统计与概率

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1. 数据的收集与整理涉及到的概念比较多，主要有反映数据集中趋势的统计量――平均数、中位数、众数；反映数据的离散程度的统计量――极差、方差、标准差；统计中的一些基本概念――总体、个体、样本、样本容量、频数、频率等. 特别是统计图（表）的运用是本部分的重点，要求同学们会读图（表）、释图（表）、作图（表），还要求对统计图（表）中的信息作出识别与处理，给出评价. 本部分的复习要突出统计思想，用样本估计总体是统计的基本思想. 其基本结构图如下：

数据的收集与整理收集数据普查抽样调查总体个体样本―样本容量?摇?摇整理数据频数频率?摇描述数据―统计图条形统计图折线统计图扇形统计图频率分布直方图组数组距?摇?摇分析数据三数众数中位数平均数、加权平均数?摇三差极差方差标准差?摇?摇

2. 概率的内容主要包括必然事件、不可能事件、可能事件的意义区分；利用画树状图或列表法计算事件发生的概率以及借助计算结果进行决策. 本部分内容复习时要突出概率建模思想，对概率的计算问题，可以把不同背景下的各类问题加以变通，寻找他们之间是否存在相同的数学本质，对相同的一类问题，可以用一个概率模型来解决. 其基本结构图如下：

事件的种类必然事件随机事件―概率?摇范围― 0≤P（A）≤1用列举法求概率条件一次试验中可能出现的结果有有限个一次试验中各种结果发生的可能性相等?摇方法列表法画树状图?摇?摇用频率估计概率?摇不可能事件

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例1 （2011江苏镇江）某地区有8所高中和22所初中，要了解该地区中学生的视力情况，下列抽样方式获得的数据最能反映该地区中学生视力情况的是（ ）

A. 从该地区随机选取一所中学里的学生

B. 从该地区30所中学里随机选取800名学生

C. 从该地区的一所高中和一所初中各选取一个年级的学生

D. 从该地区的22所初中里随机选取400名学生

分析：收集数据是解决统计问题的第一步，也是中考常考考点. 此类问题一般以填空和选择形式出现，考查同学们对普查和抽样调查的辨别能力，知道采取普查和抽样调查的必要性和价值，以及抽样调查需注意的问题.

解：抽样调查必须遵循的原则是所抽取的样本要具有广泛性和代表性，而A、C、D都不具有这两个特性，故选择B.

例2 （2011江苏南京）某校部分男生分3组进行引体向上训练，对训练前后的成绩进行统计分析，相应数据的统计图如图1.

（1） 求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数.

（2） 小明在分析了图表后，声称他发现了一个错误：“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%，所以第二组的平均数不可能提高3个这么多. ”你同意小明的观点吗？请说明理由.

（3） 你认为哪一组的训练效果最好？请提出一个解释来支持你的观点.

分析：利用所给的图表数据信息和特征补全图表，或者由方程的思想综合解决相关的问题是近年来综合考查统计问题的一种趋势.

解：（1）训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是■×100%≈67%.

（2）不同意，因为第二组平均成绩增加了8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（个）.

（3）本题答案不唯一. 可以认为第一组训练效果最好，因为训练后第一组平均成绩增长的百分数最大.

例3 （2011江苏连云港）如图2，一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1，2，3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几，棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度. 棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率. （用列表或画树状图的方法求解）

分析：分析事件的概率时，应学会用列举法（画树状图或列表）分析事件发生的等可能结果.本题结合正六边形，考查了对概率的理解和计算. 在复习过程中，要注意抽取方式有放回和不放回两种基本概率类型.

解：列表如下： 画树状图如下：

两球标号之和的所有可能之中，使棋子走到点C的有1种，到点D的有2种，到点E的有3种，到点F的有2种，回到点A的有1种，故棋子走到点E的可能性最大. P（走到点E）=■=■.

例4 （2011江苏扬州）扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目，另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项.

（1） 每位考生有_____种选择方案；

（2） 用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择同种方案的概率. （友情提醒：各种方案用A、B、C……或①、②、③……等符号来代表可简化解答过程）

分析：本题是一道现实情境下的概率问题，在解决问题时，需要用分类思想，列举所有可能的结果.

解：（1） 4；（2） 用A、B、C、D分别表示4种方案，立定跳远、坐位体前屈；实心球、1分钟跳绳；立定跳远、1分钟跳绳；实心球、坐位体前屈.

画树状图如下：

小明与小刚选择同种方案的概率=■=■.

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1. 方差的运算规则理解不清

例1 一组数据的方差是2，将这组数据都扩大为原来的3倍，则新得的一组数据的方差是

（ ）

A. 2 B. 6 C. 9 D. 18

错解：B.

错因：误认为一组数据都扩大为原来的3倍的同时，其方差也扩大为原来的3倍.

解析：设一组数据x1、x2…xn，其平均数为■，方差为s2，则数据3x1、3x2…3xn的平均数为3■，方差为■3x1-3■?摇2+3x2-3■2+…+3xn-3■2=9s2=9×2=18.所以，一组数据扩大为原来的n倍，则方差变为原来的n2倍. 故正确答案为D.

2. 混淆随机事件与必然事件

例2 下列说法正确的是（ ）

A. “明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨

B. “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上

C. “中奖的概率是1%”表示买100张一定会中奖

D. “抛一枚正方体骰子，向上一面的数为奇数的概率是0.5”表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现向上一面的数为奇数

错解：A.

错因：对概率的本质没有完全理解，错误地将随机事件当做必然事件来理解.

解析：“降雨的概率是80%”是指降雨的可能性是80%；“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”是一种理论概率，同时也可理解为是一种实验概率，是通过很多次的实验，抛一枚硬币正面朝上的频率趋向于0.5得来，并非表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上；“中奖的概率是1%”表示“买100张，可能中奖1次”，这是随机事件，不是必然事件；答案D很好地解释了实验概率的意义. 故选D.

3. 基本统计量理解不全面

例3 为了解2009届本科生的就业情况，今年3月，某网站对2009届本科生的签约状况进行了网络调查，截至3月底，参与网络调查的12 000人中，只有4 320人已与用人单位签约. 在这个网络调查中，样本是________人，样本容量是________.

错解：样本是12 000人，样本容量是4 320.

错因：不理解样本和样本容量的含义，错误地把研究对象的载体（本科生）当作研究对象（签约状况）.

解析：样本是12 000名本科生的签约状况，样本容量是12 000.

4. 数据刻划对象不明

例4 如图3，公园里有两条石级路，哪条石级走起来更舒适？（图中数字表示每一级的高度，单位：厘米）

错解：■=■（15＋14＋14＋16＋16＋15）=15，■=■（19＋10＋17＋18

＋15＋11）=15，■=■，所以走两条石级路一样舒适.

错因：上台阶是否舒适，就看台阶的高低起伏情况如何，应该计算两条石级路台阶高度的极差、方差和标准差， 而不是看平均数.

解析：左边石级路台阶高度的极差为16-14=2，方差为■，标准差为■=■；

右边石级路台阶高度的极差为19-10=9，方差为■，标准差为■=■.

由以上计算可见，左边石级路的极差、方差和标准差都比右边小，所以左边石级路起伏小，走起来舒服些.

5. 看不懂统计信息图

例5 甲、乙两人连续7年调查某县养鸡业的情况，提供了两种信息（如图4）.

甲调查表明：养鸡场的平均产鸡数从第1年的1万只上升到第7年的2.8万只；

乙调查表明：养鸡场的个数由第1年的46个减少到第7年的22个.

现给出下列四个判断：①该县第2年养鸡场产鸡的数量为1.3万只；②该县第2年养鸡场产鸡的数量低于第1年养鸡场产鸡的数量；③该县这7年养鸡的数量逐年增长；④这7年中，第5年该县养鸡场出产鸡的数量最多. 根据甲、乙两人提供的信息，判断其中正确的是________.

错解：①③

错因：解题时没有看懂信息图，没有弄清楚问题问的是什么，而把图4中的养鸡场的平均产鸡数当做养鸡场产鸡的总数量.

解析：每年产鸡的数量应该是每年的养鸡场个数乘以每年的平均产鸡数，由信息图可算出这7年里各年产鸡的数量分别为46万只，54.6万只，60.8万只，64.6万只，66万只，65万只，61.6万只，因此只有④正确.

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例1 2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播. 小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，图5是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）. 请你根据图3中提供的信息解答以下问题：

（1） 求该班共有多少名学生；

（2） 在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；

（3） 在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；

（4） 从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？

巧思：试题以两幅不完整的统计图――扇形图和条形图为研究载体，考查了同学们对统计图所表达的实际意义的理解程度，以及概率等基本知识. 试题的切入点是对照两种统计图，找出能从不同的两个角度反映出同一个统计量的数据，如统计图中的A统计量，从扇形图中可知，A所占百分比为10%，同时从条形图中可知，A的人数为5，这样便可由描述A统计量的这2个不同数据求出样本的容量，其他的问题便迎刃而解了.

妙解：（1） 5÷10％=50（人）.

（2） 见图6.

（3） 360°×■=144°.

（4） P=■=■.

例2 四张质地相同的卡片如图7所示. 将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；

（2） 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由，若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平.

巧思：本题先要判断游戏是否公平，应首先通过画树状图或列表分别求出游戏双方获胜的概率，之后进行比较即可得出是否公平的结论. 在游戏不公平的情况下修改游戏规则使游戏公平，那么只能在规则上做文章. 规则的修改一般有两种选择：一是修改规则中所界定的数字或所考查的事件，如采用解法中的方法1和方法3；二是给每种出现的结果赋予适当的分值，如方法2.

妙解：（1） P（抽到2）=■=■.

（2） 根据题意可列表

从表（或树状图）中可以看出所有可能结果共有16种，符合条件的有10种，

P（两位数不超过32）=■=■. 游戏不公平.

调整规则：

方法1：将游戏规则中的32换成26～31（包括26和31）之间的任何一个数都能使游戏公平. 方法2：游戏规则改为“抽到的两位数不超过32的得3分，抽到的两位数超过32的得5分”. 方法3：游戏规则改为“组成的两位数中，若个位数字是2，小贝胜，反之小晶胜”.

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1. 下列说法中：① 一组数据不可能有两个众数；② 将一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，方差恒不变；③ 随意翻到一本书的某页，这页的数码是奇数，这个事件是必然发生的；④ 要反映西昌市某一天内气温的变化情况，宜采用折线统计图.其中正确的是（ ）

A. ①和③ B. ②和④ C. ①和② D. ③和④

2. 在4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_____________.

3. 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1 000个. 为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为_________.

4. 图8是小强同学根据某地某天上午和下午四个整时点的气温绘制成的折线图. 请你回答：该天上午和下午的气温哪个更稳定？

答：_______；

理由是_________________________.

5. 为迎接建党90周年，某校组织了以“党在我心中”为主题的电子小报制作比赛，评分结果只有60，70，80，90，100五种. 现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图9中的两幅不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1） 求本次抽取了多少份作品，并补全两幅统计图；

（2） 已知该校收到参赛作品共900份，请估计该校学生比赛成绩达到90分以上（含90分）的作品有多少份？

6. 为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如图10中的两幅不完整的统计图：

（1） 求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2） 某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.

7. 甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球，乙盒中有1个白球、2个黄球和若干个蓝球. 从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍.

（1） 求乙盒中蓝球的个数；

（2） 从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.

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1. B. 2. ■. 3. 600.

4. 上午，因为上午温度的方差大于下午温度的方差（或标准差） .

5. （1） 120. 补全两幅统计图如图11. （2） 360.

6. （1） 4. 补全条形统计图如图12.

（2） 由表格可知：共有12种情况，符合条件的有四种，4÷12=■.

7. （1） 3. （2） ■.