数学等价无穷小量的具体应用和研究

数学等价无穷小量的具体应用和研究

周玉玲

（白城职业技术学院 吉林 白城 137000）

摘要：作为无穷小量里面最为重要的一个分支，等价无穷小量是求极限过程中最为常用的方法之一，同时也是分析数学中最重要的知识点之一，在求极限时，正确使用等价无穷小代换可以起到化繁为简、化难为易的作用，对于简化极限的求解的重要的作用和继续分析数学的深远意义不言而喻。本文主要就几个常用的等价无穷小量及其具体的应用展开全面、深入的分析研究，并且将特别地给出无穷小量在使用过程中经常出现的一些错误和误区加以分析纠正，以期更好的掌握这一求解极限的有力工具，为今后的继续学习奠下坚实的基础。

关键词：等价无穷小量 数学分析 极限

作为无穷小量里面最为重要的一个分支，等价无穷小量是求极限过程中最为常用的方法之一，同时也是分析数学中最重要的知识点之一，在求极限时，正确使用等价无穷小代换可以起到化繁为简、化难为易的作用，对于简化极限的求解的重要的作用和继续分析数学的深远意义不言而喻。

一、等价无穷小的有关定理

定理1（置换定理） 设f（x），g（x）为同一前提条件下的无穷小量，且f（x）～g（x），则

Limf（x）h（x）=limg（g）h（x）.

证明 因为

所以有

=limg（x）h（x）

这个证明过程其实是利用了等价无穷小量的定义.而且这恰恰说明了等价无穷小置换在求极限过程中的作用机理：即在求极限过程中，若f（x）较不方便计算，则只需把f（x）除以它本身再乘以g（x）， 的极限为1，在乘除法过程中可以忽略（当然，这也正是为什么这种等价替换只能在乘、除法环境下有效的原因，这在下文将重点说明），这样，f（x）就被置换成g（x）了.

下面我们再看一个定理.

定理2（传递定理） 设f（x），f1（x），g（x），g1（x）为同一前提条件下的无穷小量， 且f（x）～f1（x），g（x）～g1（x）， 则

证明

进一步考虑，我们假设f1（x）～g1（x）， 那么由定理2可知

即f（x）～g（x）

另外，若f1（x）=g1（x），显然以上推理也成立，故而可得等价无穷小的传递性推论：

2.3 等价无穷小的巧妙应用

基本定理和相应的例题讲解完毕，相信大家都已对等价无穷小的一些用法有了初步的心得，下面本节将就具体的实例分析等价无穷小在求极限过程中的巧妙应用.

例 求

解析 由常用等价无穷小量sinf（x）～f（x）

即可得

例 求

解析 由常用等价无穷小量sinf（x）～f（x）

即可得

由以上两个例子我们可以看到，如果能熟练掌握常用的等价无穷小量，那么对于我们巧解极限是非常有帮助的.

3.总结

等价无穷小确是求数学极限过程中的一样利器，熟练掌握有益无害，特别是要注意使用无穷小进行等价置换时，避免对单一的小因子进行置换，要对因式整体置换；避免加、减法情况下的蛮目置换，要考察具体条件是否满足，只有这样才能避开常见的错误，达到正确解题的目的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M]高等教育出版社.1981

[2]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M]高等教育出版社.2002

[3]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学[M]高等教育出版社.1988