三角函数的伸缩平移变换

在三角函数的平移变换中，我们经常会有这样的疑问：

（1）函数y=sinx的图象向左平移■个单位得到函数y=sin（x+■）的图象，再把横坐标缩短为原来的■，得到函数y=sin［2（x+■）］还是函数y=sin（2x+■）的图象？

（2）函数y=sinx的图象横坐标缩短为原来的■，得到函数y=sin2x的图象，再把图象向左平移■个单位，得到函数y=sin［2（x+■）］还是函数y=sin（2x+■）的图象？

之所以出现这样的疑问，是没有抓住三角函数y=Asin（ωx+φ）+b伸缩平移的本质．我们可大致归纳为以下四种变化.

一、左右平移

四个字“左加右减”，这是大家熟知的，但要注意变化的位置是“x”而不是“φ”.把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向左平移m（m＞0）个单位，得到的是函数y=Asin［ω（x+m）+φ］+b的图象；把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向右平移m（m＞0）个单位，得到的是函数y=Asin［ω（x-m）+φ］+b的图象.

所以函数y=sinx的图象向左平移■个单位得到的是函数y=sin（x+■）的图象，函数y=sin2x的图象向左平移■个单位，得到的是函数y=sin［2（x+■）］，即y=sin（2x+■）的图象.

二、上下平移

四个字“上加下减”，注意变化的位置是“b”.把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向上平移n（n＞0）个单位，得到的是函数y=Asin（ωx+φ）+（b+n）的图象；把y=Asin（ωx+φ）+b的图象向下平移n（n＞0）个单位，得到的是函数y=Asin（ωx+φ）+（b-n）的图象.

三、横坐标伸缩

两个字“反比”，注意变化的位置是“ω”.把y=Asin（ωx+φ）+b图象的横坐标变为原来的p倍，得到的是函数y=Asin（■x+φ）+b的图象.

四、纵坐标伸缩

两个字“正比”，注意变化的位置是“A”.把y=Asin（ωx+φ）+b图象的纵坐标变为原来的q倍，得到的是函数y=qAsin（ωx+φ）+b的图象.

例1.把y=sin（x+■）横坐标缩短为原来的■，得到

的图象，再把图象向右平移■个单位，得到的图象，再把纵坐标缩短为原来的■，得到 的图象.

分析：变换如下：y=sin（x+■）y=sin（2x+■）y=sin［2（x-■）+■］，即y=sin2xy=■sin2x.

例2.把函数y=Asin（ωx+φ）（Ａ＞0，ω＞0）的图象向左平移■个单位，再使其图象上每个点的横坐标缩短到原来的■（纵坐标不变），得到的图象对应的函数为y=2sin（2x-■），则原函数的解析

式为（）

A.y=2sin（■x-■） B.y=2sin（■x-■）

C.y=2sin（■x-■） D.y=2sin（6x-■）

分析：从正面分析，因含有未知数，较为复杂，我们可从反面入手：由y=2sin（2x-■）变换到原函数y=Asin（ωx+φ），把变换顺序逆过去：先把横坐标伸长为原来的3倍，再把图象向右平移■个单位.变换如下：

y=2sin（2x-■）y=2sin（■x-■）y=2sin［■（x-■）-■］，即y=2sin（■x-■），故选C.