二元函数的连续、偏导及可微三者之间的关系

摘 要： 本文讨论了二元函数的连续、偏导、可微三者之间的关系，并通过实例进行了说明.

关键词： 二元函数 连续 偏导 可微

二元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，它们的意义和作用也是相同的，但是二元函数与一元函数也有某些差异.本文通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性三者之间的关系.

一、连续不一定偏导存在，偏导存在也不一定连续

例1.证明函数f（x，y）=在原点的连续性，但偏导数不存在.

证明：由=0=f（0，0），故f（x，y）=在点（0，0）连续.由偏导定义知：==1当x＞0-1当x＜0极限不存在.故f（x，y）在点（0，0）关于x的偏导数不存在，同理可证f（x，y）在点（0，0）关于y的偏导数也不存在.

例2.证明函数f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在点（0，0）处偏导存在，但不连续.

证明：由偏导定义得：

f（x，y）==0

f（x，y）==0

故f（x，y）在点（0，0）处偏导存在.取y=mx（m≠0），则f（x，y）=f（x，mx）=.

故f（x，y）在点（0，0）处极限不存在，故不连续.

由此两例可知，对于二元函数而言，偏导存在和连续之间没有必然的联系.

二、可微必偏导存在，但偏导存在不一定可微

定理1：若函数z=f（x，y）在P（x，y）可微，则它在该点存在两个偏导数A，B且A=f（x，y）.

证明：设z=f（x，y）在P（x，y）可微，即由定义知：z=Ax+By+o（ρ）其中ρ=，求x的偏导y可视为常量，不妨令y=0，则ρ=|x|，有z=f（x+x，y+y）-f（x，y）=Ax+o（|x|）

故==A

同理：=B，定理得证.

由此定理可知，可微必偏导存在，但反之不一定成立，如下例.

例3.证明函数f（x，y）=，x+y≠00， x+y=0在点（0，0）处偏导存在，但不可微.

证明：由偏导定义得：

f（x，y）==0

f（x，y）==0

故f（x，y）在点（0，0）关于x，y的偏导数都存在.

z-［f（0，0）x-f（0，0）y］=

令y=x，则有==

故由可微定义知f（x，y）在点（0，0）不可微.

由此可知，对于二元函数而言，可微必偏导存在，但是偏导存在不一定可微.

三、可微必连续，连续不一定可微

定理2：设函数z=f（x，y）在P（x，y）可微，则函数在该点必连续.

证明：f(x+x,y+y)=［f（x，y）+z］=f（x，y）

定理得证.

由定理2知，可微必连续，但是反之不一定成立，如上例题3.由=0=f（0，0），故f（x，y）在点（0，0）处连续，但是不可微.

推论1：不连续必不可微.

参考文献：

［1］张鸿，门艳红.讨论二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2007，2，（23）.

［2］龚俊新.二元函数的连续偏导可微之间的关系［J］.湖北师范学院学报（自然科学版），2000，（20）：83-85.

［3］杨凯，王焕东.二元函数连续偏导数与可微的关系［J］.沧州师范专科学校学报，2007，（9）：31-32.

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