关于复变函数中“∞”的几个注记

摘 要： 无穷远点是复平面上一个非常重要的点，正确理解无穷远点的含义及有关概念对学习复变函数理论至关重要.本文在扩充复平面的几何模型复球面上，对无穷远点的含义及相关性质做了说明和注释.

关键词： 无穷远点 复球面 复平面 注记

1.复球面

把一个球面放在z平面上，切点为原点O，通过O的直径与球面交于N，O是南极，N为北极（见图）.设Z为复平面上的一点，连接Z与球面相交于P点，这样就建立起球面上的点和复平面上的点间的一一对应，南极点对应坐标原点，北极点N无法找到复平面上一个有限点与之对应，为此我们假设N对应复平面的无穷远点，记作∞.复平面加上∞后称为扩充的复平面，记作C■，与它对应的就是整个球面，称为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.

几点说明：

①扩充复平面上任一条直线对应复球面上经过北极点的一个圆，通过原点的直线对应大圆，这说明扩充复平面上任一条直线都通过∞点，直线可以看成圆（广义圆）.

②扩充复平面上两条平行线对应着复球面上两个相交于北极点的圆，所以扩充复平面上两条平行线相交于无穷远点.

③扩充复平面上两条相交直线也交于无穷远点.

2.关于“∞”的几个注记

注记1：∞的模、辐角及实部与虚部

复数z=x+iy的模r=|z|=■，可以说是点z到原点的距离，∞不是有限点，所以规定|∞|=+∞.复数的辐角定义为实轴正向到非零复数z=x+iy所对应向量■见的夹角θ，合于tanθ=■.由于经过原点的所有直线都可以到达无穷远点，因此无穷远点的辐角无法确定，即无穷远点的辐角没有意义，无穷远点的实部、虚部也不确定.

注记2：∞远点与实数系中无穷大的区别与联系

在复平面上，∞是一个假想的点，和实数系中的无穷大既有区别又有联系，实数系中的无穷大是绝对值无限增大的变量，有正无穷大和负无穷大之分，但在复变函数中把无穷大看作一个点，无穷远点的模|∞|=+∞（实数系中的正无穷大），实部、虚部可以取到∞（实数系中的无穷大），无穷远点的实部、虚部不确定，但至少有一个是无穷大.

注记3：关于∞的运算

在C■上∞可以参与各种运算，但需做一些规定：

（1）运算∞±∞，0・∞，■，■无意义.

说明：∞的实部、虚部不确定，∞±∞也不确定，即∞±∞无意义；∞和0的辐角不确定，0的模是0，所以运算0・∞，■，■无意义；

（2）α≠∞时，■=∞，■=0，∞±α=α±∞=∞.

说明：在运算■，■时，第一个的模为+∞，第二个的模为0，所以规定■=∞，■=0；虽然∞的实部和虚部不确定，但至少有一个为∞，对于有限复数α，∞±α，α±∞的实部或虚部，至少有一个是∞，所以∞±α=α±∞=∞；

（3）b≠0（但可为∞）时，∞・b=b・∞=∞，■=∞.

说明：当b≠0时，∞・b，・∞，■的模都为+∞，所以规定∞・b=b・∞=∞，■=∞；

由上面的讨论不难看出这些规定的合理性.

注记4：∞的邻域

在复球面上，北极点N邻域是一个以北极点为中心的一个球盖，边界是纬线，投影到复平面上就是一个以原点为心的圆周的外部，所以在扩充复平面上，无穷远点的邻域应理解为以原点为心的某圆周的外部，即∞的ε一邻域N■（∞）是指合于条件|z|>■的点集；去掉北极点N的一个球盖对应着∞的去心邻域，是指合条件的■

注记5：有关概念推广到∞

在扩充复平面上，聚点、内点和边界点等概念均可以推广到点∞，于是，复平面以∞为其唯一的边界点；扩充复平面以∞为内点，且它是唯一的无边界的区域.例如：∞是无穷点集{i，2i，3i，…，ni，…}的聚点，是扩充复平面上点集E={z||z|>1}的内点，是上半平面lmz>0的边界点.含有∞的区域在复平面上和扩充的复平面上的连通性不一样，如以原点为心的圆周的外部，在复平面上是二连通区域，在扩充的复平面上则是单连通区域.

注记6：广义极限

在扩充复平面上，点∞可以在函数的定义域中，函数值也可以取到∞，因此，函数的极限与连续性的概念可以推广.在关系■f（z）=f（z■）中，如果z■及f（z■）之一或者它们同时取∞，就称f（z）在点z■为广义连续的，极限就称为广义极限.在这种广义的意义下，极限和连续的ε-δ说法要相应修改.广义极限的几种形式：

（1）■f（z）=w■？圳任给ε>0，存在δ>0，只要|z|>■时就有|f（z）-w■|

（2）■f（z）=∞？圳任给ε>0，存在δ>0，只要0

（3）■f（z）=∞？圳任给ε>0，存在δ>0，只要|z|>■时就有|f（z）|>■.

3.结语

复平面加上非正常复数称为扩充复平面，复球面与扩充复平面的可以建立一一对应，通过复球面这个模型，我们不仅看到了的存在性，而且说明了唯一性，在复变函数中是一个非常重要的点.本文通过复球面这个模型，对的几何特性及有关概念作了深入的阐述，使读者能全面深刻地理解扩充复平面上的，为进一步研究的其他性质，如的辐角原理、奇点性质及留数计算打下坚实的基础.

参考文献：

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004：38-41.

[2]马忠军，王祝梅，黄文韬.复变函数中的无穷远点[J].桂林电子科技大学学报，2007，27（4）.

[3]张子珍.函数在无穷远点（∞）的性态[J].雁北师范学院学报，2004，20（5）.