对数学发展的基础认知界定

在了解了认知数学内容的元要素后，我们需要对“数学”这个概念做一下基本的界定。

为什么还要对“数学”做概念界定呢？这是因为：第一，虽然都叫做“数学”，但各个历史时期的“数学”，实质并不相同。第二，我们每个人心目中的“数学”概念，也都不相同。

比如，现代数学，与近代数学，基本是两码事。古代数学，与近代数学、现代数学，更是不同。特别是远古的数学――原始数学，更不相同。而且原始数学能否叫做数学都是问题。

对人类数学发展史，目前大致有个认识上的界定，权威的数学史大致是这么写的：

“数学是一门最古老学科，它的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少。迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。远在15000年前人类就已经能相当逼真地描绘出人和动物的形象。这是萌发图形意识的最早证据。后来就逐渐开始了对圆形和直线形的追求，因而成为数学图形的最早的原型。在日常生活和生产实践中又逐渐产生了计数意识和计数系统，人类摸索过多种记数方法，有开始的结绳记数，用石块记数，语言点数进一步用符号，逐步发展到今天我们所用的数字。古希腊人在数学中引进了名称、概念和自我思考，他们很早就开始猜测数学是如何产生的……”

通过这段文字，我们可以看得出，人类数学从萌芽到现在，经历了数个漫长的历史时期，在各个历史时期，“数学”并不相同，而是经历了诸多的变化，当然也做出了积累。

史学家和数学家们，从多种标准对数学发展做了发展期的划分，但这种划分并不是针对数学教育所提出。因此，我们从学习和教学的角度来阅读理解数学史，还是比较困难的。

我们知道，在1万多年前至今的数学发展史中，各个历史时期的“数学”并不一样，虽然都称之为“数学”。所以，我们有必要回溯历史，并结合人类的认知与思维发展史，从各个历史时期数学建立的基础（建立的基本逻辑）和同步时期的人类认知与思维发展的角度，来重新划分一下数学。

我个人认为，可以划分为如下几个阶段：

1.远古数学：人类感觉时期的数学 ―― 即量感、形感、质感

时期；

2.原始数学：人类感知、认知时期的数学 ―― 即计量、测量、估量和数字、图形、文字时期。

这个时期，主要是由计数、测量、估量等产生了数字、测绘图形、自然科学萌芽等。大致相当于古埃及、古印度、古两河文明

时期。

3.古代数学：人类探知时期开始的数学――即初等数学形成时期的数学。这个时期主要是产生了概念、逻辑、形而上、Logos等，把数学逐步建立在了形而上思维、Logos理念、概念和形式逻辑基础上，产生了公理体系的几何学，严格的证明和算法等。人类开始以数学、语言学、形而上学、诗歌神话的眼光来认知和理解世界。“万物皆数”“人是万物的尺度”等，便是例证。这也是近现代数学奠定基础的历史时期。这个时期大致相当于古希腊时期公元前600年至灭亡。

4.近代数学：笛卡尔创立了解析几何学，把变量引进了数学，成为数学中的转折点。数学进入一个新的以变数为主要研究对象的领域，称为“高等数学”。近代数学本质上可以说是变量数学。微积分、函数、解析几何、数论等是这个时代的主角。

5.现代数学：现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。

19世纪前半叶，数学上出现三项革命性的发现：非欧几何、不可交换代数、分析的算术化。这导致了现代数学的突破和奠基。

拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的

研究。

20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构，这反过来导致公理学的产生，即对于公设集合及其性质的研究。许多数学概念经受了重大的变革和推广，并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。一般（或抽象）集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切需要得到处理。逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具，被认真地检查，从而产生了数理逻辑。逻辑与哲学的多种关系，导致数学哲学的各种不同学派的出现。

从整个数学发展史来看，数学成立的基础是：概念、逻辑。

以上引用的都是比较权威的数学史、自然科学史上的资料和说法，而且在不同的版本之间做过比对。

大家可以看到：我们今天的初等数学等于古代数学，常量数学；我们今天的高等数学等于近代数学，变量数学；我们今天的抽象数学等于现代数学，分析数学。

古代数学就是初等数学，那么初等数学之前，是什么数学呢？所以，如果硬要叫做数学的话，只能叫做原始数学了。

（作者单位：公众教育研究院）