数学开放题研究及启示

【前言】数学开放题研究及启示由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。一、开放题定义 开放题是相对于传统的封闭题（条件完备，结论确定）而言的，由于问题的条件设置不完整或结论具有不确定性，需要学生发散思维，多方面思考的题型，核心是培养学生的创造意识和创造力，宗旨是培养学生在新环境中的适应能力和创新能力. 二、开放题的特点 ...

【摘要】 重视“双基”是我国的数学教育特色，但也使学生存在应用能力薄弱等不足，作为一种新题型，数学开放题把“双基”教育和“素质”教育很好的结合起来.以开放题为分析对象，本文从定义、特点、分类设计等多方面对数学教学进行了分析，希望对师生更好认识数学开放题有所帮助.

【关键词】 数学开放题；数学研究；发散思维

【基金】 本研究系全国教育科学“十二五”规划2012年度单位资助教育部规划课题《“以学评教”背景下高中课堂学会学习的实践》（课题批准号FHB120509）的系列成果之一，得到浙江师范大学教师教育学院微课研究中心的资助.

数学开放题是20世纪70年代开始出现的，以日本岛田茂为首的一个学者小组最先提出了数学“开放题”（openend problem）的概念.国际数学大会委员会（ICMI）举办后，开放题于1998年在全国高等院校入学考试时首次亮相.作为数学教育工作者研究数学开放题，构建数学开放题，并将之用于教学实践中，是对学生进行素质教育的一种有效途径.

教无定法，贵在得法.没有哪一种教学方法是万能的，但教育一线的工作者们一直都希望自己的教学方法能最优化教学效果.“翻转课堂”“慕课”等大浪潮席卷了许多地区，但是真正运用于课堂的也为数不多.传统的数学课堂是教师讲，学生听，通过大量的练习或模仿解题步骤等，完成知识点的记忆，这样的教学，使得学生善于模仿，善于解常规问题和竞赛题，但往往也失去了培养学生创造能力的机会.所以，教学更应教会学生学会学习，帮助他们打开思维，鼓励他们大胆创新.数学开放题作为一种新题型，应受到师生的广泛关注.

一、开放题定义

开放题是相对于传统的封闭题（条件完备，结论确定）而言的，由于问题的条件设置不完整或结论具有不确定性，需要学生发散思维，多方面思考的题型，核心是培养学生的创造意识和创造力，宗旨是培养学生在新环境中的适应能力和创新能力.

二、开放题的特点

数学开放题与传统的封闭题相比有以下这些特点：非完备性与不确定性、发散性与探究性、层次性与发展性、创新性和应用性.其中发散性要求学生在解决具体问题时要根据问题所需进行多方思考、或转换思维方式探究多种解题方案，得出结论.

三、开放题分类及设计

问题是开放式问题还是封闭式问题的属性主要取决于学生的知识水平.如，有 n 个人进行两两之间的比赛，共需比赛多少次的问题，初中学生有很多种解法，高中学生利用排列组合的知识往往就只剩一种解法.总的来说，开放题主要包括以下几种类型，借助具体的题例分析可以更好地理解该类型特点.

（一）条件开放题

条件开放题为问题所需补充的条件不能由结论推出.在设计条件开放探究题时，可以把常规性题目中完整的条件、结论改编为已知题目的结论成立，求满足结论的条件.例如在学习幂的运算性质时，计算x3・x4就是一道简单的封闭题，若改变一下条件与结论，试求一个代数运算结果为x7的式子，这就把原题改为一道条件开放题.教材与习题中常见的条件开放题还有补充条件，使某结论成立等.如：如图1，要得到AD//BC，只需满足条件 （只填一个）.再如：义乌市2012年数学中考卷第18题中，如图2，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得BDF≌CDE，并加以证明.你添加的条件是 （不添加辅助线）.

（二）策略开放题

策略开放性问题指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类开放题一般都给出了条件和结论，而怎样由条件去推断结论，或怎样根据条件去判断结论是否成立的策略是未知的.例如：钟面数字问题.钟面上有 12 个数字，在数字前添加正号或者负号使它们的和等于0.再如：在二次根式的学习中，计算以50 6 为斜边，20 6 为直角边的三角形另一边长.只询问结果的情况下，这是一道封闭题.若改变设问方式，询问学生是用什么方式求出大小的，则其中学生的不同解题方法可以得出一道策略开放题.一般学生由勾股定理都可以列式如下： （50 6 ）2-（20 6 ）2 .有的学生会按运算法则逐步计算： （50 6 ）2-（20 6 ）2 = 15000-2400 = 12600 =10 126 =30 14 .而个别学生会灵活运用提取公因式得出： （50 6 ）2 （三）结论开放题

结论开放题的明确特征是缺少确定结果，且题目所给条件不是结论的充分条件.一般来说，结论开放题的标准答案包括将所缺的结论补充完整，根据自己所给结果形成的封闭题并给出完整解答.例如：给定2根相等的长筷子，2根相等的短筷子，摆成一个四边形，能摆出几种？再如，在一些结论开放设计题中，要求用圆和正方形两种图形（圆和正方形的个数不限），将某矩形分成具体比例等.

（四）综合开放题

综合开放题，即条件、结论、策略中至少有两项是开放的.此类开放题型经常采取建立新问题规则，要求学生运用新规则解答问题的形式解答，需要综合设立条件，通过观察、比较、联想、猜测、推理、判断等探索活动逐步得到结论，或分析运动变化过程，寻找变化中的特殊位置，利用多个数学思维方法，逐个击破.这种由解答者给出形成封闭题所需要的条件和结论的题型，具有反映学生思维灵活性、试题情景公平等优点.例如：一个四边形，剪掉一个角，剩下部分还有几个角？ 这种题目，学生可以通过画图解决，也可以通过想象图片来求解，当他们获取三个角、四个角、五个角答案时，必然会或恍然大悟或欢呼雀跃.

四、开放题研究启示

在研究数学开放题时不难发现，许多试题都是平时教学中的例题、习题或已考过的中考试题的直接引用或改编而成的.这些试题的命制，无疑对日常的数学教学起着很好的导向作用.因此，在平时的教学中，数学教师应该要有意识地将例题、习题等进行拓展、引申，通过改变条件、结论、图形等，将开放题融入教学中，引导学生积极思考，培养学生的应变能力、发散性思维能力和创新意识，从而使教学能真正提高学生的能力.

数学开放性问题具有广泛的时空思考范围，具有较为丰富的思维材料、思维方向及问题解决的途径，使得学生能够更加自然独立地探索、合作交流.同时，其解题的过程，是一个有趣、丰富的学习过程.变化无穷、生动活泼、灵活多样的数学开放题，可以一改学生死搬硬套的解题模式，教会学生从不同角度对问题进行深思熟虑，寻求多样性的解题方法.这样，才能致力于实现义务教育阶段的培养目标，真正适应学生个性发展，为他们活跃思维提供可能.

【参考文献】

[1]戴再平主编.开放题――数学教学的新模式[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2]张奠宙，戴再平.中国数学教学中的“双基”和开放题问题解决[J].数学教育学报，2005，11.

[3]李亚红.探讨初中数学开放题的解题技巧[J].中国校外教育，2014（02）：25.

[4]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2011.