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【关键词】条件概率 已经发生的事件 随机事件
【中图分类号】O21 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0145-01
条件概率是概率论的重要内容之一，这部分内容抽象不易理解，学生做起来容易出错。为了解决这一问题，结合多年的教学实践谈一下对条件概率教学的一些方法。
一、结合实例让学生理解条件概率的概念、满足条件并且形成对条件概率的初步认识
定义：设A、B是同一概率空间的两个随机事件，在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为B关于A的条件概率记作p（B|A），其中三要素A、B两事件还有一个是条件关系即A是已经发生的事件，B是在A发生前提下的随机事件，条件关系很多情况下采取如“已知……的条件下求……”的形式给出，有时也用另外不明显的形式给出，同学要自己分析。
（一） 明显条件关系的条件概率
（1）事件A∩B≠？准且A∩B≠A或B
例1已知某家庭有三个小孩且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个是男孩的概率？
分析：两个随机件A={三个小孩至少有一个是女孩}B={三个小孩至少有一个是男孩}且事件A已经发生，符合条件概率的三要素。
（2）事件A∩B= A或B
例2 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求它被甲击中的概率？
分析：事件A={目标被甲击中}B={目标被击中}事件B已经发生，符合条件概率的三要素。
解：由已知得 p（B）=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8
（二）不明显条件关系的条件概率
例3某动物活到25岁的概率为0.56，求现年20岁的这种动物活到25岁这一事件的概率？
分析：因为该动物现在20岁，可见该动物活到20岁这个事件为已经发生的事件，又这种动物活到25岁的前提必须先活到20岁，所以所求概率为条件概率。
解：设事件A={该动物活到20岁}B={该动物活到25岁}则 p（A）=0.7 p（B）=0.56
二、结合非条件概率的例题使学生对疑似条件概率加以认识，对条件概率的定义、计算有更深层次的理解
（一）形式上的条件关系与实质上的条件关系的区别
例4 甲、乙、丙三人只有一张电影票，他们决定按甲、乙、丙的顺序抽签，决定谁拥有这张电影票，已知乙拥有了这张电影票，求甲拥有这张电影票的概率？
分析：此题中虽有“已知…，求…”明显的条件关系，但由题中已知抽签是按甲、乙、丙的顺序，所以已知乙抽得电影票的事件的发生与否不可能在真正意义上影响到甲的抽签结果，所以这种条件关系是形式上的条件关系，而非实质上的条件关系。
解： p（甲）=0
（二）消除早一点发生的事件就是条件事件的误区，使学生掌握条件概率与积事件概率的区别
例5 在一个袋子里有形状完全相同的20个球，其中有10个白球10个红球，某人不放回地依次从袋中摸出2个球，求第一次摸出白球后第二次摸出红球的概率？
分析：题中出现“……后……”颇像条件概率的结构形式，但仔细考虑后发现，这里“后”只表示两事件发生的先后顺序，两事件发生与否均是随机事件而不是摸白球这一事件在第一次摸中一定会发生的必然事件。
（三） 消除附加条件的概率就是条件概率的误区
例6 甲乙两人一起加工零件100个，甲加工60个有55个正品，乙加工40个有30个正品，求取到的是甲加工的正品的概率？
分析：“已经发生的事件”和“随机事件”的区别在于在题中明确指明这一事件已经发生，而此题中“取到的是甲生产的正品”中甲生产的产品不是已经发生的事件，虽然在前面加了甲生产的条件掩人耳目，一定要注意。
（四）P（AB）与P（A|B）的区别讲解时应加以重视，这也是学生在理解上的一个难点。
1.P（AB）中A、B都是随机事件，在P（B|A）中事件A是随机事件，事件B是已经发生的事件。2.P（AB）表示在样本空间Ω中计算AB发生的概率，而P（A|B）表示在缩小的样本空间ΩB中计算AB发生的概率，一般来说，P（A|B）比P（AB）大，条件概率意味着对原有样本空间的压缩。
在条件概率的教学中，两事件必有一事件是已经发生的事件是一定要让学生明确并牢记的，只有掌握了这一核心要素，才能更好的学习并解决好条件概率的相关知识。
参考文献：
[1]金天寿.《试谈条件概率的教学》，《数学通报》，2012，6
作者简介：
关键词：条件概率；高中数学；突破教学难点；实践与体会
“条件概率”属于高考理科考试范围，也是高中数学老师教授的重点内容之一，但是由于其概念抽象，难于理解，调研中发现学生的掌握情况不佳，怎样了解其中的教学难点，针对性的进行时间突破，强化教学效果，指引学生掌握条件概率计算公式和方法就成为所有数学教师研究的重点。
1 “条件概率”
国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容，放置在《数学・选修2-3》第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节[1]，其概念为事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，其中涵盖了古典概型和几何概型，涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，计算观念较为抽象，需要教师在学习开始前，教导学生复习基础知识，便于使用。
2 “条件概率”教学难点
2.1各要素的不同特征
在学习“条件概率”时，第一个难点就是理解其概念内容，形成初步认识，其概念定义表示为p（A丨B），即已知B事件发生的情况下事件A的发生概率，在此概念中有三个要素，即：事件A、事件B和条件关系，此三者一项都不可缺少，事件A具有随机性，事件B具有确定性，条件关系则存在各种各样的表达方式，教师在教导此部分内容时，需要由浅入深、由难到易，使学生接受概念并灵活运用。
首先需要掌握的方法橹苯蛹扑惴ǎ这是最为基础也是最为简单的计算方法，可以采用简单的题目，如：随机抛掷一颗质地均匀的骰子，求掷出的点数不超过3的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到p（A）=1/3，然后在此基础上加大难度，研究已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率，则掷出了偶数点为已知B事件，B变为新的样本空间，其样本点具有等可能性，可计算p（A丨B）=1/3[2]。
其次可以渐渐引入公式法的计算，引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系，也可能为形式条件关系，以下题目为例：甲乙丙按顺序抽一张电影票，探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率，此题目中事件B于事件A发生后发生，不可能影响事件A发生，因此AB间关系只为形式关系；除此之外，在不存在显明条件结构的条件概率中，其中的条件事件定为实质条件，以下题为例：某生物有0.7的概率存活至20岁，有0.56的概率存活至25岁，那么这种动物现已20岁，求活至25岁的概率，此题目中活到20岁为已知A事件，也是活到25岁的先决条件，根据条件概率的计算公式p（A丨B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8.
2.2界定概念要素和细节
在了解了条件概率的定义和基本公式后，需要进行概念的深挖掘，体会其中的细节内容，将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解，对不同类型的经典题目进行对比区分，确保学生完全掌握。
在解题中要避免望文生义，将辅加条件和题目核心条件相混淆，以下面的题目为例：甲乙两人同时加工120个零件，甲加工70个，其中65个正品，乙加工60个，其中50个正品，求任取一件样品为正品的概率，任取一件样品为甲生产正品的概率？同学在解题过程中可能会存在误区，认为已知是取到了一件正品，误以为甲生产正品的概率为p=65/115，然而忽略了文中说随机抽取一件样品，答案应当是p=65/120，这是学生在条件概率中非常容易犯的错误，主要是因为对题目的理解出现了偏差，教师在教导中应当将同类型的题目列举，使学生反复细心读题，剖析题目含义。
2.3变式练习和纠错练习
在解题中，可能会出现一些疑似条件或者干扰条件，我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时，还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算，因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解；除此之外，眼过千遍不如手过一遍，并且数学的学习是一个反复练习的过程，增加纠错练习，可以使学生尽量减少出错率，在教学中，学生练习题目后老师对结果进行点评，指出学生计算失误之初，并教导其进行辨析，可安排学生准备纠错本，将错误的题目进行记录，反复练习，特别是对于屡次出错的题目，必须尤为关注，明晰出错的原因和正确的解题思路。
2.4挖掘深层内容
人在学习中就是对一个概念不断深化的过程，数学学习，尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后，教师不妨对授课内容进行深化，比如说以下题目：已知质点M在实数轴上的区间[0，5]内随机地跳动，设事件A={2}，事件B={2，3}，试研究事件A、B的独立性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂，若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者独立，若根据B作为新的样本空间，其样本点具有等可能性，古典概型概率公式计算其不独立，结果就变为矛盾结果，对此，教师必须明白须在条件概率p（A丨B）的定义中限定p（B）>0，当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时[3]，必须规定相应的条件。在深层挖掘中，一部分学生可能受到基础限制，很难理解这部分内容，教师需要细心讲解，并且根据学生的情况改变教课的分配比，做到因材施教。
3 总结
前文中提到，“条件概率”在数学中占有重要的位置，不仅仅是应付考试要求，更多的是对学生的思维进行启发，使学生体会到数学的乐趣，并且利用“条件概率”解决实际问题，但是“条件概率”的教学是存在一些难点的，相关教师必须自身知识水平过硬，做好教学规划，由浅到深的对概念、题目等进行讲解，确保学生掌握基础知识的情况下进行提高，且要注意通过不同类型的题目加深学生对于概念的理解，而不是纸上谈兵，也根据题目解答情况了解学生对于概念的掌握情况，及时调整教案，做到实践与理论相结合，在教学中还可以采用一些趣味的教学方法吸引学生的兴趣，将数学和游戏、生活相结合，加深学生的理解，将“条件概率”中的教学难点一一转化突破，最终培养出具有创造性思维的学生。
参考文献：
[1]金天寿.试谈条件概率的教学[J].数学通报，2012
[关键词]噪声干扰器， 声自导鱼雷， 潜艇， 命中概率
中图分类号：TB 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）31-0045-02
引言
在现代海军舰艇序列中，潜艇的作用越来越重要。而潜艇的自卫能力较差，鱼雷就是潜艇的主要威胁之一。潜艇在发现来袭鱼雷后，会使用水声对抗器材对声自导鱼雷进行干扰、诱骗，来掩护为规避鱼雷采取的机动运动。噪声干扰器是潜艇用来对抗主动声自导鱼雷较为有效的一种主要手段，本文将通过计算机仿真的方法对在噪声干扰器对抗条件下的主动声自导鱼雷对潜艇的命中概率进行分析计算。
1 噪声干扰器对抗机理
噪声干扰器对抗主动声自导鱼雷时以干扰为主，通过阻塞鱼水雷接收机接收信号，降低其自导作用距离，掩护潜艇尽快规避出鱼雷自导搜索带[1]。
噪声干扰器一般不作为假目标使用，主要对鱼雷搜索进行干扰，使鱼雷不能发现潜艇或跟踪弹道混乱，最终使鱼雷丢失目标，降低鱼雷对潜艇的命中概率。对于具有对抗能力的智能自导鱼雷，由于识别过程要近距离进行，噪声干扰器则起到延迟鱼雷攻击或影响鱼雷攻击弹道的作用，为潜艇的规避争取时间。
2 噪声干扰器使用模型
潜艇发射噪声干扰器的目的是干扰来袭鱼雷对潜艇的搜索或追踪。噪声干扰器使用时要考虑发射时机、发射方向等问题。不同的发射参数会对鱼雷的命中概率产生不同的影响。
2.1 噪声干扰器发射时机
噪声干扰器发射时机比较重要，发射过早容易提早暴露潜艇目标，通常情况下，在潜艇鱼雷报警后经过一定的系统反应时间即可以发射噪声干扰器。这个系统反应时间包括从鱼雷报警到指挥员下达水声对抗命令的决策时间和系统准备并发射噪声干扰器的技术准备时间，即：
（1）
2.2 噪声干扰器发射方向
发射方向沿鱼雷报警方位发射，以保证干扰器工作时能在鱼雷与潜艇的方位线上。噪声干扰器发射后应立即工作，通过其强辐射噪声，掩护潜艇的规避机动。因此，噪声干扰器的发射方向为：
（2）
2.3 潜艇规避航向
潜艇在发射完噪声干扰器后，不规避直接加速，或者在鱼雷报警距离较近而初始航速较大时大角度转向规避，都有较高的逃脱概率。在本文的仿真计算中，假定潜艇进行规避时，规避角度在80°～120°间均匀分布。则潜艇的规避航向为：
（3）
假定潜艇在发射噪声干扰器前做匀速直航运动。图1为潜艇使用噪声干扰器对抗鱼雷的示意图。
图1 噪声干扰器对抗鱼雷示意图
3 自导鱼雷弹道模型
如图2 所示，以鱼雷入水点在鱼雷搜索深度上的投影为坐标原点，轴负方向为真北方向建立坐标系。在噪声干扰器对抗条件下，鱼雷对潜艇的攻击可以采用有利提前角射击法。
点为鱼雷弹道初始点，到为鱼雷入水段，经历时间为；到为鱼雷下潜段，经历时间为；到达预定深度后，鱼雷在点转入搜索主航向，经历时间后，有效回波抑制解除，鱼雷开始直航搜索，此时鱼雷坐标为：
（4）
（5）
（6）
其中：为鱼雷初始入水角；为鱼雷下潜角；为有利提前角；为鱼雷转角；为鱼雷入水平段均速度；为鱼雷速度；为初始搜索深度；为鱼雷搜索主航向[2]。
图2 噪声干扰器对抗条件下鱼雷弹道示意图
在鱼雷保险解除时，潜艇的坐标为：
（7）
（8）
其中：为潜艇初始距离；为初始方位；为潜艇速度，为潜艇航向。
此时，潜艇与鱼雷之间的距离为：
（9）
又有：
（10）
因此，可以求得鱼雷开始搜索到潜艇鱼雷报警的时间，则潜艇噪声干扰器发射时刻为（潜艇到达时刻）：
（11）
此时，鱼雷坐标为：
（12）
若鱼雷此时尚未发现目标，不具有对抗能力的鱼雷则继续航向直到预定命中点后转入再搜索，若鱼雷此时已经发现目标，由于噪声干扰器工作，导致目标丢失，不具有对抗能力的鱼雷则马上转入再搜索。对于具有对抗能力的鱼雷只要噪声干扰器工作就立即转入对抗弹道，搜索攻击潜艇。
4 仿真计算及结果分析
采用模拟法对噪声干扰器对抗条件下声自导鱼雷对潜命中概率进行仿真计算，仿真时要求命中概率、要求精度，仿真次数取2000次，鱼雷航速40kn，潜艇航速16kn。仿真结果如图3、4所示。
由仿真结果可知，智能自导鱼雷在3500m以内的射距上，命中概率基本达到0.8以上，可以保证射击效果，在小舷角上，在4500m以内，都可以保证射击效果而非智能自导鱼雷在噪声干扰器干扰下命中概率随射击距离、射击舷角的增大下降很快，几乎不能使用，只有射击舷角在30°时，射击距离在2600m以内才能保证射击效果。
5 结束语
随着潜艇性能的快速提高，以及潜艇水声对抗器材的快速发展和广泛使用，使得一般声自导鱼雷对潜艇的搜索攻击变效果更加不理想。由本文仿真计算结果可以看出，为应对潜艇的这些变化，鱼雷武器需要向智能化方向快速发展提高。
参考文献
[1] 黄树枝. 噪声干扰器在水声对抗中的战术使用， 《舰船科学技术》，1984年01期，10-23
1几个易混淆的概念
基本概念的理解与掌握是学好一门课程的关键，尤其是概率论与数理统计这种概念多的课程.据多年的教学经验，学生易混淆的概念主要有：（1）不可能事件与零概率事件；（2）随机事件的互不相容与相互独立；（3）条件概率、无条件概率与交事件的概率；（4）区间估计与假设检验.
2教学方法的设计
对于以上易混淆的概念，在教学中，根据各概念的特点来设计教学方案，让学生明白他们之间的区别与联系，正确理解概念.
2.1从易混淆的原因入手
学生是学习的主体，在设计教学时，从学生的角度来分析问题，找到易混淆的原因，然后“对症下药”.以不可能事件与零概率事件为例来说明.不可能事件的概率为零，反之，如果某个事件的概率为零，它却不一定是不可能事件.根据是：在“连续型随机变量”这部分内容中，可以计算随机变量X取得某点x0的概率为零，而随机事件(X=x0)却不一定是不可能事件.可是学生往往不理解，经常产生这样的疑问：既然事件发生的可能性为零，为什么还可能发生呢？学生不理解的主要原因是对随机事件的概率这个概念的定义与功能缺乏准确的认识.事件的概率是对事件发生的可能性大小的数量描述，概率值大，就意味着事件发生的可能性大，反之，概率值小，就意味着事件发生的可能性小.在教学过程中，教师可利用概率的统计定义来解释这一问题.概率的统计定义是：在相同的条件下，重复做n次试验，事件A发生的频数为m，频率为mn，当n很大时，mn在某一常数p附近摆动，且一般来说，n越大，摆动的幅度越小，则数p称为事件A的概率.从这个定义，我们知道，随着n的增大，频率会稳定于概率.对于概率为零的事件来说，随着试验次数n的增大，其频率会在0附近摆动，这种事件可分成两类：一类是频率恒为零的事件，频率恒为零，说明不管试验多少次，事件总是不会发生，这类事件自然是不可能事件，另一类是频率有时为零，但不恒为零的事件，正是因为频率不恒为零，说明在试验中，事件发生过，只不过发生的次数极少，这种事件是几乎不发生，但又不是绝对不发生的事件.例如：测量某零件的尺寸，“测量误差为0.05mm”就是概率为零的事件，测量误差正好为0.05mm的情况虽然有，但是很少见.一旦学生理解了这两个概念，就不容易犯类似于“因为P(AB)=0，所以AB为不可能事件，从而A与B互不相容”的错误.
2.2应用身边的实例来区分概念
概率论与数理统计是与现实生活联系最紧密的数学学科，在教学中，从概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们生活密切相关而又有趣的实例来讲解基本概念，不仅能让学生很快地掌握概念而且能激发学生的学习兴趣，调动他们的学习积极性和主动性.条件概率是概率论中一个非常重要的概念，是教学中的一个重点和难点.学生在学习过程中容易将它与无条件概率、交事件的概率相混淆.设A,B为两个随机事件，P(AB)指的是A,B都发生的概率，是交事件的概率.P(A|B)是在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，是条件概率.而无条件概率P(A)指的是在没有任何已知信息的前提下考虑事件A的概率.在教学中，可通过抽奖这个生活中常见的实例引入概念.10张奖券里有两张是中奖券，现有10人依次随机从中抽取一张奖券，问第二人中奖的概率是多少？然后又提问：已知第一人中奖，此时第二人中奖的概率又是多少？从这个实例中引入条件概率的定义，让给学生初步了解条件概率与无条件概率的区别，然后再设计如下例题来巩固概念：例某班100名学生中有男生80人，女生20人，该班来自北京的学生有20人，其中男生12人，女生8人，从这100名学生中任意抽取一名，试写出P(A),P(B),P(AB),P(AB),P(B|A).解设事件A表示抽到的学生是男生，事件B表示抽到的学生是来自北京的.易知总的基本事件的个数是100，事件A所包含的基本事件数是80，事件AB是指抽到的是来自北京的男生，它所包含的基本事件的个数是12，所以P(A)=0.8，P(AB)=0.12，而P(A|B)=0.6，这是因为在事件B已经发生的条件下，样本空间发生了变化，样本空间变小了，此时总的基本事件数缩减为20，即为B所包含的基本事件数，而在此条件下，事件A所包含的基本事件数仅为12.类似可得，P(B)=0.2,P(B|A)=0.15.通过这个例子，不仅可让学生容易理解它们之间的区别，而且容易从中验证乘法公式：若P(B)>0，则P(AB)=P(A|B)P(B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(B|A)P(A).为接下来的乘法公式教学做铺垫.
2.3通过做实验来区分概念
抽象的概念理解起来比较难，但俗话说：眼见为实.通过实验的方式来区分概念，不仅可以让学生加深对所学知识的理解，还可以锻炼学生的动手能力.两个事件A,B互不相容指的是A,B不同时发生，即AB=覫，两个事件A，B相互独立指的是A，B中任一个事件的发生与否对另外一个事件发生的概率没有影响，即P（AB）=P（A）P（B）.学生在学习中，往往对他们之间的关系不清楚，容易将这两个概念混淆，事实上，相互独立是从概率的角度来说的，强调B发生与否对事件A发生的概率没影响，而互不相容是事件本身的关系，不存在同时属于这两个事件的样本点，强调两事件不能同时发生.这是两个不同属性的概念，他们之间没有必然的联系.但学生往往会用已建立起来的互不相容概念来理解相互独立，错误地认为相互独立的两事件是不可能同时发生的，因而是互不相容的.为了使学生不混淆，在教学中可以举例如下：有一个质量均匀的正四面体，其第一面涂红色，第二面涂白色，第三面涂蓝色，第四面同时涂有红，白，蓝三色，以H,B分别记抛一次此四面体，朝下那一面出现红色，白色的事件，则易知P（H）=P（B）=0.5，P(H|B)=P(B|H)=0.5，P(HB)=0.25，所以，P(B)=P(B|H),P(H)=P(H|B)，这说明：事件H,B相互独立，但是事件H,B可以同时发生，即HB≠覫.为了让学生进一步理解这两个概念.可布置课后作业，让学生自己去做一个这样四面体来做实验，记录事件H与B发生的频率，当试验次数充分大时，利用频率稳定于概率来验证结论.
2.4注重讲解概念之间的区别
统计推断的基本问题是参数估计和假设检验.学生在学完参数的区间估计和参数的假设检验后，发现这两个问题中有很多相似之处.比如：都要选用统计量，都要用到分位数等等，但又弄不明白他们之间的区别和联系，以及他们各自的适用范围和使用条件.事实上，它们都是基于样本信息来推断总体的性质，但他们之间又有区别.在教学中，教师要强调以下两点：第一，它们的目的不同，参数的区间估计解决的是根据样本估计未知参数的范围问题，参数的假设检验则是根据样本判断假设是否该接受还是拒绝的问题.第二，两者对总体的了解程度不同，进行区间估计之前不了解未知参数的有关信息，而假设检验对未知参数的信息有所了解，但做出某种判断无确切把握.在实际应用中，假如我们对未知参数有很多的了解，或掌握了一些非样本信息，这时，采用假设检验的方法合适，如果我们对未知参数除了样本信息之外无其它信息，则宜采用区间估计.
3总结
学生对基本概念，特别是一些易混淆概念的理解和掌握的程度直接决定了学生对该门课程的掌握程度.在教学过程中，教师巧妙设计各种教学手段及时讲解课程中容易混淆的概念，不仅使学生容易理解和掌握各个概念，而且可以让枯燥的概念学习变得有趣、丰富课堂教学.
关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质
中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02
概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。下面举例说明。
频率与概率
定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。
定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。
两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。
在大量重复实验的条件下频率可以近似地作为这个事件的概率。一般地，用频率近似代替概率的例子并不多见，以下这个例子既有很好的实际意义，又能较好地体现频率与概率之间的联系。
例1：新药的效果
一种治疗某种疾病的新药，在500名病人中，有的服了这种药（■），有的没有服这种药（B），5天后，有的痊愈（■），有的未痊愈（AB），各种情况的人数见表1，其中170表示服药后痊愈（AB）的人数，其余类似。试判断这种新药是否有效？
解：比较服药后痊愈与未服药痊愈事件概率，由于试验共500例，试验次数相当大，故可用频率近似地估计概率：p（B）≈■=0.8，p（B|A）≈■=0.81。因为p（B）与p（B|A）几乎相等，故可认为事件B与A相互独立，表明服药和不服药对治疗效果不大，新药对这种疾病无意义。
评析：本题只给出了数学统计表，且试验次数较大，因此，用频率去估计概率给问题的解决带来了很大的方便。根据本问题提供的条件直接求事件的概率是很困难的。
互不相容事件与相互独立事件
定义3：设A、B为两个事件，若AB=Φ，则称A、B互不相容。
定义4：如果两个事件A与B满足等式P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与B是相互独立的。
两者之间的关系：两事件“互不相容”是指这两个事件不能同时发生，是用事件的运算来描述的。而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，是用事件的概率来描述的。两事件“互不相容”时，这两个事件之间有很强的依赖关系。“两事件相互独立必定互不相容”的认识是错误的。
一般情况下，两件互不相容的事件不一定相互独立，两个相互独立的事件也不一定互不相容。只有满足条件：P（A）P（B）=0时，这两者才能相互推出。
为了让学生更好地区别这两个极易混淆的概念，在选择例题的时候要有针对性地选择一些学生比较容易理解又比较简单的事件，这样学生在遇到一些比较复杂的事件时，才能更好地区分。
例2：盒子里装有m只白球，k只黑球，做有放回的摸球试验，A表示“第一次摸到黑球”，B表示“第二次摸到白球”；则A和B是相互独立但不是互不相容的。
例3：52张扑克牌平均分给甲、乙、丙、丁4个人，A表示甲得3张K，B表示乙得两张K；则A与B互不相容但不相互独立。
例4：甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A、B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件，于是
P（AB）=P（A）P（B）=C23×0.82×0.2×C230.72×0.3≈0.169。
评析：常有学生会这样认为：所求事件为A+B，
P（A+B）=P（A）+P（B）=C23×0.82+0.2×C230.72×0.3≈0.825。
这样做错误的原因就是把相互独立同时发生的事件当成了互不相容的事件。
互不相容事件与相互对立事件
定义5：“事件A不发生”称为事件A的对立事件，记为■。
互不相容事件与相互对立事件的联系与区别是：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
例5：把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：
A．对立事件；B．不可能事件；C．互斥但不对立事件；D．以上均不对。
正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选C。若把“互斥”与“对立”混同就很容易错选A。
这道例题的巧妙之处在于事件本身比较简单，如果有学生仅从字面上理解对立，很容易错选。
多个事件两两独立与相互独立
定义6：n个事件Ai（i=1，2，……，n）两两独立是指：
?坌Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），
定义7：n个事件Ai（i=1，2，……，n）相互独立是指：
?坌Ai，Aj（i≠j），P（AiAj）=P（Ai）（Aj），
且P（A1，A2，……An）=P（A1）P（A2）……P（An）
两者之间的关系：相互独立可以推出两两独立。反之未必。
以下两个例子很巧妙地说明了相互独立与两两独立之间的关系。
例6：设有一个均匀的正四面体，第一、二、三面分别涂上红、黄、蓝一种颜色，第四面涂上红、黄、蓝三种颜色。现以A、B、C分别记投一次四面体底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则P（A）=P（B）=P（C）=■，P（AB）=P（AC）=P（BC）=■。所以，A、B、C两两独立，但P（ABC）=■≠■=P（A）P（B）P（C），因而A、B、C不相互独立。
评析：两两独立有可能不相互独立。
例7：设有一均匀正八面体，其第1、2、3、4面涂有红色，第1、2、3、5面涂有黄色，第1、6、7、8面涂有蓝色。现以A、B、C分别表示投一次正八面体，底面出现红、黄、蓝颜色的事件，则
P（A）=P（B）=P（C）=■，P（ABC）=■=P（A）P（B）P（C）
但是P（AB）=■≠■=P（A）P（B）；
P（AC）=■≠■=P（A）P（C）；
P（BC）=■≠■=P（B）P（C）.
所以A、B、C不两两独立。
评析：P（ABC）=P（A）P（B）P（C）成立，但A、B、C并不一定两两独立。
条件概率P（A|B）与乘积概率P（AB）
定义8：在B发生的情况下，A发生的概率即为条件概率，记为：P（B|A）。
定义9：乘积概率P（AB）表示事件A、B同时发生的概率。
两者之间的关系：P（B|A）=■，P（AB）=P（A|B）P（B）.
在讲解这两个概念的时候，选择能在同一道题目里同时考察两个概念的例题，可以比较好地帮助学生比较和辨别。
例8：袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到的也是白球的概率。
分析：问题（1）是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率，而问题（2）则是求在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率。
例9：甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问：（1）这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？（2）若发现它是乙厂生产的，问它是标准件的概率是多少?
解：设A={零件是标准件}，B={零件是乙厂生产}，则问题（1）所求为P（AB）。P（AB）=■。问题（2）所求为P（A|B）。P（A|B）=■。
例10：聋盲人群中又聋又盲可能性大小问题。
在某一人群中，聋子的概率是0.005，盲人的概率是0.0085，而聋子中是盲人的概率是0.12，求：（1）这个人群中任意一人，又聋又盲的概率；（2）求盲人中是聋子的概率。
解：A={此人是聋子}，B={此人是盲人}。依题意有P（A）=0.005，P（B）=0.0085，P（B|A）=0.12，所求概率是P（AB）。由乘法公式得P（AB）=P（A）·P（B|A）=0.005×0.12=0.0006。而P（A|B）表示盲人中是聋子的概率，故P（A｜B）=■=■≈0.07059。
概率统计是实际应用性很强的一门数学学科。实践表明，教师在教学过程中如果能够精心选取既具有实用背景，又能对阐明基本概念有帮助、能提高学生兴趣的例题，可以使原本抽象、枯燥难懂、容易混淆的数学理论变得有血有肉、有滋有味，可以激发学生的求知欲望，提高学生对课程的学习兴趣，取得较好的学习效果。
参考文献：
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]陈希孺.数理统计引论[M].北京：科学出版社，2007.
[3]谢兴武，李宏伟.概率统计释难解疑[M].北京：科学出版社，2007.
[4]刘国庆，王勇.改革课堂教学方法探索概率统计教学的最佳模式[J].大学数学，2003（3）.
[5]谭希丽，徐冬梅.概率统计课程教学方法的几点体会[J].高等数学研究，2011（1）.
作者简介：
关键词：城市轨道交通；列车控制系统；贝叶斯网络；风险评价
Abstract: Train control system has become important factor to affect the safety of urban rail transit operation, the scientific method of security risk prediction and assessment has important significance. From system risk, system cause relationship is constructed by Bayesian network. Reference to expert knowledge, the basic event probability is quantified, probabilistic reasoning of the risk factors is realized by GeNIe, quantitative assessment of the risk of a train control system is conducted. Case studies show that the Bayesian network is fit to security risk prediction of urban rail transit train control.
Key words: Urban Rail Transit; Train Control System; Bayesian network; Risk assessment; Sensitivity analysis
中图分类号： X820.4 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
0 引言
安全是城市轨道交通运营的首要指标。城市轨道交通的列车控制系统具有高度复杂性，安全管理任务非常突出[1]。国内外发生了多起城市轨道交通列车的碰撞事故均于列控设备故障有关。常用的设备风险评价方法有事件树法、故障树法和检查表法等[2,3]。随着城市轨道交通运营的安全性要求不断提高，经典的风险分析方法已不能满足需要，需要引入新的风险评估理论与方法。贝叶斯网络(Bayesian Network, BN)是可以将相应领域的专家经验知识和有关数据相结合的有效工具，通过图形直观地表达系统中事件之间的联系。影响列控设备的因素具有很大的不确定性，而且可用于风险评估的数据非常有限。因此，建立基于贝叶斯网络的城市轨道交通列控系统风险评估模型，经过网络推理，可实现风险概率预测，可为降低列控设备的运营风险提供决策支持。
1 贝叶斯网络
贝叶斯网络又称置信网络，是一个有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)，由代表变量的节点及连接这些节点的有向边构成[4]。一个具有个节点的贝叶斯网络可用来表示，其中包括两部分：
（1）用表示具有个节点的有向无环图，变量集合对应中的每个节点。代表节点间的有向边，表示随机变量间的依赖关系。节点变量是相关因素的抽象，有向边则表达了一种变量间的因果关系。对于有向边，称为的父节点，而称为的子节点。没有父节点的节点称为根节点，没有子节点的节点称为叶节点。的父节点集合和非后代节点集合分别用和表示[7]。图中蕴含了条件独立性假设，即在给定下，与条件独立：
（1）
（2）表示一个与每个节点相关的条件概率分布。由贝叶斯网络的条件独立性假设可知，条件概率分布可用来描述，它表达了节点与其父节点的关联关系。如果给定根节点先验概率分布和非根节点的条件概率分布，可以得到包含所有节点的联合概率分布。
（2）
2城市轨道交通列控系统风险评价模型
2.1贝叶斯网络构建
城市轨道交通列控系统是一个由人、机和环境组成的复杂系统。系统故障的类型较多，本文选取列车紧急制动作为研究对象。引起系统故障的原因非常多，包括人为、气候、组织和设备设施等随机性因素，而设备因素是目前系统故障的常见原因。因此，本文主要从列控系统维护的角度出发建立系统故障的贝叶斯网络。
将贝叶斯网络节点分为风险事件、风险状态和风险因素三层。在事故中，风险事件为列车紧急制动（Z）。风险状态层是指风险事件的直接原因，包括通信节点故障(D)、车载设备故障(V)、信号设备故障(X)和通信中断（T）等。风险因素层是指造成风险状态的原因，包括电源缺失（W）、维护管理不到位(G)、司机操作失误(S)、设备部件失效(B)、自然灾害（H）和人为因素（R）等。图1为构建的城市轨道交通列控系统风险贝叶斯网络结构。模型中，每个网络节点都有两个状态：state0或state1。其中，state0表示节点异常；state1表示节点；正常。
图1 列控系统风险贝叶斯网络
贝叶斯网络模型的节点和节点之间的关系确定之后，需要确定网络中节点之间的条件概率表(Conditional Probabilities Table, CPT)。在城市轨道交通运营领域，详细的设备故障数据获取比较困难，而且进行大量的统计也不现实。因此，本文是通过专家问卷调查的方式获取贝叶斯网络模型的条件概率表。
2.2系统风险评价
贝叶斯网络推理就是计算网络中任一节点的边缘概率, 从而得到网络的后验概率。贝叶斯网络推理的过程的实质是不断更新网络节点的概率,利用给定变量的信息计算目标变量的条件概率。构建完成贝叶斯网络以及节点的条件概率表之后，需要评估模型中的风险因素的概率，通过网络模型的推理得到事件的风险概率。通过向专家咨询各类事故贝叶斯网络中的风险因素概率，并对专家给出的概率进行处理确定风险因素发生的概率。以风险因素的概率作为贝叶斯网络的输入，采用联合树推理算法[5]，计算风险事件发生的概率。将计算结果反馈给专家，依据实际事故案例，检验模型的合理性。
3 案例分析
以列车紧急制动为例，进行实证研究，并在已构建的贝叶斯网络模型的基础上进行深入分析，验证模型的适用性与有效性。通过专家咨询的方式获得贝叶斯网络的条件概率表，调查问卷对象选自城市轨道交通运营管理部门的专家和现场技术人员，保证了数据的真实可靠。
结合相关专家意见对有效问卷数据进行整理，依据不同部门对所得的各节点概率进行加权处理得到相应的先验概率，并输入到GeNIe软件中进行网络推理，得到碰撞事故风险量化评估结果，如图2所示。
图2 列控系统风险定量分析
从图2可以得出城市轨道交通列车事故风险中，通信中断的概率最大，其次是信号设备故障，这与大量的城市轨道交通列控故障统计分析结果一致。因此，在列车运营之前，需加强运输管理制度的培训和学习，进行规范化管理，同时加强通信设备和信号设备维护工作。这为列车的安全运营提供了作业指导。
4 结论
以城市轨道交通列车控制设备风险分析为研究对象，通过现场调查研究，结合事故案例的数据分析和专家知识经验，获取事件的影响因素、节点状态以及节点之间的条件概率。并建立了基于贝叶斯网络的城市轨道交通列车运营安全量化评价模型，并通过该模型对城市轨道交通运营的风险因素进行灵敏度分析，得到了列控系统风险的概率。该模型具有较强的普适性，应用该模型进行风险评价时，只需要根据运营管理的数据调整CPT，方便于应用。
参考文献
[1] 陆海洲，王富章，王英杰，等．铁路应急平台框架体系研究[J]．中国铁路，2007，（6）：41-44．
[2] 张超,马存宝,胡云兰,等.基于贝叶斯网络的故障树定量分析方法研究[J].弹箭与制导学报,2005,25(2):235-237.
[3] Kima M C, Seong P H, Hollnagel E. A Probabilistic Approach for Determining the Control Mode in CREAM[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2006, 91: 191-199.
[4] 黄友平．贝叶斯网络研究[D]．北京:中国科学院研究生院，2005．
[5] 张连文，郭海鹏．贝叶斯网引论[M]．北京：科学出版社，2006.
一、以实例为背景,理解定义
问题一:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小?
我们不妨用X1,X2,Y表示3张奖券,其中Y表示中奖奖券,列出抽奖结果为: X1X2Y, X1YX2, X2X1Y, YX1X2,YX2X1设“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B,则P(B)= =,与第个同学中奖的概率相等。
问题二:若已知第一名同学没有中奖,则最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A,即X1X2Y, X1YX2, X2X1Y, YX1X2,YX2X1, 则n(A)=4,又有X2X1Y,X1X2Y则n(AB)=2,所以P(B|A)= = = ①
问题三:P(B|A)与事件A和B的概率有什么关系呢?
设n(Ω)表示试验的全部结果,则
P(AB)=,P=,
则①式可写成P(B|A)= ②从而我们由实例层层递进,得到了条件概率的公式。
二、以习题为平台,巩固定义
在公式的运用过程中,如何确定n(A),n(AB)是学生的难点,我们可以让学生在实际运用中体会找n(A),n(AB)的方法。
例1:5个乒乓球,其中3个新的2个旧的,每次取一个不放回地取两次,求在第一次取到新球的条件下,第二次取到旧球的概率。
设第一次取到新球为事件A,第一次取到新球第二次取到旧球为事件B。
学生的典型错误是:n(A)=A13,n(AB)=A12,错误的根源是对事件A和AB的理解。
教学过程中,创设情境:怎样就完成了事件A和AB?学生通过研究讨论,发现丢掉了完成事件的环节。故n(A)=A13A14,n(AB)=A13A12
在例1的基础上,我们再给出一个稍难的例题:
例2:一个箱子中装有2n个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出n个球,求:在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率。
学生通过合作探究,很快得到答案:
解:设颜色相同为事件A,颜色相同且为白色为事件AB,
(方法一)则n(A)=Cn2n+Cn2n-1,n(AB)=Cn2n,所以P(B|A)==,
(方法二)则n(Ω)=Cn4n-1,n(A)=Cn2n+Cn2n-1,
n(AB)=Cn2nn P(A)== P(AB)== 所以P(B|A)==
三、以对比为手段,优化方法
条件概率有两种运算方法,在解题时,应如何取舍呢?我们不妨引导学生对比例2的两种解法。很快学生会发现方法一比方法二简洁。教师马上引导学生总结:在两种方法都能用的情况下,优先P(B|A)=。
不妨再给出一个例题:
例3:某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。
引导分析:活到20岁的概率为0.7,指的是P(A),活到25岁的概率为0.56,指的是P(AB)。
故P(B|A)=用求解更简单了。
任何一种方法,都不是孤立存在的,方法与方法之间总有一定的联系和区别,学生能把方法进行比较,把握他们的联系和区别,就能加深对它们的理解,才能灵活在在解题中应用。
四、教学反馈
在新授前检查了学生的导学案,导学案中我们设计了7道题,大部分同学只做对了1~2个题,可见学生对条件概率的理解是相当吃力的。新课后,我们进行了一次限时训练:15分钟完成3道条件概率题,正确率达到了85%。其中:(2011年湖南理科)15.如图4,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”, B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴C影部分)内”,则(1)P(A)=_______
(2)P(B|A)=_________的正确率达到了90%以上。
教学是一个不断总结与反思的过程,只有通过不断的总结反思再应用,再反思,我们才能一步一步成为研究型的教师。上述只是笔者很肤浅的体会,但是我会坚持,因为只有不断地反思提炼,发现问题,研究问题,学会教学,我们的课堂才会永远沐浴在时代的春风中,我们的课堂也才会真正成为师生生命灿烂的乐园。
关键词：集合思想；摩根定理；集合；简易逻辑；概率
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）05-0159
集合是高中数学的基本知识，若深入对集合基本概念的认识和理解，可发现集合思想与摩根定理作为工具在实践中对一些棘手的问题能很好地解决，并易于理解。本文主要介绍了运用集合思想与摩根定理思想在集合、简易逻辑及概率中的应用。
一、在集合中的应用
在集合中，摩根定理C1（M∪N）=C1M∩C1N，C1M∪C1N=C1（M∩N），是一个不可或缺的工具，在集合中巧妙利用它能达到事半功倍的效果。
例1. 设集合I={（x，y） x∈R，y∈R}，集合M={（x，y） ■=1}，N={（x，y） y≠x+1}，那么C1（M∪N）=（ ）
A. B. {（2，3）} C. （2，3） D. {（x，y） y=x+1}
分析：本题若从正面入手有一定难度，若利用摩根定理能很快解决并易于理解，由摩根定理得：C1（M∪N）=C1M∩C1N，即只要求出M集合与N集合的补集后取交集即可。
由题设得：C1 N={（x，y） y=x+1} ，故C1（M∪N）=C1M∩C1N={（2，3）}选B。
二、在简易逻辑中的应用
从集合的观点看，建立命题p，q相应集合。p：A={x p（x）}，q：B={x q（x）}，那么，若A B，则p是q的充分条件；若A B且A≠B，则p是q的充分非必要条件；若B A，则p是q的必要条件；若B A且A≠B，则p是q的必要非充分条件；若B=A，则p是q的充要条件；若B A且A B，则p是q的非充分非必要条件；
示意图如下：
1. 寻求两个命题间的逻辑条件
例1. 命题甲：x+y≤1；命题乙：x2+y2≤1，则（ ）
A. 甲是乙的充分非必要条件；
B. 甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
分析： 此题从正面入手较为困难。利用集合关系可以迎刃而解，构造图形可知，甲为如图示阴影部分，乙为单位圆部分：故从集合角度甲 乙且甲≠乙，故选A。
例2. 命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则（ ）
A. 甲是乙的充分非必要条件；
B. 甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
分析：这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难。利用集合思想可迎刃而解。为了进行判断，首先需要构造两个集合：甲、乙；判断甲、乙的集合关系即可。显然集合甲 集合乙，故选择B。
2. 判断命题的真假性
例3. 已知p，q为两个简单命题，且命题“p或q”的否命题是真命题，则必有（ ）。
A. p真q真 B. p假 q假 C. p真q假 D. p假q真
由摩根定理积极和思想可知“p或q”的否命题可转化为C1（p∪q）=C1p∩C1q：即 （p∪q）= p∩q为真。故必是 p与 q都真，从而p假且q假，故选B。
从以上两类题型可知利用集合思想处理简易逻辑方便快捷、易于理解、可行性强。
三、在概率中的应用
从集合的观点看：若A B，A发生则B发生；若B A，B发生则A发生；若B=A，则A，B同时发生；若A∩B= ，则事件A与事件B为互斥事件；若A∩B= 且则事件A与事件B为对立事件；（I为全集）；A+B可以理解为发生或发生（A∪B），可以理解为发生且发生（A∩B）；且摩根定理思想的应用不可忽视。
例4. 从3个男生和4个女生中选出3个人参加会议，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. 至少有一个男生和全是男生
B. 至少有一个男生和至少有一个女生
C. 恰有一个男生和恰有一个女生
D. 至少有一个男生和全是女生
分析：利用集合思想解决这类题型方便快捷，在A中{至少有一个男生}∩{全是男生}={全是男生}≠ ；排除A；在B中{至少有一个男生}∩{至少有一个女生}={一男两女或两男一女}≠ ，排除B；在D中{至少有一个男生}∩{全是女生}= 并且{至少有一个男生}∪{全是女生}= 全集，故D中两事件对立；可验证C中{恰有一个男生}∩{恰有一个女生}= ，但其并集不是全集，故C符合条件。
例5. 如图在电路上A、B、C表示开关，如果用事件A、B、C分别表示相应的开关闭合，A、B、C独立且A、B、C闭合的概率均为0.6，则通路的概率为多少？
分析：此题易入手，但也易出错，利用集合思想与摩根定理则易于破解，由图可知A，B所在为串联，则该线路通必是A，B两个都通，该线路通记为D通。而线路通则为C或D通（C+D）的概率，故可由摩根定理思想先求出线路不通的概率，即先求发生的概率，用1减去不通的概率即可。由摩根定理得■=■+■，故有：P（D）=P（AB）=P（A）P（B）=0.36；P（■ ■）=P（■）P（■）=0.4×0.4=0.16，故通路的概率为：1-0.16=0.84。可见，集合思想在概率中的应用是不可或缺的。