初中数学图形的组合与分解探究

图形的组合是学习者从认识简单图形到认识复杂图形的必经途径，也是命题者命制试题的一种重要方法；而图形的分解则是分析和理解综合性几何图形问题，寻找有效解题方法的重要途径.初中所学习的基本几何图形有点、直线、线段、射线、三角形、圆等，这些图形通过一定的方式组合得到相对较复杂的图形和综合性的问题呈现.课堂教学中把握图形的组合与分解的来龙去脉，有利于学生认识和探究较复杂的图形和综合性的问题，把复杂图形分解为简单图形，捕获有效解题信息，达到快速而又准确解题的效果.

一、基本图形的组合有利于学生理解并掌握图形的性质

一个较复杂的图形可以分解成若干个基本图形，一个较复杂的图形的性质是若干个基本图形性质的综合.为此，要理解并掌握较复杂图形的性质，就必须归纳、比较出其组成的若干个基本图形性质，使新旧知识成为一个有序知识链结构，有了这个研究图形的方法和策略，学生学习空间与图形的知识就轻松多了.

如： 1.三条线段顺次连接构成三角形，利用线段的可度量性，理解三角形的分类：

不等边三角形，三边都不相等；等腰三角形，有两边相等；底边与腰不相等的等腰三角形，只有两边相等；等边三角形，三边相等.

（1）不等边三角形

（2）等腰三角形①底边与腰不相等的等腰三角形

②等边三角形

2.在教学人教版七（下）P12 “5.2.2平行线的判定”时，如图1.将三线八角所组成图形中的八个角分成同位角、内错角、同旁内角，利用同位角的数量关系、内错角的数量关系、同旁内角的数量关系来刻画两条直线的位置关系，体现从形象思维向逻辑思维的发展，从定量研究走向定性研究，培养学生用数学思维解决实际问题的方式方法.

3.如图2.两个三角形拼在一起构成四边形，利用三角形的内角和定理理解四边形的内角和等于360°.

4.如图3.两个全等三角形拼在一起构成平行四边形，利用全等三角形的性质理解平行四边形的性质：由全等三角形的对应边相等得到平行四边形的对边相等，连接平行四边形的两条对角线后得到平行四边形的两条对角线互相平分；由全等三角形的对应角相等得到内错角相等，进而得到平行四边形的两组对边分别平行.

二、图形的分解有利于学生探究几何图形的求解和证明

从复杂图形中分解出基本图形，根据基本图形的形状、大小和位置关系来捕获有效解题信息，达成探究较复杂的图形和解决综合性的问题的方法，渗透转化与化归思想、数形结合思想、模型思想等，使学生探究和解决问题有了方向.

如：1.连接平行四边形的一条对角线把平行四边形分解成一对全等三角形，通过全等三角形的性质证明平行四边形的判断定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形②两组对角分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.使学生掌握利用三角形研究四边形的方法，并渗透转化与化归思想、数形结合思想.

2.教学圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”时，通过学生的动手折叠发现圆心与圆周角的三种位置关系：（1）圆心在圆周角的一条边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角的外部.如图4.情形（1）从图形中分离出等腰三角形中的内角与外角关系来证明圆周角定理，情形（2）（3）作直径转化为情形（1）证明圆周角定理，其证明思路渗透了图形的组合与分解关系、转化与化归思想、数形结合思想.

三、图形的组合与分解是对综合性图形的解题和析题的有效途径

以函数为背景的中考压轴题，通常把函数图象和几何图形有机结合构成综合性题型，图形显得较为复杂，象这种题型只有从复杂图形中分解出简单图形才能找到解题思路.

例（2015年龙岩）如图5，已知点D在双曲线y=20x （x>0）的图象上，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点；抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q.

纵观全国各地综合性图形的中考压轴题用图形的组合与分解都能找到很好的解题探究.

教师在教学中重视图形的组合与分解有利于学生主动参与知识的形成过程，渗透转化与化归思想，探究有效解题方法，积累解决问题的经验.