函数、数列与不等式

数列是定义在正整数集或它的子集上的特殊函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看作关于项数n的函数，而不等式是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合题目既考查基础知识，又考查数学能力. 本专题中的题目均是以数列为核心，在数列、函数和不等式三部分内容的交汇点处设计试题的，有一定的综合性和难度，突出体现了对综合应用能力的考查.

■ 专项模拟

A. ［4，+∞）

B. （－∞，－4］∪［4，+∞）

C. （－∞，0］∪［4，+∞）

D. 不能确定

3. 数列｛an｝中，an=n2+λn（n∈N+），若｛an｝为递增数列，则λ的取值范围为____________.

4. 数列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1（n∈N+）.

（Ⅰ）证明｛an－n｝是等比数列；

（Ⅱ）求｛an｝的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N+恒成立.

（Ⅰ）证明｛an｝是等差数列；

6. 设｛an｝的前n项和Sn=n2－4n+4.

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式.

（Ⅱ）设各项均不为0的数列｛bn｝中，所有满足bi・bi+1

8. 数列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列.

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测｛an｝，｛bn｝的通项，并证明你的结论；

在x=bn处的切线斜率.

（Ⅰ）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；

（Ⅱ）若Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明：当n≥2时，2Sn>Tn+3n.

10. 数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）.

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项；

11. 已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.

（Ⅰ）求x0的值.

12. 设an是关于x的方程xn+nx－1=0（n∈N+，x∈R+）的根，试证：

（Ⅰ）an∈（0，1）；

（Ⅱ）an+1

14. 函数f（x）=x2－4，曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））?摇处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）.

（Ⅰ）用xn表示xn+1；

（Ⅲ）若x1=4，bn=xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明：Tn

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式.

（Ⅲ）正数数列｛cn｝中，an+1=（cn）n+1（n∈N+），求数列｛cn｝中的最大项.

（Ⅰ）求a2，a3，并猜想数列｛an｝的通项公式，再用数学归纳法加以证明；

17. 已知函数f（x）=x3+x2，数列｛xn｝（xn>0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行. 求证：当n∈N+时，

18. 已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点都可导的函数，且xf ′（x）>f（x）在x>0上恒成立.

（Ⅱ）当x1>0，x2>0时，求证：f（x1）+f（x2）

N+）.

（Ⅰ）证明：an≥2（n≥2）；

（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）0成立，证明：an

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅰ）求正实数a的取值范围；

■ 解题反思

1. 研究数列单调性时，既可利用定义，通过比较前项与后项的大小关系得知数列单调性，又可借助与数列对应的函数的单调性得知该数列的单调性. 由于数列是特殊的函数，所以在利用函数的单调性来研究数列的单调性时，还要注意区别. 因为数列定义域中的取值是不连续的，所以数列的图象是一些离散的点，这样就能理解即使数列不在其对应函数的单调区间上，也可能具备单调递增（或减）的性质. 也正因为这点，同学们解题时不能直接对2. 数列与不等式的内容经整合可形成证明不等式、求参量取值范围等问题. 数列不等式的证明方法相当丰富，常见策略有：

（1）根据数列通项的特点直接求和，将式子化简可证得不等式. 直接求和的方法有求和公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等，如第7、8题中的第（Ⅱ）问就是利用裂项相消法求和.

（2）通过放缩，将不便于求和的式子变形为易求和的式子，即将通项化为可裂项相消或可等比求和的结构，缩，将通项化为可裂项求和的结构.

（3）由于数列不等式是关于正整数的不等式，所以可以利用数学归纳法证明，如第9题中的第（Ⅱ）问和第13题.

（4）可利用函数的相关性质证明以数列为载体的不等式问题，如第15题中的第（Ⅲ）问，先构造函数f（x）

1. C

2. C

3. λ>－3

4. （Ⅰ）证明略，提示：an=4n－1+n

5. （Ⅰ）证明略

6. （Ⅰ）an=1，n=1，2n－5，n≥2

7. （Ⅰ）an=6n－5

（Ⅱ）m的最小值为10，提示：利用裂项求和将式子化简

8. （Ⅰ）a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25，猜测an=n（n+1），bn=（n+1）2，证明略，提示：用数学归纳法证明

9. （Ⅰ）an=2n，bn=2n－1

（Ⅱ）证明略，提示：其实质是证2n+2>n2+3n+4，可用数学归纳法，也可用二项展开式进行放缩

10. （Ⅰ）an=2n－1

11. （Ⅰ）x0=1

3n+1>2n+1

12. （Ⅰ）证明略

（Ⅱ）证明略

15. （Ⅰ）an=n

（17. （Ⅰ）证明略18. （Ⅰ）证明略

（Ⅱ）证明略，提示：利用（Ⅰ）中证得的单调性

（Ⅲ）证明略，提示：先用数学归纳法证明当xi>0时，f（x1）+f（x2）+…+ f（xn）

19. （Ⅰ）证明略，提示：用数学归纳法证明

（Ⅱ）证明略，提示：用数学归纳法证明

21. （Ⅰ）a≥1