函数的对称性与导数

函数的对称性、奇偶性是历年高考的重点，而它与其他函数性质的综合考查更是难点。在高考复习中应注重结合一些初等函数，特别是三角函数，来提高函数性质的综合应用能力。下面我们来谈谈利用导数转化函数的对称性。

一、建构知识网络

1.单个函数的对称性

2.两个引理

引理1：若可导函数是中心对称函数，则它的导函数是轴对称函数，且中心的横坐标就是导函数的对称轴。（注：若可导函数是奇函数，则它的导函数是偶函数。）

引理2：若可导函数是轴对称函数，则它的导函数是中心对称函数。且对称轴的横坐标就是导函数的对称中心横坐标。（注：若可导函数是偶函数，则它的导函数是奇函数。）

二、应用

例2.已知函数f（x）=x3+ax2-x在点A（1，-f（1））处的切线为l，若此切线在点A处穿过y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式.

解：由已知得f′（x）=3x2+2ax-1，由f′（1）=2a+2知f（x）在点A（1，

-f（1））处的切线l的方程是：y-f（1）=f′（1）（x-1），即y=（2a+2）x-3a-2.

因为切线l在点A处穿过y=f（x）的图象，所以设g（x）=f（x）-（y）在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是g（x）的极值点.而g（x）=x3+ax2-（3+2a）x+3a+2，则g′（x）=3x2+2ax-2a-3=（x- 解题反思：满足题意的点A刚好是三次函数的对称中心，我

们只需由导函数的对称轴入手，即：

（1）求实数a，b的值；

（3）求实数m的最大值；

（4）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

数学学习的过程是从特殊到一般，再到特殊的过程，即从具体的函数入手，得到一般的规律，再将其应用到其他具体的题目当中。其中，前一步就是总结归纳的过程，是合情推理的一种具体的形式。在高三的复习中，要经常总结归纳，深入挖掘课本、习题的数学本质，才不会被题海困惑，才能找到乐趣.

（作者单位 福建省安溪第八中学）