探究立方组合体与三视图的关系

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式. 根据实物的形状作出三视图，由三视图想象实物的形状，进行几何体与其三视图之间的转化是课程标准的要求. 在学习三视图时，同学们应通过动手操作和实验，对这类问题进行探究.

探究方案：

方案一：用小立方体搭一个几何体.根据所搭几何体，作出它的三视图，并在小组内交流.

方案二：根据三视图，用小立方体搭出几何体，并确定小立方体的个数.

方案三：根据两个视图想象几何体的形状，并确定小正方体的个数（最多、最少几个）.

探究活动：

活动一：6块相同的小正方体方块搭成的几何体如图1所示，请作出它的三视图.

这个问题主要是让同学们从不同的方向观察同一个几何体，体会主视图、左视图、俯视图的含义.

（1） 作主视图时，大家应站在小立方体组合体的正面看，看几何体有几列，则主视图便有几列，看到的小立方体组合体对应列的层数就是主视图中每列正方形的个数.（2） 作左视图时，大家应站在小立方体组合体的左面看，画法同作主视图一样.（3） 作俯视图比较简单，就是几何体最底层所对应的平面图形. 这样就画出了这个几何体的三视图，如图2.

活动小结：三视图的画法

先作主视图，在主视图正下方作出俯视图，注意与主视图“长对正”，在主视图正右方作出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

活动二：（1） 由若干个小立方体搭成的几何体的三视图如图3，你能搭出相应的几何体吗？这个几何体共有几个小立方体？

依照三视图构建几何体实物模型，对同学们的空间想象能力的要求比较高. 同学们可自己搭建几何体来寻找答案，用手中的小立方体根据三视图搭出相应的几何体.在三个视图中，俯视图最重要，它可以直接确定底层正方体的分布，再由主视图、左视图确定有几层，每层有几个，搭出相应的几何体，如图4所示.最后得到答案，这个几何体是由5块小正方体搭成的.

活动小结：这类问题也可以按下列步骤进行操作：

1. 如图5，在俯视图的下方、左方分别标上主视图、左视图所看到的小正方体的最高层数.

2. 若方格所对应的横竖方向上的数字相同，那么取相同的数字填入方格，如在横竖方向对应的数都是2，则填入2；若方格所对应的横竖方向上的数字不一样，那么取较小的数字填入方格，如在横竖方向对应的分别是2、1，则填入1.

通过上面的两步，我们就能确定每一个方格中的数字（方格中的数字代表所在位置的正方体的个数，从而确定这个几何体所需要的小正方体的块数）.

活动三：由两个视图确定小正方体的块数.

根据两个视图想象实物形状时不像由实物到三视图那样能唯一确定，但可以确定搭成这样的几何体最多需要多少块，最少需要多少块.

（1） 由主视图、俯视图确定小正方体的块数.

如图6所示，是由一些正方体搭成的几何体的主视图、俯视图.它最多需要多少块？最少需要多少块？

同学们在操作时可先用立方体摆出俯视图，因为俯视图可以确定底层哪些位置一定有立方体，然后根据俯视图和主视图的列相等，在俯视图与主视图对应的列上，每一个方格都搭上与主视图等高的立方体，这时最多需要12个立方体，如图7. 在每一列上留一个方格搭上与主视图等高的立方体，其余的位置都搭1个，这时最少需要8个立方体，如图8.

（2） 由左视图、俯视图确定小正方体的块数.

如图9所示是由一些正方体搭成的几何体的左视图、俯视图，它最多需要多少块？最少需要多少块？

同学们在操作时先用立方体摆出俯视图，因为俯视图可以确定底层一定要有的立方体，然后根据俯视图和左视图的行相等，在俯视图与左视图对应的行上，每一个方格都搭上与左视图等高的立方体，这时最多需要9个立方体，如图10. 在每一行上留一个方格搭上与左视图等高的立方体，其余的位置都搭1个，这时最少需要6个立方体，如图11.

（3） 由主视图、左视图确定小正方体的块数.

如图12所示的是由一些正方体搭成的几何体的主视图、左视图，它最多需要多少块？最少需要多少块？

由这两个视图来确定小正方体的块数是最难的. 同学们可通过小组合作交流得到启发，同时要大胆动手操作. 根据俯视图的行数同左视图的列数一样，其列数与主视图的列数一样，可以确定俯视图是2行3列，再根据主视图和左视图对应的最高层，搭出几何体，这时最多需要7个立方体，如图13.在不改变主视图和左视图的情况下去掉一部分立方体，如图14，最少需要5个立方体.

活动小结：

这样的问题对同学们空间想象能力的要求比较高，具有很大的挑战性. 大家可通过合作交流的方式，进行分工协作、动手操作，努力搭出符合条件的几何体.解决这类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依靠空间想象去解决，不仅难度很大，还很容易出错. 通过三视图确定几何体的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个几何体共有几行、几列，每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，再按照上面介绍的方法，计算小正方体个数的问题就迎刃而解了.