直线与反比例函数的位置关系

分析近几年的中考试题发现，在重视对基础知识和基本技能考查的同时，越来越注重对知识迁移能力的考查，其中经常把反比例函数与一次函数“联姻”起来一起考察. 解答这类题目的关键是要让学生发现此类问题的本质，因为无论试题如何变化，总是万变不离其宗. 在新的情境中应用已学知识（二次函数与一元二次方程的关系、直线与圆的位置关系）解决新的问题. 本文从教学中一个基本问题出发，以期启发学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.

一、直线与曲线位置关系的相关概述

若直线与曲线交于两点，且这两点无限相近，趋于重合时，该直线就是该曲线在该点的切线.

笔者定义，直线与反比例函数图像（双曲线）有唯一的公共点时，这条直线叫做双曲线的切线，这个唯一的公共点叫切点[如图1-（2）]；直线与双曲线没有的公共点时，位置关系为相离[如图1-（1）]；直线与双曲线有两个公共点时，位置关系为相交[如图1-（3）].

二、直线与曲线位置关系

可以发现，直线与双曲线的位置关系为：相交、相切、相离. （如上图1）

设反比例函数的表达式为y1 = （k1 ≠ 0，k1为常数），直线（一次函数）的表达式为y2 = k2x + b（k2 ≠ 0，k2，b为常数）. 如何判断它们图像的位置关系呢？

联立：y = （k1 ≠ 0，k1为常数）y = k2x + b（k2 ≠ 0，k2，b为常数）

k2x2 + bx - k1 = 0（k2 ≠ 0，x ≠ 0）……（1）

Δ = b2 + 4k1k2.

（1）当Δ < 0时，即b2 < -4k1k2（易得此时k1与k2异号）时，一元二次方程（1）无实数根，直线与双曲线无交点，它们的位置关系为相离. 如图1-（1）.

（2）当Δ = 0时，即b2 = -4k1k2时，一元二次方程（1）有两个相等的实数根，直线与双曲线有且仅有1个交点，它们的位置关系为相切. 如图1-（2）.

b2 = -4k1k2，且b2 ≥ 0，k1 ≠ 0，k2 ≠ 0， b ≠ 0，k1k2 < 0.

① b = 0时，即正比例函数图像（直线）与双曲线不可能有且仅有1个交点，即它们不可能相切. 那么正比例函数图像（直线）与双曲线不是相离就是相交.

② 当b ≠ 0时，k1与k2异号. 切点坐标为

-，-或-，或，.

（3）当Δ > 0时，即b2 > -4k1k2时，一元二次方程（1）有两个不相等的实数根，直线与双曲线有2个不同交点，它们的位置关系为相交. 如图1-（3）.

①当k1与k2同号时，b2 > 0 > -4k1k2，两个交点位于第一、三象限或第二、四象限. 如图1-（3）-1.

② 当k1与k2异号时，两个交点位于同一象限内. 如图1-（3）-2. 设交点为点A、B（且点A在点B的右侧），则：

A，，

B-・，-k2・.

那么，如果其中一交点A的坐标为（m，n）（m ≠ 0，n ≠ 0），则另一交点B的坐标为-，-k2m.

特别的，（I）如果其中一交点A的坐标为（m，n）（m ≠ 0，n ≠ 0），当k2 = 1时，则另一交点B的坐标化为（-n，-m）.

（II）如果其中一交点A的坐标为（m，n）（m ≠ 0，n ≠ 0），当k2 = -1时，则另一交点B的坐标化为（n，m）.

三、结束语

平时解题时，要静下心来深入思考题中蕴含的数学思想方法和解题思路，同时善于将题目加以变通、延伸，从而提高思维的广度和深度，才能跳出题海，提升解题能力.

在上述“正弦”概念的学习过程中，定性分析是指在学生能够确定直角三角形除直角外，任意给出两个元素（至少一个是边）后，其余元素唯一确定这一事实，由此能猜测直角三角形的对边与斜边比值的确定性，而定量分析则是依据测量所得数据以及相似三角形的证明得出具体结论. 这一过程实现了学生以直观材料作为形成概念的基础，把感性认识升华到理性认识的飞跃，在此概念学习中，引导学生利用定性与定量分析结合的方法，同时分析过程中借助比较、综合、抽象、概括、判断、归纳，从而揭示了概念的本质.

例二、《直线和圆的位置关系》概念概括过程的设计

本节课的学习目的是了解直线和圆的位置关系，掌握直线和圆外离、相切、相交的概念. 概念的引入可以遵循数学概念体系的发展过程，利用学生已有的学习《点和圆的位置关系》中的相关知识和研究经验，首先引导学生对直线与圆的位置关系有定性的认识，即直线和圆有外离、相切、相交三种位置关系，进而采用“从定性到定量”的学习过程，研究两者三种不同的位置时数据之间的关系，重点明确“用确定圆的要素来刻画两个几何图形的位置关系”这一本质.

本节课概念学习中的定性与定量分析过程可以用下图表示：

在授课过程中，特别需要注意的是，当学生判定位置关系的“标准”没有建立起来时，他们的头脑中就不可能形成结构，例如教师的问题设置是“根据点和圆的位置关系，同学们想一想，直线和圆的位置关系是否也可由数量关系来判断？”这样的设问方式，虽然意在进行概念学习的类比，但方向不明确，没有明确“用确定圆的要素来刻画两个几何图形位置关系”这一本质，所以没有抓住定量分析的本质. 就《点和圆的位置关系》、《直线和圆的位置关系》等概念的学习，教师的引导应该聚焦在“用确定圆的要素刻画位置关系”上进行从定性到定量的教学.

数学本质上是人们对客观世界定性把握和定量刻画，进而逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程，初中数学涉及定性与定量相结合的概念，教学中也应遵循概念发生阶段的动态化本质. 定性分析与定量分析相互统一，相互补充，使得定性分析成为定量分析的基本前提，定量分析成为定性分析更加科学、准确的依据. 让初中学生在数学概念的学习中构建定性和定量分析的模型.

【参考文献】

[1]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[J].北京师范大学出版社，2008.

[2]裴娣娜.教育研究方法导论[M].安徽教育出版社，1995.

[3]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报，2010（1）.