函数中五个有趣的同异法则

函数是中学数学最为基本的概念,它的知识点多,覆盖面广,综合性强,与其他知识结合紧密,应用广泛?郾 近年来,函数高考题更是立意新颖,构思巧妙?郾 本期我们特邀几位数学名师做此专题,希望对同学们学习好函数知识能有所帮助?郾

函数是高中数学的重要内容,同学们除了掌握好课本中有关函数的定义及性质外,如果能熟练运用下面总结出的函数中的五个“同异”法则,在解题的过程中往往能事半功倍?郾

法则一 同正异负

“同正异负”是判断对数式 logax符号的一个法则,是指在同范围得正,异范围得负?郾 首先指定两个取值范围:(0,1)和(1,+∞),由图象知当a、x在同一范围时,logax>0;当a、x不在同一范围时,logax

例1 函数y=■的定义域为?郾

解 据题意,有log0.5(4x2-3x)≥0,又0

例2 设0

A?郾 (-∞,0)?摇 B?郾 (0,+∞)?摇?摇 C?郾 (-∞,log■3)?摇?摇 D?郾 (log■3,+∞)

解 由f(x)

法则二 同增异减

判断复合函数的单调性是函数中的一个难点,而用“同增异减”法则能简化解题过程,即指对于复合函数y=f[g(x)]满足“同增异减”法则(应注意内层函数的值域):令t=g(x),则在下面三个函数y=f(t)、 t=g(x)、 y=f[g(x)]中,若有两个函数的单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函数的单调性相反,则第三个函数为减函数?郾

例3 函数y=2x2-2x+2 的单调递减区间是?郾

解 由函数t=x2-2x+2在区间(-∞,1]上递减,在区间[1,+∞)上递增;而函数y=2t是增函数,据“同增异减”法则,得y=2x2-2x+2 的单调递减区间是(-∞,1]?郾

例4 已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是()

A?郾 (0,1)?摇?摇 B?郾 (1,2)?摇?摇 C?郾 (0,2)?摇?摇 D?郾 [2,+∞)

解 由a为底数,有a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数. 又因为y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,据“同增异减”法则,知y=logat是增函数,得a>1. 又考虑到定义域应有2-ax>0,则1

法则三 同偶异奇

“同偶异奇”是判断两个积函数奇偶性的一个法则,是指在公共定义域内,有运算性质:奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇?郾

例5 函数f(x)和g(x)的定义域均为R,“f(x),g(x)都是奇函数”是“f(x)与g(x)的积是偶函数”的()

A?郾 充分不必要条件?摇?摇 B?郾 必要不充分条件

C?郾 充要条件?摇?摇 D?郾 既不充分也不必要条件

解 由f(x),g(x)都是奇函数,可推得f(x)・g(x)是偶函数,而f(x)・g(x)是偶函数,不能保证f(x),g(x)都是奇函数?郾 故选A?郾

例6 F(x)=(1+■)f(x)(x≠0)是偶函数,且f(x)不恒等于0,则 f(x)()

A?郾 是奇函数?摇?摇 B?郾 是偶函数

C?郾 可能是奇函数也可能是偶函数?摇?摇 D?郾 不是奇函数也不是偶函数

解令g(x)=1+■,则g(x)+g(-x)=■+■=0,所以g(x)是奇函数?郾

又F(x)是偶函数,因此f(x)是奇函数?郾 故选A?郾

法则四 奇同偶异

“奇同偶异”是判断具有奇偶性的函数在对称区间的单调性的一个法则:奇函数在其对称区间上具有相同的单调性,即“同增同减”;偶函数在其对称区间上具有相异的单调性,即“增减相反”?郾

例7 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)

A?郾 (-∞,2)?摇?摇 B?郾 (2,+∞)

C?郾 (-∞,-2)∪(2,+∞)?摇?摇 D?郾 (-2,2)

分析 本题没有给出f(x)的解析式,比较抽象,这时可利用图象来解决?郾

解 由偶函数在对称区间上单调性相异知,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 又f(x)的图象关于y轴对称,画出示意图可知,若f(x)

点评 本题画图来求解,关键是满足三个条件:①f(x)是R上的偶函数;②f(x)在(-∞,0]上是减函数;③f(2)=0?郾 其实,模拟函数f(x)=x2-4就符合题设条件?郾

例8 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是()

A?郾 增函数且最小值为-5?摇?摇 B?郾 增函数且最大值为-5

C?郾 减函数且最小值为-5?摇?摇 D?郾 减函数且最大值为-5

解 由f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,有f(3)=5?郾 又 f(x)是奇函数,由“奇同偶异”法则知,f(x)在[-7,-3]上也是增函数,且当x=-3时,函数取得最大值f(-3)=-f(3)=-5?郾 故选B?郾

法则五 同向大于1,异向小于1

法则“同向大于1,异向小于1”是判断指数式ax(a>0且a≠1)取值大于1或小于1的一个重要法则?郾 首先指定两类不等式,a以1为界,x以0为界,如下图,在指数函数y=ax(a>0且a≠1)中,有:

(1) 同向不等式,则大于1,即当a>1,且x>0时,或当a

(2) 异向不等式,则小于1,即当a>1,且x

例9 三个数60.7,0.76,log■6的大小顺序是()

A?郾 0.76

C?郾 log0.76

解 对于0.76,这里的a=0?郾70,由异向不等式小于1,知0

对于60.7,这里的a=6>1,x=0?郾7>0,由同向不等式大于1,知60.7>1;

对于log0.76,由0

所以log0.76