函数、导数与不等式

以导数为工具研究函数性质已成为近年高考命题关注的热点. 导数的工具作用主要体现在判断函数单调性、求解函数的极值和最值等方面. 函数最值的求解是函数学习中的一个难点，而用导数求解，则流程明确，可操作性强，易于把握. 因此以导数为工具研究函数性质应该成为同学们重点关注的内容. 此外，在判断大小关系及求解、证明不等式时，常常把不等式问题转化为函数问题，因而导数的工具作用又会凸显出来.

■ 专项模拟

A. f（x0） B. －2f ′（x0）

C. 2f ′（x0） D. 0

2. 函数y=exsinx在下面哪个区间内是增函数（）

A. a＞b B. a＜b

C. a=b D. 不能确定

4. 函数f（x）和g（x）在［a，b］上可导，且f ′（x）＞g′（x），则当a＜x＜b时，有（）

A. f（x）＞g（x）

B. f（x）＜g（x）

C. f（x）+g（a）＞f（a）+g（x）

D. f（x）+g（b）＜f（b）+g（x）

6. 设x10－3=f（x）（x－1）2+ax+b（a，b∈R），其中f（x）是关于x的多项式，则a为_________.

7. 二次函数y=f（x）的图象过原点且它的导函数y=f ′（x）图象是如图1所示的一条直线，则y=f（x）的图象的顶点在第_______象限.

8. 函数y=f（x）的导函数图象如图2所示，给出下列判断：

③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；

④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；

则上述判断中正确的是____________.

9. 函数f（x）=x3+bx+cx+d在区间［-1，2］内是减函数，则b+c的最大值为_________.

11. 点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则P到直线y=x－2的距离的最小值为__________.

12. 求函数f（x）=（2x－x2）・ex的单调递增区间.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值.

（Ⅱ）若函数f（x）在区间（－1，1）内有且仅有一个极值点，求a的取值范围.

15. 已知函数f（x）=x3+2x2+x－4，g（x）=ax2+x－8.

（Ⅰ）求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意x∈［0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围.

（Ⅰ）求函数f（x）在区间［1，e］上的最大值、最小值；

立，求实数k的取值范围.

18. 函数f（x）=lnx，g（x）=x.

存在，说明理由.

19. 已知a＞b＞e，其中e为自然对数的底，求证：ab＜ba．

（Ⅰ）求证：f（x）和g（x）在［1，+∞）上均为减函数；

■ 解题反思

1. 同学们需要理解导函数的概念，掌握表达式的各种形式，只有这样，才可以轻而易举解决第1题和第5题. 导数的一个重要作用是借助符号的正负，判定函数的单调性，同学们在解题时容易出现与自身单调性混淆的错误，如第8题. 此外，导数的大小与原函数中函数值的大小无直接关系，如第4题中的条件f ′（x）＞g ′（x）需转化为F（x）=f（x）－g（x）在［a，b］上单调递增. 如果函数具备单调性，在函数单调区间内，可以通过自变量的大小判定函数值的大小，如第3题.

2. 明确了函数的单调区间，我们就可以求出极值与最值，极值可以帮助我们判断图象间交点的个数，而最值往往用来解决恒成立问题或不等式的证明问题等. 在根据函数的单调区间确定解析式中变量的范围时，要注意区间的端点值，如第8、9题.

3. 此外，第13题提醒同学们要关注导数的几何意义，因为利用导数的几何意义可以确定函数的解析式.

1. C 2. C

4. C 5. 8

6. 10

7. 一

13. （Ⅰ）a=2

大值为 －2－2ln2，当x=1时，f（x）有极小值2ln2+1

14. （Ⅰ）证明略

（Ⅱ）a≤5

（Ⅱ）证明略

17. k的取值范围为（e2－2，+∞）

（Ⅱ）证明略，提示：借助第（Ⅰ）问f（b）＜f（1），g（a）＜g（1）