概率计算范文

概率计算篇1

例1 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%.对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的球是红球.其中说法正确的是（ ）.

A.①②③ B.①② C.①③ D.②③

【解析】当实验次数很大时，事件发生的频率稳定于一个值，这时我们用频率作为概率的估计值.

摸出红球的频率稳定于20%，则摸出红球的概率是20%，同样摸出黑球的概率是50%.因为每次要摸出一个球，这个球的颜色一定是红球、黑球或白球中的一个，所以分别摸出红球、白球、黑球的概率和为100%，则摸出白球的概率为100%-20%-50%=30%.所以①②正确.只有当实验次数足够大时，方可用频率来估计概率，在有限次的实验中，不能用频率进行准确的计算，只能说可能有20次摸出的是红球，而不是一定有20次，故③错误.

例2 为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捕捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘.经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再从中多次捕捞，并计算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条.试估计该鱼塘中鱼的数量.

【解析】设该鱼塘中有鱼x条，由多次捕捞，并计算得平均每200条鱼中带有标记的鱼有5条.可算得带有标记的鱼的频率为[5200]=[140]，并把它作为捕到带有标记鱼的概率的估计值，则由P（捕到带有标记的鱼）=[30x]=[140]，得x=1200（条）.

例3 如果事件A发生的概率是[5100]，那么下列推断，哪几个是正确的？

（1）做100次这种试验，事件A必发生5次；

（2）大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生5次；

（3）做100次这种试验，事件A不可能发生6次.

【解析】因为事件A发生是随机的，所以做100次这种试验，事件A发生的次数不一定是5次，0次到100次都有可能.只有在大量重复地做这种试验的基础上，事件A平均每100次发生5次.所以（1）（3）错误，只有（2）正确.

例4 某航空公司的保险合同上有这样一个条款：飞机一旦失事，将向每名乘客赔偿人民币50万元，但保险公司需向每名乘客收取保险费20元.如果该航空公司航班平均每次约有120名乘客，那么在n次飞行中，平均来说，当飞机失事的概率不超过多少时，才能保证保险公司的收入不小于支出？

概率计算篇2

1.两对等位基因控制一对相对性状的概率计算

例1牡丹的花色种类多种多样，其中白色的是不含花青素，深红色的含花青素最多，花青素含量的多少决定着花瓣颜色的深浅，由两对独立遗传的基因（A和a，B和b）所控制；显性基因A和B可以使花青素含量增加，两者增加的量相等，并且可以累加.一深红色牡丹同一白色牡丹杂交，得到中等红色的个体.若这些个体自交，其子代将出现花色的种类和比例分别是().

A.3种；9∶6∶1B.4种；9∶3∶3∶1

C.5种；1∶4∶6∶4∶1D.6种；1∶4∶3∶3∶4∶1

解析F1中等红色的个体基因型为AaBb, 自交，单独看每一对基因的遗传Aa×Aa，Bb×Bb,画出F2的基因型棋盘如下表：（因为显性基因越多，颜色越深，所以只写出含显性基因的多少）

F21AA2Aa1aa

1BB1(四显)2(三显)1(二显)

2Bb2(三显)4(二显)2(一显)

1bb1(二显)2(一显)1(0显)

从表中可以看出，有五种颜色，比例为1∶4∶6∶4∶1.

参考答案：C.

2.常染色体与性染色体上两对相对性状的概率计算

例2（2012山东卷）27．（3）用黑身白眼雌果蝇（aaXrXr）与灰身红眼雄果蝇（AAXRY）杂交，F1雌果蝇表现为灰身红眼，雄果蝇表现为灰身白眼.F2中灰身红眼与黑身白眼果蝇的比例为，从F2灰身红眼雌果蝇和灰身白眼雄果蝇中各随机选取一只杂交，子代中出现黑身白眼果蝇的概率为.

解析F1中雌为AaXRXr、雄为AaXrY，单独看每一对基因的遗传Aa×Aa，XRXr×XrY，画出F2的基因型棋盘如下表,

F21AA（灰）2Aa（灰） 1aa（白）

1XRXr（红） 1灰.红 2灰.红 1黑.红

1XrXr（白） 1灰.白 2灰.白 1黑.白

1XRY（红） 1灰.红 2灰.红 1黑.红

1XrY（白） 1灰.白 2灰.白 1黑.白

从表中可以看出灰身红眼占6份, 黑身白眼占2份,所以比例为3∶1.

图中F2灰身红眼雌果蝇有2种基因型：1/3AAXRXr和

2/3AaXRXr,灰身白眼雄果蝇有2种基因型: 1/3AAXrY和2/3AaXrY, 各随机选取一只杂交，单独看每一对基因的遗传,只有Aa×Aa子代才出现黑身,概率为aa=1/4×2/3×2/3=1/9, XRXr×XrY子代中出现白眼的概率为1/2,所以子代中出现黑身白眼果蝇的概率为1/9×1/2=1/18.参考答案：（3）3∶1 1/18

3.基因纯合致死的概率计算

例3某种鼠中，黄鼠基因A对灰鼠基因a为显性，短尾基因B对长尾基因b为显性.且基因A或b纯合时使胚胎致死，这两对基因遵循自由组合定律.现有两只双杂合的黄色短尾鼠，理论上所生的子代中杂合子所占的比例为().

A.1/4B.3/4C.1/9 D.8/9

解析两只双杂合的黄色短尾鼠(AaBb),单独看每一对基因的遗传Aa×Aa，Bb×Bb,画出F1的基因型棋盘如下表：

F21AA(致死)2Aa1aa

1BB1(致死)2 AaBB 1 aaBB

2Bb 2(致死) 4 AaBb 2 aaBb

1bb(致死) 1(致死) 2(致死) 1(致死)

从表中可以看出，存活的子代中杂合子所占的比例为8/9.

参考答案：D.

4.同时患两种遗传病的概率计算

例4下图为某家庭的遗传系谱图.已知色盲（甲）为伴X染色体隐性遗传病，由B、b基因控制的；白化病（乙）为常染色体隐性遗传病，由A、a基因控制.请据图回答：

（1）根据上图判断，图中标注①Ⅱ―4是(表现型)男，③Ⅱ―7是(表现型)男.

（2）8号个体是纯合子的概率是多少？

（3）10号和12号的基因型分别是、.

（4）若10号12号结婚，所生子女中发病概率是多少？；只患一种病的概率是多少？；同时患两种病的概率是多少？.

解析此题1-3小题难度不大，在此不分析，最难的是第4小题的概率计算，可采用单独计算每一种病的发病概率再用棋盘法组合的方法：

概率计算篇3

关键词：古典概型；几何概型；等可能性

我们首先来看这样一个题目：

某人衣袋中装有甲、乙两盒火柴，每盒中各装有10根火柴，此人每次随机取出一盒，并使用其中一根火柴，求他某次取出甲盒火柴发现只余最后一根，而此时乙盒火柴恰余三根的概率.

有人作出了这样的解答：

此解答正确吗？解答中运用了古典概率模型公式，那让我们先来看一下古典概率的定义，见湘教版高中数学教材必修五第121页：设试验的全集Ω有n个元素，且每个元素发生的可能性相同. 当Ω的事件A包含了m个元素时，称P（A）=为事件A发生的概率，简称为A的概率”. 粗略看一下，上面的解答正是在计算m和n，然后由得出最后的结果. 但是，此解答忽略了定义中一个重要的前提条件：“且每个元素发生的可能性相同”，我们来考察一下，这20根火柴的C种排法是等可能的吗？题目中强调了取两盒火柴的随机性，但是当其中一盒火柴用完之后，接下来就每次都只能使用另一盒火柴，此时的随机性就失去了意义，所以这C种排法并不是等可能的，所以上面的解答是错误的.

在运用古典概率模型求概率时，许多同学容易忽略“等可能性”这一前提条件，比如在求解“连续抛一枚质地均匀的硬币两次，出现正反不同的概率”时，有人就认为连续抛一枚质地均匀的硬币两次，会出现“同正”、“同反”、“正反不同”三个不同结果，得出概率是的这一错误结论. 出错的原因也是因为忽略了“等可能性”这一前提条件.

这两种解法哪个正确哪个错误呢？

实际上这两种解法依据的“等可能性”是不同的，第一种解法认为选择每条路径的可能性是相等的，而第二种解法认为每次选择向“上”还是向“右”是等可能的，而题目中并没有明确说明哪种情况是等可能的，所以这两种解法无法分出对错，因为题目本身欠缺条件.

以上两种解法中，解法2是正确的，解法1直接考察的是圆弧上点的横坐标，题目中强调的是在圆弧上随机的取点，这并不能保证其横坐标的随机性，所以失去了“等可能性”这一大前提，这一解法是错误的.

概率计算篇4

关键词：直饮水 秒流量 概率方法

An Approach to the Use of probability Theory

in Calculating the Design Flow in Direct Drinking Water Pipeline

Abstract:The two formulas given in the 《Design Code for Water Supply and Drainage in Building》(GBJ 15-88) are not applicable for drinking water system in the calcuation of the design flow in portable water pipelines.The author proposes to use probability theory in the calculation of the design flow in portable water pipelines in residential building，etc.The results of the calculation shows that under a certain guaranteed ratio the percentage of the water faucets used simultaneously decreases as the number of the faucets increases.

Keywords:drinking water；design flow；probability theory

1 引言

《建筑给水排水设计规范》（GBJ 15－88）中给出的生活给水设计秒流量计算式：

（1）、（2）式不适用于直饮水管道秒流量计算。（1）式属于平方根法，和原苏联公式的形式接近，此式基于秒不均匀系数和平均日用水量的关系公式：

（3）式源于某苏联工程师对住宅生活用水量的观测研究。在直饮水系统中，秒不均匀系数与日用水量间，未必符合（3）式。（2）式属于经验公式，它适用于公共浴室、公共食堂、影剧院等用水设备使用情况集中的场所，卫生器具同时给水百分数不随器具数量而变化。该式可用来计算公共浴室等场所的直饮水管道，但在住宅、旅馆等场所不适合。

亨脱（Hunter）应用概率论来确定室内生活给水管道的设计秒流量，并在美、英、日诸国得到采用。在住宅、旅馆等直饮水系统中，只有一种用水器具（即放水龙头），器具的放水使用数目为随机变数，服从离散型随机变量的二项式概率分布，因此住宅等的直饮水系统秒流量亦可按亨脱的概率法计算。

2 计算方法

以住宅为例，基础数据如下：住宅户均3.5人；每人每日饮用水量3L；饮水龙头额定流量q0=0.05L/s；水龙头当量N0=0.25。

每户用水量3.5×3=10.5L，则每户水龙头的放水时间t=10.5/0.05=210s。假定一日内饮水量集中消耗在某一小时内，水龙头的使用概率p和不使用概率1-p：

p=t/T=210/3600=0.058 ……（4）

1-p=1-0.058=0.942 ……（5）

定义直饮水系统秒流量为最大1min的平均秒流量，即秒流量持续时间T=1min，则秒流量的保证率为A：

A=1-T/60=1-1/60=0.9833 ……（7）

在n个水龙头中，若0～m个水龙头使用概率的总和不小于A，则m为设计秒流量发生时的同时使用水龙头个数，可得设计秒流量Q：

Q=q0……（8）

n个水龙头中，任意r个同时使用的概率为P：

Pnr=(nr)(1-p)n-rpr

上式中(nr)为从n个不同元素中，每次取出r个不同的元素，不管其顺序合并成一组的组合种数。

如n=5，r=2，5个水龙头中2个同时使用的概率为：

P52=(52)(1-p)5-2p2

n个水龙头中，任意0－m个水龙头使用的概率总和不小于A，其表达式为P：

P=Pn0+Pn1+Pn2+…Pnm-1+Pnm≥A……（10）

若通过计算求得符合上式的m值，则依据（8）式可求得管道流量。

当水龙头总数n不大时，可用手算求得在一定保证率下的m值。若n较大，手算已不可能，此时可用计算机实现上述计算。图1为计算框图。

当n值较大时（如n＞1000），由于计算机精度回制及误差的影响，计算结果误差很大，此时需要二项分布的正态逼近计算。根据理论分析标明，当n充分大（np≥5，n(1-p)≥5）时，服从二项分布的随机变量近似服从正态分布：

（17）式由(n)0.5年与n组成，n前的系数相当于单个龙头使用概率。此式尽管为在n充分大时，根据正态分布函数得出的结果，但经验算，在n＞80时，按此式得到的使用龙头数与用二项式法求得的使用龙头数吻合得很好。

3 计算结果

在某n值下，有一定保证率的m，见表1，并把工程中建议采用的使用个数或同时使用百分数一并列于此表。从表中数据可见，水龙头的同时使用百分数随龙头个数增大而减小。

4 与其他计算方法比较

若直饮水管道流量按照平方根法（即(1)式）计算，换算成使用龙头数即为：

m=[0.2(Ng)1/a+kNg]/0.05

=[0.2(0.25n)1/a+0.25kn]/0.05

=2.11(n)0.5+0.0242n

…… （18）

上式中k，a为《GBJ15－88》第2.6.4条表中数值的平均数。经过对（17）式与（18）式的比较可见，两式结构相同。当n较小时，前半部分起主导作用，当n较大时，后半部分作用显著。（若用住宅洗涤盆的数据N，q0代入（1）式得m=1.06(n)0.5+0.00242n，n前的系数为0.00242偏小，相当于卫生器具计算使用概率偏低，或许能解释（1）式为何不能用于给水当量大的小区。）

用不同方法求得的同时使用龙头数见表2。从表中数据可见，当龙头总数较小时，两者差异明显。

表1 概率法计算结果

概率计算篇5

关键词：计算机模拟；概率论课程教学；蒙特卡洛方法

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）25-0163-02

在概率论的发展历史中可以看出，为了进一步分析和研究随机现象的统计规律，一些老一辈的数学家制定了诸多随机试验，其中最为典型的有蒲丰的投针实验、葛尔顿钉板试验等。这些试验在一定程度上凸显出来老一辈数学家的智慧。因此在现代的概率论课程教学过程中拥有着非常重要的意义。而随着现代科技的不断进步和发展，计算机技术逐渐得到普及，而运用计算机来对早期数学家所设计的随机试验进行实施，能够让概率论教学效果得到有效提升。

1 计算机模拟随机试验中的问题探讨

在很早之前，大部分数学家想要实验都是依靠纯手工的方式，如掷硬币实验就是靠早期数学家一次次抛掷的方法，来严重硬币的正反面出现概率，如表1。

此外还有一个较为经典的葛尔顿钉板试验，其目的是为了验证频率的稳定性，其是在一块斜立木板上，依次钉上钉子，每一个白点代表一个钉子，且钉子之间的距离均都相同，上面钉子刚好处于下面两颗钉子的中心位置，从入口处将一个半径小于钉子间距的小球放入其中，当小球碰撞到第一排钉子后，会以百分之五十的概率滚向左/右下，然后触碰到第二排钉子，以此循环直至小球从某一个格子内滚出为止。当放入小球数量为1时，则事先难以准确地判断出小球会想那个方向的格子滚去，但如果小球数量增多并达到一定数量时，则其底部所呈现的曲线则基本上一致，均呈现一种橄榄球状[1]。由此可得出，小球落入到每个格子的频率均都稳定，而实验中小球构成的曲线则称之为正态分布，见图1。

此外，如果多次测量一个物体的长度，其平均值会是在处于某个固定值左右。而在目标均匀性实验及灯泡寿命试验等一系列重复性实验也均都是浮动在某固定值上。在设计这些试验不仅较为枯燥，而且还消耗较长的时间，尤其是在进行破坏性实验时，例如寿命试验等，则就需要消耗过高的成本，而若将这些试验运用计算机进行模拟试验，则就能让一系列问题得到有效解决，具有非常显著的教学作用。不过从真实试验向计算机模拟试验转变，首先要做的就是有效解决随机数产生、假设检验记忆蒙特卡洛方法等问题。

2 计算机上随机数的形成方法

2.1 均匀随机数的形成

计算机上随机数产生方法中最为常见的有余数法：

令：yn+ 1=λyn（modM），y0=a

再令 xn=yn/M

其中λ，M为任意正数，a为正奇数。先给定y0=a，用M除以λyn所得的余数记为yn+ 1，用yn+ 1/M得到xn.关于参数的选择，从公开报道得知较适用的有：a=1，λ= 517，M= 242。

此外，还有一种较为常用的方法，即混同余法：

令 yn+ 1=λyn+b（modM），y0=a

再令 xn=yn/M

用混同余法得到（0， 1）区间上均匀分布的50个随机数的程序为：m= 2～16； b= 27421；x0= 2；

LinearCong[x_]：=Mod[bx+ 7，m ]；data= Table [LinearCong [x ]/m /N，{x， x0， 49+x0}]；h=Length[data]

2.2 利用[0，1]区间上均匀分布的随机数和反函数定量得出分布的随机数

将单调上升的连续分布函数或已给分布密度设为F（x），结合（0，1）中均匀分布随机变数，得出方程为F（y）=Y，解出的结果为y=F-1（Y）是以F（x）为分布函数的随机变数。

2.3 通过mathematics软件产生随机数

在外挂软件包mathematics中有一个统计软件包，其中Drscre Distribution能够产生各种分布的随机数。

3 随机数的分布拟合

借助于上述的几种方法所获取的数属于一种伪随机数，这种通过一定计算方法所获取到了数，从本质上讲并不能够称之为随机数，不过能够通过数据整理统计的独立性检验及分布检验方法，让让其得到实践应用。通常分布拟合的步骤流程主要分为三个，首先对数据进行分组，通过对其频数进行统计，将条形图画出，然后既能够大概的获得随机变量所形成的概率密度图，然后在以区间估计均值和方差为基础，实施分布的假设检验[2]。例如：使用一台自动包装机，其打包重量均为100kg，然后从某天生产产品中随机抽取130包进行重量测量。将区间划分成十六个相同区间，均为0.5kg，然后对130个数据在各个子区间中的落下频数和频率进行计算。通过计算机的分组统计命令获取到落在各个小区间的频率，让狗将频数图画出，由图可得出其随机变量为近似服从正态分布。然后将样本的期望和方差计算出来。

4 蒙特卡洛方法

通过蒲丰的投针试验来阐述蒙特卡洛方法，让其教学应用展现出来。在平面上将一个相等距离a的平行线画出来，然后将任意长度l（l

假设针的投掷中心为M，其中心电距离最近一条平行线的距离为x，与平行线之间的构成的夹角以T 表示。由此可得出：0

按照针与一条平行线相交的充分必要条件为x

5 随机模拟在教学上的应用分析

近几年来，在现代概率论课程教学过程中，通过计算机模拟应用能够制定出多个教学动画，其中较为典型的有高尔顿钉板试验、捕鱼问题以及贝努力大数定律等[4]。通过概率论试验可以使传统难以理解的概念逐渐变得既生动又具有抽象性的理论，实现概率论的情绪性和直观性，从而让学生学习概率论的兴趣得到进一步提升。而通过计算机模拟开发的实验及动画，则能够让教师对信息技术的使用能力得到提高，让课程教学效果得到进一步改善[5]。而且，在实验过程中，运用一系列的计算机数学软件，也能够让学生科学计算的能力得到有效培养，对学生的日后发展和学习有着非常关键的作用。

6 总结

总而言之，从应用计算机模型对数学概率论中的典型问题和实验可以得出，计算机模型能够让概率计算和数据处理变得更加简单、便捷，能够让概念的难以理解现象逐渐转化成既生动又具有抽象性的理论，促使其知识越发直观、清晰，从而全面激发学生对概率论的学习兴趣因此，计算机模拟应用于概率论课程教学中，不但能够让教学效率得到提升，而且对教学质量的提高也有着一定的促进作用。

参考文献：

[1] 郝晓斌，董西广.数学建模思想在概率论与数理统计课程教学中的应用[J].经济研究导刊，2010（16）：244-245.

[2] 闫磊，杜富强，王博.计算机数值模拟技术在土建专业课程教学中的应用[J].科技信息，2012（1）：493+506.

[3] 史娜.SPSS软件在《概率论与数理统计》课程教学中的应用研究[J].甘肃联合大学学报：自然科学版，2012（6）：107-110.

[4] 何丽红.加强计算机技术在“概率论与数理统计”课程中的应用[J].高等理科教育，2006，04：42-44.

概率计算篇6

为了能够了解导体内电荷的分布概况，利用麦克斯韦方程组中电场积分式，令其电场强度与闭环回路（或封闭空间）的积分和为零的理念，建立坐标模型和数学模型进行运算求得分布概率结果所采用的一种方法。

【关键词】麦克斯韦方程积分式 导体内电场强度处处为零 电荷分布概率

导体中电荷的分布与改变和外布电场的强弱与变化是一对统一的理论体系。电荷的分布是产生电场分布的根源，而电场反过来左右电荷的分布，是一对立的统一体。因此对电荷分布的研究与对电场的分析具有相同的重要意义。

当导体中存储电荷处于稳定时，导体内部处处电场力的和应为零。否则有任何电场的存在都会引起电荷的移动（重新分布）。我们利用麦克斯韦方程组中电场积分式令其等于零，即

来建立数学模型或公式计算出电荷的分布概率。

1 为了更好地理解这种方法先阐述几个基本概念

1.1 测试电荷点

测试电荷点q是指在带电导体内静态下，测量某点处电场大小、方向的电荷。其电量小到不影响此处的电场状态。其方向是q为正时顺势而下（电场箭头的方向）；q为负时逆势而上（电场箭头的反方向）。

1.2 库仑定律

。其中Q1、Q2为两个电荷体的电荷量；l为Q1Q2之间距离；k为库仑常数。

1.3 麦克斯韦方程积分式

或原式是说明在任何平面环路和电场积分与本环内磁场变化率的关系或任何封闭的空间电场通量与所含电荷量的关系。我们利用电场的积分式并令其在导体中某点等于零（导体是有限的封闭空间），根据库仑定律

；f（ρ）为分布体密度函数、

；f（σ）为分布面密度函数、

；f（x）为分布线密度函数。并且导体内处处应为零，计算出电荷的分布概率。

1.4 容余电荷

导体本身是存有正负电荷元素，而容余电荷是在正负电荷失去平衡或电势不为零时产生出电场的多余电荷。所以容余电荷或者是正电荷或者是负电荷。

2 为了验证一下应用效果下面举几个简单的例子

2.1 例1：一根极细而有限长带电导线轴向的电荷分布概率

如图1，在一根长度为b容余电荷量为Qs的细导线上，在无任何电磁干扰的理想环境下，忽略其径向因素，只考虑轴向电荷分布概率。为了运算方便和结果比较，将b分别分为3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分为2个长，每2个之间分别设定电荷点Q1、Q2、Q3等，其电量分别是其所处2个所储电量和Qi=2σi（i=1、2、3…n），

（σi线密度；n为分段数）。每两个电荷点之间设定测量点q1、q2等，根据库仑定律和麦克斯韦方程组中电场积分式，可以看出实际上每处测试点左边电场强度与右边的和为零时，任何轴向闭环积分和必定为零。因此建立各测试点电场强度为零的数学模型即方程组与Qs函数关系式。

2.1.1 当b分为3段时数学模型如下：

因在同一介质中库仑比例系数K为同一值，约去k、q、求得方程组的解

2.1.2 如图2，当b分为4段时数学模型如下：

约去k、q、求得方程组的解

2.1.3 如图3，当b分为5段时数学模型如下：

约去k、q、求得方程组的解

2.1.4 如图4，当b分为6段时数学模型如下：

约去k、q、求得方程组的解

2.1.5 如图5，当b分为7段时数学模型如下：

约去k、q、求得方程组的解

图6、图7为正、负电荷7段的分布概率。

2.1.6 如图8，当b分为19段时求得方程组的解如下：

2.2 例2：一根极细一端有端头一端无限长的带电导线在端头处的电荷分布概率

如图9，在无任何电磁干扰的理想环境下，导线上储存有电荷Qs。忽略其径向分布情况，只考虑轴向分布概率。

设端点为A，从点A向另一端划分出若干个极小间距，在每两个中间设定点电荷 Q1Q2Q3等每个Q代表这两个的电量和Qi=2σi（i=1、2、3…）。在每两个Q中间设定点测试点q1q2q3等，在只考虑轴向时，每个测试点左右侧的电场强度和应为零。即轴向环路必为零。

根据库仑定律在q1点处建立数学模型：

（i=1、2、3…） （ 约去k、q、）得

而且Qs越大

越大Q1与Q2差值也越大。从例1的运算结果得知两个端头的电荷密度向中心是逐渐递减的。类似于本例题A端向另一端的电荷密度同样也是递减的。只不过将例1中b的长度无限延长了一端。

2.3 例3：一个无根大的理想带电平面中心范围的电荷分布概率

如图10，在无任何电磁干扰的理想环境下，在一个无根大的理想平面上分布有密度为σi的容余电荷，处于静态时在中心范围内确定任意两个点A、B，沿AB两点画一条向两边无限延长的直线。根据麦克斯韦积分式沿此直线轴向闭环与电场强度积分应为零。设分别以AB为圆心

为半径画两个圆，由于非常小可以把两个圆看成两个点电荷。根据库仑定律，则AB中间点的电场强度应为：

其中：q为测试电荷点；σi为单位面积电荷密度；r为直线及其延长线的距离；σAi为A边直线上电荷密度；σBi为B边直线上电荷密度；A-B为A到B的距离；k为库仑常数。

\算（1）式得：

由于无限大平面中的电荷是连续分布的、无间断点。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。

充分性：由于AB点可任意确定中心范围的每个点和各个方向。因此，中心范围的电荷密度值是一样的。

必要性：在平面上AB中间点处的电场强度会不会受到除此直线以外任何其它电荷的影响呢？肯定是不会的。因任何一处除直线以外电荷的作用，都可以找到以AB中间点为圆点的对称点处电荷的作用，大小相同、方向与前一处电荷作用向反。在AB中间点处影响力为零。

3 结论

经过几个简单例子运算结果和分析得知：

（1）对一根长度有限的带电细导线电荷密度计算通过表1看出：

a.有限长线段电荷分布概率是两边密度大于中心。

b.有限长线段电荷分布概率是两边对称的。

c.与储存电荷Qs有关系；与b的长度有关系。

d.越小分段越多越精准化两端电荷密度值越高，中间越平缓。

此外，在电荷进行交流时变时，两头的电荷量和电场变化最大，其磁场变化也最大，非常适合电磁信号的发射。如过去军用便携式步话机的天线就采用叉开线段状导体。并且接收信号天线的采集信号点都处于端头。

（2）对一根一端有端头一端无限长的带电细导线计算得知，在端头处的电荷密度最高。而且带电量Qs越大会更高。而避雷针接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使针头的电荷密度及其电场强度远远大于其它地方，从而起到引雷电入地的作用。

（3）无限大理想平面带电导体中，在无任何电磁干扰下，中心范围电荷密度值处处相同。这与带电平板电容中心区域电场强度值处处一样是一致的。

从上述的运算结果和现实生活中应用的吻合程度，说明此方法是能够表述导体中静态电荷的分布概率。

有不对之处请多提建议。

参考文献

[1]迪派克（Dipak，L.S）唯迪斯（Valdis，V.L）著；沈远茂等译.应用电磁学与电磁兼容[M].北京：机械工业出版社，2009.

[2]汪泉弟，张淮清.电磁场[M].北京：科学出版社，2013.

[3]张洪欣，沈远茂，韩宇南.电磁场与电磁波[M].北京：清华大学出版社，2013.

作者单位

概率计算篇7

关键词 负相依 随机时间 破产概率

中图分类号：F224 文献标识码：A

Insurance Calculation of Bankruptcy Probability of Constant

Interest Rate Model under Dependent Negative

LI Mingqian

（City College， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan， Hubei 430083）

Abstract This paper studies the risk model under conditions of constant interest rates negatively correlated claims in the bankruptcy issue random intervals， and finally get the asymptotic expression of the model the probability of bankruptcy.

Key words negative dependency； random interval； probability of bankruptcy

0 引言

我们考虑这样的风险模型。假设， = 1，2，…，是一列同分布的非负随机变量，是其分布函数； ， = 1，2，…为索赔到达时刻，它是一个齐次的强度为的泊松过程，即

（） = { = 1，2，…，≤}， ≥0

是表示到时刻为止的保险费，设（0） = 0。>0是常数利率，≥0是保险公司的初始资本。则到时刻为止，公司的盈余可表达为：

= + （）， ≥0 （1.1）

上式中假设， ， 是相互独立。

关于上述模型大多数学者都是假设索赔额为重尾分布的情况。Kl黳pelberg， C.， Stadtm黮ler， U[1]假设索赔额为类，研究出最终破产概率的渐近等价式。Asmussen， S[2]假设索赔服从重尾索赔分布的问题。Tang， Q [3]研究了索赔额为类情形下有限时间破产概率的问题，而Fanchao Kong，Gaofeng Zong [4]推广了文献[3]的结果，而本文在文献[4]的基础上，进一步研究在随机区间上的破产问题。

设为一随机变量，分布函数为，则定义随机区间上的破产概率 （，） = （

则易得

（，） = （

1 预备知识

定义：对每个和所有的，，…，，若满足

（1）（≤，…， ≤）≤（≤），则称随机变量序列{， = 1，2，…}下负相依。

（2）（≥，…， ≥）≤（≥），则称随机变量序列{， = 1，2，…}上负相依。

若上述两个条件都满足，则随机变量序列{， = 1，2，…}称相依。

引理：服从泊松分布，它的到达时刻为{ ，≥1}，对于给定的（） = 和任意固定的>0，随机向量（，，…）的分布与随机向量（，…）的分布是等价的，这里（，…）是个随机变量，…的顺序统计量。

重尾分布族的一些基本知识参见文献[4]。

2 主要结果及证明

定理2.1：考虑模型（1.1），若{， = 1，2，…}是相依的，其分布函数，>0，是满足类的实数，则破产概率的表达式为：

（，） （）（） （3.1）

推论：在定理2.1的结论下，假设时间服从参数为的指数分布，则破产概率的表达式为：

（，） （） （2.2）

定理的证明：根据（1.1）和（1.2）可得破产概率为：

（，） = （

上式进一步可得出：

（，）≤（ >） （2.3）

（，）≥（ > + ） （2.4）

（2.4）中 = （）

根据引理，（2.3）式右端可作如下变换

（ >）

分别对，作如下处理

≤（（）≥）≤ （2.5）

这里>，是常数。当时，（2.5）右端趋于0。

由于（≤≤1） = 1， = 1，2，…，则有

可得是有界的。根据（2.5）可将（2.3）化为

所以就有

（，）≤ （）（） （2.6）

函数是的分布函数，，根据（2.6）可知，所以当时，（2.3）式和（2.4）式右端比值趋于1。由此可得定理2.1得证。

推论的证明：因为服从参数为的指数分布，（2.1）可进一步简化为：

故推论得证。

参考文献

[1] Kl黳pelberg， C.， Stadtm黮ler， U. Ruin probabilities in the presence of heavy-tails and interest rates. Scand. Acturial J. 1998：49-58.

[2] Asmussen， S. et al. A local limit theorem for random walk maxima with heavy tails. Statist. Prob. Lett. 2002.56：399-404.

[3] Tang， Q.The finite-time ruin probability of the compound Poisson model with constant interest force. J. Appl. Prob. 2005.42：608-619.

概率计算篇8

【关键词】风险分析；蒙特卡洛模拟； 投资决策

1 概述

在实际工作中，用解析法对工程项目进行风险分析有时会遇到困难。例如， 有时往往没有足够的根据来对项目盈利能力指标的概率分布类型做出明确的判断，或者这种分布无法用典型的概率分布来描述。在这种情况下，如果能知道影响项目盈利能力指标的不确定因素的概率分布，就可以采用模拟的方法来对工程项目进行风险分析。

建设项目经济评价是项目建议书和可行性研究报告的重要组成部分，通过对项目的财务可行性和经济合理性进行量化计算、分析论证，为项目的科学决策提供依据。同时也是BOT、TOT等新型特许经营投融资模式下投资者进行项目投资决策的依据。在项目经济评价中采用的基础数据如建设投资、成本费用、产品（服务）价格、建设工期等大部分来自对未来情况的预测与估计，由此得出的评价指标及做出的决策往往具有一定程度的风险。为了向项目投资决策提供可靠和全面的依据，在经济评价中除了要计算和分析基本方案的经济指标外，还需要进行不确定性分析和风险分析，并提出规避风险的对策。

蒙特卡洛法是一种通过对随机变量的统计试验、随机模拟以求解各类技术问题近似解的数学方法，其特点是用数学方法在计算机上模拟实际概率过程，然后加以统计处理，解决具有不确定性的复杂问题。解决经济上的随机概率问题，蒙特卡洛法被公认为是一种经济而有效的方法，在投资项目风险分析中很有实用价值。本文试以某建筑企业一期工程为例，利用计算机编制程序，尝试蒙特卡洛模拟技术在建筑工程项目风险分析中的应用。

2 项目概况

某建筑企业一期工程项目采用BOT模式，目前仍在进行设计及招投标阶段。按照初步设计概算结果，该建筑企业一期工程建设投资213．75万元，流动资金515．37万元，年经营成本3066．50万元。

根据项目实施计划，本工程建设期为3年，各年度投资使用比例为22％：42％：36％；生产运营期按照经济使用年限设定为20年，固定资产残值率为4％；年销售收入预计为6570万元，经济评价不计算增值税，只计取城市建设维护税、教育费附加和防洪基金；基准收益率按目前建筑行业内部收益率标准取4％，以财务内部收益率大于基准收益率为项目可行。按照以上基础数据进行财务分析，得税前财务内部收益率为5．38％、投资回收期（含建设期）4.77年，财务净现值（i=4％）为5234万元，均能满足财务最低要求，从财务分析的角度认为项目是可行的。

3 模拟过程

蒙特卡洛模拟法的实施步骤一般是：确定风险变量，分析每一变量可能变化的范围并确定这些变化的概率分布，构造风险变量的概率分布模型；通过模拟试验，为各风险变量抽取随机数，并将随机数按照概率分布模型转化为变量的抽样值；将抽样值组成一组经济评价基础数据，计算出评价指标值；最后重复进行试验，进行若干次模拟后整理试验结果所得项目评价指标值的期望值、方差、标准差和它的概率分布及累计概率，绘制累计概率图，即可求出项目可行或不可行的概率。

3.1 确定风险变量的概率分布。

在工程项目经济评价中，通常采用历史数据推定法或专家调查法（常用德尔菲法）确定变量的概率分布。对此建筑工程进行模拟，采用专家调查的方法测算确定风险变量的分布模型。

3.1.1 建设投资的概率分布。建设投资的概率分布采用三角形分布，邀请专家根据项目初步设计概算情况对项目投资进行预测，估计项目投资的最乐观值、最大可能值、最悲观值，求取专家意见的平均值，并计算标准差和离散系数，离散系数满足专家一致性要求时，经测算估计最后确定三角形分布模型，结果为：乐观值34181万元，最大可能值采用概算值40213．75万元，悲观值44235万元。

3.1.2 经营成本和销售收入的概率分布。经营成本和销售收入的概率分布均采用正态分布，邀请专家对经营成本和销售收入的期望值、分布范围和范围内概率进行估计。选取三位专家对经营成本的估计结果进行计算示例如下：第一位专家认为经营成本的期望值为3000万元，在2760―3240万元范围内的概率为90％，即在2760～3240万元范围外的概率为10％，小于2760万元（或大于3240万元）的概率为5％，即比期望值3000万元减少240万元的概率为5％，查标准正态分布概率表或通过计算机程序计算得离差为－1．645，即相当于期望值偏离了－1．645ð，于是标准差ð=240／1．645=146万元。同理计算其他专家对经营成本的期望值与标准差的估计值，结果见表1。专家估计结果标准差的平均值为164万元，方差为247，离散系数为 ，满足专家一致性要求，从而确定经营成本的概率分布服从N(3037，1642)的正态分布。

采用同样的方法，经专家估计确定经营收入的概率分布服从N(6570，3802)的正态分布，过程从略。

3.2 抽取随机数，产生变量抽样值

本文的模拟过程完全由计算机程序完成，随机数采用编程语言提供的随机数函数获取。

对建设投资、经营成本和销售收入分别获取随机数，以此随机数作为变量的概率值，并根据相应的概率分布模型转化为各随机变量的抽样值，转化过程如下：

3.2.1 建设投资服从三角分布，直接利用概率的数学含义即三角形面积求取随机变量。

3.2.2 经营成本和销售收入服从正态分布，正态图上阴影部分的面积为随机数产生的概率值，由概率值查标准正态分布概率表或通过计算机程序计算得出抽样值距期望值的离差，可以确定随机变量的抽样值：抽样值(x)=期望值±离差×标准差。

3.3 计算抽样的评价指标值

确定出一组建设投资、经营成本和销售收入等随机变量的抽样值后，以这组抽样值为经济评价的基础数据，流动资金按照经营成本的抽样值与期望值之比进行调整，计算项目经济评价指标值。常用的评价指标有财务净现值、内部收益率、投资回收期等，一般采用财务内部收益率，在计算期内按照以下公式采用计算机试算内插法求解FIRR：

NPV=

其中流入资金CI包括销售收入和计算期末回收残值、回收流动资金；流出资金CO包括建设投资、销售税金、经营成本等。

3.4 模拟结果及试验次数对结果的影响分析

重复以上随机试验，使模拟结果达到预定次数后，以每一次试验发生的频数作为概率，按内部收益率由小到大进行排序，整理全部试验结果的期望值、方差、标准差，并计算累计概率，即可求取财务内部收益率小于基准收益率的累计概率，从而确定项目可行或不可行的概率。对该工程进行试验次数为2000次的一次模拟，整理模拟结果，得内部收益率的平均值为5.64％，方差为1.93，离散系数为24.63％。按内部收益率由小到大进行排序计算，可确定内部收益率低于基准收益率4％的累计概率为12．75％，即内部收益率大于或等于4％的概率为87．25％，可见此工程项目的财务风险较小。

4 计算机模拟程序

采用蒙特卡洛模拟法进行风险分析，计算过程重复性强、工作量大，一般利用计算机程序完成。为了将蒙特卡洛模拟技术引入污水处理项目经济评价风险分析中，笔者采用可视化编程语言Visual Foxpro编制了计算程序。

采用该程序，可以根据专家调查结果确定风险变量的分布模型、实现正态分布概率值与离差的相互转换（计算标准正态分布表中的数据）、抽取随机数并产生抽样值、计算经济评价指标、在设定试验次数下的一次模拟和多次重复模拟、查看模拟结果、形成模拟结果概率图表等，实现短时间完成数千次模拟试验的计算、分析和输出。上述表2中统计出了在P2.8G计算机上利用该程序进行不同试验次数的一次模拟耗用时间数，其中试验次数为2000次时一次模拟耗时仅用2．97秒，进行20次重复模拟累计耗时约1分钟；若试验次数为10000次，20次重复模拟累计耗时将达5分钟。

在建筑工程项目可行性研究报告经济评价工作中，对风险分析有着较高要求，对项目进行风险概率分析的更是重要，而采用蒙特卡洛模拟技术进行模拟分析是重要手段。本文通过对某建筑工程作为算例，编制计算机程序进行蒙特卡洛模拟分析，得出项目可行或不可行的概率，为建设方提供决策依据，并为项目可行性研究工作进行风险分析提供案例，同时为BOT、TOT等新型特许经营投融资模式进行项目投资决策的风险分析提供参考。

参考文献：

[1]徐钟济. 蒙特卡罗方法[M ]. 上海: 上海科学技术出版社, 1985.

[2]李树良、郭耀煌. 风险分析计算机模拟方法论[J]. 西安交通大学学报,1994, 4.

[3]肖维品, 欧文平, 欧阳安. 工程建设项目投资风险分析的实用方法[J]. 重庆建筑大学学报, 1997, 19 (6) : 7214.

[4]肖笃牲. 工程投资经济分析[M ]. 北京: 机械工业出版社, 1989. 1112114.

[5]陶树人．技术经济学[M]．北京：经济管理出版社，1999．