高中函数对称性的探求

时间:2022-10-07 12:32:19

高中函数对称性的探求

函数是高中数学教学的主线,是高中数学的核心内容,也是整个高中数学的基础。作为高中生来说,我们除了要掌握学习函数的定义、对称性以外,还要学会由图像的直观性理解数学的本质,来提高综合运用知识及方法技巧分析问题、解决问题的能力。在目前的高中学习阶段,我们普遍对函数对称性有了基本了解,但缺乏深入的研究,抽象思维能力弱,对问题隐含的“对称性”不能正确理解、区分、运用,而出现这个问题的原因是我们不能将符号化的语言向描述性语言或图形语言转化。本文我将通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质,来谈谈我对函数对称性的探求。

一、首先,我们需要知道函数的对称性分为中心对称和轴对称

第一,中心对称。将一个函数图像绕某一点旋转180°后,如果旋转后的图像与原图像完全重合,则该函数图像具有中心对称的性质,其中该点称为该函数的对称中心。一个函数图像可以有多个对称中心。第二,轴对称。将一个函数图像沿一条直线对折后,如果直线两侧的函数图像完全重合,则该函数图像具有轴对称的性质,其中该直线为该函数的对称轴。一个函数图像可以有多条对称轴。

二、我们需要了解常见函数对称性

1、常数函数。y=c(c∈R)。既是轴对称又是中心对称,与该直线垂直的直线均为其对称轴,直线上所有点均为其对称中心。

2、一次函数。y=kx+b(k为一次项系数≠0,k≠0,b为常数)。既是中心对称又是轴对称,对称中心为原点,对称轴为与该直线相垂直的直线。

3、反比例函数。y=k/x(k∈R且k≠0)。既是轴对称又是中心对称,对称轴为y=x与y=-x,对称中心为原点。

4、二次函数。y=ax2+bx+c(a≠0)。是轴对称,不是中心对称,对称轴为x轴。

5、指数函数。y=ax(a>0且a≠1)(x∈R)。既不是中心对称也不是轴对称。

6、对数函数。y=logax(a>0,且a≠1)。既不是中心对称也不是轴对称。

7、幂函数。y=xa(a为常数)。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性;幂函数中的奇函数中心对称,对称中心为原点;幂函数中的偶函数为轴对称,对称轴为x=0。

8、正弦函数。y=a sin(ωx+φ)(ω≠0)。既是中 心对称又是轴对称,对称轴为方程 ωx+φ=kπ+ 的解。

9、正切函数。y=tanx。是中心对称,不是轴对称,对称中心为(0,0)。

10、三次函数。三次函数中的奇函数中心对称,对称中心为原点,其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。

三、我们需要掌握函数自身的对称性

高中数学必修1中对奇函数的定义是:若函数f(x),对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数。由奇函数的定义知,奇函数的图象关于原点对称。将这种中心对称的特点进行推广得到我们得到下面的性质。

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是:f(x)+f(2a-x)=2b

推论:函数y= f(x)的图像关于原点的对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0

高中数学必修1对中偶函数的定义是:若函数f(x),对于定义域中的任意x都有f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数。由偶函数的定义知,偶函数的图象关于y轴(即直线x=0)对称。将这种轴对称的特点进行推广得到下面的性质。

定理2 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)。可以仿照定理1的证明方法进行证明。

定理3 ①若函数y=f(x)图象同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图象同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图象既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。

四、我们需要掌握不同函数对称性

定理4 函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点A(a,b)成中心对称。

定理5 ①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图象关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图象关于直线x-y=a成轴对称。

推论:函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线x=y成轴对称。可以发现不同函数对称性与函数自身的对称性有很多相似的地方。

五、函数对称性应用举例

例:定义在R上的非常数函数满足:f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是()。

(A)是偶函数,也是周期函数

(B)是偶函数,但不是周期函数

(C)是奇函数,也是周期函数

(D)是奇函数,但不是周期函数

解:f(10+x)为偶函数,f(10+x)=f(10-x),f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,x=0,即y轴也是f(x)的对称轴,因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)。

以上就是我对函数自身对称性和不同函数之间对称性的总结归纳,对于这方面的知识,我们要理解掌握,不能死记硬背,这就需要我们学生结合实际的习题及函数图像,自己体会,理解记忆,活学活用,在实践中体会函数的对称性特点,真正做到举一反三,思维发散。要通过典型例题的分析和自主探索活动,来理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历,体会蕴含在其中的思想,体验寻找真理和发现真理的方法,追寻数学发展的历史足迹。

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