浅析初中平行四边形中动点题的解法

摘 要：初中数学中的动点问题，是数学图形上存在单个或多个沿某些线运动的点，利用点的运动特征，寻求题目中某些量之间关系的问题。方法是以静制动，综合图形性质，变量关系式来求解。

关键词：初中数学;平行四边形;动点问题

在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

数学中的动点问题，是数学图形上存在单个或多个沿某些线运动的点，利用点的运动特征，寻求题目中某些量之间关系的问题.这类题目，已成为中考试题的一大热点试题. 解这类问题一要以静制动，能抓住瞬间，化动为静，确定出图形，把动态问题变成静态问题，抓住变化中不变的量，以不变应万变。二要按照图形中的几何性质及相互关系，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量关系式表达出来，然后再根据题目要求，依据几何和代数性质解出。下面是一组与平行四边形有关的图形运动问题。

一、单动点型

例1：如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F.

（1）BD的长是______;

（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______.

【思路分析】：（1）读题确定题中不变的量，四边形ABCD为菱形。即就确定了它边的数量关系与位置关系。连接AC，交BD与点O，∠ABC=60°，可知ABC为等边三角形，AC=AB=8，根据菱形性质求出AO长，OB=OD，ACBD，根据勾股定理求出BO，即可求出BD;（2）延长FP交BC于点M，FMBC.根据角平分线的性质求得PM=PE，由菱形的面积求得FM的长度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值.当CPBD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小，求出此时PB的长即可.

二、多动点型

例如1：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s。

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由;

（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由。

【思路分析】：（1）本题中不变的量是四边形ABCD是平行四边形，因有AE=CF，推出OE=OF，根据平行四边形的性质得出OD=OB，根据平行四边形的判定推出即可;（2）根据矩形的性质得出EF=BD=12，得出方程16-0.5t-0.5t=12，求出EF=12即可;当E和F交换位置时得出方程EF=0.5t+0.5t-16=12，求出即可.

例如2：如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。

（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。

（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。

【思路分析】：（1）已知正方形ABCD就知其各边数量与位置关系，从而得到AP=BQ=CE=DF，PB=QC=DE=AF，及相关角的数量关系。由此可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形.（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点.

例如3：如图，平行四边形ABCD中，ABAC，AB=1，BC=■，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形;

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等;

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由;如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.

【思路分析】：（1）条件平行四边形ABCD的出现确定了不变的量AD与BC平行且垂直，而当旋转角为90°，∠AOF=90°，ABAC时，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形;（2）证明在旋转过程中可得AOF≌COE.即可知AF与EC恒相等。（3）由结论不变的性质进行反推EF垂直平行BD的存在性。

所以说，要解决中考中的热点压轴题――动态几何题，就要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。