高中数学数列求和的方法范文

高中数学数列求和的方法篇1

关键词：数列求和；高中数学；解题方法

数列求和是高中的重点内容，也是难点内容，很多学生对数列求和的内容感到困惑，甚至将它当做最头疼的难题.其实，高中数学的数列求和并没有那么复杂，在通过分层次练习，总结经验，然后找出规律，并应用于实践，通过反复的练习―总结―再练习的过程，就能总结出属于自己的数列求和学习方法，也能找到属于自己的数列求和方式. 下面对四种数列求和方法的应用展开实例分析.

裂项相消法，找出通式规律

裂项相消法是高中比较常见的数学解题方法，在对待数的问题上，如果能采用裂项相消法，就会发现这就是题目的关键，也就是题目的突破口，从而题目的解答过程就会变得比较容易. 裂项相消在小学奥数题目中也有所涉及，在高中数学的数列求和中，将小学和初中数学相关问题进行了深化和综合应用，所以，高中数学是对以前数学学习基础的总结和归纳，找出了每个步骤和阶段的循序渐进过程，将这些步骤条理进行梳理，就是高中数学数列求和的方法了.

理论分析：裂项的核心是将数列的通式裂成两项，观察出规律，从而在求和时进行相互抵消，比如适合于通项类似于 （an是各项不为0的等差数列，C为常数.）的数列. 运用裂项求和时，通用的公式为：

（1） = - ；

（2） = - ；

（3） = - ；

（4） = （ - ）.

例1 已知有数列{an}满足a1=1，a2= ，an+2= an+1- an（n∈N*），求：

Tn= + + +…+ .

解：分析题目，首先根据an数列的已知关系，分析出其内在隐含的条件，然后根据求和的各项的通式，找出求和的各项之间的关系，从而进行转化，将其转变为可以裂项相消的模式. 具体分析如下：

由已知条件，得an+2-an+1= （an+1-an），所以{an+1-an}是以a2-a1= 为首项， 为公比的等比数列，故an+1-an= .

所以an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+ + +…+ =21- .

所以 = = ・ - ，

Tn= + + +…+

= - +…+ - = 2- .

实例总结：该题的解题思路和过程比较复杂，涉及的知识点也比较多. 在学生进行解题的过程中，或许会感觉到无从下笔，并且百思不得其解.解题关键是找出题目的题眼，由题目给出的条件，找出其变式，获得突破口.

并项求和法，利用求和解题

高中数学是思维引导性质的教学，是以提升学生能力，并且促进学生能够获得更多的学习方法和学习经验为目的的教学. 高中数学每个学习方法和学习经验的总结，都需要加强练习，反复地进行思考和探索，找出题目的相同点和不同点，对于学生的学习盲区，进行规范性的引导，坚持高中数学教学过程中以学生为本，激发学生的创造力和实践能力，培养更多的思维性强并且有独特想法的现代化人才.

理论分析：并项求和法与分组求和法有相似之处，它的规律也比较明显，针对并项求和的相关题目，一般都具有显而易见的规律让我们分析，采用先试探、后求和的方法来进行.首先根据题目给出的一些已知条件与要求和的式子，找出数字之间的规律，并进行分析，将其转换为比较好理解的形式或者是比较容易对比的模式，再进行分组求和，最后将所有和都列举出来，求其总和. 比如，类似于1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n式子的求和，它就有三种解法：并项求和方式，先分别求出奇数项和与偶数项和，再将两个和相减；分组法，将其相邻的两个数字分成一组，然后计算出每组的和，发现每组和的规律，最后进行总体求和，也就是（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+[（2n-1）-2n]；构造法，构造出新数列，将题目构造成我们常见的等差数列或者是等比数列，从而进行相关的运算，也就是an=（-1）n（n+1）（n从0开始）.

例2 数列{an}的前n项和是Sn（n∈N*），若数列{an}的各项按如下规则排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，若存在自然数k（k∈N*），使Sk

解：

S1= ，S3= + = ，S6= + =3，S10=3+ =5，

S15=5+ = ，而 =3，这样S21= >10，而

S20= + = + < + =10，故ak= ，所以答案为 .

例题总结：本例对于一般学生来说，并没有复杂性，只是将相关的并项求和方法作为介绍. 在高中数列求和的过程中，找规律一直都是解题的第一步，不管是已知条件的规律，还是要求和题目的规律，都需要学生去挖掘和探讨. 找到规律之后，根据规律顺藤摸瓜，然后继续探索题目的奥秘. 规律是引导我们向着我们熟悉或者是学过的方向走，简化解题方法和步骤，从而正确解决题目.

错位相减法，简化求和思路

错位相减法是高中等比数列求和公式在证明过程中给出的一种方法，对于错位相减法，学生应该熟练掌握，并学会融会贯通，在应对类似于等比和等差组合起来的数列求和的问题时，错位相减法具有比较实用的意义. 高中数学教学过程中，教师应该注重对课本知识精华的提炼，让学生对其进行总结和吸收，抓住核心，进行思维扩展和延伸，从而获得不一样的知识体验.

理论分析：转换一种角度，转换一种模式，就会转换出一种思路，转换出一种思想. 在高中数学中，等比数列和等差数列是基本的数列，然后由这些基本数列，又可以转换不同的方式组合成其他比较复杂的数列形式. 错位相减法，一般需要将题目中给出的数列，进行转换，得出由等比和等差共同组成的数列形式，然后设这个和为S，由S乘以等比数列的倍数，得出qS的值，然后由前一个S减去后面的qS，得出一个完全的等比数列以及其他剩余项的和，最后除以S系数，就可以得出最后的结果了.

例3 已知数列{an}是首项为a1= ，公比为q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an・bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

解：根据题意，an= n（n∈N*），又bn=3log an-2，所以bn=3n-2（n∈N*）. 所以cn=（3n-2）× n（n∈N*），

所以Sn=1× +4× 2+7× 3+…+（3n-5）× n-1+（3n-2）× n，

从而 Sn=1× 2+4× 3+7× 4+…+（3n-5）× n+（3n-2）× n+1，

两式相减，得出：

Sn= +3 + +…+ -（3n-2）× n+1= -（3n+2）× n+1，所以Sn= - × n.

例题总结：根据该题的分析，可以看出，运用错位相减法解题，是要构造出等比数列与等差数列的组合形式，比如An=BnCn，然后设立出函数S=B1C1+B2C2+B3C3+…+BnCn，得出等比数列的公比q，然后得出qS的表达式，由S-qS，计算出S的最终计算结果. 本题比较鲜明地给出了类似题型的错位相减的计算方法，这也是作为一个类型，可以当做知识储备，以便今后在实际应用中加以利用和分析，得出计算结果.

倒序相加法，探寻题目题眼

倒序相加法来源于课本，在推到等比数列公式的时候，得出的一种计算方法. 它是高中数学求和计算方法中比较常见，也比较重要的一种方法，在高考题型中，一般作为压轴题的解题关键出现，所以学好倒序相加法，是非常关键，也是非常重要的.

理论分析：倒序相加法，顾名思义，就是将需要求和的表达式倒过来，然后每项对比相加. 前提是首先观察题目，可以发现首项和尾项相加可以得到一个常数或者比较简单的计算式，这样运用倒序相加法才有意义.

例4 请证明：C +3C +5C +…+（2n+1）C =（n+1）2n.

解：由C =C 可用倒序相加法求和

令Sn=C +3C +5C +…+（2n+1）C （1），

则Sn=（2n+1）C +（2n-1）C +…+5C +3C +C （2）. 因为C =C ，

所以（1）+（2）有：2Sn=（2n+2）C +（2n+2）C +（2n+2）C +…+（2n+2）C ，

所以Sn=（n+1）[C +C +C +…+C ]=（n+1）・2n，等式成立.

例题总结：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）；

Sn=a1+a2+a3+…+an；

Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+…+a1；

上下相加得到2Sn，即Sn= .

倒序相加法追求的是数列中第一项和最后一项，然后慢慢向其中靠近的数学规律，它是比较基本的一种数列求和方法，也是高中数学学习中必须掌握的一种解题方法.

上文提到的数列求和方法有裂相相消、并项求和、错位相减、倒序相加这四种. 这四种方法在解答高中数学中数列相关问题时具有普遍性和实用性，数列求和中，还有直接求和、公式求和、分组求和、归纳猜想、奇偶法等等. 数列求和时注意方法的选取，关键是看数列的通项公式；求和过程中注意分类讨论思想、转化思想的运用. 在高中数学学习的过程中，需要熟练掌握这些解题方法，并多多练习，从而构建自己的知识体系结构和解题方法架构，从而使得自己能在高考中得心应手.

高中数学数列求和的方法篇2

【关键词】高中数学；数列；解题技巧

数列问题是高中必修课程中的重难点，是高中数学的重要环节，在整个高中数学知识体系及高考命题中都占据着十分重要的地位，近些年，数列课程比重日渐增多，高考中经常出现创新题型，因此，在学习中掌握高考数列的命题规律及解题相关技巧显得尤为重要。

一、数列基础知识一定要掌握牢

从2003年实行新课标后，数列就被列入到必修五教材中，数列在教材中重点是等差等比数列的概念，通项及前n项和公式及应用，数列与函数的关系等；难点是等差等比数列的通项及前n项和公式的灵活应用，求一些特殊数列的前n项和等；关键是等差等比数列的基本元素（a1，an，Sn，d，q）间的换算及恒等变形。

二、数列知识在高考中的地位一定要明确

数列知识是高中数学教材中的一个独立章节，具有十分重要的地位，是必考内容，无论是全国卷还是省卷都占据一席之地。

数列近三年在高考中的出题方向及趋势是：一般数列问题会有5-15分值，如果两道题常出现在选择和填空中，一般考查基础知识，分值为10分。若出现在解答题中，一般一道题，分值一般为10-15分。解答题近两年在全国理科卷里出现的情况较少，但对于今后的学习却不课忽视，因为数列在今后的数学学习中起着基础作用，我们断不可轻视。

三、数列的常用解题技巧

（一）掌握数列常用的数学思想

数学思想方法成为近两年高考考点，在解决数列问题时常用到的思想方法有：方程思想、等价转化思想、类比思想、函数思想、不等式思想、分类讨论思想等。解题不要囿于一种数学思想，两种数学思想混合应用的情况很常见。

如2013年的大纲卷（理）17题（10分）：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式。

这道题就是主要考查等差数列的通项、 前n项和公式，以及利用裂项相消法求前n项和；考查的数学思想就是方程思想、转化思想及逻辑思维能力的。

如2016年全国II卷，（理）17题（12分）：Sn等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1。（I）求b1，b11，b101；（II）求数列{bn}的前1000项和。也是考查等价转化思想及分类讨论思想的应用。

（二）掌握数列的性质

数列作为一种特殊的函数，因此它具有函数的性质，比如单调性、最值、周期性等等，数列的函数性质，作为数列与函数的交汇点的知识考查，是近几年高考试题的热点，也是考查学生综合能力的出发点。

1.数列的单调性

数列的单调性是指：一般的，如果数列{an}满足，对于任意的正整数n，都有an+1>an（或an+1

如2013年全国II卷（理）16题（5分）：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为_______。就是考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性来做答。

2.数列的周期性是指：对于数列{an}如果存在确定的数T和n0，（T≠0，n0∈N+）使得n≥n0恒有an+T=an，则称{an}是从第n0项起周期为T的数列

在高考中对数列周期性的考查主要涉及到以下两种形式的题目：（1）已知周期，求数列中的项；（2）已知数列，求周期进而解决其他问题。

2014年全国II卷，（文）16题（5分）：数列{an}满足an+1= ，a2=2，则a1=_________。该题是填空题的压轴题，主要考查数列的递推关系式，且无法转化成特殊的数列，则可通过递推关系式求出数列中的若干项，发现数列的周期性特点，从而得到所求。

另外，数列的最值在高考中考查的次数较少，这里就不赘述了。

（三）数列的解题方法

1.熟练基础方法

通项与求和公式的直接应用，只要理解并熟用等差等比数列的通项公式及求和公式即可。

2.求数列的通项公式

累差叠加，累商叠乘法是高考中常用的方法，从而考查对数列的掌握情况。

3.划归转化法解题

化归转化技巧就是把一些不能直接解的数列问题转化为简单的、已知的问题来求解。例如把数列问题转化成等差、等比数列的问题求解；或者把数列问题转化为函数问题求解；把数列的通项公式和求和公式看成是n的函数。

如2014辽宁高考（理）8题，（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2 an}为递减数列，则（ ）

A.d0 C.a1d0

主要考查等差数列的通项公式，函数的单调性等知识，体现了对数列和函数的综合考查。

4.运用公式由sn求an

这种类型的题目常给出Sn与n的关系，或者Sn与an的关系，进而求数列的通项公式。可利用公式

anS1 n=1

Sn-Sn-1 n≥2 求其通项。

5.用数学归纳法求数列的通项公式

数学归纳法常常也用在求解数列通项公式类型的题目中，在由递推公式求数列的通项时，如果常规的方法难以解决，那么通常可以采用“数学归纳法”。如2008年辽宁卷（理）21题（12分），数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比盗校n∈N ）

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：++…+

此题是考查等差数列，等比数列知识，综合运用合情推理通过观察，找出规律，提出猜想，再利用数学归纳法证明来解题。

6.裂项相消法

裂项相消是分解和组合思想在数列求和中的应用，其实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后重新组合，使之能够消去一些项，最终达到求和的目的。

2015年全国I卷（理）17题（12分），Sn为数列{an}的前n项和。已知an>0，an2+an=4Sn+3。

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和。

此题是考查利用an与Sn的关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和，先利用an与sn的关系，an=Sn-Sn-1（n≥2）推导出数列{an}的通项公式，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和即可。

7.e位相减求和法

在推导等比数列前n项和公式时采用的是错位相减的求和方法，该方法中“相减”突破了学生以往“求和即相加”的固有思想，高考中常会遇到。

由于错位相减法计算量较大，学生在考场上有限的时间里很容易因为计算失误失分，提高计算的准确性尤为重要。

8.放缩法解决数列不等式

放缩法是不等式证明的一种基本方法，而数列不等式也常常通过放缩法来证明。通常我们把数列的通项放缩成可求和或可求积的数列，进而证明结论。

2014年全国II卷（理），17题，（12分）已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1。

（I）证明：{an+}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（II）证明：++…+

此题是考查数列的递推关系，不等式的证明及数列求和等知识，而不等式的证明就用到了放缩法进行处理，一是求和中的放缩；二是求和后比较中的放缩。一般情况，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列，可裂项相消法求和的数列等。

除以上方法外，还有分组求和法、利用构造法和单调性、归纳法解决数列不等式问题。

四、考点变化

等比数列的考点仍是基本量的计算，等差数列的难度略有下降，递推数列的设置难度略有提高，位于填空题的压轴位置，这对今后的数学学习起到一定的引导作用，就要求我们除了要有准确的计算能力，更应重视方法的研究。

【参考文献】

[1]赵昱.数列问题的教学思考.辽宁师范大学硕士学位论文，2013年

[2]华玲蓉.2010年高考数列问题类型及解题策略.基础教育论坛，2010年11期

[3]张维娟.高考中数列问题的解题技巧与教学研究.西北大学硕士学位论文，2015年

高中数学数列求和的方法篇3

【关键词】数列 通项公式 拓展思维

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）12B-0065-02

在高中数学的学习中，数列的知识在必修五整本中虽然所占比重不多，但是它却具有重要的作用，具有实际应用的价值。不管是现阶段高中生期中、期末的考试，还是公务员考试、事业编考试，数列这一题型都常常出现。所以在高中数学教学中，数列教学成了我们必不可少的重要内容，数列教学中所涉及的问题也成为我们要研究的对象。

一、夯实基础，掌握基础概念

在数列学习中，首先应该把基本概念理解并记住，然后才能掌握其核心内容。只有把基本的知识把握好，才能进行更深入的学习，打好基础才能走得更远。对于数列学习也是这样，那么如何把握数列的基本概念呢？数列的基本概念就是它的定义，它的核心是通项与求和公式及其运用。接下来我们通过几个实例来探究数列教学中基础概念的学习。

比如在苏教版高中数学《数列》第一节等差数列的学习中，课本上已经把等差数列的通项公式及前n项和公式明确告诉我们了，等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）×d，等差数列的前n项和公式为，所以遇到求通项公式或求和的题目时，我们直接套用公式即可。比如：

例1 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项的和，（n∈ N+），若a3=6，S20=20，那么S10=（ ）。

这是一个基础的题目，根据题目所给的数据带入上面的两个公式，很快就能算出a1=20，d=-2，最后求出S10=110。又比如：

例2 等差数列{an}中，S10=120，那么a1+a10=（ ）。

这也是一道基础的题目，根据公式，数列和=（首项+末项）×项数÷2，即，把题目所提供的数字带入上式，直接可以求出a1+a10=24。这种类型的题目只要把公式记牢，然后直接套用就可以了。

所以学习数列时一定要把公式、基本概念弄明白，这样才能迅速地求出答案。万变不离其宗，只要掌握好基本概念，打好基础，就能解决更深奥的问题，提高知识能力。

二、熟练掌握通项公式和方法

有很多题目类型是求数列的通项公式的，这种类型就需要我们把握解题方法，正确使用解题方法，才能解决问题。在数列这一系列问题中，采用比较多的方法就是累加法或累乘法求数列通项公式，根据Sn和an之间的数量关系或者递推关系求通项公式。下面通过两个例题来观察解题方法。

在苏教版高中数学《数列》的等差数列学习中，我们可以运用累加法来进行计算，通过累加法会使数列问题变得容易。比如：

例3 数列{an}中，a1=2，an+1=an+n×d（d是常数，n为1，2，3…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。求d的值以及{an}的通项公式。

根据题意，我们不难求出d的值为2，但是{an}的通项公式就需要运用累加的方法来进行计算。在n≥2的情况下，有

a2-a1=d，a3-a2=2d，a4-a3=3d

以此类推得

an-an-1=（n-1）d

在等式的左边相加得到

an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]d=n（n-1）÷2×d

即an=n2-n+2

当n=1的时，a1=2也适用于上式，那它的通项公式就是an=n2-n+2。这就是运用累加法求得数列的通项公式。值得注意的一点是，在求出数列{an}的通项公式时，别忘了验证当n=1的情况，有时候n=1不适合通项公式，这就需要我们把两种情况分别列出来，保证答案的准确性。对于等比数列通项公式的求法，则需要借助累乘法，不能用累加法。但基本原理与累加法大同小异，学会用累乘法解决等比数列的问题，会降低解题难度。

所以在解决一些比较复杂的等差数列或等比数列问题时，我们一定要把握好方法，合理运用累加法或累乘法，这样做能取得事半功倍的效果，让难懂的数列知识变得简单，避免学生对数列题产生枯燥厌烦的心理。

三、利用数列求和，拓展思维

学习数列知识时，进行数列求和过程就是我们拓展思路、活跃思维、提高数学能力的过程，因为相比于其他数学知识点，数列的难度还是较大的。要解决数列问题，不仅需要熟练掌握基本概念，而且还需要掌握合理的方法。解决数列问题也是考验能力的一种方法，在解题的过程中提高了能力、增强了数学思维。下面笔者通过实例来研究在解决数列求和的过程中培养的数学能力的方法。

比如在苏教版高中数学《数列》这一章的学习中，出现一类既有等差数列，又有等比数列，而且是“等差乘以等比”类型的题目，对于这种有深度的问题，我们单单采用套用公式的做法是不能解决的。为了顺利便捷地解决这类问题，我们探索出了一种“错位相减”的方法。比如：

例4 已知{an}是等差数列，其前n项和是Sn，{bn}是等比数列，且a1=b2=2，a4+b4=27，S4-b4=10。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式;

（2）记Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn（n∈ N+），证明Tn+12=-2an+10bn（n∈ N+）。

第一问很简单，只需要根据等差数列和等比数列的性质就可以求出。第二问比较复杂，仔细观察发现，要求Tn，其实也就是求等差乘以等比数列的前n项和。对这种类型，我们可以采取错位相减法。先把等差数列的前n项和与等比数列的前n项和列出来，然后在式子的两边分别乘以等比数列的公比，最后错一位，两个式子相减就可以得出答案。当然这种错位相减法需要大量的运算，对于一些没有耐性的同学来说，会有一定的难度。对于这一部分同学来说，可以选择另一种方法，用裂项相消的方法求和。所以在解决数列求和这一类型的数学题目时，有多种解题方法，同学们应该选择适合自己的一种方法来做，并熟练掌握，这样才能不断提高学习和解决问题的能力。

在数列求和这一问题的探索中，同学们可以在学习中多做一些有关数列求和的问题的题目，这样做既能活跃思维，又能提高学习能力。

四、结合函数，提高数列问题的解题能力

我们知道，其实数列也是一种函数，只不过它的定义域是在正整数集，是一种特殊性质的函数。既然数列是一种函数，那么它就具有函数的性质。这给命题者一种方向，就是把数列与函数相结合来命题，考查学生综合运用知识的能力。下面主要通过具体的事例来探索如何利用数列与函数相结合的关系来求解相关问题。

比如在高中数学苏教版《数列》这一章的学习中，我们遇到这样的习题。

例5 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n，（n∈ N+）。

（1）当bn=Sn-3n，求数列{bn}通项公式;

（2）若an+1≥an，（n∈ N+），求a的取值范围。

在这一题中，第一问很简单，把an+1=Sn+3n带入bn=Sn-3n，很快就能求出答案。现在观察第二题，从题意我们可以看出，an+1≥an，所以这是一个单调递增的数列，那我们可以列关系式an+1-an≥0是恒成立的，因此从这个等式中得出a的取值范围。从这一题型看出，把数列与函数的单调性相结合，就可求出取值范围。这就要求同学们学会灵活运用公式。当遇到这种类型题时，要想到函数的单调性，而不是运用什么“错位相减法”“裂项相消法”等来解题。又比如在练习时，同学们会遇到数列的最值问题，其实要解决这种题，我们也可以运用函数的知识来解决。我们可以把等差数列当作未知数是n的一次函数，把等比数列当作未知数是n的指数函数，这样我们在求极大值或极小值时，运用函数图象就容易得到答案。

所以在运用函数进行解答数列问题时，需要同学们灵活运用，拓展思路，在不断训练中，提高学生们的解题能力，拓展同学们数学思维，提高学生们的推理、计算的逻辑能力，同时不断提高学习效率和学习成绩。

数列是高中数学知识中非常重要的知识点，它还可以与三角函数、曲线方程等相交叉。命题者很喜欢把它们放在一起来考查学生们的综合能力，所以数列知识的学习对每一位同学都有重要的意义。因此探索数列问题是必不可少的，它的研究有着极大的教学价值。教师要积极探索，尽可能详细、简单的地把数列知识点传授给学生。

【参考文献】

[1]陈子杏.浅谈数列教学中的几个问题[J].新课程（教师），2008（8）

高中数学数列求和的方法篇4

关键词：等差；等比；前 项和；性质

数列是特殊的函数，是高中数学的重点内容，也是与高等数学内容的接轨之处，因而深受高考命题人青睐，是每年高考的必考内容。

纵观近几年的高考数列试题，我们可以看出高考命题主要围绕以下方面进行考查：

（1）数列自身内部问题的综合考查（如与的关系问题、递推数列问题的考查一直是高考的热点，求数列的通项与求数列的和是最常见的题目，数列求和与极限等综合性探索性问题也考查较多）。

（2）构造新数列思想，如“累加、累乘、错位相减、倒序相加、裂项求和”等方法的应用与创新.

（3）数列与其他知识的交汇综合考查，如数列与函数、方程、不等式、数学归纳法、三角、解析几何等知识的综合.

（4）数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等数列模型.

等差数列、等比数列是数列中的两个特殊数列，高考中考查的非等差数列、等比数列问题，主要是将其转化为这两种数列，进而得解，其核心思想是转化与化归.在高考中，文科试题与解方程、求特殊数列的和有关，理科试题中数列与函数、不等式、数学归纳法等的综合问题是热点，复习过程中要加强逻辑思维能力与推理能力的训练与培养.对于等差数列与等比数列混合交汇的综合问题，突破的关键是熟练掌握并灵活应用其定义、性质、通项、前项和，并能熟记相关的“二手结论”.本文通过几道考查数列性质的题与高考题目链接对比来分析数列在高考中的基本考向.

例1（人教A版必修5习题2.3B组第2题）已知数列是等差数列，是其前项的和.求证：，，也成等差数列。

这是一道反映等差数列基本量思想的题目，利用通项与前项和的公式很容易解答，体现了由特殊到一般的数学思想.由此得出的结论具有典型性和代表性：“已知数列是等差数列，是其前项的和，设，则有，，也成等差数列”.在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用，在高考中有不少试题可以体现.

既然等差数列有这样的结论，类比到等比数列，请问：等比数列是否也有类似的结论呢？通过类比引导学生再回顾课本，可得到等比数列也有类似的结论。

人教A版必修5习题2.5B组第2题就蕴涵着等比数列前项和的这一重要性质：已知等比数列的前项和为，求证：，，也成等比数列.

链接高考：（2010年高考数学安徽卷理科第10题）设是任意等比数列，它的前项和、前项和、前项和分别为，则下列等式中恒成立的是（ ）

A.B.

C.D.

此题可以直接用上面提炼出的结论，，（）也成等比数列，代入、化简、整理即可解答.由此可以看出高考试题并不神秘，很多试题都直接或间接来源于课本，或是原题，或是变式题，或是直接由课本题提升而得的结论.这说明我们在高考复习中要紧扣教材、回归教材、抓纲务本。

例2：成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。

此题充分将等差数列等比数列进行了交汇结合.要解答此题，就需要引导学生分析入手点，即如何设出满足条件的数列，可技巧性的设成等差数列的三个数为，直接求得.这不仅训练了学生已知三个数的和且成等差数列的技巧设法，而且将基本量思想和方程思想也进行了综合训练.由此让学生归纳总结出一般规律：

（1）若已知奇数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

（2）若已知偶数个数成等差数列并知道其和，可设这个等差数列为…，，…（公差为）；

再启发引导学生思考：若已知个数成等比数列并知道其积，又如何设该数列呢？

例3：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数.

这是一道有关等差数列、等比数列的综合问题，可以让学生体会在等差数列、等比数列中方程思想的应用.可根据前三个数成等差数列设其为；或根据后三个数成等比数列，设其为；或设其为等，让学生感受利用等差数列、等比数列的有关知识灵活设元而得到的不同的解法.然后由学生比较、总结，得出简洁合理的最优化运算途径，以此培养学生运用数学概念分析问题、解决问题的能力，既培养学生思维的发散性，又培养学生思维的聚合性.

链接高考：（2011年高考数学湖北卷文科第17题）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列中的.

求数列的通项公式；

数列的前项和为，求证：数列是等比数列。

本题涉及等差数列，等比数列及其求和公式等基础知识，同时训练学生的基本运算能力和推论论证能力，难度适中，是一道好题.解题的关键是寻找如何设出此数列，找到突破口问题就简单多了.基本量法求解等差数列、等比数列的有关问题是基本功，必须过关，其求解的基本思路是：需要紧扣等差数列与等比数列的概念、性质，做出合理的分析与比较，根据他们的五个基本量（）的内在关系及题目中的条件建立方程（组），通过解方程（组）寻找突破口求解相关问题。

例4：有两个等差数列，，，求.

解：设等差数列，的前项和为，.

此题看似平凡，实则是一道难得的好题，它将等差数列的通项、前项和及性质进行了综合复习，并体现了转化与化归思想和构造法，体现了数列与函数的综合.解法1用的是构造法，要注意性质“当时，”的正确使用；解法2用的是待定系数法，充分利用了等差数列前项和是关于的二次函数形式；解法3利用了等差数列前项的和与通项之间蕴涵的一个关系：是等差数列，，此式在选择题、填空题中可作为“二手结论”直接使用。

由此题再启发学生思考：设等差数列，的前项和为，，且满足（1）如何求？（2）如何求？进而得出一般性结论：

链接高考：（2009年高考数学海南/宁夏卷理科第16题）等差数列的前项和为，已知，，则=.

高中数学数列求和的方法篇5

关键词：递推数列；构造法；主体部分拆分法

2014年高考尘埃落定，许多理科考生，数学教师均对新课标高考数学（理科）卷二中的数列解答题议论纷纷，学生都在抱怨，教师高呼超纲超标，笔者仔细观察，发现此题颇值得深入探讨. 笔者就这个问题，从课标、教材以及其他省份的历年高考相关试题进行渊源分析与解法探索，现将我们的思考和读者一起分享.

（2014・新课标高考数学（理科）卷二解答题第17题和教育部考试中心提供的参考答案如下：

[?] 对本题第（Ⅰ）问的思考

首先对照《普通高中数学课程标准》（以下简称《标准》）来思考，《标准》中对等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的要求是“掌握”，此题中的第一问的要求是通过构造辅助的等比数列来求通项公式，而且题目中给出辅助数列，要求先证明它是等比数列，再求通项公式，实际上已经降低了构造法的难度. 所以，第（Ⅰ）问不存在“超标” 的说法. 其次，再从教材的角度来看，第（Ⅰ）问的题目原型是普通高中数学课程标准教科书人教A版教材必修5第69页数列复习参考题组第6题：“已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求这个数列的通项公式”.此题的解答就是通过两边添加项构造辅助的等比数列来解决问题：

由an=2an-1+3an-2，得an+an-1=3an-1+3an-2=3（an-1+an-2），移项得an-3an-1=-（an-1-3an-2），所以{an-3an-1}是等比数列. 由这个辅助数列为突破口就可以解答该题.

本题更远的教材原题背景是来自1995年以前使用的大纲教材――人教版高中数学代数下册的复习参考题：“已知an+1=b，

c・an+d，求数列的前4项及其通项公式.”

对于问题（Ⅰ），其解题起点在于对递推关系式an=3an-1+1的观察，与an=3an-1相比，多了一个常数项1，而an=3an-1是典型的等比数列，可以猜想系数3可能与公比有关，因而确定问题的转化方向――构造以公比为3的等比数列.

数学归纳法的证明过程在此不再赘述.

对于递推数列的通项公式不易求解时，可考虑用赋值法求出数列的前几项，用合情推理猜想出通项公式，再用数学归纳法进行证明，此解法思路成功的关键在于归纳猜想时，要灵活运用“猜结果”与“猜结构”的策略.

以上三种方法比较，显然参考答案提供的构造法思路更简单，解法更简洁.当然后两种方法均有其特点，也指明了在数列的递推公式教学中，教师应关注的几个方向.

[?] 对2014高考新课标卷二17题的第（Ⅱ）问的思考

这是典型的放缩法证明不等式.在此，避开放缩法是否超出课程标准考试大纲不谈，我们只从数学方法的角度来看. 笔者在高考评卷过程中发现考卷中能用参考答案这种方法做出正确解答的并不多见，笔者认真分析了国家考试中心提供的参考答案，感觉该解答与中学生的解题习惯不甚吻合.

放缩法的关键，一是放缩的方向，二是如何把握放缩的“度”的问题. 那从这个参考答案上来看，学生如何确定放缩的方向？如何才能得到3k-1≥2×3k-1？这个思路与学生的认知水平及思维习惯相差甚远. 基于此，笔者提出以下的解法，并将结论做相应的推广.

评注：对于上述解法，应关注其解题思路，剖析解题心理状态.首先观察目标结论：++…+=++…+

上述解题思路当中有两个关键点，第一：向等比数列转化，第二，运用“主体部分拆分法”，拆出主体部分等比数列后，对其剩余部分实施放缩.

受此触动，笔者尝试将上述结论适当推广.

既然可以放大，能否考虑缩小呢？

前两问考查了赋值法，以及运用前n项和公式求数列的通项公式的方法，其中第（Ⅱ）问考点仍旧是构造法，在此不再赘述.

观察第（Ⅲ）问的两种方法，或者使用n次方差因式分解公式，但这是学生所不熟悉的，或者运用累乘法，构造性，技巧性过强，解题方向不易把握.

高中数学数列求和的方法篇6

数列高中数学作用

一、数列在高考中的地位

通过递推公式求通项公式历来是高考的重点和热点题型，是师生研究的重点，虽然求解的方法很多，但基本上没有摆脱“类型+方法”，新课标要求淡化类型，注意解决问题本质。

高考对于数列的考察主要有两类：一类是关于等差、等比数列问题，这类问题的解决方法一般是化基本量解方程；一类是能够转化成等差或等比数列的递推数列问题，这类问题的解决方法是构造新数列，使之成为等差或等比数列。

分析：数列的基础题型是等差、等比数列，显然这里的数列{an}、 {bn}都不是，但我们猜想数列{an}、 {bn}与等差等比数列是有着联系的。

思考：我们的目的是要求数列{bn}的通项公式，而数列{bn}是用数列{an}表示出来的，若我们先求出数列{an}的通项公式，则数列{bn}的通项公式马上就能求得，而求解数列{an}的通项公式又该怎样入手？

问题解答：

二、数列与不等式

近年的高考数列解答题中，数列常与不等式证明交汇作为压轴题命题，这类问题既需要不等式的基本思路和方法，又要结合数列本身的结构特点，有着较强的技巧性。

下面结合一例，对放缩法证明数列不等式做一些探究。

（题源说明：本题是2006年福建高考理科卷压轴题第22题的改编题）

题目分析：放缩法证明数列不等式的基本方法有两类，一类是先放缩再求和，另一类是先求和再放缩。例题中问题（2）不等式（*）的“放缩”证明主要也从这两个角度分析探究。

反思：数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考考察的重点，而数列不等式的证明又是一个难点，放缩法是证明数列不等式的常用方法，在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简，化难为易，希望大家能够进一步地理解放缩法的运用，掌握基本的放缩法。

参考文献：

[1]管目军.十年高考分类解析与应试策略.数学通讯，2011，（3）.

[2]李美玲.浅议用不动点知识求地推数列的通项公式.数学通讯，2008，（8）.

高中数学数列求和的方法篇7

关键词：高考题； 通项公式； 初等数学； 高等数学； 递推式； 解法

数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年高考中占有较大比重。在选择、填空题中突出“小、巧、活”的特点；在解答题中，常以一般数列为载体，重点放在数学思想方法的考查，放在对思维能力以及创新意识和实践能力的考查上，其中求通项公式即为历年高考考查的重点之一，下面介绍一些中学数学数列通项公式的一些常见解法。

一、观察、推理法

根据数列前n个项求通项时，所求通项公式通常不是唯一的，常用观察、推理法求解，通过观察 与n之间的关系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律。

例.求出下列数列的通项公式

1、数列是一种特殊的函数，复习时要善于利用函数的思想来解决；

2、运用方程思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代换”来简化运算；

3、分类讨论思想在本章尤为突出，复习时考虑问题需全面，如等比数列的 两种情况等；

4、等价转化是数列的常用解题思想，如 的转化，将一些数列转化成等差（比）数列来解决，复习时，要及时总结归纳。

5、深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本节的关键。

6、理科数列考查分析问题、解决问题能力的综合题，常蕴含着考要的数学思想方法（如：分类讨论思想、函数与方程的思想、化归转化思想、换元法、构造（或建模）法等）.难度有逐年上升趋势，复习中应注意加强数列与其它知识的联系与交汇内容的强化。

参考文献

[1]《中学教研：数学版》[].2009年第1期

[2] 杜丽英.《走向高考》[C].2006.4

[3]《数学辅导报人教高考版》[N]. 2009.5

[4]《2010年普通高校招生全国统一考试大纲说明》[C]. 2010年

高中数学数列求和的方法篇8

关键词：高中数学；数列问题；解题思路

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）07-386-01

随着课程改革的不断深化，高中数学数列教学内容位置得到持续提升。高中数学数列内容关乎着人们日常生活，其在实际生活中被广泛应用，在数学教育领域数列问题一直是重要研究内容，特别是高中阶段的数学，解题思路及方法尤为关键，解题方法是解决数学数列问题的前提，教师应积极帮助学生对数列基础知识的掌握和理解，通过大量解题技巧的讲解，才能利于学生数列思维能力提高，进而增强解答数列问题的能力。

一、高中数学数列的相关概述

1、高中数学数列的概念

所谓数列，即根据相应规律排序一系列数字的过程，其包括各式各样的数列形式，如形数、三角及行列式等，是由若干个数构成的数阵。通常高考试题中出现的数列问题可分为两种，包括基于泛函分析与实变函数之间的压缩映射，以及高等数学定力概念背景下的高考数列试题。而等差/等比数列求和等内容，即高中数学课程中主要涉及的数列问题。根据上述分析可知，高考中数列问题的解题教学主要是对知识点和解题方法的考查，为此，教师应注意数列教学的关键问题，积极探讨培养学生解决实际问题能力的策略等。

2、高中数学数列的地位

随着课程改革的深化，高中数学遵循螺旋上升式原则安排课程内容，将数列作为单独章节设置，共计占据12个课时，大大提高了数列在高中数学中的地位，也使其重要性越来越显著。数列并非独立存在于数学中，其连接着数、函数、方程及不等式等一系列的数学知识。同时，数列所体现的思想方法十分独特，包括许多的重要数学方法和思想，如等价转化、函数与方程、类比归纳等。另外，数列也与现实生活息息相关，联系着堆放物品、储蓄、分期付款等实际问题。

二、解题策略

1、熟记数列基础内容

无论高考或普通考试中，基础数列考察类型一般对技巧要求不高，学生只需牢记并能运用各种相关公式即可。如an=a1+（n-1）d及an=a1qn-1这两个常见的等差/等比列数通项公式，以及其前n项和公式等，学生只有全面掌握灵活运用基础公式，才能应对更深入的数列变换学习，进而深刻理解公式的转换，更好地面对各类考试。例如，已知等差数列前n项的和为{an}，sn，且n* N，若a3=6，s10=26，那么，s5是多少？针对此题，首先应分析已知条件，将等差数列的前n项和公式与通项公式有机结合，然后再将已知数字带入公式进行求解。而通常在考试中此类题型既是重点内容，也是得分点，学生必须牢固掌握。

2、利用函数观点解题

从本质上来说，数列属于函数范畴，是最重要的数学模型之一，数列可有机融合等比/等差数列与一次/指数函数，故而，在解决数列问题时可充分运用函数思想进行解答。例如：已知a>0且a≠1，数列{an}是首项及公比皆为a的等比数列，设bn=anlgan（n N*），若bn

分析：根据题意可知，an=a.an-1=an，因此bn=anlgan=anlgan=nanlga，故bn1（n N*）。

结果：通过以上分析可知，当0lga，故a< =1- （n N*），即a的取值范围在0与 （n N*）之间，也就是a （0， ） （1，+ ）。

3、多级数列解题思路

所谓多级数列即存在于相邻两项数字间的级别关系，其通过或乘、或减、或除、或加后所得结果可再次构成二级数列，而第二级数列还有构成第N级数列的可能性，也就是说每级数列间均存在相应的规律。

例如：已知-8，15，39，65，94，128，170，（？）。

分析：通过对该题的观察，可见数字特征并不明显，为此，在引导学生解题时，应先进行合理试探，如两两做差得出二级数列，并以此类推得出更多数列，进而构成多级数列。但要注意无论前减后，还是后减前，都必须确保相减的有序性。

解：对原数列进行第一次做差，得出23，24，26，29，34，……；对二级数列进行第二次做差，得出1，2，3，5，……而根据多级规律，二次做差后的数列还可构成递推和数列，进而得出（）为225。

总之，不仅可两两做差做和，也可两两做商，但做商时要注意数列的前后次序，达到对相邻两项间位数关系敏锐观察。

4、其他解题策略

（1）合并求和。对各类数列考查题中偶尔出现的特殊题型，要正确引导学生寻找其中所存规律，一般可通过整合这些数列的个别项来解题，便能正确找到其特殊性质所在。总之，针对这种类型的题目，教师应教会学生合并求和，得出各项特殊性质中的和，然后再整合求和，最终解出题目答案。

（2）数学归纳法。在众多数学解题过程中，最常用的解题技巧即数学归纳法，而该方法多被用来解答关于正整数n的题型，特别是在不等式证明中极为常见。或许要求学生直接求通项公式难度较大，甚至大部分学生不知如何下手，进而导致考试失分等问题。但让学生利用数学归纳法证明不等式，往往可大大降低题目的难度，并且能够得到较大难度的题目分数，有效解决其对知识点掌握失衡的问题。

参考文献：

[1]戴桂良.新课标下高中数学数列问题的探究[J].高中数理化，2015，（8）：14-14.

[2]钱军.高中数学中数列求和问题的探究--兼述备战高考复习数列的方法[J].中学生数理化（学研版），2015，（4）：48-48.