初中数学一次函数中平行四边形问题探究

一次函数背景下平行四边形点的存在性问题是历年来黑龙江省各地市中考命题的热点问题之一，这类问题通常不确定的因素较多且图形复杂，通常借助于函数图象探究满足某些条件的平行四边形是否存在。主要考查平行四边形的判定和性质、函数解析式的确定和性质等基础知识，综合考查学生识图作图、运算求解、数学表达等能力，考查数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法。学生对于这类问题的求解常有畏惧感，试题有一定的难度。本文通过几何方法分析复杂几何图形进而总结解决平行四边形存在问题的代数方法。

一、模型探究

（3）本问关键是如何确定平行四边形的位置与形状。因为M、N均为动点，只有F、G已经确定，所以探究确定平行四边形的位置与形状难度更大，但若先假设一个动点的坐标，将其看成一个定点，按照上述规律，写出第四个顶点的坐标。再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标。从而求得M点的坐标。那么，难以通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题转化为利用代数方法加以解决，大大降低了对解题能力要求。

归纳：本题考查了直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，对解题能力要求较高。难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，但若通过分析图形的相互位置关系来探究平行四边形的存在问题有一定的难度，需要一一分析并求解，容易遗漏。可是将其转化为利用代数方法加以解决就相对简单多了。

三、解题思考

1、用动态的观点看待几何图形――把平行四边形看成是由一条线段平移而成；

2、用数的运算来描述图形的变化――用几何变换去认识几何图形；

3、用代数方法来解决几何问题――运用分类讨论、数形结合、方程、几何变换等数学思想。

四、解题策略

先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）。写出第四个顶点的坐标。最后根据题目的要求（动点在什么线上），求出第四个顶点的坐标。

五、方法特点

1、不会遗漏。回避了对复杂图形的相互关系的分析；

2、不需画图。可直接写出第四个点的坐标，

3、不限条件。适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条线上、在什么线上，都可以探索，真正是以不变应万变。

总之，通过用代数的方法研究几何问题，不仅能够加强数形之间的联系，而且更能突出数形结合的思想。这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，同时培养学生探索的能力和创新的意识。