（A）+P（B）+P（C）-P（D）≤2

本题中，由条件可知ABC？奂D，则有P（D）≥P（ABC），这和本题中要证明的不等式不谋而合，再从公式中寻找有事件乘法公式的，即P（AB∪C）=P（AB）+P（C）-P（ABC），则P（ABC）=P（AB）+P（C）-P（AB∪C），同理：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B），则有 P（D）≥P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB∪C）-P（A∪B）≥P（A）+P（B）+P（C）-2.

三、小结

概率的计算不仅仅是用排列组合的知识就能解决的了，它加入了概率公理化定义的公式后，变成了比较复杂的数学问题，需要理解事件、结合公式的应用或是推导，以及应用数学的思想方法和解题方法。概率问题的求解，也需要我们不断地去探索和实践，我们要勇于面对困难，勤思考、多总结，这样才能成功的解决概率方面的问题。

参考文献：

[1]李醒民.论数学方法的一般理念[J].湖南科学社会，2010，（01）.

概率计算范文第7篇

关键词：给水 设计秒流量 概率法 卫生器具

1 前言

生活用水设计秒流量反映了给水排水系统瞬时高峰用水规律的设计流量。以L/s计。用于确定给水管管径和排水管管径，计算给水管系的水头损失和排水管道的坡度、充满度，以及选用水泵等。

世界各国进行了不少水量方面的研究，并制定出各自室内给水管道流量的计算方法。室内给水管道流量的计算方法有平方根法、概率理论法。

目前，国外应用的方法皆以概率为理论基础，概率计算是所有新的设计方法的基础。国外不仅早已建立了以概率理论为基础的秒流量计算式，而且在近几十年来，对用水工况进行了长期的大量的研究，至今己获得足够的可以更完善地加工整理设计秒流量计算方法的资料，这对我国设计秒流量计算方法的改进具有重要的参考价值。虽然许多国家均采用概率方法为基础，但由于对数据的选取以及处理方式不同，所产生的方法不同，以美国的亨特概率方法和俄罗斯的概率方法为代表。

2 概率计算方法

2.1 亨特概率方法

2.1.1 亨特概率法的建立 [1]

亨特概率法由美国的亨特（Roy B.Hunter）于1924年提出，并在1940年以后发展成熟，得到承认。其基本原理是将系统中卫生器具的使用看作一个随机变量，各种卫生器具的使用是独立的，使用中不存在相互联系，可用二项分布的数学模型来描述秒流量这一随机变量。

假定某给水管段上连接有n个卫生器具，各个器具的开启和关闭相互独立，每个器具的额定流量为q0，则通过该计算管段的最大给水设计秒流量为q0n，最小给水流量为0，任意时刻通过该管段的给水秒流量q（0≤q≤q0）。设计系统应降低管材耗量，并保证不间断供水，以满足用水高峰时的用水量。假设用水高峰时每个卫生器具的使用概率为p，则不被使用的概率为（1-p），那么在用水高峰时，n个卫生器具中有i个同时使用的概率为：

（2-1）

亨特的定义，对根据于只有一种 卫生器具构成单一系统，表示如下：

（2-2）

其中：Pm—至多有m个器具同时的概率值；

m— 卫生器具同时使用个数设计值；

p—用水高峰期单个卫生器具的使用概率；

n—管段连接的卫生器具数；

Pr—供水保证值，在亨特概率方法中采用0.99。

由上式可以得知，在供水保证值Pr给出的情况下，可得在总卫生器具n个中，同时起作用的卫生器具数目r的值。

由上式（2-2）知，n个卫生器具中有r个作用，r是0到n的任意数，把r从0到n的概率全部想加起来可得：

（2-3）

其中：式中符号同前。

利用（式2.2）在已知N，P的条件下，可求出满足Pm≥0.99的m值。卫生器具同时使用个数设计值的概念与设计秒流量的概念想对应的计算管段的设计秒流量为：

qg=q0 m

式中 qg——计算管段的设计秒流量，L/S；

q0——单个卫生器具的额定秒流量，L/S。

2.1.2亨特法特点

1）亨特概率法计算设计秒流量时全面考虑了影响 用水量的多种因素。能够较准确的反映客观用水情况，计算结果符合实际情况。

2）具有较成熟的配套设计图表，使用方便快速。

3）设计秒流量较现行规范公式计算结果小。

4）应用范围很小

5）该法对于正常使用的情况，即不同类型卫生器具的同时使用上不合理。

2.2 俄罗斯（现行）概率法

2.2.1 俄罗斯法原理

俄罗斯现行设计秒流量概率法计算公式是以苏联科学技术副博士绍宾斯基( Л. А. ШОПЕНСКИЙ)方法为基础建立起来的。从1966 年到1975 年间,绍宾斯基对各类建筑物的设计秒流量计算方法进行了有重大价值的研究,他对单个卫生器具、单幢建筑物以及整个小区给水系统的工况进行了深入分析,并对大量日用水量积分曲线进行分析研究,得到能够描述各种形式日用水量积分曲线的通用关系式,最终建立了不仅能描述用水高峰期,而且也能描述一昼夜内其它时间用水情况的数学模型。[2]

2.2.2 设计秒流量计算

笔者深入研究《俄罗斯规范》及其它大量俄罗斯相关文献,总结出使用该方法计算秒流量的要点:

(1) 确定用水单位的类型及用水单位数量U 。

(2) 确定卫生器具总数N 及计算管段上的卫生器具数Nj 。

(3) 确定卫生器具配水龙头(器具) 的额定秒流量q0 ,俄罗斯对各类用户和各种卫生器具的用水量进行了大量实测,并在此基础上对实测数据进行了数学加工得到q0 值。

①确定出了各种用水器具的q0 值;

②确定出了各类用水单位的各种器具的q0 值;

③对于不同类型用水单位的各种器具有下式:

式中 Ni ——每组用水单位卫生器具数量;

pi ——每组用水单位卫生器具使用概率;

q0 i ——每组用水单位配水龙头的秒流量,根据《俄罗斯规范》附录3 选取。

(4) 确定用水高峰期卫生器具使用概率p 。

①在一座建筑物或一组不考虑U/ N 值变化的建筑中所有用水单位为同一类型时,其使用概率为:

式中 qh , u ——个用水单位最大小时用水定额,L/ h。

②在一组不同功能的建筑物中有各种不同类型的用水单位时,其使用概率为:

(5) 确定管网计算管段上设计秒流量

qg = 5 q0 a

式中 q0 ——单个卫生器具的秒流量,L/ s ;

a——与计算管段上所连接卫生器具总数N以及卫生器具使用概率p 有关的系数,根据《俄罗斯规范》附录4 选取。

在《俄罗斯规范》附录4 中给出了在各种q0 、N和p 条件下确定给水秒流量qg 的线算图,可供设计时使用。[4]

2.2.3 俄罗斯法特点

1）该法对规范公式存在的问题有很好的解决，具有自己的特点。

2) 采用国际上普遍采用的概率方法计算，符合用水的实际情况。

3）计算数表使用于各类建筑，包括建筑内部及居住小区。

4）不同类型建筑的用水特点在用水概率上表现出来，用水概率又取决于用水定额，用水人数n，用水时间t，时变化系数及卫生器具设置等因素，符合实际情况。

5） 安全可靠，经济合理，使用方便。

2.3 两种概率方法比较[4]

2.3.1 相同点

亨特概率法与俄罗斯概率法具有下述共同点:

(1)运用概率理论计算设计秒流量，提出卫生器具使用概率和给水保证率概念，二者对用水高峰期卫生器具使用概率的定义相同，即p=t/T (T为用水高峰期内一段时间间隔;t为在T时间间隔内卫生器具累计使用时间);(2)既适用于室内又适用于城市小区给水管网设计秒流量的计算。

2.3.2 不同点

亨特概率法与俄罗斯概率法虽然都以概率理论为基础建立公式，但二者在计算方法及计算结果上都有明显的不同，具体分析如下:

1、单个卫生器其使用概率P的确定方法

俄罗斯概率法的用水器具使用概率计算式，是通过大量实测数据得到的各种类型水用户的小时用水定额(稳定的数学期望值)来计算P值，直接反映了用水概率P(或设计秒流量qg)与单位器具负荷人数No及单个卫生器具秒流量qo之间的关系。而就我们目前所掌握的资料可知，亨特概率法需要实际测试得到各类水用户用水概率P的数据，不能直接反映出用水定额、单位器具负荷人数及单个卫生器具秒流量复杂的变化对用水概率P(或设计秒流量qg)的影响。

2、保证率pm的设定值

亨特在建立公式时选取Pm=0.99，使用至今;而饿罗斯却是由许多学者经过一系列深入研究分析，最后确定取Pm=1.997,因此可以看出俄罗斯概率法比亨特概率法更严谨。

3、计算结果比较

计算可知，对于同一给水系统，亨特概率法与俄罗斯概率法计算结果不同。主要表现在三个方面:

（1）给水保证率，亨特概率法低于俄罗斯概率法;

（2）计算结果，亨特概率法小于俄罗斯概率法;

（3）亨特概率法用二项分布模型描述用水情况，计算出的卫生器具同时使设计值m是整数。在用水概率P和卫生器具数量N变化不大时，不能体现出设计秒流量qg的差别。而俄罗斯概率法并非完全按照二项分布和泊松分布公式进行计算，而是又考虑了其它多种实际因素的影响，计算出的卫生器具同时使用设计值m是小数，能反映出设计秒流量qg的微小变化。

3 结论

（1） 概率法不仅适用于室内给水系统,也适用于城市小区给水管网设计秒流量的计算,而且对住宅及各类公共建筑具有良好通用性。

（2）对于大型的生活或热水供应系统,综合考虑各种因素,用概率法计算设计秒流量,可以减小管径,降低成本,节约能源,减少电能、热能的消耗。

（3）在相同保证率条件下,亨特概率法比俄罗斯概率法计算结果小,但二项分布在实际应用中不方便。俄罗斯概率法在理论上更为严谨周密,并且具有较成熟的配套设计图表,使用方便快捷。

（4） 亨特概率法和俄罗斯概率法对我国设计秒流量计算方法的改进和完善都具有很好的参考意义。由于国情的不同,上述两种概率法在我国应用时还要开展一系列有关的理论和实践工作。[3]

参考文献

1.邹平华,赵金玲等.生活给水及热水供应设计秒流量计算方法的研究(一). 给水排水，2000 08

2.王东改. 居住小区给水设计流量概率计算方法. 大众科技， 2005 03

3．邹平华,赵金玲等.生活给水及热水供应设计秒流量计算方法的研究(二) . 给水排水 ， 2000 09

概率计算范文第8篇

关键词:遗传概率;计算方法中图分类号：G633.91文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）08-0290-01概率是对某一可能发生的事件的估计，是指总事件与特定事件的比例，其范围从0到1． 遗传概率的计算是一个难点，其中关键是怎样把握整体"1"， 研究的整体"1"的范围不同，概率大小就不同，整体"1"的范围越大，则某些性状出现的概率越小，反之则越大。在绝大部分的题目中，只要能正确理解整体"1"，则计算概率就不难了，分析如下：

1.某一事件出现的概率计算法

例题1：杂合子（Aa）自交，求自交后代某一个体是杂合体的概率。

解析：对此问题首先必须明确该个体是已知表现型还是未知表现型。（1）若该个体表现型为显性性状，它的基因型有两种可能：AA和Aa。且比例为1∶2，所以它为杂合子的概率为2/3。（2）若该个体为未知表现型，那么该个体基因型为AA、Aa和aa，且比例为1∶2∶1，因此它为杂合子的概率为1/2。正确答案：2/3或1/2

练习：一对夫妻都携带了白化致病基因，求生一个白化病孩子的概率？答案：1/4

2.亲代的基因型在未肯定的情况下，其后代某一性状发生的概率计算法

例题2：一对夫妇均正常，且他们的双亲也都正常，但双方都有一白化病的兄弟，求他们婚后生白化病孩子的概率是多少？解析：（1）首先确定该夫妇的基因型及其概率？由前面例题1的分析可推知该夫妇均为Aa的概率为2/3，AA的概率为1/3。（2）假设该夫妇为Aa，后代患病的概率为1/4。（3）最后将该夫妇均为Aa的概率（2/3×2/3）与假设该夫妇均为Aa情况下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘积1/9，即为该夫妇后代中出现白化病患者的概率。正确答案：1/9

练习：人类白化病由常染色体隐性基因(a)控制，血友病由X染色体上隐性基因(h)控制。已知某家庭中父母均正常，生了一个孩子白化且患血友病，请问：若这对夫妇再生一个孩子①只患白化病的概率？②两病兼患的概率？

答案：①3/16②1/16

3.利用不完全数学归纳法

例题3：自交系第一代基因型为Aa的玉米，自花传粉，逐代自交，到自交系第n代时，其杂合子的几率为 。

解析：第一代 Aa,第二代 1AA 2Aa 1aa 杂合体几率为 1/2

第三代 纯 1AA 2Aa 1aa 纯杂合体几率为（1/2）2 第n代 杂合体几率为（1/2）n-1

正确答案：杂合体几率为 （1/2）n-1

练习:关于两对性状的杂合子AaBb连续自交三代,AABB占多大比例,(49/256)

4.利用棋盘法

例题4：人类多指基因（T）是正常指（t）的显性，白化基因（a）是正常（A）的隐性，都在常染色体上，而且都是独立遗传。一个家庭中，父亲是多指，母亲正常，他们有一个白化病和正常指的孩子，则生下一个孩子只患有一种病和患有两种病以及患病的概率分别是（ ）

A.1/2、1/8、5/8 B.3/4、1/4、5/8 C.1/4、1/4、1/2 D.1/4，1/8，1/2

配子TATatAtataTtAaTtaattAattaatATtAATtAattAAttAa练习:一个患并指症（由显性基因S控制）且肤色正常的男性与一个表现型正常的女性婚后生了一个患白化病的孩子，他们下一胎生下并指且白化男孩的概率是多少？1/8生下的男孩并指且白化的概率是多少？1/32

5.利用加法原理和乘法原理的概率计算法

例题5（同上例题4）：解析：（1）据题意分析，先推导出双亲的基因型为TtAa（父亲），ttAa（母亲）。据单基因分析法，若他们再生育后代，则Tt×tt1/2Tt，即多指的概率是1/2；Aa×Aa1/4aa，即白化病的概率是1/4。（2）生下一个孩子同时患两种病的概率：P多指（1/2Tt）又白化（1/4aa）=1/2×1/4=1/8（乘法原理）。（3）生下一个孩子只患一种病的概率=1/2 +1/4-1/8×2=1/2或1/2×3/4+1/4× 1/2=1/2（加法原理和乘法原理）。 ⑷生下一个孩子患病的概率=1/2 +1/4-1/8×1=5/8（加法原理和乘法原理）。正确答案：A

练习: 例1、人类白化病由常染色体隐性基因(a)控制，血友病由X染色体上隐性基因(h)控制。已知某家庭中父母均正常，生了一个孩子白化且患血友病，请问：若这对夫妇再生一个孩子①只患白化病的概率？②两病兼患的概率？ 答案：①3/16②1/16

6.图型分析或图型题

例题6：一对夫妇的子代患遗传病甲的概率是a，不患遗传病甲的概率是b；患遗传病乙的概率是c，不患遗传病乙的概率是d。那么下列表示这对夫妇生出只患甲、乙两种病之一的概率的表达式正确的是：A、ad＋bc B、1－ac－bd C、a＋c－2ac D、b＋d －2bd解析：该题若用遗传病系谱图来解比较困难，若从数学的集合角度入手，用作图法分析则会化难为易。下面我们先做出图1来验证A表达式，其中大圆表示整个后代，左小圆表示患甲病，右小圆表示患乙病，则两小圆的交集部分表示患甲、乙两种病（ac）两小圆除去交集部分表示只患甲病（ad）或乙病（bc），则只患一种病的概率为ad+bc。依次类推，可以用此方法依次验证余下三个表达式的正确性。正确答案：ABCD

图1图2

例七:图2是某家族的一种遗传系谱，请根据对图的分析回答问题：

（1）Ⅲ4可能的基因型是，她是杂合体的几率为。

（2）如果Ⅲ2和Ⅲ4婚配，出现病孩的几率为。

解题方法：要求后代某基因型或某基因型概率，先必求得能导致后代出现某性状或基因型的亲代基因型及其概率。所以第二问计算概率应首先推导出Ⅲ2、Ⅲ4的可能的基因型概率，即Ⅲ2：2/3Aa;1/3AA。Ⅲ4：2/3Aa;1/3AA。他们后代患者（aa）的概率为：2/3×2/3×1/4=1/9。注意：很多同学在求Ⅲ2、Ⅲ4概率的时候误认为是1/2，导致后面的计算错误。在系谱图中有个隐含的条件就是Ⅲ2、Ⅲ4都是正常没有病的，所以排除了aa的可能性，只有AA、2Aa三种情况，所以Ⅲ2、Ⅲ4为AA、Aa。

概率计算范文第9篇

“配子法”就是根据个体的基因型以及基因型所占比例，看这个个体能产生配子的种类，然后确定配子产生的比例，最后雌雄配子结合，计算后代的发病概率。这种方法的关键是确定产生配子的种类以及配子比例。例如某个体的基因型为1/3AA或2/3Aa，则该个体能产生A和a两种配子，两种配子之比为2：1。具体计算过程为，个体的基因型为1/3AA或2/3Aa，意味着AA和Aa两种基因型比例为1：2，也就是1AA或2Aa，其中A共有4个，a共有2个，所以A：a为2：1。

[例1]图1为关于某遗传病的家族系谱图（基因用B和b表示）。请根据图回答：

（1）若3、7号均不带致病基因，则该病的遗传方式是__，4号的基因型可能是__。9号产生的配子带有致病基因的概率是__。

（2）若3号不带致病基因，7号带致病基因，该病的遗传方式是__，若9和10号婚配，后代男性患病的概率是__。

思路分析：（1）由于7号个体不带致病基因，11号个体的致病基因只能来自6号个体，所以判断该病的遗传方式为X染色体上的隐性遗传。6号的基因型为XBXb，1号和2号的基因型分别为XBXb和XBY，所以4号的基因型为1/2XBXB或1/2XBXb。要计算9号产生的配子带有致病基因的概率，就要先知道9号的基因型。由于4号的基因型为XBXB或XBXb，而且两种基因型的可能性比例为1：1，所以能产生XB和Xb两种配子，比例为3：1，也就是3XB、1Xb，3号产生的配子为1XB、1Y，因此3号和4号的后代基冈型为3XBXB、3XBY、1XBXb、1XbY。由此知道9号的基因型为3/4XBXB或1/4XBXb，两种基因型之比为3：1，因此9号也能产生XB和Xb两种配子，两者之比为7：1，所以9号产生的配子带有致病基因的概率是1/8。

（2）由于7号带致病基因，11号个体的致病基因来自6号和7号，因此判断该病的遗传方式为常染色体上的隐性遗传。6号、7号以及1号和2号的基因型均为Bb，10号的基因型为1/3BB或2/3Bb，两者之比为1：2，因此能产生B和b两种配子，比例为2：1，也就是2B、1b。4号和10号类似，也能产生2B、1b两种配子。由于3号不携带致病基因，基因型为BB，只产生B一种配子，所以3号和4号的后代基冈型为2BB、1Bb，也就是9号的基因型为2/3BB或1/3Bb。因此9号能产生B和b两种配子，比例为5：1，也就是5B、1b。所以9号和10号的后代基因型为10BB、7Bb、1bb，患病概率为1/18。

参考答案：（1）X染色体上的隐性遗传

XBXB或XBXb1/8（2）常染色体上的隐性遗传1/18

[例2]图2是某家族两种遗传病遗传的系谱图，其中白化病致病基因为a，红绿色肓致病基因为b。请回答：

（1）请写出Ⅲ7的基因型__；Ⅲ9的基因型__。

（2）若Ⅲ7和Ⅲ9近亲结婚，子代患色盲的几率为__，两种遗传病兼得的概率为__。

解析：（1）对于涉及两种遗传病的遗传题，通常的思路是把两种病分开，先计算其中一种病的发病概率，最后两者通过公式计算两种病兼发的概率。根据题意，1号和2号关于色盲这种遗传病的基因型为XBY和XBXb，所以4号的基因型为XBXB或XBXb。根据例1的分析，7号的基因型也为XBXB或XBXb，不过两种基因型之比为3：1。由于7号同时患白化病，所以7号两种遗传病的基因型为aaXBXB或aaXBXb，两种基因型之比为3：1。5号和6号关于白化病这种遗传病的基因型为Aa和Aa，因此9号的基因型为1/3AA或2/3Aa，由于9号同时患有色盲，所以9号两种遗传病的基因型为AAXbY或AaXbY，两种基因型之比为1：2。

（2）7号关于色盲这种遗传病的基因型为XBXB或XBXb，两种基因型之比为3：1，因此，能产生XB和Xb两种配子，两者之比为7：1，也就是7XB、1Xb。9号关于色盲这种遗传病的基因型就为XbY，所以能产生Xb和Y两种配子，两者之比为1：1，因此7号和9号的后代的基因型为7XBXB、7XBY、1XbXb、1XbY，患色盲概率为1/8。然后计算白化病的发病概率。9号关于白化病这种遗传病的基因型为1/3AA或2/3Aa，因此9号能产生A和a两种配子，两者之比为2：1，也就是2A、1a。7号关于白化病这种遗传病的基因型为aa，因此只能产生a-种配子，所以7号和9号的基因型为2Aa、1aa，患色盲的概率为1/3。因此两种遗传病兼得的概率为1/8×1/3=1/24。

概率计算范文第10篇

关键词：古典概率； 常见错解；错因分析

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1674-120X（2016）26-0040-02 收稿日期：2016-07-20

作者简介：莫庆美（1963―），女，广西蒙山人，贺州学院副教授，研究方向：高等数学与微分方程教学。

一、古典概率计算中常见错误案例

1.审题不清致错

例1 摄影师给6位同学拍照留念， 他们的身高全不相同，要求前后两排各3人，那么后排每人均比前排同学高的概率是 。

错解：据对称性可知，一共6个人，最高3个和最矮3个，各一半，那后排每人比前排同学高的概率为P=12。

剖析：由于审题不清，误求前排3名均比后排相对应3名同学高的概率。前排每人比后排每人都高，所以可以将6人中最矮的3个人放在前排，其余3人站后排，而且每个都不同还需要排列，故所求概率为P=A33A33A66 =120。

教学启迪：该例题说明了在古典概型下计算事件概率的基本方法，同时也看到古典概型下事件的计算需要有较高的技巧性，有些问题的计算还是相当困难的。但学者只需掌握最基本的方法，对典型几类问题会计算即可。

2.计算基本事件总数致错

例2 有4只纸箱，现将3份不同礼物随机地放入纸箱中去，求纸箱中礼物的最多份数分别为2的概率。

错解1： P=C13C14C23A34

错解2： P=C23C13C1434

剖析：计算过程由于基本事件总数错误，导致结果出错；因为每份礼物都有4种放法，所以样本空间的基本事件总数为43。纸箱中最多的份数为2，则先选礼物C23，再选纸箱的选法有C14；剩下的1只从3个纸箱中任选一个即C13，故所求事件包含基本事件数为C23C13C14，于是P=C13C14C2343 = 916。

教学启迪：在教学过程中更应该注意强调是礼物选纸箱，而非纸箱选礼物，处理基本事件总数，也要注意是组合还是排列，本例未涉及排列部分。

3.运用公式P（A・B）=P（A）・P（B），忽视事件的独立性致错

例3 某校派a、b两名同学去参加市区普法知识竞答，有10道不同的题目，其中6道选择题、4道判断题，a、b两名同学依次各抽一题，a同学抽到选择题、b同学抽到判断题的概率是？

错解：设A、B分别表示a同学抽到选择题、b同学抽到判断题的事件，即选择题概率为0.6，判断题概率为0.4，那么P（A・B）=P（A）・P（B）=0.6×0.4=0.24。

剖析：因为事件A与B的发生不独立，所以解法错误。a同学可以从6道选择题中任选一道即C16种，b同学从4道判断题中任选一道即C14，样本总数即C110 ・C19。所以正确答案如下： P=C16・C14C110 ・C19=415。

4.分不清组合与排列致错

例4 小明买了10张各不相同奖券，已知这10张奖券中只有3张中奖，如果小明每次只打开1张，那么前3次打开奖券中恰有1次中奖的概率是？

错解：小明所买的奖券中奖率是0.3，不中奖率是0.7，故前3个购买者中恰有1次中奖的概率，第一步从那3张任取一张即C13×0.3，第二步从7张任选两张即C27×0.72，所求P=C13×0.3×C27×0.72。

剖析：由上述结果可以看出，结果错了。该解法忽略了独立重复试验的特点，即各事件的发生应是相互独立的。如果前3次打开奖券中，第1次打开就中奖了，那么再中奖率，就不再是0.3了，如果有一次不中奖概率是0.7，下一次不中奖概率就不再是0.7。所以该题用到的是排列而非简单组合，正确答案应是

P=3×A13×A27A310=0.525。

5.审题不清，忽视事件“有序”与“无序”致错

例5 在某次试验中把3枚硬币一起掷出，那么出现一枚反面向上， 而另两枚正面向上的概率是多少？

错解：先出现一反面后出现两正面是一种结果， 故所求概率P=18。

剖析： 在所有 8 种结果中， 一反两正没有说是按顺序的，而是理解为两枚正面向上、一枚反面向上的所有情况。设事件正面向上为H，反面向上为T，基本事件为A，总样本数为S。则3枚硬币掷出所有可能的结果有 S=（HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT ），而两正一反A=（HHT，HTH，THH ），因此， 所求概率P=38。

教学启迪：由于审题不清，更容易忽视事件“有序”与“无序”的情况，题意中并没有说明两正一反是按顺序，而是说所有情况，把掷硬币出现的8 种结果看作等可能性， 然而把事件A的3种结果看作1种结果，也不符合古典概型的等可能性事件了，因此求概率的基本事件自然就会发生错误。

6.对概率论中的一些常用术语理解有误致错

例6 人民公园有一项游戏，即有6不同颜色的小球，每个小球都等可能落入10个塑料桶中的任意一个，假设每个塑料桶容纳的小球没有限制，求每个塑料桶最多有一个小球的概率。

错解：某指定的6个塑料桶各有一个小球，即P=6！106。

剖析：学者受课本例题影响，又由于审题不清，将最多有一个小球的概率理解成某指定的6个塑料桶各有一个小球致错。将6个小球放入10个塑料桶中去，每一种投放是一个基本事件，可知这是古典概率问题，因为每一个小球都可以放入10个塑料桶中的任一个塑料桶，故共有106种不同的放法，而每个塑料桶中至少放一个小球共有A610种不同放法。因而所求的概率为P=A610106。

7.疏忽细节致错

例7 有n个人去餐厅吃饭，他们随机地围绕圆桌而坐，那小黄、小李坐在一起（即座位相邻）概率多少？

错解：假设小黄已先坐下，再考虑小李的坐法。小李的坐法对应一个基本事件，明显小李总共有（n-1）个位置，而（n-1）个座位是等可能的，所以共有（n-1）种坐法，而且基本事件的总数组成等概率样本空间。故所求概率为P=2n-1。

剖析：上面的计算过程好像没有问题。但在这里要注意细节问题，当n=2时，P=2与概率为1相矛盾。小黄、小李两人坐在一起是必然事件，故其概率为1。所以更要在结果后面添加限制条件，正确结果为P=2n-1（n>2）。

二、对古典概率计算中常见错误提出的策略

（1）加强常见错误的案例教学。在教学中，针对学生错误的主要类型加强教学设计，以减少错误的发生，帮助其改正错误。

（2）加强学生思想教育。对于学生学习的行为、态度等加强教育，贯彻素质教育与专业教育并重的理念，正确引导学生的世界观、价值观及人生观。

（3）认真备课。尊重学生的学情，以学生为本，因材施教，尽量站在学生角度来设计铺垫性、诱发性、过渡性的问题，必要时补充学习资源和习题。

（4）制定相关制度并执行。对于学生学习行为散漫和态度不端等情况，根据学校实际制定相关制度并严格执行。

（5）教师观念的转换。课堂改革更是教师教学观念的改革，教师在教学活动中充当主导，那么教师的任务就是组织调动、指导服务，让学生通过自主、合作、探究学习，自主完成学业。

参考文献：

余则华.排列、组合在古典概型中的应用.福建教育学院学报，2008，（6）.