平面几何与立体几何的类比探究

类比是一种数学思想方法,将生疏的问题和熟知的问题进行比较,对生疏的问题作出猜想,并由此寻求问题的解决途径或结论。正如波利亚所说:“对平面几何和立体几何作类比,是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。下面谈一谈自己运用类比思想对平面几何与立体几何进行探究的教学过程:

一、提出问题,引导思考:平面几何与立体几何的关系

1.由平面几何与立体几何的相似性引发的思考,是否可以类比。平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的,因此,在两者之间进行类比是研究他们性质的一种非常有效的方法。

2.什么是类比。类比是根据两个对象在某些方面的相同或相似,推出它们在其他方面的相同或相似点的一种推理方法。波利亚指出:类比就是一种相似。类比思维的认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系――相似形。举例:为什么人的老年称为生命的黄昏?

3.类比在科学研究中的作用、意义和重要性。由于类比推理所得结论的真实性并不可靠,因此它不能作为严格的数学推理方法。尽管如此,我们丝毫不能由此忽视类比法。为什么呢?因为它是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉。还是波利亚说的好:如果把类比猜想的结论的似真性当作肯定性,那将是愚蠢的。但是,忽视这种似真的猜想更为愚蠢。让我们欣赏一段名人名言:“我珍惜类比胜于任何别的东西,它是我最信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何中它应该是最不容忽视的。”

二、研究课题:立体几何与平面几何的类比

1.如何进行类比。为了对二者进行类比,可以在它们的基本元素之间建立如下的类比关系:(但要注意的是这些类比关系又不是唯一的)

2.类比构造命题。①直线平行的传递性:平行于同一条直线的两直线平行。在平面和空间中都成立。②等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等。在平面和空间中都成立。③平面图形的研究需要建立平面直角坐标系;立体图形是建立在三维空间即空间直角坐标系上研究的。④平面上有公共端点的两条射线形成的图形叫平面角;空间里一条直线和由这条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。而二面角的度数计算需转化为平面角来完成。⑤平面中,不在同一条直线上的三点可确定一个圆,这是圆的确定性定理;空间中,不在同一个平面上的四点可确定一个球,这是球的确定性定理。⑥平面中,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;空间中,过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。

3.类比拓展结论。①平面中,周长相等的正三角形,正方形,圆的面积分别为S三角形,S正方体,S圆,则有S三角形

这两个命题中,周长在空间中对应表面积,正三角形对应正四面体,正方形对应正方体,圆对应球体。换言之,平面中,周长一定时,越接近圆形的图形面积最大;空间中,表面积一定时,越接近球形的空间图形,体积越大。②平面中,面积相等的正三角形,正方形,圆的周长为C三角形,C正方体,C圆,则C三角形 > C正方体>C圆;空间中,体积相等的正四面体,正方体,球的表面积为S正四面体,S正方体,S球,则S正四面体> S正方体> S球。换言之,平面中,面积一定时,越接近圆的图形周长最小;空间中,体积一定时,越接近球的空间图形,表面积越小。这也反映了宇宙中星体为什么大多以球体或接近球体的形式存在,因为球体的表面积最小,表面积越小越稳定;动物世界中,弱小动物遇到敌人时,缩成一团,是出于本能,将受攻击的区域减少到最小,因为球形的表面积最小。③平面中的勾股定理也可推广到空间:

④平面中,等边ΔABC内任一点到各边的距离之和为定值(等边ΔABC的高);等腰ΔABC底边上任一点到两腰的距离之和为定值(一腰上的高)。空间中,正四面体内任一点到各面的距离之和为定值(正四面体的高);正三棱锥底面上任一点到各侧面的距离之和为定值(一侧面上的高)。

⑤圆的周长公式:C=2πr ;球的表面积公式:S=4πr2;圆的面积公式:S=πr2 ;球的体积公式:V=43πr3。其中r表示半径,而r的指数1,2以及系数与维数之间存在着一种对应。因为平面是二维的,空间是三维的。而且这里圆的面积对半径的导数正好是圆的周长,球的体积的导数也是球的表面积。

4.类比推理论证。另外有些探究拓展的题型还可考虑类比猜想,如求证:正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值。

第一步,类比构造一个辅助平面几何问题“求证:正三角形内任一点到三边距离之和为定值”;

第二步,通过分割方法,利用面积的关系解决平面几何问题;

第三步,类比猜想,所给立体几何问题是否也可以通过分割方法,利用体积的关系来证明?

这个猜想是正确的。(证明略)

由于类比推理所得的真实性并不可靠,因此它不能作为严格的数学推理方法,但它是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉。教师在教学过程中应将类比思维的意识渗透给学生,努力培养学生运用类比方法进行合情推理的能力,学生在数学的学习中应该学会运用这种独特的思维方法。勤于运用类比去探索和研究问题,有利于创造性思维的培养。