数学课堂教学中渗透数学思想方法的策略研究

【摘　要】数学思想方法的教学是数学教学的重要组成部分。本文针对目前初中数学教学中存在的忽视数学思想方法教学的问题，阐述了加强数学思想方法教学的重要性，并结合中学数学课堂教学中的四种基本课型，对如何进行数学思想方法的教学作了探讨。

【关键词】数学思想方法；数学课堂教学；渗透；策略研究

数学教学大纲指出“初中数学的基础知识，主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及尤其内容所反映出来的数学思想和方法。”由此看来，加强对学生数学思想和方法的教育，对培养和提高学生的数学素养极其重要。

在实际数学教学过程中，老师们并没有引起足够的重视，往往只注重知识的传授，而忽视知识发生过程中的数学思想方法的教学，这种现象比较普遍。数学思想方法具有普遍性，对现实生活具有重要的指导意义。掌握好数学思想，比掌握好形式化的数学知识更重要，学生在未来的生活和工作中将终生受益。

一、　问题的提出

先来看今年的某市中考试题：如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点O从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了s．

（1）Q点的坐标为（　，　）（用含x的代数式表示）；

（2）当x为何值时，APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

（3）记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由.

题中的第（2）问和第（3）问实际上解析几何中的两点之间的距离公式的运用、坐标系中两点之间的线段的中点公式的使用和平面几何中的轨迹。于是笔者就由此而听到了如下的几种对话：①“完了，距离公式和轨迹我们都没有说过，不是说被删了吗？怎么还考？”；②“看来以后要把老教材中删了的内容重新再补充了！”；③“天哪，这书让人怎么教？实在是没有办法把握住哪些内容要教，哪些内容不要教了？”。凡此种种议论，不外乎就是“被删掉的内容到底要不要重新再教？”。笔者认为这不需要再教！因为仅仅补充知识点是解决不了问题的，你教给了学生再多的知识点，他们也未必都能记住，教而不练等于没教。仅仅是老师求得了一种心灵上的安慰，一种推脱时的借口。事实上，这样的想法是错误的，这样的做法也是错误的。我们一定要把“补充知识点”的观念转变到如何教会学生在现有知识的情况下“解决问题”，使得学生学会学习。所以，我们教给学生的不应当仅是知识点本身，而更为重要的是在教学过程中，要注重数学思想方法的渗透和理解，这样能够教会学生如何学习，使得学生终身收益。

二、认识初中数学中的思想方法

（数学思想方法的定义），初中数学中蕴含多种的数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想、分类讨论思想、转化与化归的思想、方程与函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。

（1）数形结合的思想。数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙。“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。在数学教学中，许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述。而利用图形的直观，则可以由抽象变具体，模糊变清晰，使数学问题的难度下降，从而可以从图形中找到有创意的解题思路。如代数列方程解应用题中的行程问题，往往借助几何图形，靠图形感知来“支持”抽象的思维过程，从而寻求数量之间的相依关系。例如：小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米，如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明追上小彬？此时，我们可画出如下的线路图：

依据线路图，我们可以找出其中的等量关系

S小明=S小彬+10，然后设未知数列方程即可。

（2）分类讨论的思想。分类讨论思想是根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的数学思想。对数学内容进行分类，可以降低学习难度，增强学习的针对性。因此，在教学中应启发学生按不同的情况去对同一对象进行能够分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

（3）转化与化归思想。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化与化归的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。因此在教学中，首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的；其次结合具体的教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。例如：在求解分式方程时，运用化归的方法，将分式方程转化为整式方程，进而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程组时的“消元”解一元二次方程时　“将次”都是化归的具体体现。

（4）方程与函数的思想。辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。华东师大版教材把函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培养函数的思想方法。例如：进行求代数式的值的教学时，通过强调解题的第一步“当……时”的依据，渗透函数的思想方法--字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。如代数式x2-4中，当x=1时，则x2-4=-3；当x=2，则x2-4=0……通过引导学生对以上问题的讨论，将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会，这就是发展方程与函数思想的重要途径。

三、　数学教学中渗透数学思想方法的必要性

（1）数学思想方法的教学是数学教学的重要组成部分。整个中学数学教材涉及的数学知识点和数学思想方法组成了数学结构系统的“两条线”，二者既有联系又有区别，具体的数学知识是数学的外显形式，易于发现，是一条“明线”，它是构成数学教材的“骨架”；数学思想方法是数学的内在形式，是获取数学知识，发展思维能力的工具，是一条极具潜在价值的“暗线”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了数学思想方法作灵魂，各种具体的数学知识点就不再成为孤立、零散的东西，各种具体的解题方法也就不再是死板的教条。数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法又是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁。

（2）数学思想方法的教学是新课标提出的重要教学要求。新的《课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。”因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法，即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作用，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。

四、数学课堂教学中渗透数学思想方法的几种策略

在中学数学教材里，数学思想方法蕴含其中，相对于知识的传授，数学思想方法的教学只是渗透其间。由于数学思想方法的呈现形式是隐蔽的，学生难以从教材中直接获取，因此，教师必须深入钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想方法渗透的各种因素，把握渗透数学思想方法的契机，掌握渗透数学思想方法的手段。以下就中学数学教学中常见的四种基本课型（即数学新授课、　数学习题课、数学复习课、试卷讲评课），如何进行数学思想方法的渗透作初步的探讨。

（1）在数学新授课中要揭示知识的形成过程中蕴含的数学思想方法。对于数学而言，一个知识的形成，几乎都经历了前人长期的观察、比较、分析、抽象、概括、创造等过程，在这个探索过程中常常蕴含着重要的数学思想方法，而教材中许多知识都仅仅是用文字直接叙述的。在教学中，不是照本宣科给出概念，简单地背下一些公式、定理、再举一两个例子，然后留下几道模仿性的练习，而是要弄清概念、公式、定理的背景、来源及其推导过程，揭示其形成过程中蕴含的数学思想方法，由此理解所学的知识，并从中学会分析、解决问题的方法。下面以“多边形内角和定理”的课堂教学为例，简要说明。

教学目标：增强运用化归思想处理多边形问题的一般策略；掌握运用类比、归纳、猜想思想指导思维，发现多边形内角和定理的结论；学会用化归思想指导探索论证途径，掌握化归方法；加强数形结合思想的应用意识。

教学过程：①创设问题情境，激发探索欲望，蕴涵类比化归思想。教师：三角形和四边形的内角和分别为多少？四边形内角和是如何探求的？（转化为三角形）那么，五边形内角和你会探索求吗？六边形、七边形……　n　边形内角和又是多少呢？②鼓励大胆猜想，指导发现方法，渗透类比、归纳、猜想思想。教师：从四边形内角和的探求方法，能给你什么启发呢？五边形如何化归为三角形？数目是多少？六边形……　n　边形呢？你能否用列表的方式给出多边形内角和与它们边数、化归为三角形的个数之间的关系？从中你能发现什么规律？猜一猜　n　边形内角和有何结论？类比、归纳、猜想的含义和作用，你能理解和认识吗？③暴露思维过程、探索论证方法，揭示化归思想、分类方法。我们如何验证或推断上面猜想的结论呢？既然多边形内角和可化归为三角形来处理，那么化归方法是否唯一的呢？一点与多边形的位置关系怎样？（分类思想指导化归方法的探索）哪一种对获取证明最简洁？（至此，教材中在多边形内任取一点　O　，连结点O与多边形的每一个顶点，可得几个三角形的思维过程得以充分自然地暴露）④反思探索过程，优化思维方法，激活化归思想。教师：从上面的探索过程中，我们发现化归思想有很大作用，但是，又是什么启发我们用这种思想指导解决问题呢？原来，我们是选择考察几个具体的多边形，如四边形、五边形等，发现特殊情形下的解决方法，再把它运用到一种特殊化思想当中。我们再来考察一下式子：　n　边形内角和　=n×180°-360°，你能设计一个几何图形来解释吗？对于　n　边形内角和=（n-1）180°-180°，又能作怎样的几何解释呢？（至此，我们又可探索出另一种思维方法，即在多边形某一边上任取一点　O　，连结点O与多边形的每一个顶点来分割三角形）让学生亲自参加与探索定理的结论及证明过程，大大激发了学生的求知兴趣，同时，他们也体验到“创造发明”的愉悦，数学思想在这一过程中得到了有效的发展。

（2）在数学习题课中要重视数学思想方法对解题的指导。解题教学是数学教学活动的中心，是数学思想方法教学的主战场。目前的教学现状是普遍重视解题的方法技巧，强调解题过程中具体的一招一式的程式化训练，甚至套用题型。由于一招一式的方法技巧训练在很大程度上是机械的，只能依靠重复训练来掌握以至提高解题能力，从而导致大运动量的机械练习而陷入“题海”，这是数学教学的一大误区，事实上在这一误区里也很难提高解题能力。数学解题也是一种创造性的活动，解题虽然离不开方法技巧，但单纯的方法技巧无论怎么娴熟，都无法把人带入解题这一创造的境地，在知识和解题之间隔着一层不薄不厚的“膜”，穿透它需要数学思想的锋芒。因此在解题教学中应重视数学思想方法的渗透，并贯穿于解题教学的各个环节：①重视解题思路的数学思想分析。探索解题思路的关键是数学思想，虽然解题过程表现为条件与结论之间的一条知识链，但是知识链的串联无处不是数学思想作用的结果，因此教师要善于引导学生用数学思想去开通解题思路。

例1、已知抛物线y=x2+bx+c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　）

A．－1＜x＜4

B．－1＜x＜3

C．x＜－1或x＞4

D．x＜－1或x＞3

策略一（几何法）：由抛物线的对称性确定另一个交点的坐标。由观察知。另一交点坐标是（3，0），观察图像知应选B。

策略二（代数法）：因为抛物线经过点（－1，0）和（0，－3），则有1-b+c=0，解得b=－2，c=－3。由x2-2x-3=0，得x1=－1，x2=3　。观察图像知应选B。

两种策略均是数形结合思想的运用。事实上数形结合思想不仅仅在函数这一块中，在其他不少地方也有不少，例如在一些几何问题中，常引人字母借用方程的思想来解决问题，因此我们应有意识地把可以用到数形结合的地方提出来，以启发、提升学生的思维。②重视解题过程中的数学思想指导。学生在学习新知识时，同时也掌握了一定的解题模式，在一定阶段他们往往机械地按照这固定的模式去解题，对此，若不予以注意，就很可能形成某种定势的负迁移，造成思维的呆板和僵化，因此在解题过程中，当学生获得某种基本解法后，可运用数学思想对学生的解法适度地引伸，合理地深化，优化解题过程。

参考文献：

[1]王林全，中学教学思想方法概论【M】暨南大学出版社，2005

[2]数学课程标准研制组编写，数学课程标准解读【M】。江苏。教育出版社，2001

[3]普通高中课程标准实验教科书，数学1，【M】人民教育出版社。2004

[4]普通高中课程标准实验教科书，数学2，【M】人民教育出版社。2004