初中数学竞赛范文

初中数学竞赛范文第1篇

【关键词】初中数学；竞赛；求值题；解法

因为求值题具有灵活多变的特点，所以说学生在对其进行解答的过程中需要较强的解答技巧，这对于初中生逻辑思维能力的锻炼有着很好的推动作用，所以其被广泛的应用到了初中数学竞赛当中。在对求值题进行解答过程中，如果采用按部就班的解题方法，那么解题过程是非常复杂和繁琐的，这些复杂和繁琐的解题步骤当中存在着大部分的“非必求成分”，即并不是一定要求出该步骤，才能够得出最后的答案，也就说这些“非必求成分”是可以省略和简化的，学生如果能够抓住这一特点，仔细分析题意，找出其中规律那么就能够将计算简化，并最终求得正确答案。

一、以“直接代入法”作为解题方法

“直接代入法”是求值题当中最为常见的一种解题方法，其解题原理是将题目当中所已知的字母的值带入到代数式当中，通过对代数式进行进一步化简，来求出所要求的值，该方法常用于较为简单的代数求值题当中。若在解题过程中能够已知代数式中所含字母的值，可尝试使用该方法对题目进行解答。

例题1：设a=，b是a2的小数部分，则（b+2）3的值是_____。（2013年全国初中数学竞赛第6题）

解：已知a=，那么就可以求出1

分析：解答该题的关键就在于“a=”这一已知条件，根据这个已知条件就可以得出字母a的取值范围，然后再以此为基础进行余下步骤的解答。

二、以“整体代换法”作为解题方法

“整体代换法”是在“直接代入法”的基础上进行所研究出来的。其一般适用于已知代数式当中所含字母的值，但将字母的值带入到代数式中无法直接进行所求值的计算或计算起来较为麻烦，这时候就可以采取“整体代换法”来对其进行统一的代换，并求出最终的值。整体代换法是解决上述问题最有效的方法，利用“整体代换法”来对代数式值进行求解的关键，就在于可以根据题意需要对已知条件和所求值的代数式进行合理的变形，然后再进行整体的代入和求值即可。

例题2：设a=-1，则3a3+12a2-6a-12=_____。（“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛第1题）

A：24 B：25 C：4+10 D：4+12

解：由已知条件a=-1可以计算出（a+1）2=7，进而求得a2+2a=6。将a2+2a=6带入到3a3+12a2-12=3a当中，得出如下算式：

（a2+2a）+6a2-6a-12

=6a2+12a-12

=6×6-12

=24

故应选择A选项。

分析：解答该题的关键就在于“a=-1”这一已知条件，根据这个已知条件就可以得出a2+2a=6，然后再将a2+2a=6带入到代数式当中进行余下步骤的解答。

三、以“非负数性质”作为解题切入点

在初中阶段常见的非负数有|a|、a22n、，如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数均为0，非负数的这一性质使得在学生在解答部分竞赛代数求值题时有着重要的作用。也正因如此，利用非负数性质来对代数求值题进行解答也成为了非常常用的方法之一。

例题3：已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|++4=2a则a+b等于_____。（“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛第1题）

A：-1 B：0 C：1 D：2

解：由二次根式中被开方数的非负数性质可知，（a-3）b2≥0，即a≥3。所以可以将|2a-4|转化成为2a-4，于是将|2a-4|+|b+2|++4=2a转变成为2a-4+|b+2|++4=2a，消项得出|b+2|++4=0，则有b+2=0，（a3-）b2=0，解得b=-2，a=3，最后得出a+b=1，故应选择C选项。

分析：该题当中充分利用了二次根式中被开方数的非负数性质，在此基础上逐步的由简化繁，一步一步解答最后得出正确答案。

四、以“方程中根与系数的关系”作为解题关键

这里所说的方程是一元二次方程ax2+bx+c=0，该方程的两个实数根为x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1×x2=c/a，这就是一元二次方程根与系数的关系，利用这一关系可解决竞赛中一类代数式求值问题。

例题4：设a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则代数式+的值为_____。（2012年全国初中数学联赛四川（初三组）初赛第2题）

A：5 B：7 C：9 D：11

解：由已知a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，则a、b可以看作一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系，知a+b=3，ab=1。

+====7；

故应选择B选项。

分析：该题型的关键就是一元二次方程根与系数的关系，利用这一关系可解决竞赛中一类代数式求值问题。

结论：

无论是在数学竞赛当中，还是平常测验和考试，求值题都是会经常出现的题型，出题者的出题目的就是为了能够以求值题为媒介，来锻炼学生的逻辑思维能力和数学解题的灵活性，从而提高学生的数学学习能力。在对求值题进行解答的过程中，学生需要做好以下三点：①充分理解题意，分析出各个条件之间的关系和用处，“取其精华去其糟粕”；②不要拘泥于传统的解题方法，要将思维发散出去，将自己的解题思路放的更广，从各个角度入手来尝试对习题进行解答；③控制好自己的解题状态，戒骄戒躁，避免因解题不顺而出现情绪起伏，从而对自己的解题思路造成影响。

【参考文献】

[1]王定成.建构二次方程模型巧解竞赛求值问题[J].中学生数学，2005，22：25-26.

[2]李芳菲.竞赛中代数式求值的九种常用方法[J].中学数学，2013，16：71-73.

初中数学竞赛范文第2篇

一、利用因式分解

当已知方程的一边能化为两个一次式的积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决问题。

例1、（2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛试题）设质数、满足。则数据、、2、3的中位数是（ ）

A 4 B 7 C 4或7 D 4.5或6.5

解：由（、是质数），知=或或或。解得=（7，5）或（11，13）

故2、3、5、7的中位数是4；2、3、11、13的中位数是7。

例2、（2012年中等数学第6期数学奥林匹克初中训练题）满足的正整数对（，）有（ ）对。

A 3 B 4 C 5 D 6

解：，和的奇偶性相反，或（3，168）或（7，72）或（8，63）或（9，56）或（21，24）。解得：=（252，251）或（85，82）或（39，32）或（35，27）或（32，23）或（22，1）。故满足条件的正整数对（，）有6对。

二、利用整数的奇偶性

利用下面奇数和偶数的性质：两个连续整数中必有是一个奇数一个偶数；两个奇（偶）数的和是偶数，一个偶数与一个奇数的和是奇数；若、为整数，则有与有相同的奇偶性。

例3、（2012年全国初中数学竞赛试题10B）已知是偶数，且。若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 。

解：由已知得，且为偶数，于是、同为偶数。所以，是4的倍数，设，则。

（1）若时，可得，与是正整数矛盾。

（2）若至少有两个不同的质因数，则至少有两个正整数对满足。

若恰是一个质数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足。

（3）若是质数，或恰是一个质数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足。因为有唯一的正整数对，所以，的可能值为2，3，4，5。7，9，11，13，17，19，23，25共12个。

例4、（2011年新知杯上海市初中数学竞赛题）（1）证明：存在整数、满足。（2）问：是否存在整数、满足？证明你的结论。

解：（1）=（43，1）满足。

（2）答案是否的。若存在、满足，则。从而，是奇数，进而，是奇数，于是，、为一奇一偶，故是4的倍数。由于奇数的平方除以4余1，于是，等式左边除以4余1，而等式右边除以4余3。

所以，不存在整数、满足。

三、利用整除

一个整数去除整数，有时恰好除尽，有时会有余数。在数学竞赛中，整数的整除或带余除法的问题是十分有趣的，利用整数的整除性来求解问题。

例5、（2011年全国初中数学联赛试题）不定方程的正整数解（，）有（ ）组

A 0 B 2 C 4 D 无穷多

解：若方程有正整数解（，），注意到，完全平方数被4除余0或1，从而，为奇数，为偶数。令，代入得，，由于是偶数，是偶数，导出矛盾。所以，原方程无正整数解。

例6、（2011年四川省初中数学联赛决赛初二试题）设有个正边形，且这个正多边形的内角度数的总和能够被8整除。求的最小值。

解：由题意知，这个正多边形的内角度数的总和度数为。

由8@可推得，2@，得2@。

故、中至少有一个是偶数。又≥1，≥3，且均为整数。要使最小，则=（1，4）或（2，3）。从而，的最小值为5。

例7、（2012年全国初中数学竞赛试题B）在平面直角坐标O中，满足不等式的整数点坐标（，）的个数为（ ）

A 10 B 9 C 7 D 5

四、利用一元二次方程判别式

在一个二元二次方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用≥0求出参数的取值范围，然后求解。

例8、（2009年《数学周报》杯全国初中数学竞赛）关于、的方程的整数解有（ ）组。

A 2 B 3 C 4 D 5

五、利用一元二次方程韦达定理

在一个含有字母参数的一元二次方程中，可利用一元二次方程中的韦达定理得出两个关于根与系数的等式，再根据题中的其它条件来求解问题。

例9、（2005年"卡西欧杯"全国初中数学竞赛试题）已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）.

解：由方程的两根分别为、（），由根与系数的关系得：

①当时，即，因为均是质数，所以

②当时，即，所以，因为p、q都是质数，且，所以，解得符合条件的质数对：.

③当时，即，所以，，不存在满足条件的质数对.

④当，即，所以，，于是.

综上所述，满足条件的质数对或

六、利用另设参数

通过另设参数，能使原式中的两个变量隐蔽的关系变得比较明朗，使参数成为解决问题的中介。

例10、（2012年中等数学第3期数学奥林匹克初中训练题）满足的整数对（，）（ ）

A 只有一对 B 恰有两对 C 至少有三对 D 不存在

七、利用整数分离

在某些含有分式的方程中，可先将分式进行整式分离，分离后再利用整除性来求解问题。

例11、（2004年全国初中数学竞赛天津市试题）

方程的整数解共有（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

练习题：

1、（2005年全国初中数学竞赛广东卷试题）某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人。

析解：原队列中增加120人或减少120人，都能组成一个正方形队列，所以总人数为完全平方数，因此可设原有人数为x人，增加120人后总人数为，减少120人后总人数为，则有，两方程相减后得：，

因式分解得：，因为、同奇偶，且>>0

2、（2007年全国初中数学联赛四川初赛）方程的所有不同的整数解共有 组.

3、（2011年北京市初二数学竞赛）满足的整数对（，）的组数是（ ）

A 0 B 1 C 2 D 3

4、（（2011年北京市初二数学竞赛）关于、的方程的正整数（，）共有 组。

5、（2004年全国初中数学竞赛试题）已知a、b是实数，关于x、y的方程组 有整数解（x，y），求a，b满足的关系式。

参考文献：

初中数学竞赛范文第3篇

一、末位数字

根据整数的末位数字可以判断整数的整除性以及是否为完全平方数或连续自然数的乘积。

例1已知（a-2111） +（2112-a） =2113，求（a-2111）（a-2112）的值。

解：（a-2111） +（2112-a）

=［（a-2111）+（2112-a）］ -2（a-2111）（2112-a）

=1 +2（a-2111）（a-2112）

=2113

（a-2111）（a-2112）

= （2113-1）

=1056

=33×32

接着可以求出a=2144。

例2方程1+1×2+1×2×3+…+1×2×3×…×x=y +5的正整数解x=?摇?摇?摇?摇，y=?摇?摇?摇?摇。

解：x=1时，1=y +5，无实数解。

x=2时，3=y +5，无实数解。

x=3时，9=y +5，y=2。

当x≥4时，前4项的和为33，后面的项均为10的倍数，故个位数一定为3，所以y +5是奇数，y 是偶数。偶数的平方的个位只能是0、4或6，所以y +5的个位数只能是5、9或1，因此，y无解，故只能是x=3，y=2。

二、各位数字和

根据整数的各位数字和可以判定数的整除性以及是否有可能为完全平方数。

例3有一个60位整数，其中有30位是1，另外30位是0。求证：这一个数不是完全平方数。

证明：因为这个数的各位数字之和为30，而30是3的倍数但不是9的倍数，根据数的整除性判断法则，这个数本身是3的倍数但不是9的倍数。

不妨设此数为3N，其中N是不含因数3的正整数，那么它的算术平方根为，不论N是否为完全平方数，均不可能为整数，所以这个数一定不是完全平方数。

三、循环节

根据循环小数的循环节，可以确定某些相关数值。

例4已知a为整数，且满足0

解：因为 =0. 4285

=0. 8571

=0. 2857

=0. 7142

=0. 1428

=0. 5714

由上可知，这7个真分数化为循环小数后，它们的循环节的数字完全相同，只是排列位置不同，每个循环节的各位数之和为1+4+2+8+5+7+1=28。

设前若干位的位数为6N+r，其中N，r都是整数，r满足0≤r＜6，那么这7个循环小数的前6N位数字之和当N取任意正整数是都相同，而且是28的倍数，所以后r位数字之和为20，这样，就要求 的循环节的前r位数字之和为20，经过计算，只有 的循环节的前5从位数字之为20，所以a=1。

如果把2008变为2016，则a的值不能确定，还有多种情况下，若干位数字之和变为其它数字时，a的值不能确定，有兴趣的读者可以自行研究。

此外，数字的特殊结构也是解决某些竞赛题的突破点，限于篇幅，本文未予专题研究。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

初中数学竞赛范文第4篇

1.构造方法

有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答

综上所述 满足条件的x的值有：x=-1，x=2，x=2.

通过上面的例子，我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，把要求解的问题转化为方程，构造一个方程进而用方程来求解。

2.构造几何图形

对于一些题目，我们可以构造所需的图形借助几何图形的性质来达到解题目的。

例3正数a，b，c，A，B，C满足a+A=b+B=c+C=K。试证：aB+bC+cA＜K2.

分析：拿到题目，我们会无从下手，题中只有一串等式，并没有其它什么附加条件，但我们再仔细地从题目条件中推敲一下，会发现题目中的字母的和相等且为一常数，也就是三个相等的量，我们能不能由此联想到一些什么呢？如果我们把这三个量放在一起来考虑，又会有怎样的结果呢？我们假设有这样的三条线段，它们的长分别为（a+A）、（b+B）、（c+C）。我们构造出一个这样的三角形（如图）PQR，其中的三边分别为（a+A）、（b+B）、（c+C）那么这与我们要求证的结果又有什么样的关系呢？

看结论中的不等式aB+bC+cA＜K2，它里面有三个因式的积aB、bC、cA它们不就是图中对应三角形的两条夹边的积吗？而K是正三角形PQR的边长，K2会不会与PQR的面积有关呢？我们是不是可以用面积的计算来试一试呢？由面积公式可以得到

因此当sinC最大等于1时，（x+y）（y+z）有最小值为2。

这样我们运用构造法，把题目中难以入手的条件化成一个简单的几何问题，用面积的方法很轻松地解决了原本看似简单却没法下手去解决的问题，解决了同学们思维受阻的困惑，大大拓展了同学样的视野，很好地培养了同学们的创新思维能力。

3.构造函数

函数内容在我们中学数学中是占有相当的比重的，学生对于函数的性质也是比较熟悉的，选择用函数来解决一些棘手的问题，在某些情况下是比较方便的。

要求方程｜x+1｜+｜x+2｜=x+3的解的个数就是要看两函数①、②图象交点的个数。画出函数图象可以看出有2个交点，即原方程有2个解。

这些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的解题过程，从而培养学生的发散思维。

4.构造(a±1)、（b±1）解竞赛题

某些竞赛题，由其本身的数量关系，直接求解较繁或较难，但通过适当变形，构造出(a±1)、（b±1）据此可使有关问题的解法简捷、明快。

例7 试确定一切有理数r。使得关于x的方程rx2+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整数根。

分析：初看题目，我们发现要求一切有理数r似乎无从下手，而正当我们再往下看时，会发现原方程有且只有整数根，也就是说我们要求的r是要让原方程有且只有整数根。首先是要有根，由原方程我们可以直接得出：r不同时，那原方程的最高次数也可能是不同的，当r=0时，x=1这显然是符合条件的；我们重点要讨论的就是r≠0时的情况，一元二次方程有根，即=（r+2）2-4r（3r-2）≥0，且方程的根都是整数。这个条件的应用是解题的关键，我们可以设方程的整数根x1≤x2，如果我们把两根都求出来的话，这样做太累了。自然的，我们回想到用根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的表达式，再用这两者之间的关系来解题，这就方便多了。

解：分r=0和r≠0时，两种情况的讨论：

当r=0时，所给方程为2x-2=0有整数根x=1，

当r≠0时，所给方程为一元二次方程

设方程的两个整数根为x1、x2（x1≤x2）

这道我们主要应用了根与系数的关系，在分析根与系数关系时构造了（a-1）（b-1）这样的一个式子来解决题目中的一系列问题的，在解题的过程中式子（a-1）（b-1）起到了串线、连接的作用，这点对题目的解决是至关重要的。

初中数学竞赛范文第5篇

本文就2008年全国初中数学竞赛中的一道试题进行一些解法的探讨。

题目：如图，AB、AC、AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE。请你说明以下各式成立的理由：（1）∠CAD=2∠DBE；（2）AD-AB=BD・DC。

本题的两个命题的结论比较复杂，思路不易形成。如何进行分析找到证明的途径是解决本题的难点。

一、第一问的解答

分析一：在ΔDBE中，∠DBE=∠3-∠4，因此，可考虑考虑将∠DAC也用∠3与∠4表示出来，从中找出∠DBE与∠DAC之间的关系。

证法一：AB=AC=AE

可设∠4=∠6=x，∠3=∠5=y

则∠DBE=y-x（1），∠BAE=180°-2y

又∠DBC+∠BAC=180°

2x+∠DAC+（180°-2y）=180°

2x+∠DAC=2y，即∠DAC=2（y-x）（2），

由（1），（2）得∠DAC=2∠DBE。

分析二：延长BE交O于F，显然，∠1与∠DBF是同弧所对的两个圆周角，所以∠1=∠DBF。因此，欲证明∠CAD=2∠DBE，只需转化为∠2=∠DBE，从而命题可得到证明。

证法二：延长BE交O于F，连结AF，则∠1=∠DBE。

AB=AE=AC

∠3=∠5，∠4=∠6

∠DBE=∠3-∠4=∠5-∠6=∠ADF-∠6=∠7=∠2。

∠1=∠2=∠DBE.

∠CAD=2∠DBE.

二、第二问的解答

分析一：（方法：构造辅助圆）在DA的延长线上取点G使AE=AG，注意到AB=AE，则AD-AB=AB-AE=（AB+AE）（AB-AE）=DG・DE。设BD≤DC，在DC上取点B′使DB′=DB，则命题的结论可转化为：DG・DE=DB′・DC。联想到割线定理，可构造辅助圆，从而找到证明的途径。

证法一：设BD≤DC，则在DC上截取DB′=DB（否则在BD上截取），显然B关于AD的对称点为B′，以A为圆心，AB为半径，作A交DA的延长线于G，则点B，E，B′，C在A上，由割线定理得：

BD・DC=DB′・DC=DE・DG（1）

又AD-AB=（AD+AB）（AD-AB）=（DE+AE+AE）（DE+AE-AE）=DG・DE（2）

由（1），（2）得：

AD-AB=BD・DC。

分析二：从右到左的计算分析法。

连结DF、CF，注意到DC=DN+CN

所以BD・DC=BD・DN+BD・DN

考察ΔDBE∽ΔADN可得：

BD・DN=AD・DE（1）

考察ΔDBE∽ΔCFN可得：

BD・CN=CF・BE=DF・BE

再注意到ΔABE∽ΔFDE可得：

BE・DF=DE・AE

则BD・CN=DE・AE（2），由（1）+（2）可得证明。

证法二：连结DF，CF，由（1）得:

∠1=∠2，CF=DF.

∠1=∠DBE，∠4=∠6

ΔBDE∽ΔADN

=

BD・DN=AD・DE（1）

∠8=∠DBE

AB=AC

∠4=∠9

ΔDBE∽ΔCFN

=

BD・CN=CF・BE=DF・BE（2）

又∠BAE=∠DFE，∠AEB=∠FED

ΔABE∽ΔFDE

=

BE・DF=DE・AE（3）

（1）+（2）得：

BD・DN+BD・CN=AD・DE+BE・DF=AD・DE+DE・AE

即：BD・DC=DE（AD+AE）=（AD-AE）（AD+AE）=AD-AE=AD-AB

AD-AB=BD・DC.

分析三：从BD・DC的积中寻找相似三角形，把命题简化。

连结BC交AD于M，找出含有BD与CD的两个相似三角形。

显然ΔABD∽ΔCMD。可得：

BD・CD=AD・MD=AD・（AD-AM）=AD-AD・AM.

所以只须转化为证明：AB=AD・AM，再考察ΔABM∽ΔADB即可得到证明。

证法三：连结BC交AD于M（如图）。

∠a=∠β，∠4=∠6

ΔABD∽ΔCMD

=

BD・CD=AD・MD（1）

又AB=AC

∠3=∠4，∠a=∠a

ΔABM∽ΔADB

=

AB=AD・AM（2）

（1）+（2）得:

BD・DC+AB=AD・DM+AD・AM=AD（AM+DM）=AD

即:AD-AB=BD・DC.

分析四：巧用轴对称变换，寻找BD・DC的积。

由AB=AC=AE注意到∠3=∠4，故以AD为轴把ΔABD作轴对称变换得到ΔADB′，要得到DB′・DC的积再构造过ΔAB′C的圆，交AD于F，可得DB′・DC=DF・DA=AD（AD-AF）=AD-AD・AF，从而转化为证明AB′=AF・AD即可。

证法四：以AD为轴，使ΔABC与ΔAB′D关于AD成轴对称。

AB=AC=AE

∠3=∠4

B′在DC上

作ΔAB′C的外接圆交AD于F。

则BD・DC=DB′・DC=DF・DA=AD（AD-AF）=AD-AF・AD（1）

ΔAB′F和ΔADB′中，

∠a+∠2=180°，∠β+∠1=180°

又AB′=AB=AC

∠1=∠2

∠a=∠β，∠5=∠5

ΔAB′F∽ΔADB′

=

AB′=AF・AD

即AB=AF・AD，代入（1）得BD・DC=AD-AB，即AD-AB=BD・DC.

初中数学竞赛范文第6篇

现以近年来部分省市的数学竞赛题为例，归类介绍几种富有技巧性的换元法，供同学们参考.

一、常数换元

例1 （2006年内蒙古呼和浩特市初中数学竞赛题）分解因式：x4+1997x2+1996x+1997.

分析：本题如应用分组分解法按“二二分组”或“三一分组”均难以凑效，但由于数字1997出现频数高，若以1997为辅助元 a，则1996可转化为 a-1.从而原来四项式可转化为五项式，采用“三二分组”就便于利用提取公因式法和公式法简捷地求解.

解:设1997=a，则1996=a-1.

原式=x4+ax2+（a-1）x+a

=（x4-x）+（ax2+ax+a）

=x（x-1）（x2+x+1）+a（x2+x+1）

=（x2+x+1）（x2-x+a）

=（x2+x+1）（x2-x+1997）.

二、单项换元

例2 （2007年河北省邢台市初中数学竞赛题）分解因式：（x4+x2-1）2+（x4+x2-1）-2.

分析：本题可直接应用十字相乘法分解因式，但由于式子长，因而书写麻烦，若将多项式 x4+x2-1看作辅助元，则可简化解题过程.

解：设 x4+x2-1=y，则

原式=y2+y-2

=（y+2）（y-1）

=（x4+x2+1）（x4+x2-2）

=［（x2+1）2-x2］（x2-1）（x2+2）

=（x+1）（x-1）（x2+2）（x2+x+1）（x2-x+1）

三、双项换元

例3 （2006年吉林省通化市初中数学竞赛题）分解因式：（c-a）2-4（b-c）（a-b）.

分析：本题按常规解，必须先去括号，从而增加了运算量，如注意到 c-a=-［（b-c）+（a-b）］，则可以 b-c 和 a-b 为辅助元.从而为分解创造了有利条件.

解：设 b-c=x，a-b=y，

则 c-a=-（x+y）.

原式=［-（x+y）］2-4xy

=x2-2xy+y2

=（x-y）2

=［（b-c）-（a-b）］2

=（2b-a-c）2

四、三项换元

例4 （2007年江苏省常州市初中数学竞赛题）分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3.

分析：如先去括号再分解，则相当繁琐.但注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，故通过三项换元可将复杂问题转化为简单问题.

解：设 b+c-2a=x，c+a-2b=y，a+b-2c=z，则 x+y+z=0.

又 x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx），

则 x3+y3+z3-3xyz=0.

故原式=x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）.

五、对称换元

例5 （2008年浙江省舟山市初中数学竞赛题）分解因式：（xy-1）2+（x+y-2）（x+y-2xy）.

分析：显然去括号分解不可取，但以 x、y 的和积对称式为辅助元求解，情况就大不一样.

解：设 x+y=a，xy=b，则

原式=（b-1）2+（a-2）（a-2b）

=（a2-2ab+b2）-（2a-2b）+1

=（a-b）2-2（a-b）+1

=（a-b-1）2

=（x+y-xy-1）2

=（x-1）2（y-1）2

六、倒数换元

例6 （2007年河南省焦作市初中数学竞赛题）分解因式：x4+7x3+14x2+7x+1.

分析：本题多项式中到中间距离相等的项的系数的绝对值都相等，故可考虑采用倒数换元构造“x±1x”求解.

解：原式=x2（x2+7x+14+7x+1x2）

=x2［（x2+1x2）+7（x+1x）+14］

设 x+1x=y，则原式

=x2［（y2-2）+7y+14］

=x2（y2+7y+12）

=x2(y+3)(y+4)

=x2(x+1x+3)(x+1x+4)

=(x2+3x+1)(x2+4x+1)

七、均值换元

例7 （2007年湖南省沅江市初中数学竞赛题）分解因式：（3x+5）2（3x+7）（x+1）-4.

分析：如果直接取3x+5、3x+7、x+1的平均值作为辅助元，则不易用辅助元来表示这三个二项式.应把 x+1变形为13（3x+3），然后再用均值换元法就较为简便.

解：原式=13（3x+5）2（3x+7）（3x+3）-4.

设 y=13（3x+5+3x+7+3x+3）=3x+5，则原式

=13［y2（y+2）（y-2）-12］

=13（y4-4y2-12）

=13（y2-6）（y2+2）

=13（9x2+30x+19）（9x2+30x+27）

=（9x2+30x+19）（3x2+10x+9）.

初中数学竞赛范文第7篇

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沈阳市2009年中等学校招生统一考试数学科试题

南宁市2009年中等学校招生考试

浅谈数学思维的“定向”培养

文科数学学情分析及对策

谈谈课改下的数学课堂教学

适应新课改的思路更新教学观念

激发学习兴趣,提高教学质量———浅谈培养学生学习兴趣的几种做法

议数学教学与德育渗透的和谐统一

新课程理念下的研究性学习

关于数学实施新课程标准的一点体会

让问题意识走进新课程

浅谈赏识教育对数学后进生的转变

农村初中数学教学的几点思考

浅谈新课程标准下的数学课堂教学

浅谈尝试教学法在农村小学数学教学中的运用

如何培养学生学习数学的兴趣

浅淡高中数学课堂问题的创设

学会三招,改变数学课的“感觉”

浅谈数形结合在数学教学中的实施

思维到这里“拐了弯”

初探中学生数学解题能力的培养

初中数学竞赛范文第8篇

随着课程改革的不断推进，新课程在传统教学的基础上有了很大突破，初中数学作为初中教学中重要的科目之一，由于受到本身学科特性的制约，相对比较枯燥、乏味。因此大多数同学都觉得数学比较难学。对于初中数学老师而言，只有不断创新教学方法，采取有效的课堂教学方法来提高学生学习数学的兴趣，激发学生对学习数学知识的欲望。本文围绕新课程背景讨论了如何实现初中数学教学方法的创新，以期望能够为初中数学教学产生积极意义。

1.巧设情景教学法

情景教学法是指老师结合教学内容设置相关情景，从而激发学生学习兴趣的一种教学模式。在初中数学教学中利用巧设情景教学法，可以将枯燥的理论知识，转变成有趣的情景，有效激发学生学习数学的兴趣，进而提高学生的学习效率。并且情景教学法还可以对知识点深入剖析，有效提高学生对于数学知识的掌握。

例如：初中数学课题《一次函数》中，教师可以巧妙的利用旅游设置情景。比如，教师可以提出问题，在打算去旅游时，同时咨询了好几家旅行社，价格如下：

第一家旅行社：购买票数在10张以下，享受8折优惠；购买票数超过10张以上，其中10张票全价，多出的部分享受5折优惠。

第二家旅行社：全场享受七点五折优惠。

提问：假设第一家旅行社和第二家旅行社票价均是20元，现在一个班有50个人，那么应该选择那一家旅行社最划算，怎么购票最便宜，需要花费多少钱？

在这样的情况下，学生根据教师设置的情景，可以很快得到问题的答案。并且教师可以将同学向函数方向引导，然后组织同学以小组为单位，每一个小组之间进行比赛，对最先得出函数组公式的小组进行奖励。情景教学法可以将抽象的数学内容转变成直观的具体案列，进而有效激发学生学习兴趣，促进学生解决问题的思维能力。

2.关联性学习法

在初中数学教学中，可以结合计算机技术提高学生学习效率。教师在数学知识讲解过程中，可以将数学知识和其他学科知识进行关联，进而将知识融通，此类方法可以使学生对知识的理解更加深入。

例如：在初中数学"数据表示"课题中，教师利用信息化的手段，用EXCEL制作数据统计表，可以用扇形、圆形、条形表示数据。

3.开展数学竞赛

初中数学教学中，教师可以有效开展数学竞赛，让学生积极地参与到知识的学习中，不仅可以有效提高学生的学习效率，还能培养学生的团队意识。

例如：在初中数学教学过程中，教师可以和其他班级合作开展数学竞赛，比赛题目选择某一章节，或是某一道公式，由学生自行准备竞赛，教师可以对取得冠军的班级进行奖励，进而提高学生学习数学的热情，让学生爱上数学这门学科。

3.总结

初中数学竞赛范文第9篇

关键词：初中数学；数学教学；数学课堂；教学改革；教学创新

1、初中数学课堂教学理念创新

1.1、数学教师要坚持“以人为本”理念

所谓“以人为本”理念，是指数学教师在课堂教学过程中要始终以初中生为主体，要充分尊重初中生的主体性与年龄特征。同时，数学教师要对学生的个性特点、兴趣爱好、心理素质等进行全方位的了解，以有针对性的对他们开展数学教学。例如，对于内向，但逻辑思维能力强的学生，教师应多鼓励他站在讲台上将自己的学习经验、解题方法讲给其他同学听，或者让他站起来多解答一些其他同学提出的疑问，或者安排他为数学小组组长，让他带领小组成员共同探讨问题。

1.2、数学教师要具有“人才培养”理念

对于初中数学而言，可以说是高中、大学阶段数学教学的启蒙，对学生的数学学习活动起着十分关键的作用。数学教师要善于发现学生在课堂教学过程中的“闪光点”，不能认为初中数学难度低，就忽视学生在数学方面的发展潜力。相反，数学教师要勤于发掘数学人才、培养数学人才。对于在数学方面有发展潜力的学生，数学教师要有意地给他们安排难度较高的题目，以进一步提高他们的分析能力、综合能力、逻辑思维能力与创新能力等。

1.3、数学教师要具有“与时俱进”理念

在新时期，网络信息技术高速发展、全球经济一体化进程加快、社会文化（价值观）多元化发展、大学毕业生就业问题严峻等问题，都是初中数学教师应该考虑的问题。数学教师应当具有“与时俱进”的课堂教学理念，这是确保课堂教学内容、教学方法、教学策略等时新性的重前提。

2、初中数学课堂教学方法创新

2.1、“挖矿”式教学

工人挖矿，首先要确定地下哪个位置有矿；其次要明确挖到矿点的时间与人力；然后选择挖矿的最佳方法；最后挖到矿，通过这个矿点判断出还有哪个位置有矿，以便下一步进行挖矿工作。应用到数学课堂教学中，数学教师首先给学生确定一个问题；其次明确解决这个问题的学生人数和时间；然后让学生写出多种解题方法，并选择出最佳的一个；最后判断学生给出的最后答案是否正确。若正确，问学生这种题型与解题思路的特点是什么？能应用到哪些相同的题型，即让学生学会举一反三。

2.2、“互动”式教学

数学教师应当与学生建立良好的互动关系。众所周知，数学课堂教学相比较语文、地理、化学等学科，在教学内容上要生硬、古板许多，眼花缭乱的数学公式与各类图往往让学生的学习热情锐减。学生的学习兴趣不高，数学课堂教学质量必定不高。因此，数学教师非常有必要与学生建立良好的互动关系，方法有三：一是教师问，学生答；二是学生问，教师答；三教师与学生互问互答。但无论哪种方式，教师一定要放下“架子”，从教师角色转变为朋友角色，站在学生同一个角度找问题、分析问题、解决问题。

3、初中数学课堂教学形式创新

就目前来说，我国绝大多数初中的数学课堂教学都是以集体教学，即大班教学形式为主。虽然也有很多数学教师尝试过小班化教学，但有碍于教学精力、教学场地、学生差异等诸多问题，此类教学形式一直没有得以全面实现。但是，我们可以从另一个角度对数学课堂教学进行创新，具体方法如下。

3.1、建立学习小组

学习小组以共同学习、共同提高为目的，让学生以集体合作为学习形式，以集体智慧为学习动力，积极发现问题、分析问题、解决问题。

3.2、建立研究小组

与学习小组不同，研究小组以研究新问题、解决新问题为目的。在研究新问题时，数学教师要指导学生如何通过搜集论据证明自己所研究问题的科学性与有效性。同时，在问题研究结束后，数学教师还应让学生归纳出所研究问题的实际意义。

3.3、建立竞赛小组

竞赛是激发学生学习兴趣与学习动力的有力措施。数学教师应在班级中挑选出数学成绩优异，且心理素质较高的学生，让他们牵头组建数学竞赛小组。在课堂教学过程中，数学教师可以安排不同的竞赛小组进行竞赛。当然，对于校内组织的数学竞赛、地区性的数学竞赛乃至全国性的数学竞赛，教师更应当抓住一切机会让学生多多参与，从而让他们在竞赛中不断提高自己、发展自己。

3.4、建立教学小组

在课堂教学过程中，数学教师不能做唯一的教师，而是要定期组织不同的学生，让他们在课堂上进行授课。换句话说，数学教师应让学生亲身体验如何做好数学教师，从最初的教案设计，到具体的课堂教学，再到课下的作业布置等，都让学生参与其中。试验证明，这种方法能够大大提高学生学习数学的自主性、积极性与创造性，对与当前我国初中课堂教学改革创新具有一定的指导意义。

参考文献

[1]张长生.中数学高效课堂的构建[J].学周刊（中旬刊），2016（1）.

[2]李军霞.怎样提高初中数学教学效果[J].读写算（教研版），2016（1）.

[3]吴玉柱.试论如何做好初中数学课堂教学[J].读写算（教研版），2016（1）.

[4]胡宗丽.探究初中数学高效课堂教学策略[J].中华少年，2016（2）.

作者简介

初中数学竞赛范文第10篇

xxx，xx，xxx岁，xxx年江西师范大学数学系本科毕业，获理学学士学位，xxx年晋升为中学一级教师。

（二）政治思想与道德

我热爱祖国，拥护共产党的领导。xxx年来，一心一意从事教育事业，不嫌清贫。勤奋、严谨、踏实始终是我所追求的工作作风。 对待学生我一直坚持“以爱为本，严格要求”，把学生当成自己的孩子。从没有因一己私利而偏待学生，更不敢因一丝懒惰而使学生贻误。对自己严格要求，身先示范。因此，深得学生的喜爱与家长的尊敬。

周边的同事都是我的好朋友。我总是以百分百的热情与诚实去与他们相处。比如有时同事家电脑有故障，去维护修理已经成了我的“专利”等。对年轻教师我从不保守，热心地扶持他们。为了让年轻教师上好公开课、做好课件，我花了很多心思。总之，与同事关系非常融洽。

（三）日常教学与竞赛辅导 日常教学方面。要上好课，首先必须从分析了解学生的实际情况开始。每一届学生一交到我手上，我所要做的第一事情就是认真地阅读档案，把学生按不同的层次分类（一般分为三类：优、中、弱）。对不同层次的学生采取分层教学的方法，备课时按要求准备不同层次的例题与习题（一般分为三类：易、中、难）。让所有的学生都“吃饱”，努力做好因材施教。而课堂上我总是用自己的风趣与幽默及准确生动的语言使学生始终保持高昂的学习热情。作业一直全批全改，对作业反馈的问题都是及时解决，没有一丝马虎。学生都喜欢要我教他们的数学。教学效果也是非常出色的。就拿2001届初三（9）班来说，有23个免试进入省重点中学——xxx的数学实验班。中考考xxx的升学率高达94%以上，最近，2002年高一所教三个班成绩也均优于平行班。

我个人的解题能力也深得学生的信赖，学生提出的问题一般都是当场解决，每一次下班辅导都是学生问得没有问题问才离开，从没有给学生留下一个问题，在这方面，可以说让学生心服口服。

数学竞赛辅导方面。16年来我一直是年级数学备课小组长，数学竞赛辅导主要由我一个人负责。从初一的“华杯赛”，到初三四月份的全国初中数学竞赛，每一次竞赛小组选拔、资料与讲义准备、辅导上课，每届都要让我忙上两年多，有时还得增援其它年级的竞赛辅导。每次竞赛（“华杯赛”或全国初中数学竞赛）xxx市的省级三等奖以上的奖项我组织的参赛队至少要拿一小半回来，为学校争得不少荣誉。竞赛成果列举如下：

1989年指导xxx获全国高中联赛江西赛区一等奖；

1995年指导xxx为代表的一批同学参加全国初中数学竞赛获广东省级二、三等奖多名。xxx同学竞赛成绩居xxx市第一名。

1998年指导xxx、xxx为代表的一批同学参加全国初中数学竞赛获广东省级二、三等奖多名。文匡华同学竞赛成绩居xxx市第一名。

1999年指导xxx、xxx获“华杯赛”初中组部级三面铜牌，也是xxx市仅有的初中组三面铜牌，同时还获得xxx市教育局表扬与奖励。

2001年指导xxx、xxx、xxx三位同学参加全国初中数学竞赛获广东省级一等奖。获省级三等奖以上的同学达xxx市三等奖以上总人数近半数。得到学校奖励，同时也赢得了同行赞赏。

（四）班主任工作

十六年来担任班主任总共八年（1991—1998年）。班主任工作是一个系统工程，而班主任是这个集体的主要组织领导者。班主任工作的成败是学生思想健康成长的关键，也是良好学风形成的关键。下面从几个方面谈谈我做班主任的情况。

1、以身作则，严于律己。八年来凡是要求学生要做到的，自己首先做到，给学生做一个好榜样。

2、引导学生选好自己的班干部。保证选出的班干部基本上都是品学兼优，各方面起模范带头作用，有号召力，热心于公益事业的好学生。如：王燕洲、黎宇、姚丽琼等一批优秀班干部。当然，有时也有意识地让个别难于管理，不思进取的学生通过实践班干部工作，规范其行为，激发兴趣，最终转化为优秀学生。如：王崧武等一批后进转优秀的干部。

3、团结任课老师，形成一个强大的工作团队，也是班主任工作成功的关键。我随时与任课教师交流本班的情况，及时听取来自其他教师的反馈，和大家一起分析和迅速解决问题存在的问题。我经常组织本班任课教师开会，实行任务到人，分“人”包干，充分发挥团队的作用，大大地提高了工作效率。