时间：2023-12-10 14:58:36
几百年前，在欧洲许多国家，贵族之间的之风盛行。而掷骰子是他们常用的一种方式。骰子的形状为小正方体，当质地均匀的骰子被掷到桌面上时，每个面朝上的可能性都是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的，均为。
17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德・梅耳发现了这样的现象：将一枚骰子连续掷4次，至少出现一次6点的可能性比较大；而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双6的可能性却很小。这是为什么呢？这个问题就是著名的“德・梅耳问题”。
在德・梅耳之前还有人提出过“分赌注问题”：两个人事先下定相同数量的赌注，决定赌若干局，约定谁先赢6局就算赢家。当一个人赢了4局，另一个人赢了3局时，被迫终止。他们应该怎么公平合理地分配赌池里的赌注呢？赌徒们自己无法给出答案，只好求助于数学家。
意大利数学家帕西奥尼曾给出了分赌注的方法：将赌金平均分成7份，按4∶3的比例分给双方，赢了4局者得4份，赢了3局者得3份。但许多人怀疑帕西奥尼分法的公平性。因为已经胜了4局的一方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金；而另一方则需要再胜3局，并且至少有2局必须连胜，这样明显要困难得多。到底该怎么分赌注呢？人们当时还找不到有说服力的方法。
之后的100多年中，有多位数学家，如卢卡・帕乔利、塔塔利亚、卡丹等都研究过这个问题，但他们都没有得到令人信服的解决方案。“分赌注问题”在数学界引起了很长时间的争论。
著名的数学家帕斯卡经过两三年的思考，提出了一个重要思路：两个赌徒应该分得的赌金之比，取决于继续下去各自成为赢家的可能性之比。但他也没有十足的把握，于是写信向大数学家费马求证。他们频频通信，围绕着中的数学问题开始了深入细致的研究，建立了概率研究的基本理论。帕斯卡和费马一边亲自做实验，一边仔细分析中出现的各种可能性问题，终于完善地解决了“分赌注问题”。
与此同时，荷兰数学家惠更斯也独立地对此类问题潜心钻研多年，解决了掷骰子游戏中的一些数学问题。1657年，他把自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书被认为是概率论中最早的论著，奠定了研究概率的基础。
究竟该如何分赌注呢？作为一个开放性问题，请“薯条”们自己查资料研究解决吧！
游戏引起了数学家的专门思考，因此产生了概率论这门学科。但本身是一种恶习，它会给社会、家庭造成极坏的影响。希望同学们坚决抵制这种行为！
关键词: 独立随机过程;计数系统;归纳法;保险业
概率论是一门应用非常广泛的学科。在数学史上，它的产生是以帕斯卡和费马在1654 年的七封通信为标志的。由于这些信件中所解决的问题多是与有关的点数问题，因此人们总是把概率论的产生归功于这项机遇游戏。但考古学发现告诉我们，游戏早在文明初期就已经存在了，迄今已有几千年的历史，而概率论从诞生至今不过三百余年，这说明并不是概率论产生的决定性条件。在从出现到概率论产生之间的这段“空白”期，必定还有一些十分关键的因素正在孕育之中。那么这些因素是什么? 换句话说，需要具备哪些先决条件，概率论才能得以形成?
一 独立随机过程的出现
对概率论而言，两个最主要的概念就是独立性和随机性[1 ] 。概率论是从研究古典概型开始的，它所涉及的研究对象是大量的独立随机过程。通过对这些过程中出现的问题的解决，概率理论体系才逐渐地建立起来。因此要考察概率论的产生条件，我们首先应当对独立随机过程的产生有充分的了解。
事实上，这种过程的雏形早在原始社会就已经存在了，那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示神对人事的不同意见。由于投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今天投掷骰子的基本原理相当，因此趾骨可以被看作是骰子的雏形。但是由于趾骨形状的规则性较差，各种结果出现的机率不完全相同(即不具备等可能性) ，所以趾骨产生的随机过程还不是我们今天意义上的独立随机过程。加之趾骨作为一种占卜工具，其本身具有神圣的地位，普通人不可能轻易使用，这也在某种程度上阻碍了人们对随机过程的认识。
随着社会的进步和文明的发展，骰子变得越来越普遍，不仅数量增多，规则性也日益精良，此时它已不再是一件神圣的器具而逐渐成为普通大众的日常用具。从原理上看，只要一枚骰子是质地均匀的，它就可以产生一系列标准的独立随机过程。这些过程具备良好的性质(独立性、随机性、等可能性) ，是进行概率研究的理想对象。如果经常接触这些随机过程，就很有可能从中发现某些规律性。实际上，通过对骰子的研究我们确实发现了一些有趣的现象。在考古出土的骰子当中，有一些被证明是用于的工具，它们的形状规则而质地却不均匀，也就是说，骰子的重心并不在其几何中心。可以想像，如果骰子的某一面较重，则其对面朝上的机率就会增大，这种骰子明显是为了时用于作弊。而从另一个角度看，如果古代人知道质地不均匀的骰子产生各个结果的可能性不同，那么他们必定清楚一个均匀的骰子产生任何一个结果的机率是相等的。也就是说，经常从事的人必然可以通过大量的游戏过程，意识到掷骰子所得到的结果具有某种规律性，并且这种规律性还可以通过改变骰子的质地而得到相应的改变。虽然古代人的这些意识还只停留在经验总结的水平上，却不得不承认这是一种最原始的概率思想。
游戏存在的时间之长、范围之广、形式之多令人惊讶。但有如此众多的人沉迷于这种游戏活动，也在客观上积累了大量的可供学者进行研究的随机过程。更为重要的是，
在进行的过程中，或许是受到经济利益的驱使，已经开始有人试图解开骰子的奥秘。意大利数学家卡尔达诺就是其中的一位。他本人是个大赌徒，嗜赌如命，但他却具有极高的数学天分。在的过程中，卡尔达诺充分发挥了他的数学才能，研究可以常胜不输的方法。据说他曾参加过这样一种赌法:把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。那么，赌注下在多少点上最有利?
两个骰子朝上的面共有36 种可能，点数之和分别为2～12 共11 种，从上图可知，7 位于此六阶矩阵的对角线上，它出现的概率为6/ 36 = 1/ 6 ，大于其他点数出现的概率，因此卡尔达诺预言说押7 最好。这种思想今天看来很简单，但在当时却是很杰出的。他还以自己丰富的实践经验为基础，写成了全面探讨的《机遇博奕》(Liber de Ludo Aleae 英译为The Book of Game of Chance) 一书，书中记载了他研究的全部成果，并且明确指出骰子应为“诚实的”(honest) ，即六个面出现的机会相等，以便在此基础上研究掷多粒骰子的等可能结果数[2 ] 。
这些实例充分说明，曾对概率论的产生起过积极的作用。这可能就是人们在谈到概率论时总是把它与联系在一起的缘故吧。但是我们应该认识到，的价值并不在于其作为一种游戏的娱乐作用，而在于这种机遇游戏的过程实际上就是良好的独立随机过程。只有出现了独立随机过程，概率论才有了最初的研究对象。而概率论也的确是在解决机遇游戏中出现的各种问题的基础上建立起自己的理论体系的。因此在概率论的孕育期，可以作为一种模型进行研究的机遇游戏过程即独立随机过程的出现是概率论得以产生的一个重要前提条件。
二 先进计数系统的出现
前面曾经提到，独立随机过程的出现并不是概率论诞生的决定性因素。职称论文 仅有概率思想而不能将概率结果表达出来，也不能形成完整的理论。概率论是一门以计算见长的数学分支，计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理) 进行纯数字运算。对于现代人来说，概率计算并不是一件难事。但是对于16 世纪以前的人来说，计算却是十分困难的，原因就在于古代缺乏简便的计数系统。当时的计数符号既繁琐又落后，书写和使用都很不方便，只能用来做简单的记录，一旦数目增大，运算复杂，这些原始的符号就尽显弊端了。而没有简便的计数符号，进行概率计算将是十分困难的事，因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成。
对于这一点，现代人可能不容易体会得到，究竟古代的计数符号复杂到什么程度呢? 我们可以以古罗马的计数系统为例来说明。
古罗马的计数系统是一种现在最为人们熟悉的简单分群数系，大约形成于纪元前后。罗马人创造了一种由7 个基本符号组成的5 进与10 进的混合进制记数法，即
I V XL C D M
15 1050 100 500 1000
在表示其他数字时采取符号重复的办法，如Ⅲ表示3 ，XX表示20 ，CC表示200 等。但如果数字较大表示起来就相当复杂了，比如:1999 =MDCCCCLXXXXVIIII
后来为了简化这种复杂的表示法，罗马人又引进了减法原则，即在一个较大的单位前放一个较小单位表示两者之差，如Ⅳ表示4 ，CM表示900 ，则1999 =MCMXCIX
如果要计算235 ×4 = 940 ，现代的竖式是
而公元8 世纪时英国学者阿尔琴演算同一道题的过程则要复杂得多:古罗马数字对于这样一个既不含分数和小数，数字又很简单(只有三位数) 的乘法运算处理起来尚且如此复杂，可以想象，即使数学家有足够的时间和耐心，要解决概率计算里涉及的大量纯数字运算也是一件太耗费精力的事。在这种情况下想要作出成果，数学家们的时间不是用来研究理论而只能是忙于应付这些繁重的计算工作了。显然古罗马的计数系统并不适合于进行计算，而事实上，欧洲的代数学相比几何学而言迟迟没能发展起来，很大程度上也是由于受到这种落后的计数系统的限制。不仅仅是古罗马数字，在人类文明史上出现过的其他几种计数系统(如古埃及、古巴比伦等的计数系统) 也由于符号过于复杂，同样不能承担进行大量计算的任务。
相反，以位值制为基本原理的阿拉伯数字则比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多，它不但书写简便，而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示。从上面的例子可以看出，它的使用可以大大节省运算时间，提高运算效率。正是由于使用了这种先进的计数符号，阿拉伯数字的发明者———古印度人的组合数学(组合数学原理是概率计算运用较多的一种数学工具) 才得以领先欧洲人许多。据记载，印度人，特别是公元前三百年左右的耆那数学家就由于宗教原因开展了对排列与组合的研究。公元四百年，印度人就已经掌握了抽样与骰子之间的关系(比欧洲人早一千二百年) 。而直到公元8 世纪时，商业活动和战争才将这种先进的数字符号带到了西班牙，这些符号又经过了八百年的演化，终于在16 世纪定型为今天的样子。
数字符号的简单与否对概率论究竟有什么样的影响，我们不妨举例说明:
问:有n 个人，当n 为多少时，至少有两人生日相同的概率大于二分之一?
假设所有人生日均不相同的概率为P ，则
P = (365/ 365) ×(364/ 365) ×⋯×[ (365 - n + 1) / 365 ]
而题中所求之概率P(n) = 1 - P = 1 - (365/ 365) ×(364/365) ×⋯×[ (365 - n + 1) / 365 ]
通过计算得出结论，当n = 23 时，P(n) = 0. 51 > 0. 5 ，因此答案为23。
这是概率论中著名的“生日问题”，也是一种很典型的概率计算问题。从它的计算过程中我们不难看出，数字运算在概率论中占有重要的地位。如果使用古罗马的计数法，这样一个概率问题从表达到计算都会相当繁琐，以至于它的求解几乎是不可能的。
对于阿拉伯数字的伟大功绩， 大数学家拉普拉斯(Laplace) 有如下评价:“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义。它是如此绝妙非常，正是由于这种简易难以估量⋯⋯我们显然看出其引进之多么不易。”[3 ] 阿拉伯数字的出现为概率的表达和计算扫清了阻碍，如果没有这些简便的符号，概率论可能还只停留在概率思想的阶段。正是由于使用了可以简洁地表示分数和小数的阿拉伯数字，才使概率思想得以通过形式化的符号清晰地表现出来并逐渐形成理论体系。在概率论的孕育阶段，这种形式化的过程是十分必要的，它使得对概率的理解和计算成为可能，因此先进的计数系统对概率论的形成和发展都起着重要的作用。
三 概率论产生的方法论基础———归纳法
除了需要具备上述因素以外，概率论的形成还需要具备归纳思维。概率论是一门具有明显二重性的理论体系:“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性;另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”。[ 4 ]这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法，因此可以说，归纳法是概率论的方法论基础，概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能。归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法，但在文艺复兴以前，占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性) ，归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后，这种状况才被打破。归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法。
从演绎到归纳，这个过程实际上是一种思维方式的转变过程，虽然转变是在潜移默化中完成的，但转变本身对概率论的出现却起着决定性的作用。我们可以通过考察“概率论”(probability) 一词的词根“可能的”(probable) 来说明这种转变。在古希腊“， probable”并不是今天的这个含义，它曾意味着“可靠的”或“可取的”，比如说一位医生是“probable”就是指这位医生是可以信赖的。但到了中世纪，这个词的含义发生了变化，它已经和权威联系在一起了。当时的人们在判断事情的时候不是依靠思考或证据而是盲目地相信权威，相信更早的先人所说的话。在这种情况下，如果说某个命题或某个事件是“probable”，就是说它可以被权威的学者或《圣经》之类的权威著作所证明。而经过了文艺复兴之后，人们终于意识到对自然界进行探索(而不是崇拜权威) 才是最有价值的事，正如伽利略所说的那样:“当我们得到自然界的意志时，权威是没有意义的。”[5 ] 因此，“probable”才逐渐与权威脱离了关系。15、16 世纪时它已经具有了今天的含义“可能的”，不过这种可能性不再是权威而是基于人们对自然界的认识基础之上的。
“probable”一词的演化体现了人们认识事物方式的转变过程。当然这并不是说，文艺复兴以前没有归纳思维。留学生论文当一个人看到天黑的时候他会自然想到太阳落山了，因为每天太阳落山后天都会黑。这种归纳的能力是与生俱来的，即使中世纪的人们思想受到了禁锢，这种能力却还不至消失。而抛弃了权威的人们比先辈们的进步之处在于，他们是用归纳法(而不是演绎法) 来研究自然界和社会现象的。他们将各种现象当作是自然或社会的“特征”，进而把特征看作是某种更深层的内存原因的外在表现。通过使用归纳推理进行研究，他们就可以发现这些内在原因，从而达到揭开自然界奥秘和了解社会运行规律的目的。于是在好奇心的驱使之下，归纳思维被充分地激发出来。而这一点恰恰是概率论得已实现的必要条件。从概率论的第一重特性中可以看出，概率论所研究的对象是大量的随机现象，如游戏中掷骰子的点数，城市人口的出生和死亡人数等等。这些多数来自于人们社会活动的记录都为概率论进行统计研究提供了必须的数据资料。虽然这些记录的收集与整理其目的并不在于发现什么规律，但善于运用归纳思维的人却能从中挖掘出有价值的研究素材。例如，早在16 世纪，意大利数学家卡尔达诺就在频繁的过程中发现了骰子的某些规律性并在《机遇博奕》一书中加以阐述;17 世纪，英国商人J·格龙特通过对定期公布的伦敦居民死亡公告的分析研究，发现了死亡率呈现出的某种规律性[6 ] ;莱布尼兹在对法律案件进行研究时也注意到某个地区的犯罪率在一定时期内趋向于一致性。如果没有很好的归纳分析的能力，想要从大量繁杂的数据中抽象出规律是不可能的。而事实上，在17 世纪60 年代左右，归纳法作为一种研究方法已经深入人心，多数科学家和社会学家都在不自觉地使用归纳的推理方法分析统计数据。除了上述两人(格龙特和莱布尼兹) 外，统计工作还吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批优秀学者。正是由于许多人都具备了运用归纳法进行推理的能力，才能够把各自领域中看似毫无秩序的资料有目的地进行整理和提炼，并得到极为相似的结论:随机现象并不是完全无规律的，大量的随机现象的集合往往表现出某种稳定的规律性。概率论的统计规律正是在这种情况下被发现的。
概率论的第二重特性同样离不开归纳法的使用。既然概率论反映的是人们对证明命题的证据的相信程度(即置信度) ，那么首先应该知道证据是什么，证据从何而来。事实上，证据的获得就是依靠归纳法来实现的。在对自然界特征的认识达到一定程度的情况下，人们会根据现有的资料作出一些推理，这个推理的过程本身就是归纳的过程。当假设被提出之后，所有可以对其合理性提供支持的材料就成了证据，即证据首先是相对于假设而言的。如果没有归纳法的使用，证据也就不存在了。由于归纳推理在前提为真的情况下不能确保结论必然为真，因此证据对假设的支持度总是有限的。在这种情况下，使用归纳推理得到的命题的合理性便不能得到充分的保障。而概率论的第二重特性就是针对这个问题的，证据究竟在多大程度上能够为假设提供支持? 这些证据本身的可信度有多少? 为解决归纳问题而形成的概率理论对后来的自然科学和逻辑学的发展都起到了重要的作用。
归纳法的使用为概率论的形成提供了方法论基础。它一方面使得概率的统计规律得以被发现，另一方面，也使概率论本身具有了方法论意义。从时间上看，概率论正是在归纳法被普遍运用的年代开始萌芽的。因此，作为一种具有扩展性的研究方法，归纳法为概率论的诞生提供了坚实的思维保障和方法论保障，在概率论的形成过程中，这种保障具有不容忽视的地位。四 社会需求对概率论形成的促进作用
与前面述及的几点因素相比，社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素，而只能被当作是一种外在因素。但从概率论发展的过程来看，作为一种与实际生活紧密相关的学科，其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的，因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力。在这一点上，社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18 世纪概率论的初期阶段来看，社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的[7 ] 。
在社会需求中，最主要的是来自保险业的需求。保险业早在奴隶社会便已有雏型，古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形。到了14 世纪，随着海上贸易的迅速发展，在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式。其后，火灾保险、人寿保险也相继诞生。各种保险虽形式各异，但原理相同，都是靠收取保金来分担风险的。以海上保险为例，经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司) 交纳一笔投保金，若货船安全抵达目的地，则投保金归保险机构所有;若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失，则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司) 共同承担[8 ] 。从这个过程中可以看出，对保险公司而言，只要船只不出事，那么盈利将是肯定的;对船主而言，即使船只出事，也可以不必由自己承担全部损失。
从性质上看，从事这种事业实际上就是一种行为，两方都面临巨大风险。而这种涉及不确定因素的随机事件恰恰属于概率论的研究范围。工作总结 由于保险业是一项于双方都有利的事业，因此在16、17 世纪得到了快速的发展，欧洲各主要的海上贸易国如英国、法国、意大利等都纷纷成立保险公司，以支持海上贸易的发展。此外还出现了专门为他人解决商业中利率问题的“精算师”。不过在保险业刚起步的时候，并没有合理的概率理论为保金的制定提供指导，最初确定投保金和赔偿金的数额全凭经验，因此曾经出现过很长时间的混乱局面。而这样做的直接后果就是不可避免地导致经济损失。例如在17 世纪，养老金的计算就是一个焦点问题。荷兰是当时欧洲最著名的养老胜地和避难场所，但其养老金的计算却极为糟糕，以致政府连年亏损。这种状况一直持续到18 世纪，概率理论有了相当的发展，而统计工作也日渐完善之后，情况才有所改观[9 ] 。在结合大量统计数据的前提下，运用概率理论进行分析和计算，由此得到的结果才更有可能保证投资者的经济利益。
我们可以举一个人寿保险的例子来说明概率理论是如何应用到保险事业中来的:2500 个同年龄段的人参加人寿保险，每人每年1 月交投保费12 元。如果投保人当年死亡，则其家属可获赔2000 元。假设参加投保的人死亡率为0. 002 ，那么保险公司赔本的概率是多少?
从直观上看，如果当年的死亡人数不超过15 人，则保险公司肯定获利，反之，则赔本。不过单凭经验是绝对不行的，必需有一套合理的理论来帮助处理此类问题。根据所给条件，每年的投保费总收入为2500 ×12 = 30000 (元) ，当死亡人数n ≥15 时不能盈利。令所求之概率为P ，由二项分布的计算公式可以得出P(n ≥15) = 0. 000069。也就是说，如果按以上条件进行投保并且不出现特别重大的意外，则保险公司有几乎百分之百的可能性会盈利。
这个问题就是通过将概率理论运用到关于人口死亡的统计结果之上从而得到解决的。这个简单的例子告诉我们，概率理论对保险业的发展有着相当重要的指导作用。根据统计结果来确定在什么样的条件下保险公司才能盈利是概率理论对保险业最主要的贡献，它可以计算出一项保险业务在具备哪些条件的情况下会使保险公司获得收益，并进而保证保险公司的经营活动进入良性循环的轨道。从另一方面看，最初保险业的快速发展与其不具有基本的理论依据是极不协调的，这很容易导致保险公司由于决策失误而蒙受经济损失。因此保险事业迫切需要有合理的数学理论作为指导。在当时的社会环境下，由科学家参与解决实际问题是非常有效的，而由保险所产生的实际问题确实曾吸引了当时众多优秀数学家的目光。在1700 - 1800 年间，包括欧拉、伯努利兄弟、棣莫弗(de Moivre) 、高斯等在内的许多著名学者都曾对保险问题进行过研究，这些研究的成果极大地充实了概率理论本身。
可以说，经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系，一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题。另一方面，新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生。概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证，正是由于有了概率论作理论指导，保险业的发展才能够步入正轨。反过来，保险业所出现的新的实际问题，也在客观上促进了概率理论的进一步完善。这样，对于概率论的发展来说，保险业的需求便顺理成章地成为了一个巨大的动力。
五 总结
概率论的产生就像它的理论那样是一种大量偶然因素结合作用下的必然结果。首先，这种机遇游戏提供了一种良好的独立随机过程，在进行的过程中，最原始的概率思想被激发出来;其次，先进的计数系统为概率思想的表达扫清了阻碍，也使得这些思想得以形式化并形成系统的理论。当然在获得概率思想的过程中，思维方式的转变和研究方法的进步才是最根本的关键性条件。如果没有归纳法的使用，即使存在着良好的独立随机过程也不可能使人们认识到大量统计数据中所隐藏着的规律性。此外，社会经济的发展，需要借助数学工具解决许多类似保险金的计算这样的实际问题，而这些吸引了众多优秀数学家们兴趣的问题对于概率论的形成是功不可没的，它大大刺激了概率理论的发展，使概率论的理论体系得到了极大的完善。上述四个因素都是概率论产生的重要条件，但是它们彼此之间并没有明显的时间上的先后顺序，最初它们的发展是各自独立的，但是随后这些条件逐渐结合在一起，使得原本零散的概率思想开始系统化、条理化。从概率论的历史来看，这几种因素的结合点就是17 世纪末至18 世纪初，因此概率论在这个时间诞生是很自然的事。
了解概率论的产生条件对于我们理解概率论在当今社会的重大意义有很好的帮助。今天，随着概率理论的广泛应用，它已不仅仅是一种用于解决实际问题的工具，而上升为具有重大认识论意义的学科。概率论不仅改变了人们研究问题的方法，更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的，它充斥着大量的偶然性，所谓规律也只是在相当的程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率，我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。科学发现的确需要偶然性，现代科学向我们证明，概率理念和概率方法已经成为进行科学研究的一项重要手段。
【参 考 文 献】
[1 ] Ian Hacking. An Introduction to Probability and Inductive Logic [M] . CambridgeUniversity Press ，2001. 23.
[2 ]陈希孺. 数理统计学小史[J ] . 数理统计与管理，1998 ，17(2) : 61 - 62.
[3 ]张楚廷. 数学方法论[M] . 长沙:湖南科学技术出版社，1989. 272 - 274.
[4 ] Ian Hacking. The Emergence of Probability[M] . Cambridge Uni-versity Press ，2001. 1.
[5 ]莫里斯·克莱因. 古今数学思想(第二册) [M] . 上海:上海科学技术出版社，2002. 35.
[6 ]柳延延. 现代科学方法的两个源头[J ] . 自然科学史研究，1996 ，15(4) :310 - 311.
[7 ]Neil Schlager. Science and Its Times. Vol 4 :205 - 206 ，Vol 5 :205 - 208. Gale Group ， 2001.
[8 ]大美百科全书(第15 卷) [M] . 北京:外文出版社，1990.164.
课堂教学的趣味化，即结合学生感兴趣的实际问题引入概率知识，激发学生的求知兴趣，启发学生的数学思维。内容枯燥，教学方式单一是学生感觉课堂乏味的主要原因。在教学过程中，教师应多结合学生感兴趣的问题，让学生自己解决，这有助于提高学生的学习兴趣。比如，在给出数学期望的定义时，可以介绍学生的平均成绩问题：五名学生的成绩分别为85,80,90,85,90，求这五名学生的平均成绩。五名学生成绩的概率分布如表1所示。通过观察表1，学生很容易知道平均成绩为1/5×（85+80+90+85+90）=80×1/5+85×2/5+90×2/5，这即是离散型随机变量数学期望的形式。另外教师应精简例题的数量，利用有层次的例题展现知识点。二维连续型随机变量函数的加法分布是概率学习中的重点也是难点，在讲授时，教师可以首先通过两种方法（定义法和卷积公式法）计算X+Y型函数的分布使学生感受两种方法的不同之处，然后介绍2X+Y型分布，使学生了解卷积公式不是万能的。
2教学的生活性
课堂教学的生活化，即通过生活中具体的实例讨论概率的应用，建立形象问题和抽象思维之间的联系。概率论与数理统计是一门实用性很强的科学，在具体实际情况和数学概念、定理、公式之间建立正确的联系，成为现在学生面临的主要难题。教师在教学过程中可以分析一些具体的实例，使学生了解怎样应用数学知识解决实际问题。比如分析问题“根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若被诊断者患有癌症，则试验反应为阳性的试验反应为阳性的概率为0.95，若被诊断者没有患有癌症，则试验反应为阴性的概率为0.95，且被试验的人患有癌症的概率为0.005，问如果被试验者反应为阳性，他患有癌症的概率为多大？”这是一个题目很长的实际问题，学生一般无从下手，解决问题的关键在于了解题目中涉及几个条件和几个随机事件，只要准确描述随机事件就可以把实际问题转化为概率问题。实际问题的多次训练有助于培养学生用数学语言描述实际问题的能力。
3教学的启发性
教学的启发性即给学生思考的时间，等学生无法想明白的时候再去开导。具体来说就是老师对上课提出的问题给出学生思考的时间，在学生主动思考之后，帮助学生开启思路。“填鸭式”，“满堂灌”的教学方法最容易使学生失去学习兴趣。孔子曰“不愤不启，不悱不发”，说的就是要启发学生思维，引导学生思路。比如，讲授全概率公式之前引入实例：有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？撇开概率知识不谈，把这个问题纯粹看成一个数学问题，也可以用中学知识解决，给学生几分钟思考的时间并适当引导学生使用数形结合的方法讨论，我们把产品在三个工厂的生产及次品情况转化为产品分布图，学生就很容易地知道从这批产品中任取一件次品的概率就是黑色椭圆区域在整个矩形内所占的比例，经过分析就可以得到全概率公式。该方法不仅能够加深学生对该问题的印象，还有助于学生对复杂全概率公式的理解。
4教学的研究性
教学的研究性，就是要培养学生解决新问题的能力。在大学教育中仅仅教给学生课本上的知识是远远不够的，尤其是在现代科技迅速发展的情况下，应该花大力气培养学生解决未知问题的思维能力。比如，在讲授正态分布的概率密度函数的图形特点时，可以让学生自己试着研究密度函数图形的特点。首先引导学生根据高等数学的知识来研究函数图形的以下特性：（1）奇偶性（对称性）；（2）单调性；（3）有界性；（4）凹凸性及拐点。接下来根据正态分布概率密度函数的具体形式分析密度函数图形的特性。在概率论与数理统计的教学中，教学方法影响了学生对这门课程的掌握程度，成功的数学教育不仅要为学生提供数学知识，还要对学生进行数学的思维训练。采用灵活多变的教学方法和形式，致力培养学生的综合素质能力是我们永恒的目标。
[关键词] 成本效率 利润效率 相对效率
一、引言
成本效率首先是一个投入产出的问题，在普遍的经济管理文献中，成本效率的含义是一种模糊的投入产出比例关系。或者说只要有投入产出的关系，很容易联系到成本效率，但没有能够很明确的定义。自1987年美国著名的运筹学家A Charnes 等创立DEA模型即数据包络分析模型以来，在世界范围内很多领域得到应用和发展，已成为评价具有同类型投入和产出的若干个生产或非生产部门（决策单元）相对效率的有效方法。本文旨在通过对各相对效率的比较分析，来明确成本效率的含义，并对成本效率的计算定义加以分析阐述。
二、成本效率、利润效率
数据包络分析方法是基于单目标线性规划，在所定义的生产可能集内，或固定投入而将产出尽量扩大；或固定产出而将投入尽量缩小，其产出的最大扩大比率的倒数或投入的最小缩小比率被定义为决策单元的相对效率。而前者称为产出DEA，即利润效率；后者称为投入DEA，即成本效率。以下主要借鉴了Berger 和 Mester、Maudos 和 Pastor的研究成果
1.成本效率（Cost Efficiency,简称CE）
成本效率是用来衡量在市场环境相同、产出相同的情况下,一个决策单元的真实成本接近处于有效边界或最佳运营单元成本的程度。假设一个决策单元的真实成本为C, 处于有效成本边界单元的最小成本为C, 则这一决策单元的成本效率为CE= C/C。这意味着在产出相同情况下, 决策单元节省的成本为（1-CE）×100%。我们不难看出,CE的取值范围为(0,1]。
2.标准利润效率（Standard Profit Efficiency, 简称SPE）
标准利润效率衡量的是在投人和产出价格既定的情况下, 一个决策单元实现的实际利润接近它能实现的最大可能利润的程度。其中实现的最大利润由标准利润边界决定。标准利润边界假定产出和投人市场是完全竞争市场, 即决策单元在定价方面不存在任何力量, 因此只能接受既定的价格。假设一个决策单元实现的真实利润为∏, 在标准利润边界上实现的最大利润为∏, 则标准利润效率为记SPE=∏/∏。这意味着在投人和产出价格既定的情况下, 决策单元可以增加的利润为(1-SPE)×100%。与成本效率不同的是, 标准利润效率可能为负值, 因为可以损失100%以上的潜在利润, 尽管这种可能性出现的概率很小。
三、成本效率研究
国外关于成本前沿的研究,在模型设定上主要利用数据包络分析(DEA)来获得随机前沿的成本函数,如Evans和Heckman, Charnes等对美国AT&T分离时的成本研究。估计的领域主要涉及电信、能源、航空、高速公路和银行业等部门。
国内的相关研究主要体现在利用随机前沿的生产模型( 而非成本模型) 。如Yanrui wu对我国省市层面1981年～1995年的面板数据通过生产率分解研究我国经济的可持续发展问题; 姚洋、姚洋和章奇、涂正革和肖耿运用对数形式的时变(time-varying)生产函数对我国工业企业的全要素生产率的分解和效率分析等，在宏观层面上,运用生产函数分解我国工业全要素。这几年运用前沿技术在微观层面对我国企业公司成本效率估计也有相应的研究，如赵永亮采取我国上市公司制造业企业两个年度(2001和2004)的横截面数据,对DEA分析下随机前沿的成本函数进行估计,主要分析的企业绩效包括成本效率(CE)、技术效率(TE)、配置效率(AE)和规模经济(SCE)；涂正革根据于国家统计局大中型工业企业1995～2002年的年度统计数据，8年共177086个观察样本，进行DEA分析得到随机前沿成本的估计，得到的成本效率、技术效率、配置效率和规模效率变化。在对成本变化分析时在借鉴Malmqusit指数理论思想，把成本增长率分解为对成本增长贡献可以直接累加的五大因素:技术效率和配置效率变化的效应、技术变化的效应、要素价格效应和生产规模效应，并且把技术进步、技术效率和配置效率效应表示成本降低率。
四、总结
成本效率作为一个概念的应用，在经济管理文献中广泛出现，但对其有定义的数量较少。如涂正革认为成本效率也称为经济效率或总效率，是与生产业绩密切．关联的指标。成本效率不仅考虑投入与产出之间的数量关系，也考虑投入要素之间的优化组合；匡海波港口企业成本效率是指港口企业以最小的成本，获得最佳产出的能力，是对港口企业实现成本最小化或产出最大化有效程度的度量。所以，成本效率概念可从以下两方面来加以理解:首先，成本效率是一个投入产出相对效率的概念，这几乎是所有应用这一概念所包含的意义；另一个重要的含义，是相对利润效率而言的，成本效率是指产出一定企业单位以最小成本进行生产的效率。因此以上匡海波的成本效率定义有所混淆。
参考文献：
[1]赵永亮:我国制造业企业的成本效率研究.《南方经济》，2007年第8期
[2]涂正革肖耿:参数成本前沿模型与中国工业增长模式研究.《经济学》，2007年10月第七卷第1期
关键词：概率论 金融 风险理论 运用
金融风险主要有市场风险、信用风险、人事风险、作业风险、流动性风险等等，金融风险投资就是对这些高风险领域进行了一种创先性的投资，这些风险伴随着金融风险投资活动的始终，而无论具有多大的风险，风险投资者都在试图把风险降到最低以获得最大的经济效益，这时我们可以通过概率论去探寻解决问题的研究方法和规律，对于绝大多数的金融风险投资公司而言，在进行一个项目的竞标，首先必须运用概率论进行科学的分析，从而决定对这个项目是进行投资还是放弃。金融风险理论是对金融风险进行分析、管理、控制的理论，主要有不对称信息理论和金融机构不稳定性即脆弱性理论。概率论总是试图从金融风险当中找到可以降低风险的规律性的东西，以达到在做出相关决策是提供有效的决策建议。
一、金融风险理论
（一）不对称信息论
在当今社会和市场经济活动当中，信息就是经济效益，掌握信息的多少直接关系着利益，而实际的情况是不同的人员对相关信息的了解是有区别的。对信息掌握得比较多的一方比掌握较少的一方处于更加有力的位置，形成一个信息掌握不对称的局面，优势一方通过向缺乏一方传递信息而在市场经济活动当中获得利益。信息不对称导致金融机构在投资的时候，并不是总能够选择那些有效的投资项目，低风险高效益的投资项目。
（二）金融机构不稳定性（脆弱性）理论
金融机构的不稳定性理论指的是金融体系具有周期性的倾向，不同的经济时期会有不同的金融参与人员。这是从周期性角度来解释金融体系不稳定的孕育和发展。明斯基把经济中的借款企业分为三类：抵补型借款企业、投资型借款企业、庞齐企业。当经济长时间比较繁荣的时候，投资型借款企业、庞齐企业的贷款人会增多，当价格不能再往上涨以后，经济回落，这些借款人违约，金融机构出现支付方面的危机。这导致了金融机构的脆弱性，而这种脆弱性会周期循环。
金融风险理论处理以上两点之外，还有经济转轨以及制度变迁等理论，对金融风险是一个新的认识与新的解释模式，对金融风险的认识也更加的深入，在这不一一详述。
二、概率论在金融风险理论当中的运用
风险是指在一定时期以内，由于各种原因导致的事物可能发生变化，以及这种变化给风险承担这带潜在损失的可能。对风险进行控制首先必须明确风险背后可能存在的风险因子，分析风险因子可能对投资项目造成的各方面的影响，找出风险发生的原因和条件，建立起科学的风险研究体系，从而保证了概率论的分析方法的准确性。其中，风险识别也是一个十分关键的环节，它是以人们长期面对风险投资所积累的实战经验，它同时也是进行风险识别的基础。概率论主要是着眼于某一种情况发生或者不发生的几率，从而达到对一个事件的整体预测，进而采取决策。
（一）概率论与风险损失
有风险就会有潜在的损失，这些潜在的损失是一个随机变量，同样，保险公司在一定时间内所需要面对的总的索赔次数也是一个随机变量，单次索赔额也是一个随机变量，因此可以得出一个结论：总索赔额也是一个随机变量。这可以用概率论的相关理论来进行研究解释。当前研究随机变量一个很常用的工具就是钜母函数，通过它可以很容易的计算出各种随机变量的数字特征，另外，还可以通过分析钜母函数来对两个随机变量进行分析，判断它们之间是否存在相同的分布函数。
1、单次损失量分布
在这里主要讨论的是概率论当中的损失分布问题，这对通过金融风险理论来对金融风险进行有效的管理至关重要。损失分布是对损失进行量化的理性分析，主要有单次损失分布，发生损失次数分布，以及在此基础之上的总损失量分布。金融风险投资赚的就是风险带来的效益，风险的发生有一定的概率，发生了就损失，不发生就获利，在发生与不发生之间，存在着怎样的关系，是本文需要探讨的问题。概率论认为，损失大的风险发生的概率小，而损失小的风险发生的概率大，当损失加大时，发生的概率也增大，到达一定程度时概率又减小。对金融风险投资来说信息掌握的越多，那在进行风险投资时风险发生的效率就越小。获得效益的大小，在获得效益当中存在怎样的风险可以通过概率论的相关理论得出。例如，通常情况下我们在研究单次损失量损失分布理论时，损失量额度大保险事故发生的概率小，针对这种情况我们一般采取帕拉图分布、指数分布及韦布尔分布等；针对损失量小保险事故发生的概率大，针对这种情况我们一般采取对数、正态分布、韦布尔分析及伽玛分布等。
2、多次损失量的分布
在单次损失量分布的基础上我们建立了多次损失量的分布，对于损失次数较多的分布我们通常采取的是几何分布、超几何分布、二项分布及离散型均匀分布等。
3、总损失量分布
总损失量分布通常是指在一定时间内所发生的理赔总损失数，它是一个离散型随机变量，与在相同时间内发生的次数和额度相关。在保险的精算中，损失分布的均值、标准差、偏度及方差等都是重要的数字特征。当前关于总损失分布情况所建立的风险模型主要有两种：
（1）封闭式集合风险模型：设定集合风险中的保险标的为有限总数n，且每个个体风险单位时间只能发生一次索赔，则在这个单位时间内集合风险中保险标的的总理赔量为所有理赔额度之和。假设总数为10，第8个保险标的发生了损失，其理赔额度为X8，则在该单位时间内的总理赔损失量S10=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8。
（2）开放式风险集合模型：当不能够事先确定集合风险中的保险标的数时，在单位时间内又允许多次索赔的发生，则所发生的总理赔损失量为所有理赔额数之和。假设第4次发生索赔，则在该时间内的总理赔次数为6，则在该单位时间内的总理赔损失量S6=X1+X2+X3+X4。
（二）概率论在风险理论当中
不对称信息论认为对信息的掌握不同，那就处于不同的地位，在风险投资的时候就会有不同的风险。不对称的信息使得风险管理变得更加的困难，而对于金融风险投资机构来说，如何运用概率论和风险当中的损失分布来达到经济效益是一个问题。概率论具体的分析了风险损失的分布情况，所以，即使是信息掌握不对称，也可以运用概率论的损失分布的一般原理来达到规避风险的效果。任何风险的发生与不发生都有一定的概率，风险投资方的单次损失量和损失次数都有一个概率性问题，只要正确的认识了他们之间的关系，就能对风险进行有效的管理，减少不必要的损失，达到经济效益。
金融机构的脆弱性导致在经济比较萧条的时候竟然机构可能会出现支付危机，这其实也是一个概率问题。金融机构的周期性倾向导致金融本身的脆弱性，本身就具有脆弱性的金融机构在风险投资当中如何避免损失，可以用概率路进行研究探讨。概率论的损失次数和总索赔次数等的函数关系可以使得在进行风险投资的过程当中帮助做出有效决策。
三、总结
金融风险理论到目前来说还处于一个不断发展变化的过程，对金融风险的认识也更加的深刻、全面、准确。降低风险，承担最小的风险，获得最大的效益是金融风险投资机构一直以来不懈追求的目标。概率论在风险理论当中的运用已经被广泛的注意到了，把概率论这种数学方法运用到金融风险理论当中还需要不断的尝试，不断的进行研究，以加深对二者之间关系的认识。
参考文献：
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[2]寿杭勇.关于概率论与数理统计的应用探讨[J].科学与财富，2010（12）
[3]徐洪香.概率论的缘起、发展及其应用[J].辽宁工学院学报（自然科学版），2001，21（3）
[4]彭玉忠.基于概率论的风险型决策及应用[J].西安文理学院学报（自然科学版），2009（2）
（山东工艺美术学院公共课教学部，山东 济南 250000）
【摘 要】不等式作为数学研究的一个重要领域，被应用于实际生活中的物理、化学、生物和信息技术等各领域中，已成为人类生活中不可缺少的一部分，诸多科学家投入大量精力做更加深入的研究。经过人类多年的研究，取得了丰硕的成果。本文在介绍了不等式的国内和国外的发展历程及其重要性的基础上，从概率论的角度给出不等式的证明方法，并给出相对应的例题加深理解。
关键词 不等式；概率论；方法
不等式在数学的整个研究过程中占有的非常重要的地位，它既可以作为一种单纯的方法来解决各个领域中的难题，也可以作为桥梁来引申出新的方法，来解决更深层次和领域的问题。不等式证明涉及了包括初等数学、高等数学和数学分析等诸多方面，在数学中有着不可替代的作用。在数量关系上，虽然不等式比相等关系更加广泛的存在于我们的生活中，但是，人们对于不等式的认识要比方程式迟很多。数学不等式的研究，兴起于欧洲国家，东欧国家形成了一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。十七世纪以后，不等式的理论逐渐发展起来，成为了数学基础理论的一个重要组成部分。
在数学不等式的研究历史中，有两个重要的分水岭，分别以Chebyshev（切比雪夫）在1882年发表的论文和1928年Hardy担任伦敦数学会主席届满时的演讲为标志。 Hardy，Littlewood和Plya的著作Inequalities的前言中对不等式问题给出了他们自己的见解，并得到了积极响应，即人们一般认为的初等的不等式的证明，应该是“内在的”，且应该给出等号成立的证明。 自从著名数学家G.H.Hardy，J.E.Littewood和G.Plya的著作Inequalities出版以来，标志着数学不等式理论及其应用的相关研究正式进入人们的视线，成为一门重要的新兴数学学科，从此，不等式的问题不再是一些零星散乱的、复杂难懂的公式组合，而是一套系统复杂的科学理论。“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。”在美国《数学评论》MR2000中，除了MR26中的9个主题分类外，还有24个主题分类分散在其他部分，其中MR39B62（泛函不等式）、39B72、49J20、40（变分不等式）、26E60（平均）等都是MR2000中新增加的。这说明不等式仍然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。 最后，在不等式证明的研究成果上也可看出不等式证明研究的重要性。如国际上一般不等式的会议每隔两三年就召开一次，并且每次会议都出版了相关的论文集，国内1994年召开几何不等式会议后，1999和2001年又分别在江苏苏州和四川安岳县召开了全国第一、二届不等式研究会议，并已出版论文集。可见由于不等式的研究成果越来越多，更多的目光聚焦熬了不等式证明的研究上。本文，我们应用概率论理论及其经典不等式给出一些不等式的证明。
1 运用概率证明不等式
对于一些不等式的证明问题，我们可以运用概率论的相关性质來解题，此方法新颖巧妙，例如以下不等式性质：
定理1：设ξ是一个随机变量，并且E(ξ2)存在，则E(ξ2)≥(Eξ)2.
此定理的证明应用方差的定义和性质证明，非常简单和显然。
证明：因为D(ξ)=E(ξ2)-(Eξ)2≥0，所以结论成立
证明：若我们将f(x)看成为[0,1]的一个密度为1的随机变量ζ的函数，那么该随机变量的密度函数为：
2 在证明不等式时，我们常常运用一些特殊的公式来证明不等式，其中，较为有名的一些公式如下
此不等式在不等式证明中有着非常重要的地位，其本身与柯西不等式相似，在使用时必须要构造出合适的两组数列，才能成功的证明不等式。
（2）(柯西施瓦茨不等式)：该不等式可以巧妙应用与证明不等式、求解函数最值、解方程等，柯西不等式有很多种形式，此处，我们仅以列出向量形式，即
本文主要研究的是应用概率论理论给出不等式证明的方法，并给出相应的例题来加以实用。同时在文章的开头对不等式研究的状况和主要性做了阐述。通过论文，我们可以发现很多特殊的公式可以成为证明不等式的一大重要工具，甚至是一些表面看起来毫无关系的公式也能在证明不等式中发挥巨大作用。因此，我们在求证不等式必须要发散思维，举一反三，开阔思路才能更加高效的解决问题。
参考文献
［1］杨学枝.不等式研究[M].上海:人民教育出版社,1979:3-12.
［2］樊映川.高等数学讲义(上册)[M].上海:人民教育出版社,1979:4-32.
［3］彭军.不等式证明的方法探索[J].襄阳职业技术学院学报,2007,6(4):22-24.
［4］孙凤芝,李伟.不等式证明的方法[J].大庆师范学院报,2010(6):40-42.
【关键词】概率论；疾病确诊率；人寿保险；产品质量责任追究；运用
中图分类号：O10文献标识码：A文章编号：1006-0278（2016）01-179-02
一、引言
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要。概率论是研究随机现象和事件不确定性的一门数学分支，它既古老又年轻.概率论的起源与问题有关，游戏在人类社会已经存在了几千年，概率思想早在几千年前就有了萌芽.说它年轻，是因为在数学界一致认为直到1654年法国数学家帕斯卡和费马之间的七封通信才开始了概率论的研究.随着18世纪、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展.在当代，随着概率论和各学科之间的交叉融合，概率论成为一门应用非常广泛的学科，在日常生活中，周围的许多事物都和概率有着千丝万缕的联系.正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯（ Jevons，1835-1882）所说：概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，人们就寸步难行，无所作为.下面从日常生活中的三个实际问题阐述概率论的运用.
二、概率论在日常生活中的若干运用
（一）概率论在疾病确诊率方面的运用
问题一：某疾病能被诊断出来的概率是0.95，无该病而误诊有该病的概率是0.002，如果该地区患该病的比例为0.001，现随机的抽取该地区一人，诊断患有该病，求该人确实患有该病的概率。
解析：为了叙述的方便，设B=该人患有该病，A=该人诊断患有该病，则所求概率为：P（B|A），贝叶斯公式得：
所以，P（B|A）=0.3225
在诊断患有该病的情况下，确实患有该病的概率很小，还不到三分之一。
（二）概率论在人寿保险方面的运用
问题二：有2500人参加某保险公司的人寿保险，据以前统计资料，一年内每个人死亡的概率为0.0001，每个参加保险的人1年付给保险公司120元保险费，而在死亡时其家属从保险公司获得20000元赔偿费，求下列事件的概率：
A=保险公司亏本，B=保险公司一年获利不少于十万元。
分析：假设这2500人当中有k个人死亡。则保险公司亏本当且仅当2500k>2500×120，即k>15。又由二项分布公式知，1年中有k个人死亡的概率为：
由此可见，保险公司1年获利十万元几乎是必的，
（三）概率论在产品质量责任追究方面的运用
问题三：某工厂4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的0.15，0.2，0.3，0.35，各车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，有一用户买了该厂1件产品，经检查是次品，用户把规定进行索赔。厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已经脱落，请你给厂长建议，怎么追究生产车间的责任？
分析：由于不知道该产品是哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任，各车间所负责任的大小应该正比于该产品是各车间生产的概率对的大小。
设Aj=该产品是j车间生产的，j=1，2，3，4；B=从该厂产品中任取一件恰好取到次品。
则第j个车间所负责任大小（比例）为条件概率：
即第1，2，3，4车间所负责任比例为0.238，0.254，0.286，0.222.
三、总结
在我们日常生活中存在着大量的随机现象，都可以用概率论来解释与说明.概率与人们的生活息息相关，小到每天出行的天气预报，大到国防建设中的东风导弹的命中率、核电站可靠性评估，蛟龙号的下潜深度的估算等，概率论必将越来越显示其强大的力量.只要我们善于思考、善于挖掘、善于用概率的思维来思考问题，就能使概率论科学的指导我们的生产生活。
参考文献：
[1]缪铨生.概率论与数理统计[M].华东师范大学出版社，1997.
[2]段学新.实际问题的概率分析[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2005（4）.
[3]王宇超.数学在经济生活中的应用[J].宿州师专学报，2002（01）.
关键词：《概率论》;高职高专;课程设置;教学策略
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）19-0245-03
一、引言
《概率论》是高职高专重要的基础理论课之一，它是研究随机现象统计规律性的一门学科。近几年来，一些高职院校相继开设了《概率论》，南充职业技术学院开设了初等教育（理科方向）这个专业，《概率论》就自然而然成为了该专业的一门专业学科。而高职高专学生普遍基础较薄弱、学习方法欠佳、学习能力不强。因此，这部分学生在学习《概率论》这门学科时感到难度最大，学习兴趣不浓，教师的教学效果也不佳，反映了“教师难教、学生难学”这一教学现象。那么，如何提高高职高专《概率论》的教学效果？这是很大在高职高专从事数学教学工作的教师应该思考的问题。笔者这几年来主要从事《概率论》的教学工作，对此问题进行了长时间的思考和探讨，总结出了一些教学经验，在此谈谈教学心得，以供同行参考。
二、《概率论》的教学现状分析
（一）课程设置现状
概率是研究现实世界随机事件发生的可能性大小，一般情况下，它有两个定义，一是统计定义，是频率fn（A）当n∞时的近似值;二是古典定义，随机事件A的概率：
P（A）= =
而它的作用可以说体现在两个方面，一是研究随机事件发生所具有的规律性;二是研究随机事件发生的可能性大小。在这两个功能中，第二个方面是研究重点，随机事件发生的可能性大小可以为生产决策者提供最佳方案。概率论在很多科学领域如国民经济和工农业生产的各个部门，气象、水纹、地震预报、产品的抽样检验等都有所应用;在工程设计中，用概率可以实现对元件和系统的可靠性检测以及对平均使用寿命的估算;机械方面，可以通过建立数学模型用计算机来控制生产;而在通讯工程方面，则可以运用概率知识提高系统抗干扰和分辨率。由此可见，概率知识在整个国民经济和生产的各个领域应用之广泛。笔者认为至少应该在机电、信息技术、通讯工程、经济管理这些技能性很强的学科开设《概率论》，南充职业技术学院也仅仅在初等教育（理科方向）开设了这门课。从各学校对《概率论》的课程设置角度来看，各高职院校对《概率论》的了解和重视程度不够。
（二）教学现状分析
1.学生数学基础知识薄弱。高职高专在招生层次上，学生入学成绩普遍偏低。学生文化知识偏低，尤其是数学成绩更差。在中学时对数学已经产生了畏难心理，可以说到了谈“数”色变的境地。《高等数学》可以说是《概率论》的基础学科，在概率论中很多地方都要用到高等数学知识，在对高等数学都没掌握好的情况下再来学习概率，当然势必有部分学生会觉得《概率论》比《高等数学》还难，于是对《概率论》更是惧而远之。基于这种现状，一些高职院校也投学生所好，干脆不开设《概率论》。
2.对《概率论》的认识不到位。《概率论》是大学数学的一门分支学科，且不是孤立的学科，它将涉及到极限、导数、微分、积分等许多知识体系，对提高学生的应用数学知识能力有很大帮助。但是，总有一部分学生认为今后从事的工作中用到高等数学知识的机会不多，用到概率知识就更少，甚至有一部分学生认为《概率论》可学可不学，学多学少一个样，缺乏学习的积极性和主动性。还有一部分高职院校认为，高职院校的培养目标是“培养高素质劳动者和技术技能性人才”，重点培养学生的实际操作能力，而《概率论》只是纯理论学科，缺少实际操作及能力培养目标，认为概率论是为专业课程服务的，它教学应按照专业的培养方案进行，这种认识忽视了数学本身的价值与数学在人才培养中的作用，致使高职高专院校人才培养方案不完善。
3.课时设置不合理。无论是《高等数学》还是《概率论》，无论是因学生学习难度还是教师教学本身存在难度，还是从教学规律来说，都要求高职高专院校对这两门课开设足够的课时数。但事实并非如此。首先，高等数学中的极限和微积分等知识是解决概率的基础工具，而只在大一上学期开设《高等数学》，且周学时4学时，课时数严重不足导致两个问题出现：一是内容上不完，教师基本上只能上完《高等数学》（上），而《高等数学》（下）只能粗讲前两章内容;二是教学效果不良好。因时间关系，教师不得不赶进度，使得讲解不够透彻、深入、细致，学生练习时间不够，掌握不牢。等在第二学年学习《概率论》时，很多知识和公式又忘了，教师又不得不花时间补讲。其次，高职院校开设《概率论》最多4学时/周，且只开设一学期，南充职业技术学院是每周3学时，全书10多章内容，要求教师48个课时上完，上课期间还不得不补讲《高等数学》内容，教学效果就可想而知了。
4.教材选用不当。据了解，现在很多高职院校都反映到要为高职学生选用一本适合他们的教材很难。教材出现向两边倒倾向。要么教材太难，学生学习起来困难;要么教材因删减的部分太多又显得内容太单薄，有几章仅有两三页内容，学生学了之后可能只记得住一些标题。所选用的《概率论》教材深难度是决定学生学习难易程度的一个因素。
5.教学模式传统化、单一化。数学学科本身的特点决定了数学教师所采用的教学模式以黑板和粉笔为主。因为教师板书的过程是引导学生进行思考、推理、演算的过程，没有教师带动学生演算这个过程，学生是难以掌握知识本身，且不说还要知识迁移，举一反三。但是如今是信息时代和网络时代，如果教师依然只采用传统方式教学，教室里的多媒体设备对《概率论》教师来说是一种摆设，课堂模式太传统，教学方式不形象、不直观，难免导致课堂教学模式单调、死板、枯燥，课堂教学灵活度不够，难以激发学生的学习兴趣，不能调动学生学习的积极性，更无法发挥学生的主观能动性。
三、教学策略探讨
1.强化思想认识。学校相关职能部门和教师都应从思想上强化认识。在思想认识上应做到以下几点：首先，高职高专教务处等相关职能部门领导应充分认识到开设《概率论》的重要性，可以在理科类专业将《高等数学》和《概率论》都作为基础课来开设。其次，担任《概率论》教学的教师在教学过程除了传授知识本身外，还应加强对学生人文素养的培养。我们为什么要学数学？是数学教会了人们如何思考，是数学教会了人们如何创新，数学是一门改变和推动了世界的学科;学好数学的有效捷径是“做数学”，从单纯地做题，转移到归纳、提练数学思想、方法，举一反三。什么是思想？思想就是“想”。什么是方法？方法就是落实“想”的做法。《概率论》是数学的一门分支学科，概率的系统性、严谨性和高度的抽象性决定了学好概率必须付出一定的努力，由此培养学生不畏困难、敢于挑战的勇气和决心。
2.教师重视自身师德和师能的提高。教师是教学活动的主导，在整个教学活动起着举足轻重的作用，教学质量的高低与教师本身所具有的知识水平和教学能力直接相关。作为一名概率论教师，应牢记“德高为师，身正为范”，关心学生、热爱学生，要具备高尚的师德和情操，要以“德”和“能”服学生，只有这样，学生才愿意和乐意学你所担任的学科。
此外，因概率论的学科特点决定了要上好门课，教师必须付出一定努力，教师应严格坚持教学“六认真”以提高自己的教学能力，重中之重是备课。首先，应重视备课。有部分教师不太重视这个问题，甚至还有一些错误的看法，认为高职学生数学基础较差，用不着讲很多内容，只要把教材上的基本内容讲清就行了，不需要花大量时间备课，这是一种对学生极不负责任的想法，危害是相当严重的。《概率论》教师认真钻研教材，对整本教材的章节的内容、部局，重、难点要做到胸有成竹。其次，备学生。要了解学生的基础状况，对《概率论》的学习态度和学习兴趣怎样等，教师对这些问题都要做到心中有数。例如，笔者今年上2013级初等教育（理科方向）的《概率论》，第一节课的任务是走访学生，通过了解发现，因高考改革，以前高考时文、理科考生都要考的排列组合和概率初步现在只出现在理科考卷中，对文科考生则不再作要求。因此，高中阶段文科班的数学老师对排列组合和概率初步的处理方式变成了要么不讲、要么略讲，然而排列组合知识则是学习概率论必备的基础知识。而初等教育是文、理兼招专业，如果教师不清楚这一情况，在备课和上课时处理不当，如果进度太快，势必会让一部分学生听不懂教师讲的内容，教学效果自然不佳。三是，备教法。每一节课的重、难点是什么？教学时怎样突出重点、突破难点？这些问题教师在备课时都要思考，它关系到教师的劳动成果能否被学生高效率地吸收。
以概率分布函数和概率分布密度函数（分别简称分布函数和分布密度）为例，这两部分对学生来说是全新内容，跨度较大，学生普遍觉得深奥、抽象，难懂。教师在讲解时应说明，任何随机变量都有分布函数F（x），而只有连续型随机变量才有分布密度f（x），有了分布函数和分布密度，可以求出随机变量取任何值时相应的概率。这点讲清楚了也就讲清了研究这两种函数的用途。其次，怎样求这两种函数。应紧扣定义，离散型随机变量，F（x）= Pi.这种变量的取值是一些间断的实数，在分类讨论时应以这些值作为分类的标准，讲清这点很重要，否则学生不知道怎么分的类。
例1：已知随机变量ξ的分布列为：
求ξ的分布函数。
解：ξ=-1，1，2，这四个值将R分成四个区间：（-∞，-1]、（-1，1]、（1，2]、（2，+∞），
1o当x∈（-∞，-1]时，F（x）=0;
2o当x∈（-1，-1]时，F（x）=0.3;
3o当x∈（1，2]时，F（x）=0.3+0.5=0.8;
4o当x∈（2，+∞）时，F（x）=1
F（x）=0，x∈（-∞，-1]0.3，x∈（-1，1]0.8，x∈（1，2]1，x∈（2，+∞）;
连续型随机变量，则必须通过对密度函数f（x）求定积分而得，即F（x）= f（t）dt。
例2：设随机变量ξ的分布密度为f（x）= sinx，- ≤x≤ 0 ，其他，求ξ的分布函数F（x）
解：1o当x∈-∞，- 时，F（x）= f（t）dt=
0dt=0;
2o当x∈- ， 时，F（x）= f（t）dt
= f（x）dt+ f（t）dt=0+ sintdt
=- costx- =- cosx
3o当x∈ ，+∞时，F（x）=1
综上有：F（x）=0，x∈-∞，- - cosx，x∈- ， 1，x∈ ，+∞
3.完善《概率论》教材。《概率论》作为高职高专的基础课进行开设，首先应选取适合高职高专学生自身特点的教材。现在各出版社出版了很多版本的《概率论》，但专门针对高职高专学生编写的教材较少。目前，南充职业技术使用《概率论基础与初步》教材是普通高等教育“十二五”规划教材（天津大学出版社），这种教材无论从知识版块的构成到内容的详略处理还是适合高职高专学生的，但该教材无论是例题还是作业部分都存在一些失误。比如，在正态分布中将正态分布函数F（x）定义为 e dx=1，实际上F（x）= dt，事实上 e dx=1。而在标准正态分布板块中又定义了一个概率积分公式φ（x）=p（-x≤η
数学教研室对《概率论》教材的选取一定要慎重，如果实在没有合适的教材，可以由数学教研室组织自己的教师自行编写教材，在编写教材之前一定要经过认真调研，结合学生实际情况，对不同专业的学生要尽量找到专业与概率的结合点来编写，使概率知识与专业知识有机结合，形成较完善的教材。而且教材印刷数量与当年学生录取人数不能相差太大，便于在使用过程中对教材进行改进和完善。
4.改革课堂教学模式。在信息化和网络化高度发展的今天，概率论的课堂教学模式在传统的教学模式基础上应该有所改进。首先，在教学手段上要适当引入多媒体教学。比如，在描述正态函数中参数u和δ的几何意义时，在投影仪上作出正态函数的图像。如右图所示。
从图1能看出：x=μ是正态曲线的对称轴，而δ是正态函数的标准差，在正态函数曲线反映出“钟形”图的扁和圆的程度，δ越小，图像越尖，随机变量X落在直线x=μ附近的概率越大;δ越大，图像越坦，随机变量X落在直线x=μ的概率越小。这种以多媒体的方式可以动态地反映正态函数的图像和性质，形象、直观、生动，易掌握。其次适当改变“教师满堂讲、学生被动听”的教学模式。在教学模式上可以采用小组讨论法或项目导向法教学，可以最大程度调动学生主动参与的意识和积极性，充分发挥学生团队精神，让学生真正成为学习活动的主人。
四、结束语
总之，《概率论》的教学工作是一项长期、艰巨的系统工程，需要广大数学教师从多方面进行不断探索、完善，从根本上改进教学效果。
参考文献：
[1]张艳鑫.浅谈高职《概率论》的教学现状与对策分析[J].烟台职业技术学院学报，2011，（08）.