数学解题中观察策略初探

摘要：本文首先介绍观察的定义、重要性，然后通过四种观察策略的介绍，加之数学联想思想的结合运用，以其达到有效地培养学生的观察习惯、培养观察能力之目的。本文就数学解题中观察策略作初步探讨尝试。

关键词：观察能力；观察策略；整体策略；比较策略

观察是一种有意识的持久知觉活动，是人的认知活动的开始，是思维活动的基础和重要组成部分。数学知识的形成、运用与发展以及数学知识的发现都离不开观察。正如欧拉所说：“今天人们知道的数的性质几乎都是由观察所发现的…”。因此培养学生的观察能力，使之掌握观察策略应当是现代数学教学的重要组成部分。本文就数学解题中观察策略作初步探讨。

解题中的观察策略是指根据问题特征所采用的观察方法、技巧的认知活动方案。按活动方案的不同特点，我们把观察的策略分为：整体策略、分解策略、比较策略和转化策略。

整体策略

整体策略就是将数学中整体思想用于观察的感知活动方案，它具有简略性和跳跃性特点，表现在观察时有意识地将观察对象看作一个整体。如空间形式整体化，数量形式整体化及变化过程整体化等。

例1、求的值。

分析：该题的任务是计算出上式的值，初看是一个繁分数化简的问题，而该式是一个按一定规律一直写下去没完没了的繁分数，用繁分化简的方法显然失效，简直无法下手！问题的焦点是分母可以“一直写下去且没完没了。”先将这个算式看成一个整体，不妨用字母M表示。

即：

再观察右边的分母（整体）与其M比较，不难看出分母：

，解之得： （合理解）

例2、甲地到乙地，路程为36千米，一部分是上坡，另一部分是下坡。某人骑自行车从甲地到乙地需2小时40分钟；从乙地返回甲地少用20分钟；已知此人汽车下坡比上坡每小时多走6千米。求此人骑车的上、下坡速度及甲地到乙地上下坡的路程各是多少？

分析：该问题基本关系为：路程=速度×时间，但由于涉及到的数量多关系多，不易找到解决问题的入口，若避开问题中的枝节，把往返过程当成一个整体来观察，容易看出上坡路程和下坡路程均为36千米，往返共用5小时。

即：上坡时间+下坡时间=5

故设上坡每小时走X千米，由题意可得：

，解之得：（合理解）

余下问题再解，此略。

整体观察又因观察目的、内容的不同又呈现出方法与过程的差异，常又将它分为全局整体观察、局部整体观察等，如代数中的换元法、整体代换便是在解题过程中对问题局部整体观察的运用。

分解策略

分解策略就是在解题过程中对问题各个组成部分的不同特征及不同方面分解开来，“各个击破”地进行观察的活动方案。

例3、如图，O为边长为2的等边三角形ABC的内切圆，分别以A、B、C为圆心，以1为半径画弧，求阴影部分的面积。

分析：观察图形，结合等边三角形性质，而知三边中点即为三角形与O的切点，阴影部分的面积由面积相等的三个部分组成，O与三角形不重叠的三个部分也相等，若用叠合法，不易看出相互关系。若采用分解策略，问题易于解决，即把图形分成三种基本图形：ABC、O及三个扇形。如图所示，易知,则：.

.

事实上，分解策略在现行中学教材中是常见的，如列方程（组）解应用题（列表分析）以及一些探求性问题都可以看作是该策略的运用。

从上看到，在解题时，若需把握问题各部分的特殊规律及其联系采用分解策略，符合从般到特殊，再从特殊到一般的认知规律，有利于问题的顺利解决。

比较策略

比较策略是指对观察对象各个部分之间的异同，联系加以比较地观察，对比的活动方案。

例4.化简：

分析：若观察式中分子与分母对应项，不难发现：，故：

如上通过比较观察，发现了待化简式中分子分母对应项之间的联系，使化简过程避免了讨论（a=b或a≠b）和避免了复杂的运算，使化简结果简明快捷。

转化策略

转化策略是运用转化思想进行观察的活动方案。转化思想在数学学习过程中的地位，作用是共知的，用于观察，主要表现形式为复杂与简单的转化；特殊与一般的转化；数与形的转化；动与静的转化；有限与无限的转化；偶然与必然的转化等。

例5、比较与的大小。

分析：若用数与数大小比较的常用方法解此题是很难的，若联想到勾股定理，以及无理数的产生，就会注意到：，故此题可构成以6为边的正方形，观察图形易知：

,显然，＞＞

例6、解方程

分析：此方程若按常规方法解，过程复杂且计算量大，为了便于观察，不妨设，比较两式， 易得

即：

例5是通过构造图形，将对数的关系的观察转化为对图形性质的观察；例6是通过换元将对方程的观察转化为对简单的方程组的观察，并且都使问题从复杂向简单转化。在解题中，若能运用转化策略，有利于复杂问题向简单转化，且在运用的同时思维也会得到训练，能力也将得到发展和提高。

客观事物是互相联系，互相作用、处于变化之中，各种变化形式又相互转化。事实上，整体策略中包含着其他策略的成分，同时观察过程中离不开思维、联想，而观察又是其他思维形式的基础。观察习惯的养成，策略的掌握是一个渐进的过程，如何更有效地培养学生的观察习惯，培养观察能力，发展其学生的学习能力有待教学中进一步探索。

参考文献：

项昭义，屠新民，陈斌编，《奥林匹克典型题一题多解》（初中卷.数学）奥林匹克出版社

刘云章，赵雄辉编《数学解题思维策略》

林紫德，《中学生心理学》北京出版社

沈亮《浅谈学生数学直觉思维及其培养》〈数学教学通讯〉2011.06

蒋德民《从整体的角度研究问题》〈数学教学通讯〉2011.06

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。