数学素养问题解析

PISA（国际学生评估项目的缩写）所定义的数学素养是指一个人能在多种不同的情境之下，将情境问题转化成数学问题、使用数学及解释数学的能力.它包括了数学推理及应用数学概念、程序、事实、工具来解释、描述及预测现象，并将协助个人了解数学在世界上所扮演的角色，且能够针对个体在生活中的需求运用，投入数学活动，进行有根据的评断，成为一个具有积极态度及反思能力的公民.

相比较，PISA测试更注重具备思维力、洞察力、方法发挥作用的数学知识，PISA测试题总是与具体情境与经验相联系，而图、表内容则是现实情境中重要的信息来源.我国数学课程标准也提出了要培养学生从图中搜集、分析、处理信息的能力，“读图、读表”题已成为现今中考常见题型，其实质是对数学知识多元表征能力的考查，文字表征易于理解，代数表征简明严密，图表表征赋值清晰，图形表征表现直观.

下面就笔者所编的初中范围内的几个具体数学素养试题作解析.

试题1火地群岛灯塔是一个呈圆锥形的灯塔，位于比格尔海峡的小岛上，阿根廷南部东乌斯怀亚火地岛最东北部5海里.灯塔高10米，宽3米.一次大型强台风“韦帕”席卷火地群岛灯塔，强降雨伴随狂风，引发泥石流和洪水.台风中心位置在灯塔南偏西60°方向400千米处，台风半径为250千米，以每小时120千米向东匀速直线前进.设此台风的速度、行进方向及台风半径都不变，预测火地群岛灯塔在台风圈内的时间共有小时.

解析：[HT]本题属阅读理解能力维度表现的简单应用题.问题数学化时，首先需要画出一个南北方向的方位架，以沟通现实情境与数学之间的联系；然后使用数学符号、形式转换情境表征；圆中求弦长，从而求得问题的结论.

作出示意图，如图2，设S表示灯塔，O表示台风中心.过火地群岛灯塔S作正东方向的平行线和垂线，交台风外圈于B，A.由已知得OS=400千米，∠COS=30°.

试题2设正五边形ABCDE的边长为a，五条对角线围成正五边形PQRST.小明想买一个蛋糕给妈妈庆祝母亲节，他要求师傅做一个三层结构的蛋糕：各层皆为等高的正五棱柱，由俯视图观察第一层正五边形对角线交点为第二层正五边形的顶点，第二层正五边形对角线交点为第三层正五边形的顶点，蛋糕的俯视图如图3.若蛋糕的价格以面积计算（每平方厘米的价格为定值），已知第一层（最下层）的价格为100元，求整个蛋糕的售价多少元（取5≈2.236）？

解析：[HT]本题属阅读理解、分析推理能力维度表现的数学实验题.经过理解题意，问题情境转化为只需求平面内正五边形的对角线所产生的小正五边形的面积，而通过使用数学知识（符号、形式、术语及运算）加以分析推理，这些小正五边形相似，故求其相似比成为求作主题.

如图3，由已知ABCDE是正五边形，得∠BAE=（5-2）×180°5=108°，

∠ABR=∠BAR=36°.∠RBQ=36°.ABQ∽BRQ.

BQRQ=AQBQ.BQ=BR=AR.AR2=AQ・RQ=（AR+RQ）RQ，

即AR2-AQ・RQ-RQ2=0.AR=1+52RQ，点R为线段AQ的黄金分割点.

RQ=AQ-AR=AB-1+52RQ，3+52RQ=AB=a.RQ=2a3+5=3-52a.

类似的，可推得第三层正五边形的边长为3-52・3-52a=7-3[]52a.

因为这些正五边形相似，所以面积的比等于相似比的平方.已知第一层（最下层）的面积设为单位1，价格为100元，故整个蛋糕的售价应定为100[1+（3-52）2+（7-3[]52）2]=100（28-12[]5）≈116.8（元）.

试题3近日，世界百米短跑飞人博尔特（牙买加人）接受了一项挑战，那就是与公交车赛跑，在取得完胜的同时，心气很高的博尔特发微博要挑战中国公交司机，于是大连24路公交美女司机王颖，毅然迎战.王颖非常客观地表达了自己的观点，短跑运动员爆发力非常好，而她开的混合动力车是自动挡，起步较慢，这样的公交车100米内都跑不过电瓶车、踏板摩托，但是如果让公交车速度提升起来那就不好说了.她感觉到70米左右，公交车时速将会提升至50千米左右，博尔特按照百米10秒的速度计算，他时速是36千米，因此当比赛100米时，前70米博尔特应该能非常轻松地战胜公交车，即便后30米公交车提速也很难有反超的空间.不过200米倒可以完胜.

试说明王颖的观点所推出结论的正确性，并在同一坐标系中作出路程关于时间的大致图象.

解析：[HT]本题属阅读理解、分析推理能力维度表现的复杂应用题.一边阅读该现实情境问题，一边思考其中与数学有关的形式、运算及模型，必要时还需将某些模型特殊化，条分缕析地依照模型求解、比较，用数据说话，进而得出结论（理论的）.

（1）短跑飞人博尔特按照百米10秒的速度计算，看作匀速直线运动.

（2）公交车看作匀变速直线运动，到了70米处的速度可达v车=50×10003600=1259≈13.889（米/秒），所用的时间为t=2sv车=2×7013.889≈10（秒）.

（3）显然10秒后，博尔特已经跑了100米，可以非常轻松地战胜公交车.

（4）设70米后继续比赛，t0时公交车追上博尔特，有10t0+30=1259t0.解得t0=547（秒）.

此时博尔特跑的路程为547×10=5407≈77.143（米）.

（5）按照王颖的认识和观点，理论上177米时人车相遇，随后公交车必定超过人.

（6）作图象如图4，是一个开放性问题.

参考文献

1.PISA（Program for International Student Assessment）（国际学生评估项目的缩写）是一项由联合国经济合作与发展组织（Organization for Economic Cooperation and Development，OECD）统筹的学生能力国际评估计划.主要对接近完成图4基础教育的15岁学生进行评估，测试学生们能否掌握参与社会所需要的知识与技能.

2.许志农.数学素养评量试题工作坊.